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苏州高二数学第二学期理科期末复习


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苏州高二数学第二学期理科期末复习
一.填空题 1.在复 平面内,复数

2 对应的点到直线 y ? x ? 1 的距离是 1? i

. . .

m 1 ?? x ? ? ?1 ? 表示的关于 2.如果

由 矩阵 ? x, y 的二元一次方程组无解,则实数 m ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 m ?? y ? ? m ? 2 ? 3. 用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 反设正确的是

4. 极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为

. .

5.已知随机变量 ? 只取三个值 x1 , x2 , x3 ,其概率成等差数列,则公差 d 的取值范围为

6.数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于 9 的概 率为 . 7. 对于任意一个非零实数,它的倒数的倒数是它的本身.也就是说,连续施行两次倒数变换后又回到施 行变换前 的对 象,我 们把这 样的 变换称 为回归 变换 .在中 学数学 范围 内写出 至少两 个这 样的变 换 . 8.在极坐标系中,由三条直线 ? =0,? = 9.已知 (2 ? 3x)
50

?
3

, ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,围成图形的面积是



? a0 ? a1x ? a2 x2 ?
2

? a50 x50 , 其中 a0 , a1, a2
? a49 ) =
2

, a50 是常数,则
.

(a0 ? a2 ? a4 ?

? a50 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ?

10. 已知四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是 危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、 ④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 . ? ? x ? 3 ? 2cos? ( ? 为参数) ,若 P 是圆 C 与 y 轴正半轴的交点,以坐标原点 O 为 11. C 的参数方程为 ? ? ? y ? 2sin ? 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程为 .

12.下图都是由边长为 1 的正方体叠成的图形,例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个 图形的表面积为 18 个平方单位,第(3)个图形的表面积是 36 个平方单位,第(4)个图形的表面积是 60 个平方单位.依此规律,则第(8)个图形的表面积是 个平方单位.

13.在平面几何中,有射影定理:“在 ?ABC 中, AB ? AC ,点 A 在 BC 边

上的射影为 D ,有

AB 2 ? BD ? BC .”类比平面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系,可以得出
的 正确结论是:“在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 平面 ABC ,点 A 在底面 BCD 上的射影为 O ,则 有 .”

1

14.设 f ( x) ? (1 ? x)2013 ,利用二项式定理计算:
1 2 k 2013 C2013 ? 2C2013 ???? ? kC2013 (?1)k ?1 ???? ? 2013C2013 (?1)2012 =

二.解答题

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 15.已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ?, ? 1 ? 1? ? 2? ? 2 ? (1)求矩阵 A 的特征值及特征向量 ?6 ?. 求 A100 B (2)已知 B= ?-1?

[来 源 :学 科 网 ]

[来 源 :学 &科 &网 ]

16.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 坐标方程.

?

2,

? 3 ? ?? ,圆心为直线 ? sin ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极 3 2 4

?

?

?

2

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17.已知

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其中 A(a,0) 和 B(0, b) 是椭圆的两个顶点, O 为原点, a2 b2

(1)已知 M 是椭圆上在第一象限的点,求四边形 MAOB 的面积 的最大值,并求此时 M 点的坐标。 (2)又 C,D 为椭圆上的两个动点,且 C,D 分别在直线 AB 的两 旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

y

18. 一个口袋中装有大小相同的 n 个红球( n ≥ 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个 球的颜色不同则为中奖。 (1)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (2)记从口袋中三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 m ,求 m 的最大值. (3)在(2)的条件下,将 5 个白球全部取出后,对剩下的 n 个红球全部作如下标记:记上 i 号的有 i 个 ( i ? 1, 2,3, 4 ) ,其余的红球记上 0 号,现从袋中任取一球。 ? 表示所取球的标号,求 ? 的分布列、期 望和方差.

[ 来源 :学 科网ZX XK]

19.设数列 {an } 是等比数列, a1 ? C

3m 2 m?3

?A

1 m? 2

1 ? ? ,公比 q 是 ? x ? 2 ? 的展开式中的第二项(按 x 的降幂排 4x ? ?

4

列) . (1)用 n, x 表示通项 an 与前 n 项和 Sn ;
2 (2)若 An ? C1 n S1 ? Cn S2 ? n ? Cn Sn ,用 n, x 表示 An .

3

20.在各项均为正数的数列 {an } 中,数列的前 n 项和为 Sn 满足 Sn ? (1)求 a1 , a2 a3 的值;

1 1 (an ? ) . 2 an

(2)由(1)猜想出数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.

4

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1.在复平面内,复数

2 对应的点到直线 y ? x ? 1 的距离是 1? i



4. 极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( ) A.极点 B.极轴 C.一条直线 D.两条相交直线 【答案】D 5.已知随机变量 ? 只能取三个值 x1 , x2 , x3 ,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值范围为 .

1 1 【答案】 ? ? d ? 3 3 6. 从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于 9 的概率为( )

A.

13 125

B.

16 125

C.

18 125

D.

19 125

【答案】D

7. 对于任意一个非零实数,它的倒数的倒数是它的本身.也就是说,连续施行两次倒数变换后又回到施行 变换前的对象,我们把这样的变 换称为回归变换.在中学数学范围内写出这样的变换(写对一个变换给 2 分,最多得 4 分) . 【答案】相 反数的相反数是它本身,集合 A 的补集的补集是它本身,一个复数的共轭的共轭是它本身,等 等. 【解析】略

8. 在极坐标系中,由三条直线





围成图形的面积是________

9.已知 (2 ? 3x)

50

? a0 ? a1x ? a2 x2 ?
2

? a50 x50 , 其中 a0 , a1, a2
? a49 ) =
2

, a50 是常数,则
.

(a0 ? a2 ? a4 ?

? a50 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ?

【答案】1 10. 已知圆 1.四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓 库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、 ③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( ) A.96 B.48 C.24 D.12 【答案】B

5

? x ? 3 ? 2cos? ? ( ? 为参数) ,若 P 是圆 C 与 y 轴正半轴的交点,以坐标原点 O 为极 11. C 的参数方程为 ? ? ? y ? 2sin ? 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程为 . ? 1 【答案】 ? cos(? ? ) ? ? 6 2
12.下图都是由边长为 1 的正方体叠成的图形

例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个图形的表面积为 18 个平方单位,第(3)个图形 的表面积是 36 个平方单位,第(4)个图形的表面积是 60 个平方单位.依此规律,则第(8)个图形的表 面积是 ▲ 个平方单位.

13.在平面几何中,有射影定理:“在 ?ABC 中, AB ? AC ,点 A 在 BC 边上的射影为 D ,有

AB 2 ? BD ? BC .”类比平面几何定理,研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系,可以得出
的正确结论是:“在三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 平面 ABC ,点 A 在底面 BCD 上的射影为 O ,则 有 .”

14.设 f ( x) ? (1 ? x)

2013

,利用二项式定理计算: .

1 2 k 2013 C2013 ? 2C2013 ???? ? kC2013 (?1)k ?1 ???? ? 2013C2013 (?1)2012 =

答案要点:由 (1 ? x)

2013

0 1 2 k 2013 2013 ? C2013 ? C2013 x ? C2013 x2 ???? ? C2013 xk ???? ? C2013 x ,求导得

1 2 k 2013 2012 2013(1? x)2012 ? C2013 x ? C2013 x2 ???? ? C2013 xk ???? ? 2013C2013 x

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1 2 k 2013 令 x ? ?1 ,得 C2013 ? 2C2013 ???? ? kC2013 (?1)k ?1 ???? ? 2013C2013 (?1)2012 ? 0

二.解答题

? 1 3 ? ?? ? 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? 4 4 ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 ? 2? ? ? 3 ? 在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 2 , ,圆心为直线 ? sin ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极 ?? 3 2 4 坐标方程.

?

?

?

?

如图,已知 M 是椭圆 点,

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上在第一象限的 a2 b2

A(a,0) 和 B(0, b) 是椭圆的两个顶点, O 为原点,求四边形 MAOB 的面积 的最大值,并求此时 M 点的坐标。
思考:将上述第一象限删掉,会有什么结果? 变形 3 :已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上两个相邻顶点为 a2 b2

A, C ,
又 B, D 为椭圆上的两个动点,且 B, D 分别在直线 AC 的两 旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

11. 一个口袋中装有大小相同的 n 个红球( n ≥ 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个 球的颜色不同则为中奖。 (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)记从口袋中三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 m ,求 m 的最大值. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,将 5 个白球全部取出后,对剩下的 n 个红球全部作如下标记:记上 i 号的有 i 个 ( i ? 1, 2,3, 4 ) ,其余的红球记上 0 号,现从袋中任取一球。 ? 表示所取球的标号,求 ? 的分布列、期望和
[ 来源 :学 科网ZX XK]

方差.
1 C1 10n n C5 ? ; (2)n=20 时,m 的最大值为 4/9; 2 Cn ?1 (n ? 5)(n ? 4) 11 1 1 1 3 1 3 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? , D? ? . (3) E? ? 0 ? ? 1? 4 2 20 10 20 5 2

【答案】 (1) p ?

设数列 {an } 是等比数列, a1 ? C

3m 2 m?3

?A

1 m? 2

1 ? ? ,公比 q 是 ? x ? 2 ? 的展开式中的第二项(按 x 的降幂排列) . 4x ? ?

4

(1)用 n, x 表示通项 an 与前 n 项和 Sn ;
2 (2)若 An ? C1 n S1 ? Cn S2 ? n ? Cn Sn ,用 n, x 表示 An .

7

m 1 答案要点: ( 1)∵ a1 ? C3 2 m ? Am? 2

?2m ? 3 ≥ 3m, ∴ ? ?m ? 2 ≥1,

∴m ? 3,

1 ? ? 4 ?1 ? 1 由 ? x ? 2 ? 的展开式中的同项公式知 T2 ? C2 4x ? 2 4x ? ? 4x ?
? n, ? ∴ S n ? ?1 ? x n , ? ? 1? x x =1, x ? 1;

4

? ??x, ?

∴ an ? xn?1

[来源: 学 &科& 网 Z&X&X & K]

在各项均为正数的数列 {an } 中,数列的前 n 项和为 Sn 满足 Sn ?

1 1 (an ? ) . 2 an

(1)求 a1 , a2 a3 的值;(2)由(1)猜想出数列 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 答案要点:(1)由 S1 ?

1 1 1 1 (a1 ? ) 得, a12 ? 1 ,而 an ? 0 ,所以 a1 ? 1 .由 S2 ? (a2 ? ) 得, 2 a1 2 a2

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1 1 a22 ? 2a2 ?1 ? 0 ,所以 a2 ? 2 ?1 .又由 S3 ? (a3 ? ) 得, a32 ? 2 2a3 ?1 ? 0 ,所以 a2 ? 3 ? 2 . 2 a3
(2)猜想 an ? n ? n ?1(n ? N*) . ①当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1 ,猜想成立; ②假设 n ? k 时猜想成立,即 ak ? k ? k ?1 ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) .即 ak ?1 ? (ak ?1 ? ) ? ( k ? k ?1 ? ) 2 ak ?1 2 ak 2 ak ?1 2 k ? k ?1 1 1 ? (ak ?1 ? )? k 2 ak ?1
所以当 n ? k ? 1 时, (k ? 1) 3 ? 5(k ? 1) ? (k 3 ? 3k 2 ? 3k ? 1) ? (5k ? 5) ? (k 3 ? 5k ) , 化简得 ak ?12 ? 2 kak ?1 ?1 ? 0 ,解得 ak ?1 ? k ?1 ? k ? k ?1 ? (k ?1) ?1 , 即 n ? k ? 1 时猜想成立,由①、②知 an ? n ? n ?1(n ? N*) .

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