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椭圆的简单几何性质教案

时间:2012-05-10


课题:椭圆的简单几何性质

设计意图: 本节内容是椭圆的简单几何性质, 是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的, 它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知,熟练方 法,拓展新知的承上启下的作用,是发展学生自主学习能力,培养创新能力的好素材。本教 案的设计遵循启发式的教学原则, 以培养学生的数形结合的思想方法, 培养学生观察、 实验、 探究、验证与交流等数学活动能力。 教学目标:了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称 中心、离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例 题了解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义. . 培养学生的数形结合的思想方法。 教学重点:椭圆的简单几何性质的应用。 教学难点:椭圆的简单几何性质的应用。 二过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点, 在本节中不仅要注意通 过对椭圆的标准方程的讨论, 研究椭圆的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究方 法的培养. ①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围; ②由方程的性质得到 椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的 概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗椭圆的简单几何性质. (2)新课讲授过程 (i)通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii)椭圆的简单几何性质 ①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得: ?a ? x ? a ,同理可 b2 a2

得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆 的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫 做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫 做长轴,较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ?

c 叫做椭圆的离心率( 0 ? e ? 1 ) , a

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ;? . ? ?椭圆图形越扁 ?椭圆越接近于圆
(iii)例题讲解与引申、扩展 例 1 求椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生 用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量. 扩展:已知椭圆 mx2 ? 5 y2 ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ? 求 m 的值. 解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦 点在 x 轴上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ? 5, b ?

10 , 5

m, c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5

,得

m ? 3 ; ② 当 焦 点 在 y 轴 上 , 即 m ? 5 时 , 有 a ? m, b ? 5, c ? m ? 5 , ∴

m?5 m

?

10 25 . ?m? 5 3

例 2 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个 焦点 F 1 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F 1 F2 ,

F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的 a 2 b2

值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上 在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定 轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心 F2 为一个焦点的椭 圆,近地点 A 距地面 200 km ,远地点 B 距地面 350 km ,已知 地球的半径 R ? 6371km .建立适当的直角坐标系,求出椭圆 的轨迹方程. 例 3 如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ?

25 的距离的比是常数 4

4 ,求点 M 的轨迹方程. 5
分 析 : 若 设 点 M ? x, y ? , 则 MF ?

? x ? 4?

2

2 ,到直线 l : x ? ? y

25 的距离 4

d ? x?

25 ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4

引申: (用 《几何画板》 探究) 若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c,0? 的距离和它到定直线 l : x?

a2 的距离比是常数 c

c a2 e ? ? a ? c ? 0? , x? 则点 M 的轨迹方程是椭圆. 其中定点 F ? c,0? 是焦点, 定直线 l : a c

x?? 相应于 F 的准线; 由椭圆的对称性, 另一焦点 F ? ? ?c,0? , 相应于 F ? 的准线 l ? :
小结 1.知识总结:椭圆的几何性质 2.思想方法总结: 教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。

a2 .(3) c


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