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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 专项强化训练(四)

时间:2015-07-13


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专项强化训练(四)
立体几何的综合问题 1.如图,在边长为 1 的等边△ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 边上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与

DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图所示的三棱锥 A-BCF,其 中 BC= .

(1)证明:DE∥平面 BCF. (2)证明:CF⊥平面 ABF. (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 【解析】 (1)在等边△ABC 中,AD=AE,所以 = ,在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成

立,所以 DE∥BC.因为 DE?平面 BCF,BC 平面 BCF,所以 DE∥平面 BCF. (2)在等边△ABC 中,F 是 BC 的中点, 所以 AF⊥FC,BF=CF= . 因为在三棱锥 A-BCF 中,BC= , 所以 BC2=BF2+CF2,CF⊥BF. 因为 BF∩AF=F,所以 CF⊥平面 ABF. (3)由(1)可知 GE∥CF,结合(2)可得 GE⊥平面 DFG.
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VF-DEG=VE-DFG= · ·DG·FG·GE= × × ×

× =

.

【加固训练】(2015·佛山模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥ AB,AD=CD= AB=2,点 E 为 AC 中点,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得 到几何体 D-ABC,如图 2 所示. (1)求证:AD⊥BC. (2)在 CD 上找一点 F,使 AD∥平面 EFB.

【解析】(1)在题图 1 中,可得 AC=BC=2

,从而 AC2+BC2=AB2,所以 AC⊥BC.

因为平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC 平面 ABC, 所以 BC⊥平面 ADC. 又 AD 平面 ADC, 所以 AD⊥BC. (2)取 CD 的中点 F,连接 EF,BF,

在△ACD 中,因为 E,F 分别为 AC,DC 的中点, 所以 AD∥EF,EF 平面 EFB,AD?平面 EFB, 所以 AD∥平面 EFB. 2.(2015·南阳模拟)如图所示,正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平 面相交于 AD,AE⊥平面 CDE.
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(1)求证:AB⊥平面 ADE. (2)在线段 BE 上存在点 M,使得直线 AM 与平面 EAD 夹角的正弦值为 ,试确定点 M 的位置. 【解析】(1)因为 AE⊥平面 CDE,CD 平面 CDE, 所以 AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, 因为 AD∩AE=A,所以 CD⊥平面 ADE. 因为 AB∥CD,所以 AB⊥平面 ADE. (2)由(1)知平面 EAD⊥平面 ABCD,取 AD 中点 O,连接 EO,

因为 EA=ED,所以 EO⊥AD, 所以 EO⊥平面 ABCD, 建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2, 则 A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1),设 M(x,y,z), 所以 =(x-1,y-2,z), =(-1,-2,1), =λ ,

因为 B,M,E 三点共线,所以 所以 M(1-λ,2-2λ,λ), 所以 =(-λ,2-2λ,λ).

设 AM 与平面 AED 的夹角为θ,
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因为平面 AED 的法向量 n=(0,1,0), 所以 sinθ=|cos< ,n>|= = ,

解得λ= .即 M 为 BE 的中点. 【方法技巧】求直线与平面夹角的方法及注意点 1.方法:有传统法和向量法两种 .传统法关键是找斜线在平面内的射影 ,从而找 出所求角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解. 2.注意点:注意直线与平面所成角的范围为 .

3.(2015·六安模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,∠DAB 为直角,AB ∥CD,AD=CD=2AB,E,F 分别为 PC,CD 的中点.

(1)求证:CD⊥平面 BEF. (2)设 PA=kAB(k>0),且平面 EBD 与平面 BDC 夹角的大小为 30°,求此时 k 的值. 【解题提示】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,(1)求出 · 求解. 【解析】以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴,以 AP 所在直线为 z 轴建 立空间直角坐标系,设 AB=1,则 A(0,0,0),P(0,0,k),B(1,0,0),D(0,2,0), C(2,2,0),E (1)因为 = ,F(1,2,0). , =(0,2,0), =(-2,0,0),所以 · =0, · =0, =0, · , , ,证明

=0.(2)求出两个平面的法向量,利用向量的夹角公式构建方程

所以 CD⊥BE,CD⊥BF,BE∩BF=B,所以 CD⊥平面 BEF. (2)设平面 BCD 的一个法向量为 n1,则 n1=(0,0,1),
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设平面 BDE 的一个法向量为 n2=(x,y,z), 因为 所以 =(-1,2,0), = , .

所以 n2=

因为平面 EBD 与平面 BDC 的夹角等于 30°, 所以|cos<n1, n2>|=| 所以 =3 |= ,

,即 15k2=4, .

又因为 k>0,所以 k=

4.(2015 ·惠州模拟) 如图 , 已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直 ,且 OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点.

(1)求 O 点到平面 ABC 的距离. (2)求平面 EAB 与平面 ABC 夹角的正弦值. 【解析】方法一:(1)取 BC 的中点 D,连 AD,OD, 因为 OB=OC,则 OD⊥BC,AD⊥BC, 所以 BC⊥平面 OAD.过 O 点作 OH⊥AD 于 H, 则 OH⊥平面 ABC,OH 的长就是所要求的距离. BC=2 ,OD= = .

因为 OA⊥OB,OA⊥OC, 所以 OA⊥平面 OBC,则 OA⊥OD. AD= = ,
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在直角三角形 OAD 中,有 OH=

= = . .

(2)连接 CH 并延长交 AB 于 F,连接 OF,EF. 因为 OC⊥面 OAB,所以 OC⊥AB. 又因为 OH⊥平面 ABC,所以 CF⊥AB,EF⊥AB, 则∠EFC 就是所求角的平面角. 作 EG⊥CF 于 G,则 EG= OH= . 在直角三角形 OAB 中,OF= 在直角三角形 OEF 中,EF= sin∠EFG= = = 故所求的正弦值是 , . = , = = ,

方法二:(1)以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.

则有 A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0). 设平面 ABC 的法向量为 n1=(x,y,z), 则由 n1⊥ 由 n1⊥ 知: n1· 知: n1· =2x-z=0; =2y-z=0,取 n1=(1,1,2), = = .

则点 O 到面 ABC 的距离为 d= (2) =(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),

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=(2,0,0)-(0,0,1)=(2,0,-1), 设平面 EAB 的一个法向量为 n =(x,y,z), 则由 n⊥ 由 n⊥ 知: n· 知: n· =2x-z=0; =2x-y=0.

取 n =(1,2,2). 由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1=(1,1,2), 则 cos< n, n1>= = = = . .

结合图形可知,平面 EAB 与平面 ABC 夹角的正弦值是

【加固训练】(2015·长春模拟)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 AA1B1B⊥底 面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,AA1=2.底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, 其重心为 G 点,E 是线段 BC1 上一点,且 BE= BC1.

(1)求证:GE∥侧面 AA1B1B. (2)求平面 B1GE 与底面 ABC 夹角的正切值. 【解析】(1)因为侧面 AA1B1B⊥底面 ABC,侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,所以 ∠A1AB=60°,

又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 A1O⊥底面 ABC.以 O 为原点建立空间直角坐标系,
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如图, 则 A(0,-1,0),B(0,1,0),C( ,0,0),A1(0,0, . ,连接 AB1, . ),B1(0,2, ),C1( ,1, ).

因为 G 为△ABC 的重心,所以 G 因为 所以 = = ,所以 E =

又 GE?侧面 AA1B1B,AB1 侧面 AA1B1B,所以 GE∥侧面 AA1B1B. (2) 设 平 面 B1GE 的 一 个 法 向 量 为 n=(a,b,c), 则 由 得

可取 n=(

,-1,

).

又底面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1). 设平面 B1GE 与底面 ABC 夹角大小为θ, 则 cosθ= = . = ,

由于θ为锐角,所以 sinθ= 进而 tanθ= .

故平面 B1GE 与底面 ABC 夹角的正切值为

.

5.(2015·武汉模拟)如图所示,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,点 E,F 分别在边 CD,CB 上,点 E 与点 C,D 不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,将△CEF 沿 EF 翻折 到△PEF 的位置,使平面 PEF⊥平面 ABFED.

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(1)求证 BD⊥平面 POA. (2)当 PB 取得最小值时,请解答以下问题: ①求四棱锥 P-BFED 的体积; ②若点 Q 满足 =λ (λ >0),试探究:直线 OQ 与平面 PBD 的夹角的大小是否一

定大于 ?并说明理由. 【解析】(1)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 BD⊥AC,所以 BD⊥AO. 因为平面 PEF⊥平面 ABFED,平面 PEF∩平面 ABFED=EF,PO⊥EF,PO 平面 PEF,所 以 PO⊥平面 ABFED. 因为 BD 平面 ABFED,所以 PO⊥BD. 因为 AO∩PO=O,所以 BD⊥平面 POA. (2)如图所示,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O-xyz.

①设 AO∩BD=H. 因为∠DAB=60°, 所以△BDC 为等边三角形, 故 BD=4,HB=2,HC=2 设 PO=x,则 OH=2 . -x, -x,2,0),

-x,OA=4

所以 O(0,0,0),P(0,0,x),B(2 故 = =(2 -x,2,-x),

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所以| 当 x=

|= 时,| |取得最小值,即| .

= |= .

,

此时 PO=

,OH=

由(1)知 PO⊥平面 BFED, 所以 V 四棱锥 P-BFED= ·S 梯形 BFED·PO = · × =3. ,0,0),B( ,2,0),

②设点 Q 的坐标为(a,0,c),由①知 A(3 D( 所以 因为 所以 所以 Q 所以 = , . ,-2,0),P(0,0, =(a-3 =λ , 解得 ). =(-a,0,

,0,c),

-c).

设平面 PBD 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 n· 因为 所以 取 x=1,解得 y=0,z=1, 所以 n=(1,0,1). 设直线 OQ 与平面 PBD 的夹角为θ,
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=0,n· =( ,2,-

=0. ), =(0,-4,0),

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则 sinθ=|cos<

,n>|=

=

= = ·

= · .

又因为λ>0,所以 sinθ> . 因为θ∈ ,所以 <θ≤ .

所以直线 OQ 与平面 PBD 的夹角一定大于 .

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