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1.1.2弧度制(第二课时)

时间:2013-12-13


1.1.2 弧度制及与角度制的互化
第一课时

教学目标:
? 1.理解弧度制的意义.

? 2.熟练进行角度制与弧度制的换算.
? 3.能应用弧长公式与扇形面积公式解决

有关问题;

教学重难点:
? 重点 : 用弧度制表示角; ? 难点 : 弧度制的概念;

复习回顾

1.分别写出满足下列条件的角的集合
(1)终边在x轴负半轴上的角的集合 0 0 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z ?

?

(2)终边在y轴上的角的集合

?
?

? ? ? 900 ? k ? 1800 , k ? Z

?

(3) 终边与坐标轴重合的角的集合

? ? ? k ? 900 , k ? Z

?

2、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式 y y y
?
O

x

?
O

x

?
O

x

k ? 3600 ? ?

?k ? Z ?

k ?1800 ? ?

?k ? Z ?

k ? 900 ? ?

?k ? Z ?

你能写出终边在象限角平分线上的角的集合吗?

?

? ? ? 450 ? k ? 900 , k ? Z

?

3.请写出终边在第一、第二、第三、第四 象限的角的区间
第一象限:(k ? 3600,k ? 3600 +900) 第二象限:(k ? 3600 +900,k ? 3600 +1800) 第三象限:(k ? 360 +180 ,k ? 360 +270 )
0 0 0 0

第四象限:(k ? 3600 +2700,k ? 3600 +3600) 或(k ? 3600 -900,k ? 3600)其中k ? Z

α 如果α是第一、二、三、四象限角, 是第几象限角? 20 0 0 第一象限:(k ? 360 ,k ? 360 +90 ) 0 0 0 (k ?180 ,k ?180 +45 )

y

第二象限:(k ? 3600 +900,k ? 3600 +1800) ? (k ?1800 +450,k ?1800 +900)
0 0 0 0

y?x

? (k ?180 +90 ,k ?180 +135 )
0 0

第三象限:(k ? 3600 +1800,k ? 3600 +2700) 2

o

第四象限:(k ? 360 +270 ,k ? 3600 +3600)
或(k ? 3600 -900,k ? 3600) (k ?1800 -450,k ?1800)

2

x

y ? ?x

新课引入

思考:如果现在要测量我们班某同学的腰围, 那你想该怎么去测量?
分别以“米”和“英尺”为单位的“尺子”.

结论:(1)同一个量可用不同的度量制度来度量; (2)不同的结果之间存在换算关系. 请回忆:在初中几何里,我们学习过角的度量, 1度的角是怎样定义的呢? 1 周角的 为1度的角 360 这种用1?角作单位来度量角的制度叫做角度制 , 今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用 的度量角的制度——弧度制.

探究新知
? 1、1弧度的定义
A

?
O

r
B

r

我们把长度等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做1弧度的角.
注: 弧度的单位符号是rad,读作弧度.

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
约定: 正角的弧度数是正数;负角的弧度数是负数;零角的 弧度数是0; 3r A 2r
?
O

?

2 r r ? ? _____( ad ). A
B

O

r ? ? _____( ad ). 3 r

B

2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的 半径的大小是否有关?

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?

l ? ? (l为弧长,r为半径) r

求圆心角时,结果是圆心角的弧度数.

探究新知(二) 角度制与弧度制的互相换算

如何根据弧度的定义来计算一个平角、周角 的弧度数?

360 ? 2? rad
o

180 ? ? rad
o

? 1 ? rad ? 0.01745rad . 180
o

1 rad ? 57.3 ? 57 18
0 o

'

量角器是常用的度量角的工具
3? 4

2? 3
135o

7? 12

? 2

5? 12

5? 6 11? 12

120o

1050

90o 750
600

? 3
450

? 4
30o 15o

?
6
? 12

150o

165o

π

180o

0o

0

请说出量角器上角度数所对应角的弧度数

写出一些特殊角对应的角度和弧度
角 度 弧 度

0

?

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3? 5? 3 4 6

?

3? 2? 2

角度制与弧度制的联系与区别:
(1)用角度制和弧度制来度 量零角 单位不同 , , 但量数相同 都是0); (
(2)用角度制和弧度制度量 任一非零角单位不 , 同, 量数也不同 ;

(3)角度制与弧度制可以自 由互换, 但注意在同 一个代数式中不能同时 使用两种制度: 如 : 30 ?
0

?
4

是错误的 .

探究新知(三)

角度制与弧度制都能在角的集合与实数的 集合之间建立一种一一对应的关系吗?
角的集合 实数集R

正角 零角 负角

正实数


负实数

这种对应关系使得数学中与角相关的运算变得简洁, 相 关公式也有了更简单的形式.

2、初中学过用角度制计算弧长及扇形面积,现在 用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢?
(1)弧长公式

l ?| ? | ?r (弧度制)

n? r l? (角度制) 180

(弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对值与 半径的积 ) (2)扇形面积公式

1 S ? lR 2

或者 S ? ? R
1 2

2

其中l是扇形弧长,R是圆的半径.

例题讲解 例1. (1)把112?30′化成弧度(精确到0.001);

(2)把112?30′化成弧度(用π表示)。
解: (1)112?30′=112.5?, 1? ? 180 ? 0.0175 所以112?30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112?30′=112.5×
?

?

180

=

5? . 8

注意:
一般地,“弧度”与“rad“通常略去不写, 而只写这个角所对应的弧度数.

8? 例2. 把 化成度 5

解:1rad= (

180

8? 8? 180 ? ?( )? 5 5 ? ? 288?

?

)?

练一练 1. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的弧

长为
心角等于

,面积为2R2的扇形的中
弧度。

4 解:(1)240? ? ,根据l=αR,得 = 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

练一练 2.与角-1825? 的终边相同,且绝对值最小的 角的度数是___,合___弧度。 解:-1825? =-5×360? -25? , 所以与角-1825? 的终边相同,且绝对值 最小的角是-25? .
5 合 ? 36 ?

练一练 3. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于所 在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧度? 合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1)R

课堂小结
弧度制 角度制 角度

度量单位 弧度
单位规定 等于半径的长的 圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角

周角的

1 为1度的角 360

π =180°

换算关系

1rad= ? ?

180 ? ? ? 57.30? ? 57°18′, ? ? ?

?

1°=

?

180

rad=0.01745 rad


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