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高中数学竞赛讲义


高中数学竞赛讲义(一)
──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写 字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 在集合 A 中,称 属 于 A,记为 ,否则称 不属于 A,记作 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别

表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正

有理数集,不含任何元素的集合称为空集, 用 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表 示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方 法。例如{有理数}, 分别表示有理数集和正实数集。

定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元 素,则 A 叫做 B 的子集,记为 ,例如 。规定空集是任何集合的子集,如果 A

是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素 不属于 A,则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集, 定义 4 并集, 定义 5 补集,若 定义 6 差集, 定义 7 集合 记作闭区间 。 记作开区间 ,R 记作 ,集合 称为 A 在 I 中的补集。

定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) (3) (4) (2) ;

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。 (1)若 ,即 或 , 即 且 或 ,则 ,且 ;反之, , 即 且 , 即 或 ,所以 ,则 或

(3)若 ,又

,则 ,所以

或 ,即

,所以



,所以 ,反之也有

定理 2 加法原理:做一件事有 类办法,第一类办法中有 法中有 种不同的方法,…,第 类办法中有 种不同的方法。 定理 3 乘法原理:做一件事分 个步骤,第一步有 不同的方法,…,第 步有 种不同的方法。 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例1 设 (1) (2) (3)若 [证明](1)因为 (2)假设 有相同的奇偶性,所以 ,假设不成立,所以 (3)设 ,则 ; ; ,则 ,且 ,则存在 ,使 ,求证:

种不同的方法,第二类办

种不同的方法,那么完成这件事一共有

种不同的方法,第二步有



种不同的方法,那么完成这件事一共有

,所以 ,由于 和

是奇数或 4 的倍数,不可能等于

(因为

)。 ,再证 ,则 A=B。

2.利用子集的定义证明集合相等,先证 例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足

,求集合 M(用 A,B 表示)。 【解】先证 ,所以 再证 ,若 ;2)若 综上, 3.分类讨论思想的应用。 例3 若 【解】依题设, 因为 因为 若 ,则 综上所述, ,所以 , 所以 或 或 ,求 ,再由 ,所以 , 若 ,解得 ; 或 。 , 则 解得 ,所以 或 或 2,所以 , 即 , 或 3。 , , ,则 ,则 ,若 ; 1)若 。所以 ,则 ,因为 ,所以

4.计数原理的应用。 例 4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若 求有序集合对(A,B)的个数;(2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】(1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, 中的每个元素恰 ,

属于其中一个子集,10 个元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所 以集合对有 310 个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步, 1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,…,第 10 步,0 也有两种, 由乘法原理,子集共有 5.配对方法。 例 5 给定集合 的 个子集: ,满足任何两个子集的交集 个,非空真子集有 1022 个。

非空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 的值。

【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 同在这 个子集中,因此,

对,每一对不能

;其次,每一对中必有一个在这 个子集中出现,否则, ,则 。综上, 。 ,从而可以在 个

若有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 子集中再添加 ,与已知矛盾,所以

6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 表示集合 A 的元素个数,则 ,需要 xy 此结 论可以推广到 个集合的情况,即:

定义 8 集合的划分:若 则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。

,且



定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理:将 个元素放入 个抽屉,必有一个抽屉放有不少于 个元素;将无穷多个元素放入 个抽屉必有一

个元素,也必有一个抽屉放有不多于 个抽屉放有无穷多个元素。

例 6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 【解】 记 ,由容斥原理, ,

,所以不能被 2,3,5 整除的数有 个。 例 7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中 最多含有多少个元素? 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至 多有一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组只有一个数,若 S 含有这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以 S 至多含有其中 5

个数。又因为 2004=182× 11+2,所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素,另一方面,当 时, 恰有 所以最少含有 912 个元素。 例 8 求所有自然数 ,使得存在实数 满足: , S 满足题目条件, 且

【解】 当 时,

时,

;当 。下证当

时, 时,不存在

;当 满足条件。

令 所以必存在某两个下标

,则 , 使得 , 所以 或

,即

,所以







(ⅰ)若 ,即 故只有 考虑 ,有 或 ,设

,考虑 ,则

,有

或 ,导致矛盾,

,即 ,则

,设

,则 ,又推出矛

,推出矛盾,设 盾, 所以 故当

时,不存在满足条件的实数。

(ⅱ)若 即 ,这时 或 , 所以 故当

,考虑

,有

或 。考虑 ,有



,推出矛盾,故 ,即 =3,于是

,矛盾。因此 , 所以 。

, 这又矛盾, 所以只有

时,不存在满足条件的实数。

例 9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两 个数组成五个元素的集合 【解】 设 B 中每个数在所有 ( ),则 在 中最多重复出现 次,则必有 出现的所有 } 。若不然,数 出现 次 , 求 的最小值。

中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它 , 其中 ,

是 1, 就有集合{1, 为满足题意的集合。 20 个

必各不相同, 但只能是 2, 4, 6 这 5 个数, 3, 5, 这不可能, 所以 。当 时,

中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以

如下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。 , 其中 ,

例 10 集合{1, …, 2, 3n}可以划分成 个互不相交的三元集合 求满足条件的最小正整数

【解】 设其中第 个三元集为

则 1+2+…+

所以 ,所以 三、基础训练题 1.给定三元集合 2.若集合 3.集合 4.已知集合 ,当

。当 为偶数时,有

,所以

,当 为奇数时,有

时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,

7},{10,14,8}满足条件,所以 的最小值为 5。

,则实数 的取值范围是___________。 中只有一个元素,则 =___________。 的非空真子集有___________个。 ,若 ,则由满足条件

的实数 组成的集合 P=___________。

5. 已知 6.若非空集合 S 满足 合 S 有___________个。 7.集合 8.若集合 之和是___________。 9.集合 构成的集合为___________。 10.集合 ___________。 ,其中

, 且 ,且若

, 则常数 的取值范围是___________。 ,则 ,那么符合要求的集

之间的关系是___________。 , 且 ,若 ,则 A 中元素

,且

,则满足条件的



,则

11.已知 S 是由实数构成的集合,且满足 1) ,S 中至少含有多少个元素?说明理由。 12. 已知 求实数 的取值范围。 四、高考水平训练题 1.已知集合 ___________。

)若

,则

。如果

, C 为单元素集合, 又

,且 A=B,则

___________,

2. ,则 3.已知集合 实数 的取值范围是___________。 ___________。 ,当 时,

4.若实数 为常数,且 5.集合 ___________。 ,若

___________。 ,则

6.集合 元素是___________。 7.集合 ___________。

,则

中的最小

,且 A=B,则

8.已知集合 ___________。 9.设集合 ,问:是否存在 论。 10.集合 A 和 B 各含有 12 个元素, 合 C 的个数:1)

,且

,则

的取值范围是

,使得

,并证明你的结

含有 4 个元素,试求同时满足下列条件的集 。 ,

且 C 中含有 3 个元素;2)

11. 判断以下命题是否正确: A, 是平面上两个点集, 设 B 若对任何 ,都有 ,则必有 ,证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1.已知集合 取值范围是___________。 2.集合 的子集 B 满足:对任意的

,则实数



,则集

合 B 中元素个数的最大值是___________。 3. 已知集合 则实数 ___________。 , 若 ___________。 ,集合 ,则集合 M 与 N 的关系是___________。 是 , 其中 , 且 , P=Q, 若

4. 已知集合 平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 5.集合

6.设集合 则 A 中元素最多有___________个。 7.非空集合 的所有 的集合是___________。

,集合 A 满足:

,且当

时,



,≤则使

成立

8.已知集合 A,B,aC(不必相异)的并集 序三元组(A,B,C)个数是___________。 9.已知集合 问: 当 取何值时, 结论如何? 10.求集合 B 和 C,使得 11.S 是 Q 的子集且满足:若 ,则 ,则 ,试确定集合 S。

, 则满足条件的有

, 为恰有 2 个元素的集合?说明理由, 若改为 3 个元素集合,

,并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 恰有一个成立,并且若

12.集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S 中的任何两 个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集? 六、联赛二试水平训练题 1. ,则 是三个非空整数集, 已知对于 1, 3 的任意一个排列 2, 。求证: 中必有两个相等。 , , 如果 ,

2.求证: 集合{1, …, 2, 1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 使得(1)每个 恰有 17 个元素;(2)每个 中各元素之和相同。

3.某人写了 封信,同时写了 个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错 的情况有多少种? 4.设 个不同的元素,求集合 5.设 S 是由 为偶数。 6.对于整数 ,求出最小的整数 的任一个 ,使得对于任何正整数 ,集合 是 20 个两两不同的整数,且整合 中不同元素个数的最小可能值。 中有 201

个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数

元子集中,均有至少 3 个两两互质的元素。

7.设集合 S={1,2,…,50},求最小自然数 ,使 S 的任意一个 元子集中都存在两 个不同的数 a 和 b,满足 8.集合 。 ,试作出 X 的三元子集族&,满足:

(1)X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含; (2) 9.设集合 。 ,求最小的正整数 ,一定存在某个集合 ,使得对 A 的任意一个 14-分划 中有两个元素 a 和 b 满足

,在



高中数学竞赛讲义(二)
──二次函数与命题 一、基础知识 1.二次函数:当 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对

称轴为直线 x=-

,另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=-

,下同。

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大函数值减小(简称递减),在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当 a<0 时,情况相反。 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0? ③与函数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分 别是{x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写 成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0=

,不等式②和不等式③的解集分

别是{x|x

}和空集

,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 .f(x)图象与 x 轴

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 无公共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。

4.二次函数的最值:若 a>0,当 x=x0 时,f(x)取最小值 f(x0)=

,若 a<0,则当

x=x0=

时,f(x)取最大值 f(x0)=

.对于给定区间[m,n]上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0);当 x0<m 时。f(x)在[m, n] 上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即 可得出)。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题,“萝卜好大”不是命题。不含逻 辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命 题由复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题;“p 且 q”复 合命题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一 假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论);逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则非 q;逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p 中,如果已知 p q但q不 非充分条件;若 p 二、方法与例题 1.待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 因为方程 x2-x+1=0 中△ 所以α 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2.方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4?f(1)?-1, -1?f(2)?5,求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4?f(1)=a-c?-1, 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 0, β ,所以(α +β )a+b+1=0. q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q q且q q 否则记作 p q但p q.在命题“若 p 则 q” q,则 p 称为 q 的必要 p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p

p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如果 p 不 p,则 p 是 q 的充要条件。

所以 1?-f(1)=c-a?4.

又-1?f(2)=4a-c?5, f(3)=

f(2)-

f(1),

所以

×(-1)+

?f(3)?

× 5+

× 4,

所以-1?f(3)?20. 3.利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且 开口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4.利用二次函数表达式解题。 0),若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程

例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1;

,

(Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0< 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x.

其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ 综上,x<f(x)<x1.

]<0,所以 f(x)<x1.

(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax?+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以 x0=

,

所以



所以 5.构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。

【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 6.定义在区间上的二次函数的最值。

例 6 当 x 取何值时,函数 y=

取最小值?求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u?1。

y=5u2-u+1=5

,

且当

即 x=

3 时,ymin=

.

例 7 设变量 x 满足 x2+bx?-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是 【解】 由 x2+bx?-x(b<-1),得 0?x?-(b+1).

,求 b 的值。

ⅰ)-

?-(b+1),即 b?-2 时,x2+bx 的最小值为(舍去)。

,所以 b2=2,所以

ⅱ) -

>-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数,

所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-

,b=-

.

综上,b=-

.

7.一元二次不等式问题的解法。

例 8 已知不等式组
2 2

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

【解】 因为方程 x -x+a-a =0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a?0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a?1-a,所以 a?0,所以不等式组无解。

若 a>0,ⅰ)当 0<a<

时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

ⅱ)当 a=

时,a=1-a,①无解。

ⅲ)当 a>

时,a>1-a,由②得 x>1-2a,

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)?3, 所以 1<a?2,并且当 1<a?2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a?2. 8.充分性与必要性。 例 9 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)?0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件, 而且限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件) 【解】 充要条件为 A,B,C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA). 先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2?0 ② 若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A
2 2 2 2

0,则因

为②恒成立,所以 A>0,△=(B-A-C) (y-z) -4AC(y-z) ?0 恒成立,所以(B-A-C) -4AC?0,即 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA) 同理有 B?0,C?0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A?0,B?0,C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA), 1)若 A=0,则由 B2+C2?2BC 得(B-C)2?0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成 立。 2)若 A>0,则由③知△?0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|?a?|a|-|b|?b?|b|,所以-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|, 所以|a+b|?|a|+|b|(注:若 m>0,则-m?x?m 等价于|x|?m). 又|a|=|a+b-b|?|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|?|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2?2ab;若 x,y∈R+,则 x+y? (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题

1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的 逆命题;②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q?1,则 x2+x+q=0 有实根” 的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2.由上列各组命题构成“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题中,p 或 q 为真,p 且 q 为假,非 p 为真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数;②p:3+2=6,q:③ p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q
2

R, q: N=Z.

3. 当|x-2|<a 时,不等式|x -4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2,则 a, b 的值是____________. 5. x 1且x 2 是 x-1 的__________条件,而-2<m<0 且 0<n<1 是关于 x 的方

程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若 S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有 2 个,则 m 的取值范围是_________.

8. R 为全集,A={x|3-x?4}, B=
2

, 则(CRA)∩B=_________.

9. 设 a, b 是整数,集合 A={(x,y)|(x-a) +3b?6y},点(2,1)∈A,但点(1,0) A, (3,2) A 则 a,b 的值是_________. 10.设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x A∩B}=_________. 11. 求使不等式 ax2+4x-1?-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

12.对任意 x∈[0,1],有 四、高考水平训练题

①②成立,求 k 的取值范围。

1.若不等式|x-a|<x 的解集不空,则实数 a 的取值范围是_________. 2.使不等式 x2+(x-6)x+9>0 当|a|?1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 3.若不等式-x2+kx-4<0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是_________. 4.若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且 A∩B=B,则 k 的取值范围是_________. 5.设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数,不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 解集

分别为 M 和 N,那么“ 根,则实数 a 的取值范围是_________.

”是“M=N”的_________条件。

6.若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实 7. 已知 p, q 都是 r 的必要条件, 是 r 的充分条件, 是 s 的充分条件, r 是 q 的_________ s q 则 条件。

8.已知 p: |1-

|?2, q: x2-2x+1-m2?0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不充分条件,则

实数 m 的取值范围是_________. 9. 已知 a>0, f(x)=ax2+bx+c, 对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x), f(1-2x2)<f(1+2x-x2), x 的 若 求 取值范围。 10.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|?1 时,|f(x)|?1,

(1)求证:|c|?1; (2)求证:当|x|?1 时,|g(x)|?2; (3)当 a>0 且|x|?1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x).

11.设实数 a,b,c,m 满足条件: 有一根 x0 满足 0<x0<1. 五、联赛一试水平训练题 1.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是_________.

=0, a?0,m>0, 且 求证: 方程 ax2+bx+c=0

2.如果实数 x, y 满足:
2

,那么|x|-|y|的最小值是_________.

3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象经过点(1,1),(3,5),f(0)>0,当函数的 最小值取最大值时,a+b2+c3=_________.

4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程 f(f(f)(x)))=

x 有_________个实根。

5. 若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1, 1]上至少有一个实根, m 取值范围是_________. 则 6.若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 x∈R 都有 f(x)?x 且 f(1)=1,则 p+q2=_________.

7. 对一切 x∈R,f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数,则 _________. 8. 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图, 且 =、<) 9.若 a<b<c<d,求证:对任意实数 t 个不等的实根。

的最小值为

=b-2ac. 那么 b2-4ac_________4.(填>、 -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两

10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给 出下一个二次方程:它的常数项等于前一个方程较大的根,x 的系数等于较小的根,二次项 系数都是 1。证明:这种练习不可能无限次继续下去,并求最多能延续的次数。 11.已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0,1]上满足|f(x)|?1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1.设 f(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|?50 的整数 x 最多有几个? 2.设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0),对于给定的负数 a,有一个最大的正数 l(a),使得在整 个区间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|?5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。

3.设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1],且设 x= 大值。

, y=

, 求 f=y-x2 的最大值。

4.F(x)=ax2+bx+c,a,b,c∈R, 且|F(0)|?1,|F(1)|?1,|F(-1)|?1,则对于|x|?1,求|F(x)|的最

5.已知 f(x)=x2+ax+b,若存在实数 m,使得|f(m)|? 值和最小值。 6.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 1)当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)?x;

,|f(m+1)|?

,求△=a2-4b 的最大

0)满足下列条件:

2)当 x∈(0, 2)时,f(x)? 3)f(x)在 R 上最小值为 0。

;

求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)?x. 7.求证:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b
+

0)在(0,1)内至少有一个实根。

8. a,b,A,B∈R , a<A, b<B, n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间, 个正数 b1, b2,?,bn 设 若 n 位于 b 与 B 之间,求证:

9.设 a,b,c 为实数,g(x)=ax2+bx+c, |x|?1,求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值:

(ⅰ)

=381;

(ⅱ)g(x)max=444; (ⅲ)g(x)min=364.

高中数学竞赛讲义(三)
──函数 一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x, 在 B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x 射。 定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A →B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在 逆映射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它 的定义域,若 x∈A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。 集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意 义的未知数的取值范围,如函数 y=3 -1 的定义域为{x|x?0,x∈R}. y, 都有 f(x) f(y)则称之为单

定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→ B 叫原函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x

得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:

函数 y=

的反函数是 y=1-

(x

0).

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 7 函数的性质。 (1) 单调性: 设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2, 总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意 的 x∈D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一 个数时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在 最小的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b),集合{x|a?x ?b,x∈R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x?b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a?x<b}记作 半闭半开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞),集合{x|x?a}记作半开半闭区间(∞,a]. 定义 9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定 义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);(1)向右 平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象;(2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象;(3)向 下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象;(4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称;(5)与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称;(6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称;(7) 与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。

定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如 y=

, u=2-x

在(-∞,2)上是减函数,y= 函数。

在(0,+∞)上是减函数,所以 y=

在(-∞,2)上是增

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。

例 1 求方程|x-1|=

的正根的个数.

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 正根。

的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个

例 2 求函数 f(x)= 【解】 f(x)= B(0,1),则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。

的最大值。 ,记点 P(x, x2),A(3,2),

因为|PA|-|PA|?|AB|= 点时等号成立。 所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。

,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交

例 3 设 x, y∈R,且满足
3

,求 x+y.

【解】 设 f(t)=t +1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上以 2 为周期的函数, k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 对 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x?2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 )+(2x-3)( +1)=0.

m(

+1)+n(

+1)=0.

① 0, n 0.

若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t(

+1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又

f(m)=f(-n),所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x=

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x=

,但与 m<0 矛盾。

综上,方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 的值域。

【解】 y=x+

=

[2x+1+2

+1]-1

=

(

+1)?-1?

-1=-

.

当 x=-

时,y 取最小值-

,所以函数值域是[-

,+∞)。

4.换元法。 例 8 求函数 y=( 【解】令 + + +2)( +1),x∈[0,1]的值域。 ?4,所以 ?u

=u,因为 x∈[0,1],所以 2?u2=2+2

?2,所以

?

?2,1? ,8]。

?2,所以 y=

,u2∈[

+2,8]。

所以该函数值域为[2+ 5.判别式法。

例 9 求函数 y=

的值域。

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。

所以△=9(y+1)2-16(y-1)2?0,解得

?y?1.

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立,

所以函数值域为[ 6.关于反函数。

,7]。

例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求 证:y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1?y2,则因为 f(x)在(∞,+ ∞)上递增,所以 x1?x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

例 11 设函数 f(x)=

,解方程:f(x)=f-1(x).

【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,-

)∪[-

,+∞);其次,设 x1, x2 是定义域内变量,

且 x1<x2<-

;

=

>0,

所以 f(x)在(-∞,-

)上递增,同理 f(x)在[-

,+∞)上递增。

在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y?0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x?0,所以

x,y∈[若x

,+∞). y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。

同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x?0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题 1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈X,它在 Y 中 的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个; 若 f 为满射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3. 若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点 (-1, , -1) 则图象与直线一共有_______ 个交点。

4.函数 y=f(x)的值域为[

],则函数 g(x)=f(x)+

的值域为_______。

5.已知 f(x)=

,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。

6.已知 f(x)=|x+a|,当 x?3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。

7.设 y=f(x)在定义域( 8. 若函数 y= _______对称。

,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
-1

(x)存在反函数 y=

(x), y= 则

-1

(x)的图象与 y=-

(-x)的图象关于直线

9.函数 f(x)满足 10. 函数 y=

=1-

,则 f(

)=_______。

, x∈(1, +∞)的反函数是_______。

11.求下列函数的值域:(1)y=

; (2)y=

;

(3)y=x+2 12. 已知

; (4) y= 定义在 R 上, 对任意 x∈R, f(x)=f(x+2), f(x)是偶函数, 且 又当 x∈[2,3]

时,f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题

1. 已知 a∈

, f(x)定义域是 (0,1], g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 则

2.设 0?a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3. 映射 f: {a, b, c, d}→{1, 3}满足 10<f(a)· 2, f(b)· f(c)· f(d)<20, 这样的映射 f 有_______ 个。 4.设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解 集为 Q,则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=、 、 )。

5.下列函数是否为奇函数:(1)f(x)=(x-1) (x)= ;(4)y= 6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x

;(2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3)

0),对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又 f(x)在

(0,+∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x-

)?0 的解集为_______。

7. 函数 f(x)=

, 其中 P, 为 R 的两个非空子集, M 又规定 f(P)={y|y=f(x), x , f(P) ∩f(M)= 则 ; ②若 P∩M

∈P}, f(M)={y|y=f(x),x∈M}, 给出如下判断: ①若 P∩M= , f(P) ∩f(M) 则

; ③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R; ④若 P∪M

R, f(P) ∪f(M) 则

R. 其中正确的判断是_______。 8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6] 时是二次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)?f(5)=3。求 f(x)的解析式。

10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)= 函数。

,求证:f(x)为周期

11.设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α ,β (α <β ),已知函数 f(x)=

,(1)

求 f(α )、f(β );(2)求证:f(x)在[α ,β ]上是增函数;(3)对任意正数 x1, x2,求证:

<2|α -β |. 五、联赛一试水平训练题 1.奇函数 f(x)存在函数 f-1(x),若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位,然后向右平移 2 个单位后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________.

2.若 a>0,a

1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x)

是________(奇偶性).

3.若

=x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②

F(-x)=

;③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x.

4.设函数 f:R→R 满足 f(0)=1,且对任意 x,y∈R,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则 f(x)=________. 5.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对任意 x∈R 都有 f(x+5)?f(x)+5, f(x+1) ? f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________.

6. 函数 f(x)=

的单调递增区间是________.

7. 函数 f(x)= 8. 函数 y=x+

的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。 的值域为________.

9.设 f(x)= 值。

,

对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a)的最小

10.解方程组:

(在实数范围内)

11.设 k∈N+, f: N+→N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn,

求证:对任意 n∈N+, 都有 六、联赛二试水平训练题

n?f(n)?

1. 求证: 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f, 满足: 对任意 x≠0, f(x)=x· (1) f (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足:(ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意



x>0, f(x)f

=1,试求 f(1).

3. f:[0,1]→R 满足:(1)任意 x∈[0, 1], f(x)?0;(2)f(1)=1;(3)当 x, y, x+y∈[0, 1] 时,f(x)+f(y)?f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1),(2),(3)的函数 f(x)都有 f(x)? cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5.对给定的正数 p,q∈(0, 1),有 p+q>1?p2+q2,试求 f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)=

.

当 x∈

时,试求 f(x)的最大值。

7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)= 值。

,求 f(100)的

8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 证:方程 f(x)=x 恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。

后不变。(1)求

9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:

f(xf(y))=

x, y∈Q+.

高中数学竞赛讲义(四)
──几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a
x

1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值

域为(0,+∞),当 0<a<1 时,y=a 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过 定点(0,1)。

2.分数指数幂: 3.对数函数及其性质:形如 y=logax(a>0, a 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0); 1)ax=M x=logaM(a>0, a 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N;

。 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,

+∞),值域为 R,图象过定点(1,0)。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax

3)loga(

)= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;,

5)loga

=

loga M;6)aloga M=M; 7) loga b=

(a,b,c>0, a, c

1).

5. 函数 y=x+ 和

(a>0)的单调递增区间是 。(请读者自己用定义证明)



,单调递减区间为

6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上 至少有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (柯西不等式)若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数,b1, b2,?,bn∈R,则



)·(

)?(

)2,等号当且仅当存在

R,使 ai=

, i=1, 2, ?, n

时成立。

【证明】 令 f(x)= (

)x2-2(

)x+

=

,

因为

>0,且对任意 x∈R, f(x)?0,

所以△=4(

)-4(

)(

)?0.

展开得(

)(

)?(

)2。 ,使 ai= , i=1, 2, ?, n。

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在

例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u=

的最小值。

【解】u=

=xy+

?xy+

+2·

=xy+

+2.

令 xy=t,则 0<t=xy?

,设 f(t)=t+ ,0<t?

因为 0<c?2,所以 0<

?1,所以 f(t)在

上单调递减。

所以 f(t)min=f(

)=

+

,所以 u?

+

+2.

当 x=y=

时,等号成立. 所以 u 的最小值为

+

+2.

2.指数和对数的运算技巧。

例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

的值。

【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

所以 9 t +12 t =16 t,即 1+

记 x=

,则 1+x=x2,解得



>0,所以

=

例 5 对于正整数 a, b, c(a?b?c)和实数 x, y, z, w, ax=by=cz=70w, 若 且 求证:a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.



所以

lga=

lg70,

lgb=

lg70,

lgc=

lg70,

相加得

(lga+lgb+lgc)=

lg70,由题设



所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a?b?c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

, 因为 ac>0, ac 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数 单调性的应用和未知数范围的讨论。

例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.

【解】 方程可化为

=1。设 f(x)=

, 则 f(x)在

(-∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.

例 8 解方程组:

(其中 x, y∈R+).

【解】 两边取对数,则原方程组可化为 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4.

①②

所以方程组的解为 例 9 已知 a>0, a

. 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 若①、②同时成立,则③必成立,

.①②③

故只需解 由①可得 2kx=a(1+k2), ④

.

当 k=0 时,④无解;当 k

0 时,④的解是 x=

,代入②得

>k.

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。 三、基础训练题 1.命题 p: “(log23)x-(log53)x?(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y?0”的_________条件。 2.如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根,x2 是方程 x+10x=27 的根,则 x1+x2=_________. 3.已知 f(x)是定义在 R 上的增函数,点 A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x) 是它的反函数,则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。

4.若 log2a

<0,则 a 取值范围是_________。

5. 命题 p: 函数 y=log2 6.若 0<b<1, a>0 且 a

在[2, +∞) 上是增函数; 命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件。 1,比较大小:|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________。

9.函数

的单调递增区间是_________。

10.函数 f(x)= ∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。

的值域为_________。

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数, n?2, a∈R.若 f(x)在 x

12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题

=2 有一解,二解,无解?

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是_________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立,则 m 的取值范围是_________.

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是_________.

4. 若 f(x)=ln

,则使 f(a)+f(b)=

_________.

5. 命题 p: 函数 y=log2 6.若 0<b<1, a>0 且 a

在[2, +∞) 上是增函数; 命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)

的值域为 R,则 p 是 q 的_________条件. 1,比较大小:|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7.已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.

8.若 x=

,则与 x 最接近的整数是_________.

9.函数 y=

的单调递增区间是_________.

10.函数 f(x)= x∈(-∞,1]时有意义,求 a 的取值范围。

的值域为_________.

11.设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a],其中 n 为给定正整数,n?2,a∈R。若 f(x) 在

12.当 a 为何值时,方程 四、高考水平训练题

=2 有一解,二解,无解?

1.函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是__________.

2.已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立,则 m 的取值范围是 ________.

3.若 x∈{x|log2x=2-x},则 x2, x, 1 从大到小排列是________.

4.若 f(x)=ln

,则使 f(a)+f(b)=

成立的 a, b 的取值范围是________.

5.已知 an=logn(n+1),设 的值为_________.

,其中 p, q 为整数,且(p ,q)=1,则 p·q

6.已知 x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是________.

8. 函数 f(x)=

的定义域为 R, 若关于 x 的方程 f?2(x)+bf(x)+c=0 有 7

个不同的实数解,则 b, c 应满足的充要条件是________. (1)b<0 且 c>0;(2)b>0 且 c<0;(3)b<0 且 c=0;(4)b?0 且 c=0。

9. 已知 f(x)=

x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t

0), F(x)是________函数 则 (填奇偶性) .

10.已知 f(x)=lg f(a)+f(b)=________.

,若

=1,

=2,其中|a|<1, |b|<1,则

11.设 a∈R,试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。

12.设 f(x)=|lgx|,实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f

,求证:

(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)3<b<4. 13.设 a>0 且 a 1, f(x)=loga(x+ )(x?1),(1)求 f(x)的反函数 f-1(x);(2)若

f-1(n)<

(n∈N+),求 a 的取值范围。

五、联赛一试水平训练题

1.如果 log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0,那么将 x, y, z 从小到 大排列为___________.

2. 设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0, 都有 log 恒成立,则 k 的最大值为___________.

1993+ log

1993+ log

1993> klog

1993

3.实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则

的值为___________.

4. 已知 0<b<1, 00<α <450, 则以下三个数: x=(sinα )logbsina, y=(cosα ) logbsina, z=(sinα ) logbsina 从小到大排列为___________. 5.用[x]表示不超过 x 的最大整数,则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6.设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记 a, b, c 中的最大数为 M,则 M 的最小值为___________.

7.若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=

,则



由小到大排列为___________.

8.不等式

+2>0 的解集为___________.

9.已知 a>1, b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,求 lg(a-1)+lg(b-1).

10.(1)试画出由方程 图象。

所确定的函数 y=f(x)

(2)若函数 y=ax+

与 y=f(x)的图象恰有一个公共点,求 a 的取值范围。 ]+[ ]+?+[ ]=[log2n]+[log3n]+?+[lognn]。

11. 对于任意 n∈N+(n>1), 试证明: [ 六、联赛二试水平训练题

1.设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1,求 u=

的最小值。

2.当 a 为何值时,不等式 log 一个解(a>1 且 a 1)。

·log5(x2+ax+6)+loga3?0 有且只有

3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(xuyv)?[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数 f(x).

4. 求所有函数 f:R→R,使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5.设 m?14 是一个整数,函数 f:N→N 定义如下:

f(n)= 求出所有的 m,使得 f(1995)=1995.

,

6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7.是否存在函数 f(n),将自然数集 N 映为自身,且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1)) 都成立。 8.设 p, q 是任意自然数,求证:存在这样的 f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),

使对 x 轴上的某个长为

的开区间中的每一个数 x, 有

9. , 为实数, 设α β 求所有 f: R+→R, 使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2· f 成立。

高中数学竞赛讲义(五)
──数列 一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,?,n,?. 数列分有穷数列和无穷 数列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,?,an 或 a1, a2, a3,?,an?。其中 a1 叫做 数列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数),则{an}称为等差数 列,d 叫做公差。若三个数 a, b,c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若 公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式:

Sn=

; an-am=(n-m)d, 3) 其中 n, m 为正整数; 若 n+m=p+q, 4)

则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至少有一个不 为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.

定义 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有 公比。

,则{an}称为等比数列,q 叫做

定理 3 等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q 当 q=1 时,Sn=na1;3)如果 a,b, c 成等比数列,即 b2=ac(b 4)若 m+n=p+q,则 aman=apaq。

1 时,Sn=



0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;

定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈ N),都有|an-A|< ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 定义 5 无穷递缩等比数列, 若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1, 则称之为无穷递增等比

数列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为

(由极限的定义可得)。

定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)时 n=k 成 立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1),(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n?n0 成立。 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当 p(n)对一切 n ?k 的自然数 n 都成立时(k?n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题 p(n)对一 切自然数 n?n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2, 设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为 α ,β :(1)若α 则 xn=(c1n+c2) α β ,则 xn=c1an-1+c2β
n-1 n-1

,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =β ,

,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。

二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律, 当然结论未必都是正确的, 但却是人 类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35,?;2) 1,5,19,65,?;3)-1,0,3,8,15,?。 【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n.

例 2 已知数列{an}满足 a1=

,a1+a2+?+an=n2an, n?1,求通项 an.

【解】 因为 a1=

,又 a1+a2=22·a2,

所以 a2=

,a3=

,猜想

(n?1).

证明;1)当 n=1 时,a1=

,猜想正确。2)假设当 n?k 时猜想成立。

当 n=k+1 时,由归纳假设及题设,a1+ a2+?+ak=[(k+1)2-1] ak+1,,

所以

=k(k+2)ak+1,



=k(k+2)ak+1,

所以

=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=

由数学归纳法可得猜想成立,所以

例 3 设 0<a<1,数列{an}满足 a1=1+a, an-1=a+ 【证明】 证明更强的结论:1<an?1+a. 1)当 n=1 时,1<a1=1+a,①式成立;

,求证:对任意 n∈N+,有 an>1.

2)假设 n=k 时,①式成立,即 1<an?1+a,则当 n=k+1 时,有

由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。 2.迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n?3,q ·an+ 【证明】 ·an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2·(-qan)+ ). + + =0,取 c=0 即可. ,公 = 0,求证:存在常数 c,使得

+an(pqn+1+qan)]=q( 若 若 式为 q 的等比数列。 =0,则对任意 n, 0,则{

}是首项为

所以

+

=

·qn.

取 综上,结论成立。 例 5 已知 a1=0, an+1=5an+

·

即可.

,求证:an 都是整数,n∈N+.

【证明】 因为 a1=0, a2=1,所以由题设知当 n?1 时 an+1>an. 又由 an+1=5an+ 移项、平方得 ① 当 n?2 时,把①式中的 n 换成 n-1 得 ② 因为 an-1<an+1,所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ 由韦达定理得 an+1+ an-1=10an(n?2). 再由 a1=0, a2=1 及③式可知,当 n∈N+时,an 都是整数。 3.数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 -1=0 的两个不等根。 ,即

例 6 已知 an=

(n=1, 2, ?),求 S99=a1+a2+?+a99.

【解】 因为 an+a100-n=

+

=



所以 S99=

例 7 求和:

+?+

【解】 一般地,



所以 Sn=

例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1, n+2=an+1+an, Sn 为数列 a

的前 n 项和, 求证: n<2。 S

【证明】 由递推公式可知,数列{an}前几项为 1,1,2,3,5,8,13。

因为





所以





由①-②得



所以



又因为 Sn-2<Sn 且

>0,

所以 所以 Sn<2,得证。 4.特征方程法。

Sn, 所以



例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an. 【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2.

故设 an=(α +β n)·2n-1,其中 所以α =3,β =0, 所以 an=3·2n-1.



例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项 an. 【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1,

所以 an=α ·3n+β ·(-1)n,其中



解得α =

,β



所以 5.构造等差或等比数列。

·3]。

例 11 正数列 a0,a1,?,an,?满足

=2an-1(n?2)且 a0=a1=1,求通项。

【解】 由



=1,



令 bn=

+1,则{bn}是首项为

+1=2,公比为 2 的等比数列,

所以 bn=

+1=2n,所以

=(2n-1)2,

所以 an=

·

?

·

·a0=

注:

C1·C2·?·Cn.

例 12 已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

,n∈N+, 求通项。

【解】 考虑函数 f(x)=

的不动点,由

=x 得 x=

因为 x1=2, xn+1= 又 +2?

,可知{xn}的每项均为正数。 ,所以 xn+1? (n?1)。又

Xn+1-

=

=

,



Xn+1+

=

=

,



由①÷②得







>0,

由③可知对任意 n∈N+,

>0 且

,

所以

是首项为

,公比为 2 的等比数列。

所以

·

,所以



解得

·



注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。 三、基础训练题 1. 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1), 其中 Sn 为{xn}前 n 项和, n?2 时,n=_________. 当 x

2. 数列{xn}满足 x1=

,xn+1=

,则{xn}的通项 xn=_________.

3. 数列{xn}满足 x1=1,xn=

+2n-1(n?2),则{xn}的通项 xn=_________.

4. 等差数列{an}满足 3a8=5a13, a1>0, Sn 为前 n 项之和, 且 则当 Sn 最大时, n=_________. 5. 等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=_________. 6. 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n?2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+?+ xn,则 S100=_________. 7. 数列{an}中,Sn=a1+a2+?+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+?+|a10|=_________.

8. 若 x1=_________.

,并且 x1+x2+?+ xn=8,则

9. 等差数列{an}, n}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn, {b 若

, 则

=_________.

10. 若 n!=n(n-1)?2·1, 则

=_________.

11.若{an}是无穷等比数列,an 为正整数,且满足

a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+log2a5·log2a6=36,求 12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,数列{

的通项。

}是公比为 q 的等比数列,且

b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q 的值;(2)数列{bn}的前 n 项和 Sn。 四、高考水平训练题

1.已知函数 f(x)= N+),则 a2006=_____________.

,若数列{an}满足 a1=

,an+1=f(an)(n∈

2.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n?2),则{an}的通项

an= 3. 若 an=n2+

. , 且{an}是递增数列,则实数 的取值范围是__________.

4. 设正项等比数列{an}的首项 a1= an=_____________.

, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-(210+1)S20+S10=0,则

5. 已知

,则 a 的取值范围是______________.

6.数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N+) ,存在_________个 a1 值,使{an}成等差数列;存 在________个 a1 值,使{an}成等比数列。

7.已知 ____________.

(n ∈N+),则在数列{an}的前 50 项中,最大项与最小项分别是

8.有 4 个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四 个数的和中 16,第二个数与第三个数的和是 12,则这四个数分别为____________. 9. 设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等 比中项,则 an=____________. 10. 在公比大于 1 的等比数列中, 最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数. 11.已知数列{an}中,an 0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是

(n?2)①恒成立。

12.已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn=

(n?2), 当 a1=p, b1=q(p>0, q>0)且

p+q=1 时,(1)求证:an>0,bn>0 且 an+bn=1(n∈N);(2)求证:an+1= 数列 13.是否存在常数 a, b, c,使题设等式

;(3)求

1·22+2·32+?+n·(n+1)2=

(an2+bn+c)

对于一切自然数 n 都成立?证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项和为 972,这样的数 列共有_________个。

2.设数列{xn}满足 x1=1, xn= 3. 设数列{an}满足 a1=3, an>0,且

,则通项 xn=__________. ,则通项 an=__________.

4. 已知数列 a0, a1, a2, ?, an, ?满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且 a0=3,则 =__________. 5. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这 样的数列至多有__________项.

7. 数列{an}满足 a1=2, a2=6, 且

=2,则

________.

8. 数列{an} 称为等差比数列, 当且仅当此数列满足 a0=0, {an+1-qan}构成公比为 q 的等比 数列,q 称为此等差比数列的差比。那么,由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时,项数最多有__________项.

9.设 h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1= 存在大于 0 的整数 n,使得 an=1?

。问:对于怎样的 h,

10.设{ak}k?1 为一非负整数列,且对任意 k?1,满足 ak?a2k+a2k+1,(1)求证:对任 意正整数 n,数列中存在 n 个连续项为 0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非 零项的数列。 11.求证:存在唯一的正整数数列 a1,a2,?,使得

a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)= 六、联赛二试水平训练题 1.设 an 为下述自然数 N 的个数:N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1,3 或 4, 求证:a2n 是完全平方数,这里 n=1, 2,?. 2.设 a1, a2,?, an 表示整数 1,2,?,n 的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质 的排列数目:①a1=1; ②|ai-ai+1|?2, i=1,2,?,n-1。 试问 f(2007)能否被 3 整除? 3.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且

求证:an (n=0,1,2,?)是完全平方数。 4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1<xi (i=0,1,2,?),

(1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个 n?1,使 ?3.999 均成立;

(2)寻求这样的一个数列使不等式 这样的序列最多有多少项?

<4 对任一 n 均成立。

5.设 x1,x2,?,xn 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,?,n)①.试问

6.设 a1=a2=

,且当 n=3,4,5,?时,an=

,

(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

是整数的平方。

7.整数列 u0,u1,u2,u3,?满足 u0=1,且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu,这里 k 是某个固定 的正整数。如果 u2000=2000,求 k 的所有可能的值。

8.求证:存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的 m, k,有|xm-xk|? 9.已知 n 个正整数 a0,a1,?,an 和实数 q,其中 0<q<1,求证:n 个实数 b0,b1,?,bn 和满 足:(1)ak<bk(k=1,2,?,n);

(2)q<

<

(k=1,2,?,n);

(3)b1+b2+?+bn<

(a0+a1+?+an).

高中数学竞赛讲义(六)
──三角函数 一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向, 则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意 的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α

|=

,其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴

重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为

r,则正弦函数 sinα =

,余弦函数 cosα =

,正切函数 tanα =

,余切函数 cotα =

,正割

函数 secα =

,余割函数 cscα =

定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα =

,sinα =

,cosα

=

;商数关系:tanα =

;乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×

sinα =cosα ;平方关系:sin2α +cos2α =1,tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式 (Ⅰ) sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cot α ;(Ⅱ)sin(-α )=-sinα ,cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sin

α , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin

=cos

α , cos

=sinα , tan

=cotα (奇变偶不变,符号看象限)。

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区



上为增函数,在区间

上为减函数,最小正周

期为 2

. 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+

时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k

-

时, y

取最小值-1。对称性:直线 x=k [-1,1]。这里 k∈Z.

+

均为其对称轴,点(k

, 0)均为其对称中心,值域为

定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对

称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点

均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ

时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z.

定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x

kπ+

)在开区间(kπ-

, kπ+

)上

为增函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ 中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式: cos(α β )=cosα cosβ

,0)均为其对称

sinα sinβ ,sin(α

β )=sin

α cosβ

cosα sinβ ; tan(α

β )=

定理 7 和差化积与积化和差公式:

sinα +sinβ =2sin

cos

,sinα -sinβ =2sin

cos

,

cosα +cosβ =2cos

cos

, cosα -cosβ =-2sin

sin

,

sinα cosβ =

[sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ =

[sin(α +β )-sin(α -β )],

cosα cosβ =

[cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =-

[cos(α +β )-cos(α -β )].

定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,

tan2α =

定理 9 半角公式:sin

=

,cos

=

,

tan

=

=

定理 10 万能公式:

,

,

定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2

0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过

点(a, b)的一个角为β ,则 sinβ = asinα +bcosα = sin(α +β ).

,cosβ =

,对任意的角α .

定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有 是角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。

,其中 a, b, c 分别

定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得

y=sin(x+

)的图象 (相位变换) 纵坐标不变, ; 横坐标变为原来的

, 得到 y=sin

(

)

的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换);y=Asin( x+ )( >0)的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,

得到 y=Asinx 的图象 (振幅变换) y=Asin( ; 个单位得到 y=Asin x 的图象。

x+

)(

,

>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移

定义 4 函数 y=sinx

的反函数叫反正弦函数, 记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]),

函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数

y=tanx

的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0,

π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n ∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是

{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa=

;arctana+arccota=

.

定理 16 若 二、方法与例题 1.结合图象解题。

,则 sinx<x<tanx.

例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图),由图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。

【解】 若

,则 cosx?1 且 cosx>-1,所以 cos



所以 sin(cosx) ?0,又 0<sinx?1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx).



,则因为 sinx+cosx=

(sinxcos

+sin

cosx)=

sin(x+

)?

<



所以 0<sinx<

-cosx<



所以 cos(sinx)>cos(

-cosx)=sin(cosx).

综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

例 3 已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β -

)>0,求证:

【证明】 若α +β >

,则 x>0,由α >

-β >0 得 cosα <cos(

-β )=sinβ ,

所以 0<

<1,又 sinα >sin(

-β )=cosβ , 所以 0<

<1,

所以

若α +β <

,则 x<0,由 0<α <

-β <

得 cosα >cos(

-β )=sinβ >0,

所以

>1。又 0<sinα <sin(

-β )=cosβ ,所以

>1,

所以

,得证。

注: 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式, 值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx);其

次,当且仅当 x=kπ+

时,y=0(因为|2cosx|?2<π), sin(2cosπ), 所以 T0=2π。

所以若最小正周期为 T0, T0=mπ, m∈N+, sin(2cos0)=sin2 则 又 4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+

,求函数的最大值与最小值。

【解法一】 令 sinx=

,

则有 y=

因为

,所以



所以

?1,

所以当

,即 x=2kπ-

(k∈Z)时,ymin=0,



,即 x=2kπ+

(k∈Z)时,ymax=2. ,

【解法二】 因为 y=sinx+ =2(因为(a+b)2?2(a2+b2)), 且|sinx|?1? ,所以 0?sinx+ ?2,

所以当

=sinx,即 x=2kπ+

(k∈Z)时, ymax=2,



=-sinx,即 x=2kπ-

(k∈Z)时, ymin=0。

例 6 设 0< <π,求 sin

的最大值。

【解】因为 0< <π,所以

,所以 sin

>0, cos

>0.

所以 sin

(1+cos )=2sin

·cos2

=

?

=

当且仅当 2sin2

=cos2

, 即 tan

=

,

=2arctan

时, sin

(1+cos )取得最大值

。 例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。

【解】 因为 sinA+sinB=2sin

cos

,①

sinC+sin

,



又因为 ③



由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin

?4sin

,

所以 sinA+sinB+sinC?3sin

=

,

当 A=B=C=

时,(sinA+sinB+sinC)max=

.

注:三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。

例8 求

的值域。

【解】 设 t=sinx+cosx=

因为 所以 又因为 t2=1+2sinxcosx,

所以 sinxcosx=

,所以



所以

因为 t

-1,所以

,所以 y

-1.

所以函数值域为

例 9 已知 a0=1, an=

(n∈N+),求证:an>

.

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈

,则

an=

因为

,an∈

,所以 an=

,所以 an=

又因为 a0=tana1=1,所以 a0=

,所以

·



又因为当 0<x<

时,tanx>x,所以

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当 x∈ 证明是很容易的。

时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,

6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( 由 y=sinx 的图象向左平移

x+

)(A,

,

>0).

个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,

然后再保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的

, 得到 y=Asin(

x+

)的图象; 也可以由 y=sinx

的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来



,最后向左平移

个单位,得到 y=Asin(

x+

)的图象。

例 10 例 10 已知 f(x)=sin(

x+

)(

>0, 0?

?π)是 R 上的偶函数,其图象关于点

对称,且在区间

上是单调函数,求 +



的值。 x+ ), 所以 cos sinx=0,

【解】 f(x)是偶函数, 由 所以 f(-x)=f(x), 所以 sin( 对任意 x∈R 成立。

)=sin(-

又 0?

?π,解得

=



因为 f(x)图象关于

对称,所以

=0。

取 x=0,得

=0,所以 sin

所以

(k∈Z),即

=

(2k+1) (k∈Z).



>0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=1 时,

=2,此时 f(x)=sin(2x+

)在[0,

]上是减函数;

取 k=2 时,



,此时 f(x)=sin(

x+

)在[0,

]上不是单调函数,

综上,

=

或 2。

7.三角公式的应用。

例 11 已知 sin(α-β)= sin2α,cos2β 的值。

,sin(α+β)=-

,且 α-β∈

,α+β∈

,求

【解】 因为 α-β∈

,所以 cos(α-β)=-

又因为 α+β∈

,所以 cos(α+β)=

所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

,

例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

,试



的值。

【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

=cos(600-C),

又由于

=



所以

=0。

解得







>0,所以



例 13 求证:tan20 +4cos70 .

【解】 tan20 +4cos70 =

+4sin20

三、基础训练题 1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度数为___________。

2.适合 3.给出下列命题:(1)若 α

-2cscx 的角的集合为___________。 β,则 sinα sinβ;(2)若 sinα sinβ,则 α β;(3)

若 sinα>0,则 α 为第一或第二象限角;(4)若 α 为第一或第二象限角,则 sinα>0. 上述四 个命题中,正确的命题有__________个。

4.已知 sinx+cosx=

(x∈(0, π)),则 cotx=___________。

5.简谐振动 x1=Asin x=___________。 6.已知 3sinx-4cosx=5sin(x+
4 分别是第________象限角。

和 x2=Bsin

叠加后得到的合振动是

1)=5sin(x-

2)=5cos(x+

3)=5cos(x-

4),则

1,

2,

3,

7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。

8.已知

,则

=___________。

9.

=___________。

10.cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

11.已知 α,β∈(0, π), tan

, sin(α+β)=

,求 cosβ 的值。

12.已知函数 f(x)= 四、高考水平训练题

在区间

上单调递减,试求实数 m 的取值范围。

1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0),当扇形面积最大 时,a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

3. 函数

的值域为__________.

4. 方程

=0 的实根个数为__________.

5. 若 sina+cosa=tana, a

,则

__________a(填大小关系).

6. (1+tan1 )(1+tan2 )?(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.

7. 若 0<y?x<

且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________.

8.

=__________.

9.

·cos

·cos

·cos

·cos

=__________.

10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

13. 已知 f(x)=

(kA

0, k∈Z, 且 A∈R),(1)试求 f(x)的最大值和最小值;

(2)若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间;(3)试求最小正整数 k,使得当 x 在任意两个整数 (包括整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________.

2.已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 实数 k 的取值范围是____________.

的一个最大值点与一个最小值点,则

3.f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两实根 α,β,则 α+β=____________.

5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

6.设 sina>0>cosa, 且 sin

>cos

,则

的取值范围是____________.

7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9.若 0< <

, m∈N+, 比较大小:(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .

10.cot70 +4cos70 =____________.

11. 在方程组

中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。

12.已知 α,β,γ

,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求 tanαtanβtanγ 的最小值。

13.关于 x, y 的方程组 等,求 sinα+sinβ+sinγ 的值。

有唯一一组解,且 sinα, sinβ, sinγ 互不相

14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y 联赛一试水平训练题(二)

.

1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的 图象与函数 g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2.若 __________.

,则 y=tan

-tan

+cos

的最大值是

3. 在△ABC 中, BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0, 记 则

=__________.

4.设 f(x)=x2-πx, α=arcsin

, β=arctan

, γ=arccos

, δ=arccot

,将

f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为 __________. 6.在锐角△ABC 中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα,则 tanα·tanβ·tanγ=__________.

7.已知矩形的两边长分别为 tan R, f(x)=sin ·x2+

和 1+cos (0< <π),且对任何 x∈

·x+cos ?0,则此矩形面积的取值范围是__________.

8.在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0 恒成立,则 的取值范围是 __________. 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.

11. 已知 a1, a2, ?,an 是 n 个实常数, 考虑关于 x 的函数: f(x)=cos(a1+x)+

cos(a2+x) +?

+

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ.

12.在△ABC 中,已知

,求证:此三角形中有一个内角为



13.求证:对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+?+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

.

六、联赛二试水平训练题 1.已知 x>0, y>0, 且 x+y<π,求证:w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①(w∈R).

2. 已知 a 为锐角,n?2, n∈N+,求证:

?2n-2

+1.

3. 设 x1, x2,?, xn,?, y1, y2,?, yn,?满足 x1=y1= 求证:2<xnyn<3(n?2).

, xn+1=xn+

, yn+1=



4.已知 α,β,γ 为锐角,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证;

π<α+β+γ<π.

5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意

,恒有(x+3+2sin

cos )2+(x+asin +asin )2?

6. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证:对一切 x 3|sinnx-cosnx|.

都有 2|sinnx-cosnx|?

7.在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。

8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, ?, cos2na, ?中的每一项均为负数。

9.已知
1,

i

,tan
n 都有

1tan

2?tan

n=2

, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
n?λ,求

2,?,

cos

1+cos

2+?+cos

λ 的最小值。

高中数学竞赛讲义(七)
──解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各

边长,

为半周长。

1.正弦定理:

=2R(R 为△ABC 外接圆半径)。

推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= 推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a.

推论 3:在△ABC 中,A+B= ,解 a 满足

,则 a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由

正弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ABC=

;再证推论 2,因为 B+C=

-A,所以 sin(B+C)=sinA,即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;

再证推论 3,由正弦定理

,所以

,即 sinasin( -A)=sin(

-a)sinA, 等价于

[cos( -A+a)-cos( -A-a)]=

[cos( -a+A)-cos( -a-A)], 等价于 cos( . 所以只有 -A+a= -a+A, 所以 a=A, 得证。

-A+a)=cos( -a+A), 因为 0< -A+a, -a+A<

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA 常用的结论。

,下面用余弦定理证明几个

(1)斯特瓦特定理:在△ABC 中,D 是 BC 边上任意一点,BD=p,DC=q,则

AD2=

(1)

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos 因为 ADB+ ADC= , ADC=0, , ① ②



所以 cos

ADB+cos

所以 q×①+p×②得

qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =

2

2

2

2

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式

( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为

b c sin A=

2 2

2

b c (1-cos A)=

2 2

2

bc

2 2

[(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c).

2

2

2

这里 所以 S△ABC= 二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 , 另外 OP, OQ, 的长分别为 u, w, v, OR 这里 α, α+β∈(0, β, 则 P,Q,R 的共线的充要条件是 ),

【证明】P,Q,R 共线

(α+β)=

uwsinα+

vwsinβ

,得证。 2.正弦定理的应用。

例 2 如图所示,△ABC 内有一点 P,使得 ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD BC,PE AC,PF

BPC-

BAC=

CPA-

CBA=

APB-

AB,垂足分别为 D,E,F,则 P,D, EDF=
0

C,E;P,E,A,F;P,D,B,F 三组四点共圆,所以 PBA= BPC0

PDE+

PDF= BAC+

PCA+ CBA+

BAC。由题设及 BAC= CPA-

BPC+ CBA=

CPA+ APB-

APB=360 可得 ACB=600。 BAC=BPsin

ACB=180 。 所以 所以 BPCEDF=600,同理 DEF=600,所以△DEF 是正三角形。 ACB=APsin ABC,两边同时

所以 DE=EF=DF,由正弦定理,CDsin

乘以△ABC 的外接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例 3 如图所示, △ABC 的各边分别与两圆⊙O1, 2 相切, ⊙O 直线 GF 与 DE 交于 P, 求证: PA BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M,

因为 O1G

BC,O2D

BC,所以只需证

由正弦定理



所以

另一方面,



所以



所以 即 PA

,所以 PA//O1G, BC,得证。

3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z, 则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。

例 5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求

的最大值。

【解】 由题设

,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤



当且仅当 α+β=

,sinγ=

,即 a=

时,Pmax=

例 6 在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc<

【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β

.

因为 a, b, c 为三边长,所以 c<

, c>|a-b|,

从而

,所以 sin2β>|cos2α·cos2β|.

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β

=

[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]

=

+

cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)

>

+

cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=

.

所以 a2+b2+c2+4abc< 三、基础训练题

1.在△ABC 中,边 AB 为最长边,且 sinAsinB= __________. 2.在△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则

,则 cosAcosB 的最大值为

的取值范围是__________. tanCtanB,则△ABC 的面积为

3.在△ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+ __________. 4.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1,则

=__________.

5.在△ABC 中,“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围是__________.

7.在△ABC 中,sinA=

,cosB=

,则 cosC=__________.

8.在△ABC 中,“三边 a, b, c 成等差数列”是“tan 件. 9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是__________.

”的__________条

10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三角形. 11.三角形有一个角是 600,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆的面积是 12 这个三角形的面积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 AC,BC 相交于 M, N 两点。求证:△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。 ,求

13.已知△ABC 中,sinC= 四、高考水平训练题

,试判断其形状。

1.在△ABC 中,若 tanA=

, tanB=

,且最长边长为 1,则最短边长为__________.

2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有________个. 3.已知 p, q∈R+, p+q=1,比较大小:psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,则△ABC 为__________角三 角形.

5.若 A 为△ABC 的内角,比较大小:

__________3.

6.若△ABC 满足 acosA=bcosB,则△ABC 的形状为__________. 7.满足 A=600,a= , b=4 的三角形有__________个.

8.设 为三角形最小内角,且 acos2 __________.

+sin2

-cos2

-asin2

=a+1,则 a 的取值范围是

9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向,正西方向,西偏北 30 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的最近距离。 10.求方程 的实数解。
0

11.求证: 五、联赛一试水平训练题 1.在△ABC 中,b2=ac,则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

2.在△ABC 中,若

,则△ABC 的形状为____________.

3.对任意的△ABC, ____________.

-(cotA+cotB+cotC),则 T 的最大值为

4.在△ABC 中,

的最大值为____________. ,C,D 为动点,且

5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|=

|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S2+T2 的取值范围是____________. 6.在△ABC 中,AC=BC, ABO=300,则 ACO=____________. ,O 为△ABC 的一点, ,

7.在△ABC 中,A≥B≥C≥ 最小值为__________.

,则乘积

的最大值为____________,

8. 在△ABC 中, c-a 等于 AC 边上的高 h, 若 则 9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧

=____________. ,AC 中点,P 为 BC 上的动点,PM

交 AB 于 Q,PN 交 AC 于 R,△ABC 的内心为 I,求证:Q,I,R 三点共线。

10 . 如 图 所 示 , P , Q , R 分 别 是 △ ABC 的 边 BC , CA , AB 上 一 点 , 且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证:AB+BC+CA≤2(PQ+QR+RP)。 11.在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB,使 BF=FC,CD=DA, AE=EB, ADC=2 BAC, AEB=2 ABC, BFC=2 ACB,并且 AF,BD,CE 交 于一点,试判断△ABC 的形状。 六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与两腰 AB 和 AC 分别 相切于点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F

作 AC 的垂线,两垂线相交于 P,作 PQ B。

BC,Q 为垂足。求证:

,此处 =

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点,点 H1, H2(不重合)分别是△AOB 与△COD 的垂心,求证:H1H2 MN。

3.已知△ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等,求证:

,此处

(a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 ABC= AED=900, BAC= EAD,BD 与 CE 交

4.已知凸五边形 ABCDE,其中 于点 O,求证:AO BE。

5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G 作 EF 与上、下底平 行,点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上,求证: AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS)。 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 a2+b2+c2+d2=8R2, 试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 BC 延长后交于点 P, A, B, C 指 的 都 是 △ ABC 的 内 角 , 求 证 : 若 AC 与 BD 交 于 点 Q , 则 AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。 PAQ= QAR= RAS,求证: 6.AP,AQ,AR,AS 是同一个圆中的四条弦,已知

9.设 P 是△ABC 内一点,点 P 至 BC,CA,AB 的垂线分别为 PD,PE,PF(D,E, F 是垂足),求证:PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。

高中数学竞赛讲义(八)
──平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。

定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0,使得 a= f

定理 3 平面向量的基本定理, 若平面内的向量 a, b 不共线, 则对同一平面内任意向是 c, 存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作 为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积, 若非零向量 a, b 的夹角为 , a, b 的数量积记作 a· 则 b=|a|· |b|cos =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值)。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c,

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

(a, b

0),

定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实数 λ,使



λ叫P分

所成的比,若 O 为平面内任意一点,则

。由此可得若

P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平移 |a|= 个单位得到图形 , 这一过程叫做平移。 p(x, y)是 F 上任意一点, 设 平移到

上对应的点为

,则

称为平移公式。

定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2· 2-|a· 2= |b| b| |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, 又|a· b|≥0,

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn), 同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| , 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 :

(x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn),同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| , 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 : (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。 2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证:

【证明】 记 后与原正 n 边形重合,所以

, 若 不变,这不可能,所以

, 则将正 n 边形绕中心 O 旋转

例 2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是 【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD, 则 又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG 所以 充分性。 若 因为 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在凸四边形 ABCD 中,P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点,求证: AB +BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。 因为 ,
2

PC,所以

, 延长 AG 交 BC 于 D, GP=AG, 使 连结 CP, 则 ,则 ,所以 GB CP,所以 AG 平分 BC。

所以 = = 又因为 同理 , ② , ③ 由①,②,③可得 。得证。 2.证利用定理 2 证明共线。 例 4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1: 2。 · ①

【证明】 首先

=

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE 又 AH 又 EA 所以 所以 所以 所以 与 , 共线,所以 O,G,H 共线。 , BC,所以 AH//CE。 AB,CH AB,所以 AHCE 为平行四边形。

所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。

例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a 【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2

b. a·b=0 a b.

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2

例 6 已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE CD。 【证明】 设 ,









所以

a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE 4.向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 点 F,求证:AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方 形边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1),设 E 点的坐标为(x, y),则 y-1), 又因为 ,因为 ,所以-x-(y-1)=0. =(x, CD。

,所以 x2+y2=2.

由①,②解得

所以

设 所以 所以

,则 ,即 F =4+

。由

和 ,

共线得

,所以 AF=AE。

三、基础训练题 1 . 以 下 命 题 中 正 确 的 是 __________. ① a=b 的 充 要 条 件 是 |a|=|b| , 且 a//b ; ② (a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b 不共线,则 xa+yb=ma+nb 的充要 条件是 x=m, y=n;⑤若 在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2.已知正六边形 ABCDEF,在下列表达式中:① ③ ;④ 与 ,相等的有__________. ;② ; ,且 a, b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1)

3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. 4. s, t 为非零实数, b 为单位向量, 设 a, 若|sa+tb|=|ta-sb|, a 和 b 的夹角为__________. 则 5. 已知 a, b 不共线, 条件. 6.在△ABC 中,M 是 AC 中点,N 是 AB 的三等分点,且 于 D,若 7.已知 __________. 8. 已知 =b, a· b=|a-b|=2, 当△AOB 面积最大时, 与 b 的夹角为__________. a , ,则 λ=__________. 不共线,点 C 分 所成的比为 2, ,则 ,BM 与 CN 交 =a+kb, =la+b, “kl-1=0” “M, P 共线” 则 是 N, 的__________

9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象,c=(1, -1), 若 c·b=4,则 b 的坐标为__________.

10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

得到向量 b,则 b 的坐标为__________. 与

11. Rt△BAC 中, 在 已知 BC=a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 试问 的夹角 取何值时 的值最大?并求出这个最大值。

12. 在四边形 ABCD 中, 试判断四边形 ABCD 的形状。 四、高考水平训练题

, 如果 a· b=b· c=c· d=d· a,

1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点,动点 P 满足

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2.在△ABC 中, 3.非零向量 =__________. 4.若 O 为△ABC 的内心,且 为__________. 5.设 O 点在△ABC 内部,且 __________. 6.P 是△ABC 所在平面上一点,若 __________心. 7.已知 围是__________. 8.已知 a=(2, 1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是__________. 9.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 值为__________. 10. 已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}, 集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M N=__________. 11.设 G 为△ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q,已知 ,△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T, 的最小 ,则| |的取值范 ,则 P 是△ABC 的 ,则△AOB 与△AOC 的面积比为 ,则△ABC 的形状 ,且 a·b<0,则△ABC 的形状是__________. ,若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1 ,则

(1)求 y=f(x)的解析式及定义域;(2)求

的取值范围。

12.已知两点 M(-1,0),N(1,0),有一点 P 使得 成公差小于零的等差数列。

(1)试问点 P 的轨迹是什么?(2)若点 P 坐标为(x0, y0), tan .





的夹角,求

五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0),(0,2),当实数 p, q

满足

时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上,且

,则直线

CD 恒过一个定点,这个定点的坐标为___________. 2.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点, 则 =___________(用 a, b, c, x, y, z 表示).

3.已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量,且两两的夹角均为 1200,若|ka+b+c|>1(k ∈R),则 k 的取值范围是___________. 4.平面内四点 A,B,C,D 满足 的取值有___________个. 5.已知 A1A2A3A4A5 是半径为 r 的⊙O 内接正五边形,P 为⊙O 上任意一点,则 取值的集合是___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 sinA· +sinC· ,则点 O 为△ABC 的___________心. (a-b)”的___________条件. ,又(c·b):(b·a):(a·c)=1:2:3,则△ +sinB· ,则

7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) 8.在△ABC 中, ABC 三边长之比|a|:|b|:|c|=____________. 9. 已知 P 为△ABC 内一点, 且

, 交 AB 于 D, CP 求证:

10.已知△ABC 的垂心为 H,△HBC,△HCA,△HAB 的外心分别为 O1,O2,O3, 令 心。 11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量,已知从 V 到 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; (3)设 u=(1, 0); ,若 ,求 a. ,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H 为△O1O2O3 的外

六、联赛二试水平训练题 1.已知 A,B 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX 上两点,Q 和 S 为

射线 BY 上的两点,

为定比,M,N,T 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点,

为另一定比,试问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 分别内分 AC,CE, 使得 AM:AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的点 M,点 P,Q,R, S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的射影,求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间,F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点,求比值 EH:HG。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之 和垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内,考虑所有的 同的自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交 于点 M,FD 和 AC 交于点 N,求证:(1)OB DF,OC DE,(2)OH MN。 AiOAj,这里的 i, j 为 1 至 n 中不

8.平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2,字母排列顺序一致,过平面上一点 O 作 ,求证△ABC 为正三角形。 9.在平面上给出和为 的向量 a, b, c, d,任何两个不共线,求证:

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学竞赛讲义(九)
──不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b (3)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; ac>bc; ac>bd; ; a+c>b+c; (4)a>b, c>0

(5)a>b, c<0

ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0

(7)a>b>0, n∈N+ (9)a>0, |x|<a

an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ x>a 或 x<-a;

-a<x<a, |x|>a

(10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2 a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。

(6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6),可得 性质(7);再证性质(8),用反证法,若 即 a≤b, a>b 矛盾, 与 所以假设不成立, 所以 ,由性质(7)得 ,

; 由绝对值的意义知 (9) 成立; -|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b| , 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| , 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ; 下 面 再 证 ( 10 ) 的 左 边 , 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因 为 x+y-2 不等式,令 ≥0,所以 x+y≥ ,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一

, 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0, 所以 a3+b3+c3≥3abc, x+y+z≥ 即 时成立。 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 , 等号当且仅当 x=y=z

(1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 1 比较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, c ∈ R+ , 试 证 : 对 任 意 实 数

(A,B>0)与

x,

y,

z, 有

x2+y2+z2

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边,不等式成立。 例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

【 解 】

因 为

1-x

1 , 所 以

loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 0<1-x<1). 所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.

>log(1-x)(1-x)=1(因为 0<1-x2<1,所以

>1-x>0,

(2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止, 叙述方式为:要证??,只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 【证明】 要证 a+b+c 因为 ≥a+b ≥a+b 只需证 , ,所以原不等式成立。

例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤

,求证:

【证明】 因为 0<a≤b≤c≤

,由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c),

所以



所以



所以只需证明



也就是证



只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成立。 (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. 【证明】 1)当 n=3 时,因为 34=81>64=43,所以命题成立。

2)设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k,当 n=k+1 时,只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1,即

>1. 因



,所以只需证 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。

,即证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 ,只需证

(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。

例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0,且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0,求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数,不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一个 出现的正数, a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0, 则 依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。

例 7 已知 x, y, z∈R+,求证: 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

ⅰ)x≥y≥z,则

,x2≥y2≥z2,由排序原理可得

,原不等式成立。

ⅱ)x≥z≥y,则

,x2≥z2≥y2,由排序原理可得

,原不等式成立。

(6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).

例 8 求证:

【证明】

,得证。

例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证:

【证明】

(因为 a+b>c),得证。 (7)引入参变量法。

例 10 已知 x, y∈R+, l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)=

的最小值。

【解】 设

,则

,f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)=

,等号当且仅当

时成立。所以 f(x, y)min=

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

【证明】

设 x1=k(x2+x3+x4) , 依 题 设 有

≤k≤1, x3x4≥4 , 原 不 等 式 等 价 于

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即

(x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+



上递减,

所以

(x2+x3+x4)=

(x2+x3+x4)



·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 (8)局部不等式。

例 12 已知 x, y, z∈R+,且 x2+y2+z2=1,求证:

【证明】 先证

因为 x(1-x2)=

,

所以

同理





所以

例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证:

≤2。

【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1,所以①式成立。



同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。

例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1, f(a, b, c)= 求 值。

的最小

【解】 当 a, b, c 中有一个为 0,另两个为 1 时,f(a, b, c)=

,以下证明 f(a, b, c) ≥

.不

妨设 a≥b≥c,则 0≤c≤

, f(a, b, c)=

因为 1=(a+b)c+ab≤

+(a+b)c, -c).

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2(

考虑函数 g(t)=

, g(t)在[

)上单调递增。

又因为 0≤c≤

,所以 3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以 2



所以 f(a, b, c)=



=

=



下证

0 ①

c2+6c+9≥9c2+9

≥0

因为

,所以①式成立。

所以 f(a, b, c) ≥

,所以 f(a, b, c)min=

2.几个常用的不等式。

(1)柯西不等式:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 等号当且仅当存在 λ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式 2:设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n),则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.

(2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈R+,记 Hn=

, Gn=

,

An= ≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an.

, Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均 则

【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 排列 ,有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ ≤a1b1+a2b2+?+anbn. 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1.

【 证 明 】 引 理 : 记 A0=0 , Ak=

,则

=

(阿贝尔求和法)。 证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 记 sk= ≥b1+b2+?+bk.

-( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。





-(a1b1+a2b2+

?

+anbn)=

+snan≤0.

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二:(调整法)考察 若 因为 ≥0, 所 调整后,和是不减的,接下来若 得左边不等式。 ,则继续同样的调整。至多经 n-1 次调整 (j≤n-1),则将 与 互换。 ,若 ,则存在。

就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理可

例 15 已知 a1, a2,?,an∈R+,求证;

a1+a2+?+an.

【 证 明 】 证 法 一 : 因 为

, ? ,

≥2an.

上述不等式相加即得

≥a1+a2+?+an.

证法二:由柯西不等式

(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2,

因为 a1+a2+?+an >0,所以 证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为

≥a1+a2+?+an. ,则 ,

,由排序原理可得

=a1+a2+?+an≥

,得证。

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题

1.已知 0<x<1,a, b∈R+,则

的最小值是____________.

2.已知 x∈R+,则

的最小值是____________.

3.已知 a, b, c∈R,且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M,最小值为 N,则 MN=___________.

4. 若不等式 5.若不等式

对所有实数 x 成立, a 的取值范围是____________. 则 x+a 的解是 x>m,则 m 的最小值是____________.

6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7.若 a, b∈R+,则 a+b=1,以下结论成立是__________.① a4+b4≥

;②

≤a3+b3<1;



;④

;⑤

;⑥

8.已知 0< <

,若

,则 =____________.

9.已知 +(xn-a)2, 若

,p=(x1-

)2+(x2-

)2+?+(xn-

)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+?

,则比较大小:p___________q. b, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n.

10.已知 a>0, b>0 且 a

11.已知 n∈N+,求证:

12.已知 0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13.已知 x∈R,

,求证:

四、高考水平训练题 1.已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R),设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2,则下列结论成立的有]__________.(1)m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q;(3)m+p≥n+q; (4)m+q≥n+p. 2.已知 a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比 较大小:M________N.

3.若 ________.

R+ ,且



,将

从小到大排列为

4.已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则

的取值范围是________.

5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为________. 6.设函数 f(x)= (x∈[-4,2]),则 f(x)的值域是________.

7 . 对 x1>x2>0, 1>a>0 , 记 x1x2________y1y2.

,比较大小:

8.已知函数

的值域是

,则实数 a 的值为________.

9.设 a≤b<c 是直角△ABC 的三边长,若不等式 最大值为________.

恒成立,则 M

10. 实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 则 的取值范围是________. 11.已知 a, b, c∈R+ 且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子中至少有两个成立:

12.已知 a, b∈R+且

,求证:对一切 n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.

13.已知 a, b, c ∈R+,求证:

14.设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数,求

的最大值。

五、联赛一试水平训练题 1.已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈R,a1c1小:P_______Q. 2.已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3.二次函数 f(x)=x2+ax+b,记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则 M 的最小值为__________. 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d). =a2c2 >0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大

5.已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且 n>1).

,则 x1x2?xn 的最小值为__________(这里

6.已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为__________.

7.已知 0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n),记 a2n+1=a1, a2n+2=a2,则 __________.

的最大值为

8.已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则

的最大值为__________.

9.已知

≤x≤5,求证:

10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证:

11.已知 ai>0(i=1, 2, ?, n),且

=1。又 0<λ1≤λ2≤?≤λn,求证:

≤ 六、联赛二试水平训练题

1.设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1,求证: 2.设整数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+? +xn>y1+y2+?+ym,求证:x1x2xn>y1y2?ym. 3.设 f(x)=x2+a,记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?),M={a∈R|对所有正整数 n,

|fn(0)| ≤2},求证:



4. 给定正数 λ 和正整数 n(n≥2), 求最小的正数 M (λ) 使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn , ,

有 M(λ)

5.已知 x, y, z∈R+,求证:(xy+yz+zx) 6.已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c), 并求出等号成立的条件。

高中数学竞赛讲义(十)
──直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是 通过映射建立曲线与方程的关系, 即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间 存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原 点为圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合; (3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方程 的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做 它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫 做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0=k(x-x0); (3)

斜截式:y=kx+b;(4)截距式:

;(5)两点式:

;(6)

法线式方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离);(7)

参数式: 则取负)。

(其中θ 为该直线倾斜角),t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到

动点 P(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。 l

若记到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =

,tanα =

.

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条 件是 k1=k2;l1 l2 的充要条件是 k1k2=-1。 。

7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|=

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式:



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则 过 l1, l2 交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0; l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 由 (A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤:(1)确定各变量,并以 x 和 y 表示;(2) 写出线性约束条件和线性目标函数;(3)画出满足约束条件的可行域;(4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其参 ).

10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则

数方程为

(θ 为参数)。

13.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为

,半径为

。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为

① 14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分),这条直线叫 两圆的根轴。给定如下三个不同的圆:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。 不难证明这三条直线交于一点或者互相平行, 这就是著名的蒙 日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证: ∠ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C

坐标分别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0)。直线 BD 方程为 直线 BC 方程为 x+y=2a,

, ① AE,

②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2, k1=-2。 则 因为 BD

所以 k1k2=-1.所以

,所以直线 AE 方程为

,由

解得点 E 坐标为



所以直线 DE 斜率为
0

因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两 条边截圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系见 图 10-2,设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交 点分别为 E,F,设半径为 r,则直线 AB,AC 的方程分别为 方程为(x-m) +y =r .①设点 E, 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), F 则 分别代入①并消去 y 得
2 2 2 0

,

.设⊙D 的 ,

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。

由韦达定理 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.

,所以

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q, R 不可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐

标分别为

且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ , 它是直线 QR 到 PQ 的角,

由假设知直线 QR,PQ 的斜率分别为



由到角公式 所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 [解] 因为 的最大值。 表示动点 P(x, x2)到两

定点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取最大值|AB|= 4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC, 求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3

的 交 点 。 设 l1, l2 斜 率 分 别 为 k1, k2, 若 m

0 , 则 k1?k2=

, SΔ

ABC=

, 由 点 到 直 线 距 离 公 式 |AC|=



|BC|=



所以 SΔ ABC=

。因为 2m?m2+1,所以 SΔ ABC?

。又因

为-m -1?2m,所以

2

,所以 SΔ ABC?

当 m=1 时,(SΔ ABC)max= 5.线性规划。

;当 m=-1 时,(SΔ ABC)min=

.

例 6 设 x, y 满足不等式组 (1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

[解] (1)由已知得



解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5; CD:y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶 点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7),于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a?2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。

[解] 设直线 OP 的参数方程为 代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0.

(t 参数)。

所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动 点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16, 连结 OT1, 2。 OT 因为 OT2
2 2 2 2

MT2, 1H T

MT2, 所以 OT2//HT1,

同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM T1T2,OT1 MT1,所以 ON?OM。设点 H 坐标为(x,y)。

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为

,将坐标代入

=ON?OM,再由



在 AB 上取点 K,使 AK=

AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。

例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角 是α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。

[证明] 过 D 作 OD

AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为

,因为 OD

AB,所以

2?

,

所以

。所以

例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、 最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标 分别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称 即可),从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ), 所以|OD|=

=

因为

,所以



时,|OD|max=

+1;当

时,|OD|min=

例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上, 并求这一系列圆的公切线的方程。

[证明] 由

消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公

切线方程为 y=kx+b,则由相切有 2|m|= (-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立

,对一切 m≠0 成立。即

所以



当 k 不 存 在 时 直 线 为 x=1 。 所 以 公 切 线 方 程

y=

和 x=1. 三、基础训练题 1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的倾

斜角的取值范围是__________.

2.已知θ ∈[0,π ],则

的取值范围是__________.

3. 三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形, 当点 P(x, y)在此三角形边上 或内部运动时,2x+y 的取值范围是__________. 4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________. 5.若λ ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ )y-2(3+2λ )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d,比较大小: d__________ .

6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,则此圆的 方程为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C: x +y -4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在的方程为__________. 8.D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件. 9.方程|x|-1= 表示的曲线是__________.
2 2

10.已知点 M 到点 A(1,0),B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好 有一个,则 a 可能值的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2-2x?0 和 2x+y?2,试求 S 的最大值和最小 值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心在原点 O,则点 B 的坐标为__________. 2.把直线 绕点(-1,2)旋转 30 得到的直线方程为__________.
0

3.M 是直线 l: 在线段 AB 上满足
2 2

上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则 的点 P 的轨迹方程为__________.
2 2

4.以相交两圆 C1:x +y +4x+y+1=0 及 C2:x +y +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程 为__________. 5 . 已 知 M={(x,y)|y= N ,a>0},N={(x,y)|(x-1) +(y2

) =a ,a>0}.M

2

2

,a 的最大值与最小值的和是__________. 6.圆 x +y +x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,O 为原点,OP
2 2

OQ,则

m=__________. 7.已知对于圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y),使 x+y+m?0 恒成立,m 范围是 __________. 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x -2ax+y +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切,则直线 l 的方程为__________. 9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c, lgsinA,lgsinB, lgsinC 若 成等差数列,那么直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是__________. 10. A={(x,y)|0?x?2,0?y?2},B={(x,y)|x?10,y?2,y?x-4}是坐标平面 xOy 上 设
2 2 2 2 2 2

的 点 集 , C= __________.

所围成图形的面积是

11.求圆 C1:x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2:x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R+,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13. 已知圆 C: 2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A, B 是动点, x 点 且∠OBA=900, OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0)的 所有直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0,则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3.若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________. 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= 有交点,则 k 的取值范围是__________.

6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________.

7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y?3x, y? __________.

x, x+y?100 的整点个数是

8.平面上的整点到直线
2

的距离中的最小值是__________.

9.y=lg(10-mx )的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________.

10 . 已 知 f(x)=x -6x+5 , 满 足 __________.

2

的 点 (x,y) 构 成 图 形 的 面 积 为

11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以 一定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。 (1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变; (2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍? 12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x +y =9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两 边始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x +y +2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上, 且满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x -xy+y 的最大值、最小值。 2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a),矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d),其中 a<d<c<b,求证: 矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd) +(ad-bc) ?(a -b ) . 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1, B1,C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合, 使得:(1)每个整点都在此集合的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上,有且只有一个 整点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,?,ln,?的直线族,它满足 条件:(1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,?;(2)kn+1?an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1,2,3,?;(3)knkn+1?0, n=1,2,3,?.并证明你的结 论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交,l1 交圆于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

高中数学竞赛讲义(十一)
──圆锥曲线 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之 间的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).

第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1) 的点的轨迹(其中定点不在定直线上),即

(0<e<1). 第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原 点出发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两 条线的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由 定义可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为

(a>b>0),

参数方程为

( 为参数)。

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

(a>b>0)。 3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

, a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标 分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为

, 与右焦点对应的准线为 知 0<e<1.

; 定义中的比 e 称为离心率, 且

, c2+b2=a2 由

椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。

4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆

1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。

若 P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

; 2)斜率为 k 的切线方程为 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为 ;

。 6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为



参数方程为



为参数)。

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

。 8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

(a, b>0), a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦

点为 F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为

离心率

,由

a2+b2=c2 知 e>1。两条渐近线方程为

,双曲线



有相

同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。

9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线

,F1(-c,0), F2(c, 0)

是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a; 若 P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.

2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是



10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F

坐标为

,准线方程为

,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1.

11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点,

1)焦半径|PF|=



2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0);

3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为



12. 极坐标系, 在平面内取一个定点为极点记为 O, O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴, 从 这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯 一确定点 P 的位置,(ρ ,θ )称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P,若 0<e<1,则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨

迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。



例 1 已知定点 A(2,1),F 是椭圆 3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。

的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当

[解] 见图 11-1,由题设 a=5, b=4, c=

=3,

.椭圆左准线的方程为

,又因为

,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0),过 P 作

PQ 垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知

,则

|PF|=|PQ|。

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

|PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM

左准线于 M)。

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时, 3|PA|+5|PF|取最小值, y=1 代入椭圆方程得 把

,又 x<0,所以点 P 坐标为

例 2 已知 P,

为双曲线 C:

右支上两点, F1K=∠KF1Q.

延长线交右准线于 K,

PF1 延长线交双曲线于 Q,(F1 为右焦点)。求证:∠

[证明] 记右准线为 l, PD 作

l 于 D,

于 E, 因为

//PD, 则



又由定义

,所以 =∠KF1Q。

,由三角形外角平分线

定理知,F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ 2.求轨迹问题。

例 3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标

系,设椭圆方程:

=1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为

。连结



OP,则

。所以|FP|+|PO|=

(|FA|+|A

|)=a.

所以点 P 的轨迹是以 F, 为两焦点的椭圆 O (因为 a>|FO|=c) 将此椭圆按向量 m=( ,

,0)

平移,得到中心在原点的椭圆:

。由平移公式知,所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。 设点 P(x,y), A(x1, y1), 则

, x1=2x+c, y1=2y. 又 即

因为点 A 在椭圆

上,所以

代入得关于点 P 的方程为

。它表示中心为

,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。

例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆, 求此动圆圆心 P 的轨迹。

[解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点, B,C, 的坐标分别为 A(xA, D

,0), B(x+

,0), C(0,

y-

), D(0, y+

), 记 O 为原 点 ,由 圆 幂定 理 知 |OA|?|OB|=|OC|?|OD|, 用 坐 标表 示 为

,即 当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。

例 5 在坐标平面内,∠AOB= 的轨迹方程。

,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心

[解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ B

-

)),设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M



由外心性质知

再由



×tanθ =-1。结合上式有

?tanθ =





tanθ +

=





所以 tanθ -

=

两边平方,再将①,②代入得

。即为所求。 3.定值问题。

例 6 过双曲线

(a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2

轴,交双曲线于 B1,B2

两点,B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为 定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐

标分别为(-c, 0), (c,

), (c,

),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以



所以



由①得

代入上式得



(定值)。

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 例 7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。
2

[证明]



,则

,焦点为

,所以







。由于

,所以

?y2-

y1=0 , 即

=0 。 因 为

,所以 以

。所以

,即

。所

,即直线 AC 经过原点。

例 8 椭圆 为定值。

上有两点 A, 满足 OA B,

OB, 为原点, O 求证:

[证明]

设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

,则点 A,B 的坐标分别为

A(r1cosθ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有







①+②得 4.最值问题。

(定值)。

例 9 设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA 值与最小值。

2

2

OB(O 为原点),求|AB|的最大

[解] 由题设 a=1,b=

,记|OA|=r1,|OB|=r2,

,参考例 8 可得

=4。设

m=|AB| =

2

,

因为

,且 a >b ,所以

2

2



所以 b?r1?a,同理 b?r2?a.所以

。又函数 f(x)=x+



上单调递减,



上单调递增, 所以当 t=1 即|OA|=|OB|时, |AB|取最小值 1; 当



时, |AB|

取最大值



例 10 设一椭圆中心为原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为 1 上点与这椭圆上点的最大距离为

, 若圆 C:

,试求这个椭圆的方程。

[解] 设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为

,半径|CA|=1,

因为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最 大值 ,所以|BC|最大值为

因为

;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t,

,t,椭圆方程



, 并设点 B 坐标为 B(2tcosθ ,tsinθ ), 则|BC| =(2tcosθ ) +

2

2

=3t sin θ -3tsinθ +

2

2

+4t =-3(tsinθ +

2

) +3+4t .

2

2



,则当 sinθ =-1 时,|BC| 取最大值 t +3t+

2

2

,与题设不符。

若 t>

,则当 sinθ =

时,|BC| 取最大值 3+4t ,由 3+4t =7 得 t=1.

2

2

2

所以椭圆方程为 5.直线与二次曲线。



例 11 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 [解] 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点 的条件是存在一对点 P(x1,y1), (-y1,-x1),满足 y1=a 且-x1=a(-y1) -1,相减得
2 2

2

x1+y1=a(

),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+

所以

此方程有不等实根,所以

,求得

,即为所求。

例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 最大时,求 b 的值。

相交,(1)求 b 的范围;(2)当截得弦长

[解] 二方程联立得 17x +16bx+4(b -1)=0.由Δ >0,得

2

2

<b<

;设两交点为

P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得|PQ|= 时,|PQ|最大。 三、基础训练题

。所以当 b=0

1.A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点,B 为⊙O 上任一点,点 P 是 A 关于 B 的对称点, 则点 P 的轨迹是________. 2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0),则动点的轨迹是________.
2

3.椭圆 ________.

上有一点 P,它到左准线的距离是 10,它到右焦点的距离是

4.双曲线方程

,则 k 的取值范围是________.

5.椭圆 积是________.

,焦点为 F1,F2,椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=60 ,则Δ F1PF2 的面

0

6.直线 l 被双曲线 ________.

所截的线段 MN 恰被点 A(3,-1)平分,则 l 的方程为

7.Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上,点 A(2,8),且Δ ABC 的重心与这条抛物 线的焦点重合,则直线 BC 的斜率为________. 8. 已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0, 一条准线方程为 5y+4=0, 则双曲线方程为________. 9.已知曲线 y =ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个 交点的直线的倾斜角为 45 ,那么 a=________.
0 2

2

10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点,

2

2

2

的取值范围是________.

11.已知椭圆

与双曲线

有公共的焦点 F1,F2,设 P 是它们的

一个焦点,求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12.已知(i)半圆的直径 AB 长为 2r;(ii)半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直,垂

足为 T,设|AT|=2a(2a<

);(iii)半圆上有相异两点 M,N,它们与直线 l 的距离|MP|,

|NQ|满足

求证:|AM|+|AN|=|AB|。

13.给定双曲线 求线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题

过点 A(2,1)的直线 l 与所给的双曲线交于点 P1 和 P2,

1.双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点,它的一条渐近线方程是 标准方程是_________.

2

2

=0,则此双曲线的

2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 在抛物线准线上的射影 分别是 A1,B1,则∠A1FB1=_________.

3.双曲线

的一个焦点为 F1,顶点为 A1,A2,P 是双曲线上任一点,以|PF1|

为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.

4.椭圆的中心在原点,离心率

,一条准线方程为 x=11,椭圆上有一点 M 横坐标

为-1,M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________.

5.4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆

2

2

恰有一个公共点的_________条件.

6.若参数方程 条直线的方程是_________.

(t 为参数)表示的抛物线焦点总在一条定直线上,这

7.如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 _________.

总有公共点,则 m 的范围是

8. 过双曲线

的左焦点, 且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条.

9.过坐标原点的直线 l 与椭圆

相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的

圆恰好通过椭圆的右焦点 F,则直线 l 的倾斜角为_________. 10.以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角 三角形 ABC,这样的三角形最多可作_________个.
2 2 2 2

11.求椭圆

上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。

12.设 F,O 分别为椭圆

的左焦点和中心,对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB,

点 O 都在以 AB 为直径的圆内,求椭圆离心率 e 的取值范围。

13.已知双曲线 C1: 的左焦点 F1。

(a>0),抛物线 C2 的顶点在原点 O,C2 的焦点是 C1

(1)求证:C1,C2 总有两个不同的交点。 (2) 问: 是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB, 使Δ AOB 的面积有最大值或最小值?若存在, 求直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值,若不存在,说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1.在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的 取值范围是_________. 2.设 O 为抛物线的顶点,F 为焦点,且 PQ 为过 F 的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,Δ OPQ 面积为_________.
2 2 2

3. 给定椭圆

, 如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P, 两点, OP Q 且

OQ,

则离心率 e 的取值范围是_________.

4.设 F1,F2 分别是双曲线

(a>b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的动点,

过 F1 作∠F1PF2 平分线的垂线,垂足为 M,则 M 的轨迹为_________.

5. ABC 一边的两顶点坐标为 B Δ (0,
+

) C 和 (0,

) 另两边斜率的乘积为 ,



若点 T 坐标为(t,0)(t∈R ),则|AT|的最小值为_________. 6.长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x 上滑动,则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的 最短距离等于_________. 7.已知抛物线 y =2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b ≠2pa,M 是抛物线上的点,设 直线 AM,BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1,M2,当 M 变动时,直线 M1M2 恒过一个定点, 此定点坐标为_________.
2 2 2

8.已知点 P(1,2)既在椭圆
+

内部(含边界),又在圆 x +y =

2

2



部(含边界),若 a,b∈R ,则 a+b 的最小值为_________.

9.已知椭圆

的内接Δ ABC 的边 AB,AC 分别过左、右焦点 F1,F2,椭圆的

左、右顶点分别为 D,E,直线 DB 与直线 CE 交于点 P,当点 A 在椭圆上变动时,试求点 P 的轨迹。

10.设曲线 C1:

(a 为正常数)与 C2:y =2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点

2

P。(1)求实数 m 的取值范围(用 a 表示);

(2)O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 值(用 a 表示)。

时,试求Δ OAP 面积的最大

11.已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A(-1, 0)和 B(0,8)关于 l 的对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1.在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相交于 F,延 长 DF 交 BC 于 G,求证:∠GAC=∠EAC。 2.求证:在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点,每段长都为 1 的闭折线,它的每 个顶点坐标都是有理数。 3.以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1),在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆心,C1Q0 为半径

作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1;B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 ,交 AB0 的延长线于 。求证:(1)点 与点 P0 重合,

且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0;(2)P0,Q0,P1,Q1 共圆。 4.在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角(即发射方向与 x 轴正向

之间 的夹角)α (α ∈[0,π ],α ≠

)射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,

所有这些抛物线组成一个抛物线族, 若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直, 则称这 个交点为正交点。证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方 程(确定变量取值范围)。 5.直角Δ ABC 斜边为 AB,内切圆切 BC,CA,AB 分别于 D,E,F 点,AD 交内切圆于 P 点。若 CP BP,求证:PD=AE+AP。

6. 已知 BC

CD, A 为 BD 中点, Q 在 BC 上, 点 点 AC=CQ, 又在 BQ 上找一点 R, BR=2RQ, 使

CQ 上找一点 S,使 QS=RQ,求证:∠ASB=2∠DRC。

高中数学竞赛讲义(十二)
──立体几何 一、基础知识 公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,记 作:a a. 公理 2 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P ∈α ∩β ,则存在唯一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平 面. 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面. 推论 2 两条相交直线确定一个平面. 推论 3 两条平行直线确定一个平面. 公理 4 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 定义 1 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任 意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异 面直线成角. 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线, 公垂线夹在两条异 面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离. 定义 2 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相 交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外. 定义 3 直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面 垂直. 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 定理 2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平 行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面 引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线 在平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a 内的一条直线,若 c b,则 c a.逆定理:若 c a,则 c b.

定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平 行 定理 6 若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 结论 2 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b. 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个 角相等.

定义 6 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 定理 9 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. 定义 7 (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m,称为二面角的 棱)所组成的图形叫二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上 任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP, BP, 则∠APB(?900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地,若∠APB=900,则称为直二面角,此时平面与平面的位置关系称为垂直,即 α β . 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 定理 11 如果两个平面垂直, 过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面 内. 定理 12 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直. 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的 公共边(称为侧棱)都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做 底面.如果底面是平行四边形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是 正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是矩形的直棱柱叫做长方体. 棱长都相等的正四棱柱叫 正方体. 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面), 其余各面是一个有公共顶点的三角形的多 面体叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则 V+F-E=2. 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面. 球面所围成的几何 体叫做球.定长叫做球的半径,定点叫做球心. 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面, 圆心与球心的连线与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大 圆.经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬 线. 纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度. 用经过南极和北极 的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午 线所在的半平面所成的二面角叫做经度,根据位置不同又分东经和西经. 定理 15 (祖暅原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意 平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个 角.其中任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于 3600. 定理 17 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S 球面=4π R2。若一个圆锥 的母线长为 l,底面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=π rl.

定理 18 (体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球=

;若棱柱(或圆柱)的底面

积为 s,高 h,则它的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为 s,高为 h,则它的体积

为 V= 定理 19 如图 12-1 所示, 四面体 ABCD 中, 记∠BDC=α , ∠ADC=β , ∠ADB=γ , ∠BAC=A, ∠ABC=B,∠ACB=C。DH 平面 ABC 于 H。

(1)射影定理:SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф 。

(2)正弦定理: (3)余弦定理:cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα .

(4)四面体的体积公式

DH?SΔ ABC

=

(其中 d 是 a1, a 之间的距离,

是它们的夹角)

SΔ ABD?SΔ ACD?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。 二、方法与例题 1.公理的应用。 例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面。 [证明] 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交,两者确定一个平面,设为 a. 又因为 a//b,所以两者也确定一个平面,记为β 。因为 A∈α ,所以 A∈β ,因为 B∈b,所 以 B∈β ,所以 d 同理 c β .又过 b,d 的平面是唯一的,所以α ,β 是同一个平面,所以 a α . α .即 a,b,c,d 共面。

例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件? [解] 充要条件。先证充分性,设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的正六 边形截面,延长 PQ,SR 设交点为 O,因为直线 SR O∈平面 CC1D1D,又因为直线 PQ 平面 CC1D1D,又 O∈直线 SR,所以
0

平面 A1B1C1D1,又 O∈直线 PQ,所以 O∈平面 A1B1C1D1。

所以 O∈直线 C1D1,由正六边形性质知,∠ORQ=∠OQR=60 ,所以Δ ORQ 为正三角形,因为

CD//C1D1, 所以

=1。 所以 R 是 CC1 中点, 同理 Q 是 B1C1 的中点, 又Δ ORC1≌Δ OQC1,

所以 C1R=C1Q,所以 CC1=C1B1,同理 CD=CC1,所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留 给读者自己证明。 2.异面直线的相关问题。 例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对? [解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线,重复计数一共有异面直线 12×4=48 对,而

每一对异面直线被计算两次,因此一共有

24 对。

例 4 见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。 [解] 连结 AC,B1C,因为 A1A 所以 A1C1 AC。 B1 B C1C,所以 A1A C1C,所以 A1ACC1 为平行四边形,

所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角,由正方体的性质 AB1=B1C=AC, 所以∠B1AC=600。所以 A1C1 与 AB1 所成角为 600。 3.平行与垂直的论证。 例 5 A, C, 是空间四点, B, D 且四边形 ABCD 四个角都是直角, 求证: 四边形 ABCD 是矩形。 [证明] 若 ABCD 是平行四边形,则它是矩形;若 ABCD 不共面,设过 A,B,C 的平 面为α ,过 D 作 DD1 面α ,又 AB α 于 D1,见图 12-4,连结 AD1,CD1,因为 AB AB,所以 AB
0

AD1,又因为 DD1



α ,所以 DD1

平面 ADD1,所以 AB
2

AD1。同理 BC
2 2

CD1,所以 ,与

ABCD1 为矩形,所以∠AD1C=90 ,但 AD1<AD,CD1<CD,所以 AD +CD =AC = <AD +CD 矛盾。所以 ABCD 是平面四边形,所以它是矩形。 例 6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线也相交。 [证明] 见图 12-5,设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O,因为 AE 以 AE CD,BF 平面 ACD,所以 BF CD,所以 CD 平面 ABO,所以 CD AB,又 AB PD 于
2 2

平面 BCD,所

AB。设四面体另 CD,所以 AB ,因为 AB 平面

两条高分别为 CM,DN,连结 CN,因为 DN 平面 CDN,所以 AB CDN,所以 AB

平面 ABC,所以 DN

CN。设 CN 交 AB 于 P,连结 PD,作 ,所以 平面 ABD,即

为四面体的高,所以

与 CM 重合,

所以 CM,DN 为Δ PCD 的两条高,所以两者相交。 例7 在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将Δ ABE 折起,并使 AC=AD,见图 平面 BCDE。

12-6。求证:平面 ABE

[证明] 取 BE 中点 O,CD 中点 M,连结 AO,OM,OD,OC,则 OM//BC,又 CD 以 OM 所以 AO CD。又因为 AC=AD,所以 AM CD,所以 CD 平面 AOM,所以 AO

BC,所

CD。又因为 AB=AE,

BE。 因为 ED≠BC, 所以 BE 与 CD 不平行, 所以 BE 与 CD 是两条相交直线。 所以 AO 平面 ABE。所以平面 ABE 平面 BCDE。

平面 BC-DE。又直线 AO

4.直线与平面成角问题。 例8 见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为 BF 的中点,将正
0

方形沿 EF 折成 120 的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所成的角。

[解]设边长 AB=2,因为 EF

AD,又 AD

AB。所以 EF

AB,所以 BG=



又 AE

EF,BE

EF,所以∠AEB=120 。过 A 作 AM

0

BE 于 M,则∠AEM=60 ,ME=

0



AM=AEsin60 =

0

.











MG =BM +BG -2BM?BGcos

2

2

2



MBG= BE,所以 EF 平面 AEB,所以 EF AM,又 AM

=2, 所以 MG= BE,所以 AM

因为 EF

AE, EF

平面 BCE。所以∠AGM 为 AG

与平面 EBCF 所成的角。而 tan∠AGM=

。所以 AG 与平面 EBCF 所成的角为

. 例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB α 于 B,C 在α 内,且 AC OC,∠AOC=

α ,∠AOB=β ,∠BOC=γ 。证明:cosα =cosβ ?cosγ . [证明] 因为 AB α ,AC OC,所以由三垂线定理,BC OC,所以 OAcosβ =OB,OBcos

γ =OC,又 RtΔ OAC 中,OAcosα =OC,所以 OAcosβ cosγ =OAcosα ,所以 cosα =cosβ ?cos γ . 5.二面角问题。 例 10 见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=45 ,∠CSB=60 ,二面角 A—SB—C 为直角二面角,求∠ASC 的余弦值。
0 0

[解] 作 CM 以平面 ASB

SB 于 M,MN

AS 于 N,连结 CN,因为二面角 A—SB—C 为直二面角,所 SB,所以 CM 平面 ASB,又 MN AS,所以由三垂线定理的

平面 BSC。又 CM

逆 定 理 有 CN

AS , 所 以 SC?cos ∠ CSN=SN=SC?cos ∠ CSM?cos ∠ ASB , 所 以 cos ∠

ASC=cos45 cos60 =

0

0



例 11 见图 12-10,已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边 AB 上一点, 沿 CP 将此三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB= [解] 过 P 作 PD 即平面 ACP AC 于 D, PE 作 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

CP 交 BC 于 E, 连结 DE, 因为 A—CP—B 为直二面角, CA,所以由三垂线定理知 DE
0

平面 CPB,所以 PE

平面 ACP,又 PD

AC,所

以∠PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角。设∠BCP=θ ,则 cos∠ECD=cosθ ?cos(90 -θ )=sin

θ cosθ ,由余弦定理 cos∠ACB=

,所以 sinθ cosθ =

,所以 sin2θ

=1.又 0<2θ <π ,所以θ =

,设 CP=a,则 PD= 。

a,PE=a.所以 tan∠PDE=

所以二面角 P—AC—B 的大小为 6.距离问题。

例 12 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求对角线 AC 与 BC1 的距离。 [解] 以 B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示。设 P,Q 分别是 BC1,CA 上的点,



,各点、各向量的坐标分别为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),

, 所 以

, 所 以

a × a+

a ×

a=0,

a×a-

a×a=0.所以

。所以 PQ 为 AC 与 BC1 的公

垂线段,所以两者距离为

例 13 如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为

的正三角形,棱 SC

的长为 2,且垂直于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离。 [分析] 取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化 为求点 C 到平面 SEF 间的距离。 [解] 设此距离为 h,则由体积公式

计算可得 SΔ SEF=3, 7.凸多面体的欧拉公式。

所以

例 14 一个凸多面体有 32 个面,每个面或是三角形或是五边形,对于 V 个顶点每个顶 点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V。 [解] 因 F=32,所以 32-E+V=2,所以 E=V+30。因为 T+P 个面相交于每个顶点,每个顶 点出发有 T+P 条棱,所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30),即 V(T+P-2)=60. 由于每个

三角形面有三条棱,故三角形面有

个,类似地,五边形有

个,又因为每个面或者是

三角形或者是五边形,所以

=32,由此可得 3T+5P=16,它的唯一正整数解为

T=P=2,代入 V(T+P-2)=60 得 V=30,所以 100P+10T+V250。 8.与球有关的问题。 例 15 圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个? [解] 最底层恰好能放两个球,设为球 O1 和球 O2,两者相切,同时与圆柱相切,在球 O1 与球 O2 上放球 O3 与球 O4,使 O1O2 与 O3O4 相垂直,且这 4 个球任两个相外切,同样在 球 O3 与球 O4 上放球 O5 与球 O6,??直到不能再放为止。 先 计 算 过 O3O4 与 过 O1O2 的 两 平 行 面 与 圆 柱 底 面 的 截 面 间 距 离 为 。设共装 K 层,则(22因此最多装 30 个。 9.四面体中的问题。 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的垂心,二面角 H—AB—C 的平面角等于 300,SA= [解] 由题设,AH 故 SC CO 平面 SBC,作 BH 。求三棱锥 S—ABC 的体积。 AE,SC AB, )R< R(K-1)+2R?22R,解得 K=15,

SC 于 E,由三垂线定理可知 SC

平面 ABE。 S 在平面 ABC 内射影为 O, SO 设 则

平面 ABC, 由三垂线定理的逆定理知,

AB 于 F。同理,BO

AC,所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O 为Δ

ABC 的中心,从而 SA=SB=SC= 线定理知 ,EF

,因为 CF

AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影,又由三垂
0

AB,所以∠ EFC 是二面 角 H— AB— C 的平 面角,故∠ EFC=30 ,所 以

OC=SCcos60 =

0

,SO=

tan60 =3,又 OC=

0

AB,所以 AB=

OC=3。所以 VS—

ABC

=

×3 ×3=

2



例 17 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值,h 是四面体的最小高的长,求证: 2d>h. [证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h,AC 与 BD 间的距离为 d,作 AF CN BD 于点 F,

BD 于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面

ACE,所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d, EM 作 AF 于 M, 则由 EC//平面 ABD 知, 为点 C 到面 ABD 的距离 EM (因 EM

面 ABD),于是 EM?AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中,由 EM?AH 得 EF?AF。又因为Δ AEH

∽Δ FEG,所以

?2。所以 2d>h.

注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法, 请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1.正三角形 ABC 的边长为 4,到 A,B,C 的距离都是 1 的平面有__________个. 2.空间中有四个点 E,F,G,H,命题甲:E,F,G,H 不共面;命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙的__________条件。 3.动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发,沿棱运动,每条棱至多经过一次,则 点 P 运动的最大距离为__________。 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心,G 为棱 CC1 中点, 直线 C1E,GF 与 AB 所成的角分别是α ,β 。则α +β =__________。 5.若 a,b 为两条异面直线,过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有__________个。 6.CD 是直角Δ ABC 斜边 AB 上的高,BD=2AD,将Δ ACD 绕 CD 旋转使二面角 A—CD—B 为 60 ,则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________。
0

7.已知 PA

平面 ABC,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上一点且 AC=

AB,则二面角 A—PC

—B 的大小为__________。 8.平面α 上有一个Δ ABC,∠ABC=105 ,AC= 使得 SA=SB=SC= ,TA=TB=TC=5,则 ST=_____________.
0

,平面α 两侧各有一点 S,T,

9.在三棱锥 S—ABC 中,SA

底面 ABC,二面角 A—SB—C 为直二面角,若∠BSC=45 ,

0

SB=a,则经过 A,B,C,S 的球的半径为_____________. 10.空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________. 11.异面直线 a,b 满足 a//α ,b//β ,b//α ,a//β ,求证:α //β 。 12.四面体 SABC 中,SA,SB,SC 两两垂直,S0,S1,S2,S3 分别表示Δ ABC,Δ SBC,Δ SCA,Δ SAB 的面积,求证: 13. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 在棱 BB1 上, E 截面 A1EC (2)若 AA1=A1B1,求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角。 四、高考水平训练题 1.三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 为 A1B1 的中点,N 为 B1C 与 BC1 的交点,平面 AMN 交 B1C1 于 P, 侧面 AA1C1C, (1) 求证: BE=EB1;



=_____________.

2.空间四边形 ABCD 中,AD=1,BC= 所成的角为_____________. 3.平面α 且 CD 平面β ,α

,且 AD

BC,BD=

,AC=

,则 AC 与 BD

β =直线 AB,点 C∈α ,点 D∈β ,∠BAC=45 ,∠BAD=60 ,

0

0

AB,则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_____________.

4.单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,二面角 A—BD1—B1 大小为_____________. 5.如图 12-13 所示,平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α —MN—β 的棱 MN 上,点 B, C,D 都在α 上,且 AB=2AD,∠DAN=45 ,∠BAD=60 ,若◇ABCD 在半平面β 上射影为为菜, 则二面角α —MN—β =_____________. 6. 已知异面直线 a,b 成角为θ , M, 在 a 上, N, 在 b 上, 为公垂线, MN=d, 点 A 点 B MN 且 MA=m,NB=n。则 AB 的长度为_____________. 7.已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4,∠ASB=45 ,过点 A 作截面与侧棱 SB,SC 分别交 于 M,N,则截面Δ AMN 周长的最小值为_____________. 8.l1 与 l2 为两条异面直线,l1 上两点 A,B 到 l2 的距离分别为 a,b,二面角 A—l2—B 大小为θ ,则 l1 与 l2 之间的距离为_____________. 9 . 在 半 径 为 R 的 球 O 上 一 点 P 引 三 条 两 两 垂 直 的 弦 PA , PB , PC , 则 PA +PB +PC =_____________. 10.过Δ ABC 的顶点向平面α 引垂线 AA1,BB1,CC1,点 A1,B1,C1∈α ,则∠BAC 与∠ B1A1C1 的大小关系是_____________. 11.三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=90 ,∠ABC=60 ,∠BAD=45 ,二面角 A—CD—B 为直 角二面角。(1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角;(2)若 M 为 BC 中点,E 为 BD 中点,求 AM 与 CE 所成的角;(3)二面角 M—AE—B 的大小。
0 0 0 2 2 2 0 0 0

12.四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形,PD

底面 ABCD,PD=6,M,N 分别是 PB,

AB 的中点,(1)求二面角 M—DN—C 的大小;(2)求异面直线 CD 与 MN 的距离。 13.三棱锥 S—ABC 中,侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直,M 为Δ ABC 的重心,D 为 AB 中 点,作与 SC 平行的直线 DP,证明:(1)DP 与 SM 相交;(2)设 DP 与 SM 的交点为 为三棱锥 S—ABC 外接球球心。 五、联赛一试水平训练题 1.现有边长分别为 3,4,5 的三角形两个,边长分别为 4,5, 的三角形四个,边 ,则

长分别为

,4,5 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_________个四面体。

2.一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这两个多

面体的内切球的半径之比是一个既约分数

,那么 mn=_________。

3.已知三个平面α ,β ,γ 每两个平面之间的夹角都是

,且

=a, _________条件。

,命题甲:

;命题乙:a,b,c 相交于一点。则甲是乙的

4.棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA 棱锥的最大球的半径为_________.

AB,如果Δ AMD 的面积为 1,则能放入这个

5.将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六 面体,并且该六面体的最短棱长为 2,则最远两个顶点间距离为_________。 6.空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有_________条。 7. 一个球与正四面体的六条棱都相切, 正四面体棱长为 a, 这个球的体积为_________。 8.由曲线 x =4y,x =-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1, 满足 x +y ?16,x +(y-2) ?4,x +(y+2) ?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转
2 2 2 2 2 2 2 2

体的体积为 V2,则

_________。

9.顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆围上的点,B 是底面圆内的 点,O 为底面圆圆心,AB OB,垂足为 B,OH PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则

当三棱锥 C—HPC 体积最大时,OB=_________。

10.

是三个互相垂直的单位向量,π 是过点 O 的一个平面,



别是 A, C 在π 上的射影, B, 对任意的平面π , 由

构成的集合为_________。

11.设空间被分为 5 个不交的非空集合,证明:一定有一个平面,它至少与其中的四个 集合有公共点。 12.在四面体 ABCD 中,∠BDC=90 ,D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是Δ ABC 的垂心,试 证:(AB+BC+CA) ?6(AD +BD +CD ),并说明等号成立时是一个什么四面体? 13.过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面,与四面体的三个侧面交于三条直线,这三条直 线与四面体的底面夹角为α ,β ,γ ,求 tan α +tan β +tan γ 之值。 六、联赛二试水平训练题 1.能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四面体?
2 2 2 2 2 2 2 0

2.P,Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点,求证: 3.P,A,B,C,D 是空间五个不同的点,∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ ,这里θ 为已 知锐角,试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值。 4.空间是否存在有限点集 M,使得对 M 中的任意两点 A,B,可以在 M 中另取两点 C,D, 使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。 5.四面体 ABCD 的四条高 AA1,BB1,CC1,DD1 相交于 H 点(A1,B1,C1,D1 分别为垂足)。 三条高上的内点 A2,B2,C2 满足 AA2:AA=BB2:B2B1=CC2:C2C1=2:1。证明:H,A2,B2,C2,D1 在同一个球面上。 6.设平面α ,β ,γ ,δ 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A,B,C,D。证明: 如果平面α 与β 的交线与直线 CD 共面,则γ 与δ 的交线与直线 AB 共面。

高中数学竞赛讲义(十三)
──排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办 法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共 有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步 有 m2 种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×? ×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m?n)个元素,按照一定顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列, n 个不同元素中取出 m 个(m?n)元素的 从 所有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 表示, =n(n-1)?

(n-m+1)= 注:一般地

,其中 m,n∈N,m?n, =1,0!=1, =n!。

4.N 个不同元素的圆周排列数为

=(n-1)!。

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m?n)个元素并成一组,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合, 即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成 原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 表示:

6.组合数的基本性质: (1)

; (2)

; (3)



(4) 。

;(5)

;(6)

7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为



[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A, 不定方程 x1+x2+? +xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同 的装法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒 子中球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球从左到右排成一列, 每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个, 将球分 n 份, 共有 种。故定理得证。 推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可 重组合,其组合数为 8 (a+b) = Tr+1= 叫二项式系数。 9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进
n

















n



N+, r+1

则 项

. 其 中 第

行同一试验时,事件 A 发生的频率

总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做

事件 A 发生的概率,记作 p(A),0?p(A)?1.

10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含

的结果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)= 11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事 件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立事件为 。由定义知 p(A)+p( )=1.

13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这 样的两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件 发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同 时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果,则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重 复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= ?p (1-p) .
k n-k

17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样 的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。 如果随机变量的可能取值可以一一列出, 这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地, 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?) 的概率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ x1 p p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期 望或平均值、均值、简称期望,称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均方差,简称方差。 叫随机变量ξ 的标准差。

18. 二项分布: 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中, 这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= ξ p 0 1 ? ? , ξ 的分布列为 xi ? ? N

此时称ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p.

19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随 机变量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ =k)=q p(k=1,2,?),ξ 的分布服
k-1

从几何分布,Eξ = 二、方法与例题 1.乘法原理。

,Dξ =

(q=1-p).

例 1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结 对方式? [解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有 2n-1 种选 则;这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种选择,??这样一直进行下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有

(2n-1)×(2n-3)×?×3×1= 2.加法原理。 例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表, 其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种? [解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 R4;2)有 2 个电阻断路, 有 -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有 =4 种;4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一

共有 1+5+4+1=11 种可能。 3.插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈, 要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱, 有多 少种不同的安排节目演出顺序的方式? [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 个位置中选出 4 个安排舞蹈有 4.映射法。 例 4 如果从 1, ?, 中, 2, 14 按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足:2-a1?3,a3-a2 a ?3,那么所有符合要求的不同取法有多少种? [解] 设 S={1,2,?,14}, ={1, ?, 2, 10}; T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1?3,a3-a2 ? 3}, ={( )∈ }, 若 ,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令 从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|= 5.贡献法。 例 5 已知集合 A={1,2,3,?,10},求 A 的所有非空子集的元素个数之和。 ,令 到 T 的映射,它显 , 种方法,故共有 种排法,再从演唱节目之间和前后一共 7 =604800 种方式。

,则

=120,所以不同取法有 120 种。

[解] 设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有 2 个,所以 a 对 x 的 贡献为 2 ,又|A|=10。所以 x=10×2 . [另解] A 的 k 元子集共有 个,k=1,2,?,10,因此,A 的子集的元素个数之和为 10×2 。 6.容斥原理。 例 6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n?3),且在 n 位数中,1,2,3 每一个至少出现 1 次,问:这样的 n 位数有多少个? [解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3 ,用 A ,A ,A 分别表示不含 1,不含 2,不含 3 的由 1,2,3 组成的 n 位数的集合,则|A1|=|A2|=|A3|=2 ,|A1 A3|=|A1 A3|=1。|A1 A2 A3|=0。
n n 1 2 3 9 9 9

9

A2|=|A2

所以由容斥原理|A1

A2

A3|= A2 A3|=3 -3×2 +3 个。
n n

=3×2 -3.所

n

以满足条件的 n 位数有|I|-|A1 7.递推方法。

例 7 用 1, 3 三个数字来构造 n 位数, 2, 但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中, 问:能构造出多少个这样的 n 位数? [解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数,则 a1=3,由乘法原理知 a2=3×3-1=8.当 n?3 时:1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第 一个数字是 1,那么第二位只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+an-2)(n?3). 这里数列{an}的特征方程为 x =2x+2,它的两根为 x1=1+
2

,x2=1-

,故 an=c1(1+

)+

n

c2(1+

),

n



a1=3,a2=8









8.算两次。 例 8 m,n,r∈N+,证明: [证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 中选出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 位的方法有 9.母函数。 ① 种;另一方面,从这 n+m 人

种,k=0,1,?,r。所以从这 n+m 人中选出 r 种。综合两个方面,即得①式。

例 9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,?,10,另有大、小 王各一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为 k 的 牌计为 2 分,若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。 [解] 对于 n∈{1,2,?,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数目,则 an 等于函数 f(x)=(1+ ) ?(1+
2 k

) ??????(1+

3

) 的展开式中 x 的系数(约定|x|<1),由于

3

n

f(x)=

[

(1+

)(1+

)? ? ?(1+

)] =

3

3

=

3



而 0 ? 2004<2 , 所 以 an 等 于

11

的展开式中 x 的系数,又由于

n

=
2k 2

?

=(1+x +x +?+x2k+?)[1+2x+3x +?+(2k+1)x +?],所
2

2

3

2

2k

以 x 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1) ,k=1,2,?,从而,所求的“好牌”组的 个数为 a2004=1003 =1006009. 10.组合数 例 10 的性质。 是奇数(k?1).

证明:

[证明]

=



i=

?pi(1?i?k),pi 为奇数,则 是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。

,它的分子、分母均

为奇数,因

例 11 对 n?2,证明: [证明] 1)当 n=2 时,2 <
2

=6<4 ;2)假设 n=k 时,有 2 <

2

k

<4 ,当 n=k+1 时,因

k





<4,所以 2 <

k+1

.

所以结论对一切 n?2 成立。 11.二项式定理的应用。

例 12 若 n∈N, n?2,求证:

[证明]

首先

其次因为







2+ 证。



例 13 证明: [证明] 首先,对于每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中
n-k m-h

是(1+x) 的展开式中 x 的系数。
n-k k m-h h

是(1+y) 的展开式中 y 的系数。 从而

k

k

?

就是(1+x) ?(1+y) 的展开式中 x y 的系数。

于是,

就是

展开式中 x y 的系数。

m-h h

另一方面,

=

=

?

=

(xk-1+xk-2y+?+yk-1),上式中,xm-hyh 项的系数恰为



所以 12.概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品,采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产 品,问:恰好有 k 件是次品的概率是多少? [解] 把 k 件产品进行编号,有放回抽 n 次,把可能的重复排列作为基本事件,总数为 (a+b)n(即所有的可能结果)。设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品,则事件

A 所包含的基本事件总数为

?akbn-k,故所求的概率为 p(A)=

例 15 将一枚硬币掷 5 次,正面朝上恰好一次的概率不为 0,而且与正面朝上恰好两次 的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。

[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p, 则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为

(1-p)5-k(k=0,1,2,?,5),由题设

,且 0<p<1,化简得

,所

以恰好有 3 次正面朝上的概率为 例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为 0.6,乙胜 的概率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的 可能性大? [解] (1) 如果采用三局两胜制, 则甲在下列两种情况下获胜: 1—2: (甲净胜二局) A 0 , A2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6=0.288. 因为 A1 与 A2 互斥,所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. (2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0(甲净胜 3 局),B
2

×0.6×0.4

—3:1(前 3 局甲 2 胜 1 负,第四局甲胜),B3—3:2(前四局各胜 2 局,第五局甲胜)。 因为 B1,B2,B2 互斥,所以甲胜概率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.6 + ×0.6+ ×0.6 ×0.4 ×0.6=0.68256.
2 2 3

×0.6 ×0.4

2

由(1),(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。 例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0,2 张写有 1,3 张写有 2;B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片, B 袋中取 2 张卡片,共 3 张卡片。求:(1)取出 3 张卡片都写 0 的概率;(2)取出的 3 张 卡片数字之积是 4 的概率;(3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。

[解](1)

;(2) 2 4

;(3)记ξ 为 8

取出的 3 张卡片的数字之积,则ξ 的分布为 ξ 0 p

所以 三、基础训练题 1.三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2.在正 2006 边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3.用 1,2,3,?,9 这九个数字可组成_________个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七 位数。

4.10 个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组方法。 5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6.今天是星期二,再过 10 7.由
1000

天是星期_________。

展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有_________项。

8.如果凸 n 边形(n?4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸 n 边形内共有 _________个交点。 9. 袋中有 a 个黑球与 b 个白球, 随机地每次从中取出一球 (不放回) 第 k(1?k?a+b) , 次取到黑球的概率为_________。 10.一个箱子里有 9 张卡片,分别标号为 1,2,?,9,从中任取 2 张,其中至少有一 个为奇数的概率是_________。 11.某人拿着 5 把钥匙去开门,有 2 把能打开。他逐个试,试三次之内打开房门的概率 是_________。 12.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关 掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数是_________。 13.a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐,若 a,b 不相邻有_________种安排方 式。 14. 已知 i,m,n 是正整数, 1<i?m?n。 且 证明: (1)
n

; (2) (1+m) >(1+n) .

n

m

15.一项“过关游戏”规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所得到的 点数之和大于 2 ,则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三 关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1.若 n∈{1,2,?,100}且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 有__________个。 2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数,能 组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个不共面的点,有_________ 种取法。 4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经 5 次 传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。 5.一条铁路原有 m 个车站(含起点,终点),新增加 n 个车站(n>1),客运车票相应 地增加了 58 种,原有车站有_________个。
2

6.将二项式

的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展

开式中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7. 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数, 从 共可得到_________ 种不同的对数值。 8.二项式(x-2) 的展开式中系数最大的项为第 _________项,系数最小的项为第 _________项。 9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的 5 节,每节用红、黄、蓝三 色之一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?(颠倒后相同的算同一种)
5

10.在 1,2,?,2006 中随机选取 3 个数,能构成递增等差数列的概率是_________。

11.投掷一次骰子,出现点数 1,2,3,?,6 的概率均为 数之和为 35 的概率为_________。

,连续掷 6 次,出现的点

12.某列火车有 n 节旅客车厢,进站后站台上有 m(m?n)名旅客候车,每位旅客随意选 择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13.某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有 量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精

确到 1 公顷)?(粮食单产= 五、联赛一试水平训练题



1.若 0<a<b<c<d<500,有_________个有序的四元数组(a,b,c,d)满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元 素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_________。 3.已知 A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→A 满足:(1)若 i≠j,则 f(i)≠ f(j);(2)若 i+j=7,则 f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_________。 4.1,2,3,4,5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质:对于 1?i?4,a1,a2,?,ai 不构成 1, 2,?,i 的某个排列,这种排列的个数是_________。 5.骰子的六个面标有 1,2,?,6 这六个数字,相邻两个面上的数字之差的绝对值叫 变差,变差的总和叫全变差 V,则全变差 V 的最大值为_________,最小值为_________。 6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛 2 场 之后就退出了,这样,全部比赛只进行 50 场,上述三名选手之间比赛场数为_________。 7.如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a;且 a 是 a,b,c,d 中的最 小值

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