高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛讲义（一）
──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写 字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素 在集合 A 中，称 属 于 A，记为 ，否则称 不属于 A，记作 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别

表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正

有理数集，不含任何元素的集合称为空集， 用 来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法： 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表 示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方 法。例如{有理数}， 分别表示有理数集和正实数集。

定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元 素，则 A 叫做 B 的子集，记为 ，例如 。规定空集是任何集合的子集，如果 A

是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素 不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， 定义 4 并集， 定义 5 补集，若 定义 6 差集， 定义 7 集合 记作闭区间 。 记作开区间 ，R 记作 ，集合 称为 A 在 I 中的补集。

定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） （3） （4） （2） ；

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若 ，即 或 ， 即 且 或 ，则 ，且 ；反之， ， 即 且 ， 即 或 ，所以 ，则 或

（3）若 ，又

，则 ，所以

或 ，即

，所以

或

，所以 ，反之也有

定理 2 加法原理：做一件事有 类办法，第一类办法中有 法中有 种不同的方法，…，第 类办法中有 种不同的方法。 定理 3 乘法原理：做一件事分 个步骤，第一步有 不同的方法，…，第 步有 种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设 （1） （2） （3）若 [证明]（1）因为 （2）假设 有相同的奇偶性，所以 ，假设不成立，所以 （3）设 ，则 ； ； ，则 ，且 ，则存在 ，使 ，求证：

种不同的方法，第二类办

种不同的方法，那么完成这件事一共有

种不同的方法，第二步有

种

种不同的方法，那么完成这件事一共有

，所以 ，由于 和

是奇数或 4 的倍数，不可能等于

（因为

）。 ，再证 ，则 A=B。

2．利用子集的定义证明集合相等，先证 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足

，求集合 M（用 A，B 表示）。 【解】先证 ，所以 再证 ，若 ；2）若 综上， 3．分类讨论思想的应用。 例3 若 【解】依题设， 因为 因为 若 ，则 综上所述， ，所以 ， 所以 或 或 ，求 ，再由 ，所以 ， 若 ，解得 ； 或 。 ， 则 解得 ，所以 或 或 2，所以 ， 即 ， 或 3。 ， ， ，则 ，则 ，若 ； 1）若 。所以 ，则 ，因为 ，所以

4．计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若 求有序集合对（A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；A\B，B\A， 中的每个元素恰 ，

属于其中一个子集，10 个元素共有 310 种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所 以集合对有 310 个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步， 1 或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，…，第 10 步，0 也有两种， 由乘法原理，子集共有 5．配对方法。 例 5 给定集合 的 个子集： ，满足任何两个子集的交集 个，非空真子集有 1022 个。

非空，并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求 的值。

【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得 同在这 个子集中，因此，

对，每一对不能

；其次，每一对中必有一个在这 个子集中出现，否则， ，则 。综上， 。 ，从而可以在 个

若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 子集中再添加 ，与已知矛盾，所以

6．竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用 表示集合 A 的元素个数，则 ，需要 xy 此结 论可以推广到 个集合的情况，即:

定义 8 集合的划分：若 则这些子集的全集叫 I 的一个 -划分。

，且

，

定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将 个元素放入 个抽屉，必有一个抽屉放有不少于 个元素；将无穷多个元素放入 个抽屉必有一

个元素，也必有一个抽屉放有不多于 个抽屉放有无穷多个元素。

例 6 求 1，2，3，…，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记 ，由容斥原理， ，

，所以不能被 2，3，5 整除的数有 个。 例 7 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中 最多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至 多有一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5

个数。又因为 2004=182× 11+2，所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素，另一方面，当 时， 恰有 所以最少含有 912 个元素。 例 8 求所有自然数 ，使得存在实数 满足： ， S 满足题目条件， 且

【解】 当 时，

时，

；当 。下证当

时， 时，不存在

；当 满足条件。

令 所以必存在某两个下标

，则 ， 使得 ， 所以 或

，即

，所以

或

，

。

（ⅰ）若 ，即 故只有 考虑 ，有 或 ，设

，考虑 ，则

，有

或 ，导致矛盾，

，即 ，则

，设

，则 ，又推出矛

，推出矛盾，设 盾， 所以 故当

时，不存在满足条件的实数。

（ⅱ）若 即 ，这时 或 ， 所以 故当

，考虑

，有

或 。考虑 ，有

，

，推出矛盾，故 ，即 =3，于是

，矛盾。因此 ， 所以 。

， 这又矛盾， 所以只有

时，不存在满足条件的实数。

例 9 设 A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在 A 中取三个数，B 中取两 个数组成五个元素的集合 【解】 设 B 中每个数在所有 （ ），则 在 中最多重复出现 次，则必有 出现的所有 } 。若不然，数 出现 次 ， 求 的最小值。

中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它 ， 其中 ，

是 1， 就有集合{1， 为满足题意的集合。 20 个

必各不相同， 但只能是 2， 4， 6 这 5 个数， 3， 5， 这不可能， 所以 。当 时，

中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以

如下 20 个集合满足要求： {1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。 ， 其中 ，

例 10 集合{1， …， 2， 3n}可以划分成 个互不相交的三元集合 求满足条件的最小正整数

【解】 设其中第 个三元集为

则 1+2+…+

所以 ，所以 三、基础训练题 1．给定三元集合 2．若集合 3．集合 4．已知集合 ，当

。当 为偶数时，有

，所以

，当 为奇数时，有

时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，

7}，{10，14，8}满足条件，所以 的最小值为 5。

，则实数 的取值范围是___________。 中只有一个元素，则 =___________。 的非空真子集有___________个。 ，若 ，则由满足条件

的实数 组成的集合 P=___________。

5． 已知 6．若非空集合 S 满足 合 S 有___________个。 7．集合 8．若集合 之和是___________。 9．集合 构成的集合为___________。 10．集合 ___________。 ，其中

， 且 ，且若

， 则常数 的取值范围是___________。 ，则 ，那么符合要求的集

之间的关系是___________。 ， 且 ，若 ，则 A 中元素

，且

，则满足条件的

值

，则

11．已知 S 是由实数构成的集合，且满足 1） ，S 中至少含有多少个元素？说明理由。 12． 已知 求实数 的取值范围。 四、高考水平训练题 1．已知集合 ___________。

）若

，则

。如果

， C 为单元素集合， 又

，且 A=B，则

___________，

2． ，则 3．已知集合 实数 的取值范围是___________。 ___________。 ，当 时，

4．若实数 为常数，且 5．集合 ___________。 ，若

___________。 ，则

6．集合 元素是___________。 7．集合 ___________。

，则

中的最小

，且 A=B，则

8．已知集合 ___________。 9．设集合 ，问：是否存在 论。 10．集合 A 和 B 各含有 12 个元素， 合 C 的个数：1）

，且

，则

的取值范围是

，使得

，并证明你的结

含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集 。 ，

且 C 中含有 3 个元素；2）

11． 判断以下命题是否正确： A， 是平面上两个点集， 设 B 若对任何 ，都有 ，则必有 ，证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．已知集合 取值范围是___________。 2．集合 的子集 B 满足：对任意的

，则实数

的

，则集

合 B 中元素个数的最大值是___________。 3． 已知集合 则实数 ___________。 ， 若 ___________。 ，集合 ，则集合 M 与 N 的关系是___________。 是 ， 其中 ， 且 ， P=Q， 若

4． 已知集合 平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 5．集合

6．设集合 则 A 中元素最多有___________个。 7．非空集合 的所有 的集合是___________。

，集合 A 满足：

，且当

时，

，

，≤则使

成立

8．已知集合 A，B，aC（不必相异）的并集 序三元组（A，B，C）个数是___________。 9．已知集合 问： 当 取何值时， 结论如何？ 10．求集合 B 和 C，使得 11．S 是 Q 的子集且满足：若 ，则 ，则 ，试确定集合 S。

, 则满足条件的有

， 为恰有 2 个元素的集合？说明理由， 若改为 3 个元素集合，

，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 恰有一个成立，并且若

12．集合 S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S 中的任何两 个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题 1． ，则 是三个非空整数集， 已知对于 1， 3 的任意一个排列 2， 。求证： 中必有两个相等。 ， ， 如果 ，

2．求证： 集合{1， …， 2， 1989}可以划分为 117 个互不相交的子集 使得（1）每个 恰有 17 个元素；（2）每个 中各元素之和相同。

3．某人写了 封信，同时写了 个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错 的情况有多少种？ 4．设 个不同的元素，求集合 5．设 S 是由 为偶数。 6．对于整数 ，求出最小的整数 的任一个 ，使得对于任何正整数 ，集合 是 20 个两两不同的整数，且整合 中不同元素个数的最小可能值。 中有 201

个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数

元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。

7．设集合 S={1，2，…，50}，求最小自然数 ，使 S 的任意一个 元子集中都存在两 个不同的数 a 和 b，满足 8．集合 。 ，试作出 X 的三元子集族&，满足：

（1）X 的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含； （2） 9．设集合 。 ，求最小的正整数 ，一定存在某个集合 ，使得对 A 的任意一个 14-分划 中有两个元素 a 和 b 满足

，在

。

高中数学竞赛讲义（二）
──二次函数与命题 一、基础知识 1．二次函数：当 0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对

称轴为直线 x=-

，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-

，下同。

2．二次函数的性质：当 a>0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量 x 增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a<0 时，情况相反。 3．当 a>0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0? ③与函数 f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。 1）当△>0 时，方程①有两个不等实根，设 x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分 别是{x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2}，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可写 成 f(x)=a(x-x1)(x-x2).

2）当△=0 时，方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0=

,不等式②和不等式③的解集分

别是{x|x

}和空集

，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 .f(x)图象与 x 轴

3）当△<0 时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 无公共点。 当 a<0 时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若 a>0，当 x=x0 时，f(x)取最小值 f(x0)=

,若 a<0，则当

x=x0=

时，f(x)取最大值 f(x0)=

.对于给定区间[m,n]上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当 x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0);当 x0<m 时。f(x)在[m, n] 上的最小值为 f(m)；当 x0>n 时，f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图象即 可得出）。 定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻 辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命 题由复合命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复 合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好一真一 假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论）；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则非 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 p 中，如果已知 p q但q不 非充分条件；若 p 二、方法与例题 1．待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ，β ，求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a 因为方程 x2-x+1=0 中△ 所以α 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1，所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2．方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4?f(1)?-1, -1?f(2)?5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4?f(1)=a-c?-1, 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得（α -β ）[（α +β ）a+b+1]=0， 0， β ，所以(α +β )a+b+1=0. q,则 p 是 q 的充分条件；如果 q q且q q 否则记作 p q但p q.在命题“若 p 则 q” q，则 p 称为 q 的必要 p，则称 p 是 q 的必要条件；如果 p

p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不 p，则 p 是 q 的充要条件。

所以 1?-f(1)=c-a?4.

又-1?f(2)=4a-c?5, f(3)=

f(2)-

f(1),

所以

×(-1)+

?f(3)?

× 5+

× 4,

所以-1?f(3)?20. 3．利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且 开口向上，所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x，从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x，所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4．利用二次函数表达式解题。 0)，若方程 f(x)=x 无实根，求证：方程

例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< （Ⅰ）当 x∈(0, x1)时，求证：x<f(x)<x1；

,

（Ⅱ）设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称，求证：x0< 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （Ⅰ）当 x∈(0, x1)时，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以 f(x)>x.

其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+ 综上，x<f(x)<x1.

]<0，所以 f(x)<x1.

（Ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax?+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

所以 x0=

,

所以

，

所以 5．构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求证：方程的正根比 1 小，负根比-1 大。

【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 6．定义在区间上的二次函数的最值。

例 6 当 x 取何值时，函数 y=

取最小值？求出这个最小值。

【解】 y=1-

,令

u,则 0<u?1。

y=5u2-u+1=5

,

且当

即 x=

3 时，ymin=

.

例 7 设变量 x 满足 x2+bx?-x(b<-1)，并且 x2+bx 的最小值是 【解】 由 x2+bx?-x(b<-1)，得 0?x?-(b+1).

，求 b 的值。

ⅰ)-

?-(b+1)，即 b?-2 时，x2+bx 的最小值为（舍去）。

，所以 b2=2，所以

ⅱ) -

>-(b+1)，即 b>-2 时，x2+bx 在[0，-(b+1)]上是减函数，

所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-

,b=-

.

综上，b=-

.

7.一元二次不等式问题的解法。

例 8 已知不等式组
2 2

①②的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。

【解】 因为方程 x -x+a-a =0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a?0，则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a，由②得 x>1-2a. 因为 1-2a?1-a，所以 a?0,所以不等式组无解。

若 a>0，ⅰ）当 0<a<

时，x1<x2,①的解集为 a<x<1-a.

因为 0<a<x<1-a<1，所以不等式组无整数解。

ⅱ）当 a=

时，a=1-a，①无解。

ⅲ）当 a>

时，a>1-a，由②得 x>1-2a，

所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个， 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)?3， 所以 1<a?2，并且当 1<a?2 时，不等式组恰有两个整数解 0，1。 综上，a 的取值范围是 1<a?2. 8．充分性与必要性。 例 9 设定数 A，B，C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)?0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立，问 A，B，C 应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件， 而且限定用只涉及 A，B，C 的等式或不等式表示条件） 【解】 充要条件为 A，B，C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA). 先证必要性，①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2?0 ② 若 A=0，则由②对一切 x,y,z∈R 成立，则只有 B=C，再由①知 B=C=0，若 A
2 2 2 2

0，则因

为②恒成立，所以 A>0，△=(B-A-C) (y-z) -4AC(y-z) ?0 恒成立，所以(B-A-C) -4AC?0，即 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA) 同理有 B?0，C?0，所以必要性成立。 再证充分性，若 A?0，B?0，C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA)， 1）若 A=0，则由 B2+C2?2BC 得(B-C)2?0，所以 B=C，所以△=0，所以②成立，①成 立。 2）若 A>0，则由③知△?0，所以②成立，所以①成立。 综上，充分性得证。 9．常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|?a?|a|-|b|?b?|b|，所以-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|, 所以|a+b|?|a|+|b|（注：若 m>0，则-m?x?m 等价于|x|?m）. 又|a|=|a+b-b|?|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|?|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2?2ab；若 x,y∈R+,则 x+y? (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题

1．下列四个命题中属于真命题的是________，①“若 x+y=0，则 x、y 互为相反数”的 逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q?1，则 x2+x+q=0 有实根” 的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2．由上列各组命题构成“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题中，p 或 q 为真，p 且 q 为假，非 p 为真的是_________.①p；3 是偶数，q：4 是奇数；②p:3+2=6,q:③ p:a∈(a,b),q:{a} {a,b}; ④ p: Q
2

R, q: N=Z.

3. 当|x-2|<a 时，不等式|x -4|<1 成立，则正数 a 的取值范围是________. 4. 不等式 ax2+(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2，则 a, b 的值是____________. 5. x 1且x 2 是 x-1 的__________条件，而-2<m<0 且 0<n<1 是关于 x 的方

程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 7.若 S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有 2 个，则 m 的取值范围是_________.

8. R 为全集，A={x|3-x?4}, B=
2

, 则(CRA)∩B=_________.

9. 设 a, b 是整数，集合 A={(x,y)|(x-a) +3b?6y}，点（2，1）∈A，但点（1，0） A， （3，2） A 则 a,b 的值是_________. 10．设集合 A={x||x|<4}, B={x|x2-4x+3>0}，则集合{x|x∈A 且 x A∩B}=_________. 11. 求使不等式 ax2+4x-1?-2x2-a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。

12．对任意 x∈[0,1],有 四、高考水平训练题

①②成立，求 k 的取值范围。

1．若不等式|x-a|<x 的解集不空，则实数 a 的取值范围是_________. 2．使不等式 x2+(x-6)x+9>0 当|a|?1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 3．若不等式-x2+kx-4<0 的解集为 R，则实数 k 的取值范围是_________. 4．若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k}，且 A∩B=B，则 k 的取值范围是_________. 5．设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数，不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 解集

分别为 M 和 N，那么“ 根，则实数 a 的取值范围是_________.

”是“M=N”的_________条件。

6．若下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实 7． 已知 p, q 都是 r 的必要条件， 是 r 的充分条件， 是 s 的充分条件， r 是 q 的_________ s q 则 条件。

8．已知 p: |1-

|?2, q: x2-2x+1-m2?0(m>0)，若非 p 是非 q 的必要不充分条件，则

实数 m 的取值范围是_________. 9． 已知 a>0， f(x)=ax2+bx+c， 对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x)， f(1-2x2)<f(1+2x-x2)， x 的 若 求 取值范围。 10．已知 a, b, c∈R, f(x)=ax2+bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|?1 时，|f(x)|?1,

(1)求证：|c|?1; (2)求证：当|x|?1 时，|g(x)|?2; (3)当 a>0 且|x|?1 时，g(x)最大值为 2，求 f(x).

11.设实数 a,b,c,m 满足条件： 有一根 x0 满足 0<x0<1. 五、联赛一试水平训练题 1．不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0 的解集是_________.

=0， a?0,m>0， 且 求证： 方程 ax2+bx+c=0

2．如果实数 x, y 满足：
2

，那么|x|-|y|的最小值是_________.

3．已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象经过点（1，1），（3，5），f(0)>0，当函数的 最小值取最大值时，a+b2+c3=_________.

4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1]，方程 f(f(f)(x)))=

x 有_________个实根。

5． 若关于 x 的方程 4x2-4x+m=0 在[-1， 1]上至少有一个实根， m 取值范围是_________. 则 6．若 f(x)=x4+px3+qx2+x 对一切 x∈R 都有 f(x)?x 且 f(1)=1，则 p+q2=_________.

7. 对一切 x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数，则 _________. 8． 函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象如图， 且 =、<） 9．若 a<b<c<d，求证：对任意实数 t 个不等的实根。

的最小值为

=b-2ac. 那么 b2-4ac_________4.（填>、 -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两

10．某人解二次方程时作如下练习：他每解完一个方程，如果方程有两个实根，他就给 出下一个二次方程：它的常数项等于前一个方程较大的根，x 的系数等于较小的根，二次项 系数都是 1。证明：这种练习不可能无限次继续下去，并求最多能延续的次数。 11．已知 f(x)=ax2+bx+c 在[0，1]上满足|f(x)|?1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 1．设 f(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, a>100，试问满足|f(x)|?50 的整数 x 最多有几个？ 2．设函数 f(x)=ax2+8x+3(a<0)，对于给定的负数 a，有一个最大的正数 l(a)，使得在整 个区间[0，l(a)]上，不等式|f(x)|?5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。

3．设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1]，且设 x= 大值。

, y=

, 求 f=y-x2 的最大值。

4．F(x)=ax2+bx+c，a,b,c∈R, 且|F(0)|?1,|F(1)|?1,|F(-1)|?1,则对于|x|?1，求|F(x)|的最

5．已知 f(x)=x2+ax+b，若存在实数 m，使得|f(m)|? 值和最小值。 6．设二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c∈R, a 1）当 x∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且 f(x)?x；

,|f(m+1)|?

,求△=a2-4b 的最大

0)满足下列条件：

2）当 x∈(0, 2)时，f(x)? 3）f(x)在 R 上最小值为 0。

;

求最大的 m(m>1)，使得存在 t∈R，只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)?x. 7.求证：方程 3ax2+2bx-(a+b)=0(b
+

0)在(0,1)内至少有一个实根。

8． a,b,A,B∈R , a<A, b<B， n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间， 个正数 b1, b2,?,bn 设 若 n 位于 b 与 B 之间，求证：

9．设 a,b,c 为实数，g(x)=ax2+bx+c, |x|?1，求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值：

（ⅰ）

=381;

（ⅱ）g(x)max=444; （ⅲ）g(x)min=364.

高中数学竞赛讲义（三）
──函数 一、基础知识 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x， 在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射，若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x 射。 定义 3 满射，若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B，都有一个 x∈A 使得 f(x)=y，则称 f: A →B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射，若 f: A→B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在 逆映射，即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射，记作 f-1: A→B。 定义 5 函数，映射 f: A→B 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它 的定义域，若 x∈A, y∈B，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y），则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。 集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意 义的未知数的取值范围，如函数 y=3 -1 的定义域为{x|x?0,x∈R}. y, 都有 f(x) f(y)则称之为单

定义 6 反函数，若函数 f: A→B（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: A→ B 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x

得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：

函数 y=

的反函数是 y=1-

(x

0).

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 7 函数的性质。 （1） 单调性： 设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2， 总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2))，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意 的 x∈D，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 x∈D，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一 个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在 最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b，则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a?x ?b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a<x?b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a?x<b}记作 半闭半开区间[a, b)，集合{x|x>a}记作开区间（a, +∞），集合{x|x?a}记作半开半闭区间（∞,a]. 定义 9 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定 义域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右 平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象；（2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象；（3）向 下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象；（4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称；（5）与函 数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7） 与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。

定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如 y=

, u=2-x

在（-∞,2）上是减函数，y= 函数。

在（0，+∞）上是减函数，所以 y=

在（-∞,2）上是增

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 二、方法与例题 1．数形结合法。

例 1 求方程|x-1|=

的正根的个数.

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 正根。

的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个

例 2 求函数 f(x)= 【解】 f(x)= B（0，1），则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。

的最大值。 ，记点 P(x, x2)，A（3，2），

因为|PA|-|PA|?|AB|= 点时等号成立。 所以 f(x)max= 2.函数性质的应用。

,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交

例 3 设 x, y∈R，且满足
3

，求 x+y.

【解】 设 f(t)=t +1997t，先证 f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若 a<b，则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)<0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a<a2-1<1，解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在 （-∞， +∞） 上以 2 为周期的函数， k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1]， 对 已知当 x∈I0 时，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik，则 2k-1<x?2k+1， 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数， 所以当 x∈Ik 时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程：(3x-1)( 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3，方程化为 )+(2x-3)( +1)=0.

m(

+1)+n(

+1)=0.

① 0, n 0.

若 m=0，则由①得 n=0，但 m, n 不同时为 0，所以 m ⅰ)若 m>0，则由①得 n<0，设 f(t)=t(

+1),则 f(t)在（0，+∞）上是增函数。又

f(m)=f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x=

ⅱ)若 m<0，且 n>0。同理有 m+n=0,x=

,但与 m<0 矛盾。

综上，方程有唯一实数解 x= 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 的值域。

【解】 y=x+

=

[2x+1+2

+1]-1

=

(

+1)?-1?

-1=-

.

当 x=-

时，y 取最小值-

，所以函数值域是[-

，+∞）。

4．换元法。 例 8 求函数 y=( 【解】令 + + +2)( +1),x∈[0,1]的值域。 ?4,所以 ?u

=u，因为 x∈[0,1]，所以 2?u2=2+2

?2,所以

?

?2，1? ，8]。

?2，所以 y=

,u2∈[

+2，8]。

所以该函数值域为[2+ 5．判别式法。

例 9 求函数 y=

的值域。

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当y 1 时，①式是关于 x 的方程有实根。

所以△=9(y+1)2-16(y-1)2?0，解得

?y?1.

又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立，

所以函数值域为[ 6．关于反函数。

，7]。

例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增，求 证：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1?y2，则因为 f(x)在(∞,+ ∞)上递增，所以 x1?x2 与假设矛盾，所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

例 11 设函数 f(x)=

，解方程：f(x)=f-1(x).

【解】 首先 f(x)定义域为（-∞，-

）∪[-

，+∞）；其次，设 x1, x2 是定义域内变量，

且 x1<x2<-

;

=

>0,

所以 f(x)在（-∞，-

）上递增，同理 f(x)在[-

，+∞）上递增。

在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y?0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x?0,所以

x,y∈[若x

，+∞）. y，设 x<y，则 f(x)=y<f(y)=x，矛盾。

同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x?0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以 x=1. 三、基础训练题 1．已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射 f：X→Y 满足：对任意的 x∈X，它在 Y 中 的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数，这样的映射有_______个。 2．给定 A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射 f：X→Y，若 f 为单射，则 f 有_______个； 若 f 为满射，则 f 有_______个；满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3． 若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点 （-1， ， -1） 则图象与直线一共有_______ 个交点。

4．函数 y=f(x)的值域为[

]，则函数 g(x)=f(x)+

的值域为_______。

5．已知 f(x)=

，则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。

6．已知 f(x)=|x+a|，当 x?3 时 f(x)为增函数，则 a 的取值范围是_______。

7．设 y=f(x)在定义域（ 8． 若函数 y= _______对称。

，2）内是增函数，则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。
-1

(x)存在反函数 y=

(x)， y= 则

-1

(x)的图象与 y=-

(-x)的图象关于直线

9．函数 f(x)满足 10. 函数 y=

=1-

，则 f(

)=_______。

, x∈(1, +∞)的反函数是_______。

11．求下列函数的值域：（1）y=

; (2)y=

;

(3)y=x+2 12. 已知

; (4) y= 定义在 R 上， 对任意 x∈R, f(x)=f(x+2)， f(x)是偶函数， 且 又当 x∈[2,3]

时，f(x)=x，则当 x∈[-2,0]时，求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题

1． 已知 a∈

, f(x)定义域是 （0,1]， g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 则

2．设 0?a<1 时，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3． 映射 f: {a, b, c, d}→{1， 3}满足 10<f(a)· 2， f(b)· f(c)· f(d)<20， 这样的映射 f 有_______ 个。 4．设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R，且为增函数，若方程 f(x)=x 解集为 P，f[f(x)]=x 解 集为 Q，则 P，Q 的关系为：P_______Q（填=、 、 ）。

5．下列函数是否为奇函数：（1）f(x)=(x-1) (x)= ；（4）y= 6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x

；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3)

0)，对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又 f(x)在

（0，+∞）是增函数，则不等式 f(x)+f(x-

)?0 的解集为_______。

7． 函数 f(x)=

， 其中 P， 为 R 的两个非空子集， M 又规定 f(P)={y|y=f(x), x ， f(P) ∩f(M)= 则 ； ②若 P∩M

∈P}, f(M)={y|y=f(x),x∈M}， 给出如下判断： ①若 P∩M= ， f(P) ∩f(M) 则

； ③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R； ④若 P∪M

R， f(P) ∪f(M) 则

R. 其中正确的判断是_______。 8．函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1)，并且 f(1)=3997，则 f(1998)= _______。 9．已知 y=f(x)是定义域为[-6，6]的奇函数，且当 x∈[0，3]时是一次函数，当 x∈[3，6] 时是二次函数，又 f(6)=2，当 x∈[3，6]时，f(x)?f(5)=3。求 f(x)的解析式。

10．设 a>0，函数 f(x)定义域为 R，且 f(x+a)= 函数。

，求证：f(x)为周期

11．设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α ，β （α <β ），已知函数 f(x)=

,（1）

求 f(α )、f(β )；（2）求证：f(x)在[α ，β ]上是增函数；（3）对任意正数 x1, x2，求证：

<2|α -β |. 五、联赛一试水平训练题 1．奇函数 f(x)存在函数 f-1(x)，若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位，然后向右平移 2 个单位后，再关于直线 y=-x 对称，得到的曲线所对应的函数是________.

2．若 a>0，a

1,F(x)是奇函数，则 G(x)=F(x)

是________（奇偶性）.

3．若

=x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②

F(-x)=

；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.

4.设函数 f：R→R 满足 f(0)=1，且对任意 x,y∈R，都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，则 f(x)=________. 5．已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1，且对任意 x∈R 都有 f(x+5)?f(x)+5, f(x+1) ? f(x)+1。若 g(x)=f(x)+1-x，则 g(2002)= ________.

6. 函数 f(x)=

的单调递增区间是________.

7. 函数 f(x)= 8. 函数 y=x+

的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。 的值域为________.

9．设 f(x)= 值。

,

对任意的 a∈R，记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求 V(a)的最小

10．解方程组：

（在实数范围内）

11．设 k∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn，

求证：对任意 n∈N+, 都有 六、联赛二试水平训练题

n?f(n)?

1． 求证： 恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f， 满足： 对任意 x≠0, f(x)=x· （1） f （2）对所有的 x≠-y 且 xy≠0，有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0 有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意

；

x>0, f(x)f

=1，试求 f(1).

3. f:[0,1]→R 满足：（1）任意 x∈[0, 1], f(x)?0；（2）f(1)=1；（3）当 x, y, x+y∈[0, 1] 时，f(x)+f(y)?f(x+y)，试求最小常数 c，对满足（1），（2），（3）的函数 f(x)都有 f(x)? cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。 5．对给定的正数 p,q∈(0, 1)，有 p+q>1?p2+q2，试求 f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。

6．已知 f: (0,1)→R 且 f(x)=

.

当 x∈

时，试求 f(x)的最大值。

7．函数 f(x)定义在整数集上，且满足 f(n)= 值。

，求 f(100)的

8．函数 y=f(x)定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角 证：方程 f(x)=x 恰有一个解；（2）试给出一个具有上述性质的函数。

后不变。（1）求

9．设 Q+是正有理数的集合，试构造一个函数 f: Q+→Q+，满足这样的条件：

f(xf(y))=

x, y∈Q+.

高中数学竞赛讲义（四）
──几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如 y=ax(a>0, a
x

1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值

域为（0，+∞），当 0<a<1 时，y=a 是减函数，当 a>1 时，y=ax 为增函数，它的图象恒过 定点（0，1）。

2．分数指数幂： 3．对数函数及其性质：形如 y=logax(a>0, a 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）； 1）ax=M x=logaM(a>0, a 1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N；

。 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，

+∞），值域为 R，图象过定点（1，0）。当 0<a<1，y=logax 为减函数，当 a>1 时，y=logax

3）loga（

）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，

5）loga

=

loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=

(a,b,c>0, a, c

1).

5. 函数 y=x+ 和

（a>0）的单调递增区间是 。（请读者自己用定义证明）

和

，单调递减区间为

6．连续函数的性质：若 a<b, f(x)在[a, b]上连续，且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)=0 在（a,b）上 至少有一个实根。 二、方法与例题 1．构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0（因为-1<a<1）. 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0， 所以 f(a)>0，即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 （柯西不等式）若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数，b1, b2,?,bn∈R，则

（

）·（

）?(

)2，等号当且仅当存在

R，使 ai=

, i=1, 2, ?, n

时成立。

【证明】 令 f(x)= （

）x2-2(

)x+

=

,

因为

>0，且对任意 x∈R, f(x)?0，

所以△=4(

)-4（

）(

)?0.

展开得（

）(

)?(

)2。 ，使 ai= , i=1, 2, ?, n。

等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在

例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2]，求 u=

的最小值。

【解】u=

=xy+

?xy+

+2·

=xy+

+2.

令 xy=t，则 0<t=xy?

,设 f(t)=t+ ,0<t?

因为 0<c?2，所以 0<

?1，所以 f(t)在

上单调递减。

所以 f(t)min=f(

)=

+

，所以 u?

+

+2.

当 x=y=

时，等号成立. 所以 u 的最小值为

+

+2.

2．指数和对数的运算技巧。

例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q)，求

的值。

【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t，则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t，

所以 9 t +12 t =16 t，即 1+

记 x=

，则 1+x=x2，解得

又

>0，所以

=

例 5 对于正整数 a, b, c(a?b?c)和实数 x, y, z, w， ax=by=cz=70w， 若 且 求证：a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

，

所以

lga=

lg70,

lgb=

lg70,

lgc=

lg70，

相加得

(lga+lgb+lgc)=

lg70，由题设

，

所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a>1. 又 a?b?c，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x 1, ac 1, a 1, c 1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得

， 因为 ac>0, ac 1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3．指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数 单调性的应用和未知数范围的讨论。

例 7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.

【解】 方程可化为

=1。设 f(x)=

, 则 f(x)在

(-∞,+∞)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3.

例 8 解方程组：

（其中 x, y∈R+）.

【解】 两边取对数，则原方程组可化为 把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6， 代入①得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y>0，所以 y=2, x=4.

①②

所以方程组的解为 例 9 已知 a>0, a

. 1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 若①、②同时成立，则③必成立，

.①②③

故只需解 由①可得 2kx=a(1+k2)， ④

.

当 k=0 时，④无解；当 k

0 时，④的解是 x=

，代入②得

>k.

若 k<0，则 k2>1，所以 k<-1；若 k>0，则 k2<1，所以 0<k<1. 综上，当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。 三、基础训练题 1．命题 p: “(log23)x-(log53)x?(log23)-y-(log53)-y”是命题 q:“x+y?0”的_________条件。 2．如果 x1 是方程 x+lgx=27 的根，x2 是方程 x+10x=27 的根，则 x1+x2=_________. 3．已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，点 A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x) 是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1 的解集为_________。

4．若 log2a

<0，则 a 取值范围是_________。

5． 命题 p: 函数 y=log2 6．若 0<b<1, a>0 且 a

在[2， +∞） 上是增函数； 命题 q: 函数 y=log2(ax2-4x+1)

的值域为 R，则 p 是 q 的_________条件。 1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b). 7．已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。

8．若 x=

，则与 x 最接近的整数是_________。

9．函数

的单调递增区间是_________。

10．函数 f(x)= ∈(-∞,1]时有意义，求 a 的取值范围。

的值域为_________。

11．设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a]，其中 n 为给定正整数, n?2, a∈R.若 f(x)在 x

12．当 a 为何值时，方程 四、高考水平训练题

=2 有一解，二解，无解？

1．函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是_________.

2．已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立，则 m 的取值范围是_________.

3．若 x∈{x|log2x=2-x}，则 x2, x, 1 从大到小排列是_________.

4. 若 f(x)=ln

，则使 f(a)+f(b)=

_________.

5. 命题 p: 函数 y=log2 6．若 0<b<1, a>0 且 a

在[2， +∞） 上是增函数； 命题 q： 函数 y=log2(ax2-4x+1)

的值域为 R，则 p 是 q 的_________条件. 1，比较大小：|loga(1-b)| _________|loga(1+b)|. 7．已知 f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.

8．若 x=

，则与 x 最接近的整数是_________.

9．函数 y=

的单调递增区间是_________.

10．函数 f(x)= x∈(-∞,1]时有意义，求 a 的取值范围。

的值域为_________.

11．设 f(x)=lg[1+2x+3 x +?+(n-1) x +n x·a]，其中 n 为给定正整数，n?2,a∈R。若 f(x) 在

12．当 a 为何值时，方程 四、高考水平训练题

=2 有一解，二解，无解？

1．函数 f(x)=

+lg(x2-1)的定义域是__________.

2．已知不等式 x2-logmx<0 在 x∈

时恒成立，则 m 的取值范围是 ________.

3．若 x∈{x|log2x=2-x}，则 x2, x, 1 从大到小排列是________.

4．若 f(x)=ln

，则使 f(a)+f(b)=

成立的 a, b 的取值范围是________.

5．已知 an=logn(n+1)，设 的值为_________.

，其中 p, q 为整数，且(p ,q)=1，则 p·q

6．已知 x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)·(lgy)的取值范围是________. 7．若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是________.

8． 函数 f(x)=

的定义域为 R， 若关于 x 的方程 f?2(x)+bf(x)+c=0 有 7

个不同的实数解，则 b, c 应满足的充要条件是________. （1）b<0 且 c>0；（2）b>0 且 c<0；（3）b<0 且 c=0；（4）b?0 且 c=0。

9． 已知 f(x)=

x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t

0)， F(x)是________函数 则 （填奇偶性） .

10．已知 f(x)=lg f(a)+f(b)=________.

，若

=1，

=2，其中|a|<1, |b|<1，则

11．设 a∈R，试讨论关于 x 的方程 lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。

12．设 f(x)=|lgx|，实数 a, b 满足 0<a<b, f(a)=f(b)=2f

，求证：

（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4. 13．设 a>0 且 a 1, f(x)=loga(x+ )(x?1)，（1）求 f(x)的反函数 f-1(x)；（2）若

f-1(n)<

(n∈N+)，求 a 的取值范围。

五、联赛一试水平训练题

1．如果 log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0，那么将 x, y, z 从小到 大排列为___________.

2． 设对任意实数 x0> x1> x2> x3>0， 都有 log 恒成立，则 k 的最大值为___________.

1993+ log

1993+ log

1993> klog

1993

3．实数 x, y 满足 4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则

的值为___________.

4． 已知 0<b<1, 00<α <450， 则以下三个数： x=(sinα )logbsina, y=(cosα ) logbsina, z=(sinα ) logbsina 从小到大排列为___________. 5．用[x]表示不超过 x 的最大整数，则方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是___________. 6．设 a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记 a, b, c 中的最大数为 M，则 M 的最小值为___________.

7．若 f(x)(x∈R)是周期为 2 的偶函数，当 x∈[0,1]时，f(x)=

，则

，

由小到大排列为___________.

8．不等式

+2>0 的解集为___________.

9．已知 a>1, b>1，且 lg(a+b)=lga+lgb，求 lg(a-1)+lg(b-1).

10．（1）试画出由方程 图象。

所确定的函数 y=f(x)

（2）若函数 y=ax+

与 y=f(x)的图象恰有一个公共点，求 a 的取值范围。 ]+[ ]+?+[ ]=[log2n]+[log3n]+?+[lognn]。

11． 对于任意 n∈N+(n>1)， 试证明： [ 六、联赛二试水平训练题

1．设 x, y, z∈R+且 x+y+z=1，求 u=

的最小值。

2．当 a 为何值时，不等式 log 一个解（a>1 且 a 1）。

·log5(x2+ax+6)+loga3?0 有且只有

3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何 x, y>1 及 u, v>0, f(xuyv)?[f(x)] [f(y)] ①都成立，试确定所有这样的函数 f(x).

4. 求所有函数 f：R→R，使得 xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。 5．设 m?14 是一个整数，函数 f：N→N 定义如下：

f(n)= 求出所有的 m,使得 f(1995)=1995.

,

6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数 f: f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)·f(y), x, y∈Q. 7．是否存在函数 f(n)，将自然数集 N 映为自身，且对每个 n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1)) 都成立。 8．设 p, q 是任意自然数，求证：存在这样的 f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合），

使对 x 轴上的某个长为

的开区间中的每一个数 x, 有

9． ， 为实数， 设α β 求所有 f: R+→R， 使得对任意的 x,y∈R+, f(x)f(y)=y2· f 成立。

高中数学竞赛讲义（五）
──数列 一、基础知识 定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，?，n，?. 数列分有穷数列和无穷 数列两种，数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,?，an 或 a1, a2, a3,?，an?。其中 a1 叫做 数列的首项，an 是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和，则 S1=a1, 当 n>1 时，an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数 列，d 叫做公差。若三个数 a, b,c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和 c 的等差中项，若 公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：

Sn=

； an-am=(n-m)d， 3） 其中 n, m 为正整数； 若 n+m=p+q， 4）

则 an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至少有一个不 为零，则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.

定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有 公比。

，则{an}称为等比数列，q 叫做

定理 3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前 n 项和 Sn，当 q 当 q=1 时，Sn=na1；3）如果 a,b, c 成等比数列，即 b2=ac(b 4）若 m+n=p+q，则 aman=apaq。

1 时，Sn=

；

0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项；

定义 4 极限，给定数列{an}和实数 A，若对任意的 >0，存在 M，对任意的 n>M(n∈ N),都有|an-A|< ，则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限，记作 定义 5 无穷递缩等比数列， 若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1， 则称之为无穷递增等比

数列，其前 n 项和 Sn 的极限（即其所有项的和）为

（由极限的定义可得）。

定理 3 第一数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)时 n=k 成 立时能推出 p(n)对 n=k+1 成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一切自然数 n?n0 成立。 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当 p(n)对一切 n ?k 的自然数 n 都成立时（k?n0）可推出 p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题 p(n)对一 切自然数 n?n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2， 设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为 α ,β :(1)若α 则 xn=(c1n+c2) α β ，则 xn=c1an-1+c2β
n-1 n-1

，其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定；(2)若α =β ，

，其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。

二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律， 当然结论未必都是正确的， 但却是人 类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，?；2） 1，5，19，65，?；3）-1，0，3，8，15，?。 【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.

例 2 已知数列{an}满足 a1=

,a1+a2+?+an=n2an, n?1，求通项 an.

【解】 因为 a1=

,又 a1+a2=22·a2,

所以 a2=

，a3=

,猜想

(n?1).

证明；1）当 n=1 时，a1=

，猜想正确。2）假设当 n?k 时猜想成立。

当 n=k+1 时，由归纳假设及题设，a1+ a2+?+ak=[(k+1)2-1] ak+1,，

所以

=k(k+2)ak+1,

即

=k(k+2)ak+1,

所以

=k(k+2)ak+1,所以 ak+1=

由数学归纳法可得猜想成立，所以

例 3 设 0<a<1，数列{an}满足 a1=1+a, an-1=a+ 【证明】 证明更强的结论：1<an?1+a. 1)当 n=1 时，1<a1=1+a，①式成立；

，求证：对任意 n∈N+,有 an>1.

2)假设 n=k 时，①式成立，即 1<an?1+a，则当 n=k+1 时，有

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。 2．迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立，因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等，这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n?3，q ·an+ 【证明】 ·an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2·(-qan)+ ). + + =0，取 c=0 即可. ，公 = 0，求证：存在常数 c，使得

+an(pqn+1+qan)]=q( 若 若 式为 q 的等比数列。 =0，则对任意 n, 0，则{

}是首项为

所以

+

=

·qn.

取 综上，结论成立。 例 5 已知 a1=0, an+1=5an+

·

即可.

，求证：an 都是整数，n∈N+.

【证明】 因为 a1=0, a2=1，所以由题设知当 n?1 时 an+1>an. 又由 an+1=5an+ 移项、平方得 ① 当 n?2 时，把①式中的 n 换成 n-1 得 ② 因为 an-1<an+1，所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ 由韦达定理得 an+1+ an-1=10an(n?2). 再由 a1=0, a2=1 及③式可知，当 n∈N+时，an 都是整数。 3．数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 -1=0 的两个不等根。 ，即

例 6 已知 an=

(n=1, 2, ?)，求 S99=a1+a2+?+a99.

【解】 因为 an+a100-n=

+

=

，

所以 S99=

例 7 求和：

+?+

【解】 一般地，

，

所以 Sn=

例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1， n+2=an+1+an, Sn 为数列 a

的前 n 项和， 求证： n<2。 S

【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为 1，1，2，3，5，8，13。

因为

，

①

所以

。

②

由①-②得

，

所以

。

又因为 Sn-2<Sn 且

>0,

所以 所以 Sn<2，得证。 4．特征方程法。

Sn, 所以

，

例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求 an. 【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2.

故设 an=(α +β n)·2n-1，其中 所以α =3，β =0， 所以 an=3·2n-1.

，

例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项 an. 【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1,

所以 an=α ·3n+β ·(-1)n，其中

，

解得α =

，β

，

所以 5．构造等差或等比数列。

·3]。

例 11 正数列 a0,a1,?,an,?满足

=2an-1(n?2)且 a0=a1=1，求通项。

【解】 由

得

=1，

即

令 bn=

+1，则{bn}是首项为

+1=2，公比为 2 的等比数列，

所以 bn=

+1=2n，所以

=（2n-1）2，

所以 an=

·

?

·

·a0=

注：

C1·C2·?·Cn.

例 12 已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

,n∈N+, 求通项。

【解】 考虑函数 f(x)=

的不动点，由

=x 得 x=

因为 x1=2, xn+1= 又 +2?

,可知{xn}的每项均为正数。 ，所以 xn+1? (n?1)。又

Xn+1-

=

=

,

①

Xn+1+

=

=

,

②

由①÷②得

。

③

又

>0，

由③可知对任意 n∈N+，

>0 且

,

所以

是首项为

，公比为 2 的等比数列。

所以

·

，所以

，

解得

·

。

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、基础训练题 1． 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)， 其中 Sn 为{xn}前 n 项和， n?2 时，n=_________. 当 x

2. 数列{xn}满足 x1=

，xn+1=

,则{xn}的通项 xn=_________.

3. 数列{xn}满足 x1=1，xn=

+2n-1(n?2)，则{xn}的通项 xn=_________.

4. 等差数列{an}满足 3a8=5a13， a1>0, Sn 为前 n 项之和， 且 则当 Sn 最大时， n=_________. 5. 等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10，S30=70，则 S40=_________. 6. 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n?2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+?+ xn，则 S100=_________. 7. 数列{an}中，Sn=a1+a2+?+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+?+|a10|=_________.

8. 若 x1=_________.

，并且 x1+x2+?+ xn=8，则

9. 等差数列{an}， n}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn， {b 若

， 则

=_________.

10. 若 n!=n(n-1)?2·1, 则

=_________.

11．若{an}是无穷等比数列，an 为正整数，且满足

a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+log2a5·log2a6=36，求 12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{

的通项。

}是公比为 q 的等比数列，且

b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q 的值；（2）数列{bn}的前 n 项和 Sn。 四、高考水平训练题

1．已知函数 f(x)= N+)，则 a2006=_____________.

，若数列{an}满足 a1=

，an+1=f(an)(n∈

2．已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1(n?2)，则{an}的通项

an= 3. 若 an=n2+

. , 且{an}是递增数列，则实数 的取值范围是__________.

4. 设正项等比数列{an}的首项 a1= an=_____________.

, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-（210+1）S20+S10=0，则

5. 已知

，则 a 的取值范围是______________.

6．数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N+) ，存在_________个 a1 值，使{an}成等差数列；存 在________个 a1 值，使{an}成等比数列。

7．已知 ____________.

(n ∈N+)，则在数列{an}的前 50 项中，最大项与最小项分别是

8．有 4 个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四 个数的和中 16，第二个数与第三个数的和是 12，则这四个数分别为____________. 9. 设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等 比中项，则 an=____________. 10. 在公比大于 1 的等比数列中， 最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数. 11．已知数列{an}中，an 0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是

（n?2）①恒成立。

12．已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn=

(n?2), 当 a1=p, b1=q(p>0, q>0)且

p+q=1 时，（1）求证：an>0,bn>0 且 an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1= 数列 13．是否存在常数 a, b, c，使题设等式

；（3）求

1·22+2·32+?+n·(n+1)2=

(an2+bn+c)

对于一切自然数 n 都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项和为 972，这样的数 列共有_________个。

2．设数列{xn}满足 x1=1, xn= 3. 设数列{an}满足 a1=3, an>0，且

，则通项 xn=__________. ，则通项 an=__________.

4. 已知数列 a0, a1, a2, ?, an, ?满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18，且 a0=3，则 =__________. 5. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这 样的数列至多有__________项.

7. 数列{an}满足 a1=2, a2=6, 且

=2，则

________.

8. 数列{an} 称为等差比数列， 当且仅当此数列满足 a0=0, {an+1-qan}构成公比为 q 的等比 数列，q 称为此等差比数列的差比。那么，由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时，项数最多有__________项.

9．设 h∈N+，数列{an}定义为：a0=1, an+1= 存在大于 0 的整数 n，使得 an=1？

。问：对于怎样的 h，

10．设{ak}k?1 为一非负整数列，且对任意 k?1，满足 ak?a2k+a2k+1，（1）求证：对任 意正整数 n，数列中存在 n 个连续项为 0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非 零项的数列。 11．求证：存在唯一的正整数数列 a1,a2,?,使得

a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)= 六、联赛二试水平训练题 1．设 an 为下述自然数 N 的个数：N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1，3 或 4， 求证：a2n 是完全平方数，这里 n=1, 2,?. 2．设 a1, a2,?, an 表示整数 1，2，?，n 的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质 的排列数目：①a1=1; ②|ai-ai+1|?2, i=1,2,?,n-1。 试问 f(2007)能否被 3 整除？ 3．设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0，且

求证：an (n=0,1,2,?)是完全平方数。 4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,?),

（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个 n?1，使 ?3.999 均成立；

（2）寻求这样的一个数列使不等式 这样的序列最多有多少项？

<4 对任一 n 均成立。

5．设 x1,x2,?,xn 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,?,n)①.试问

6．设 a1=a2=

，且当 n=3,4,5,?时，an=

,

(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：

是整数的平方。

7．整数列 u0,u1,u2,u3,?满足 u0=1，且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu，这里 k 是某个固定 的正整数。如果 u2000=2000，求 k 的所有可能的值。

8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的 m, k，有|xm-xk|? 9.已知 n 个正整数 a0,a1,?，an 和实数 q，其中 0<q<1，求证：n 个实数 b0,b1,?，bn 和满 足：（1）ak<bk(k=1,2,?,n)；

（2）q<

<

(k=1,2,?,n)；

（3）b1+b2+?+bn<

(a0+a1+?+an).

高中数学竞赛讲义（六）
──三角函数 一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向， 则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意 的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|α

|=

,其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α 的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴

重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为

r,则正弦函数 sinα =

,余弦函数 cosα =

,正切函数 tanα =

，余切函数 cotα =

，正割

函数 secα =

,余割函数 cscα =

定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα =

,sinα =

，cosα

=

；商数关系：tanα =

；乘积关系：tanα ×cosα =sinα ,cotα ×

sinα =cosα ；平方关系：sin2α +cos2α =1,tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式 （Ⅰ） sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cot α ;（Ⅱ）sin(-α )=-sinα ,cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; （Ⅲ）sin(π-α )=sin

α , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; （Ⅳ）sin

=cos

α , cos

=sinα , tan

=cotα （奇变偶不变，符号看象限）。

定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得 y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区

间

上为增函数，在区间

上为减函数，最小正周

期为 2

. 奇偶数. 有界性：当且仅当 x=2kx+

时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k

-

时, y

取最小值-1。对称性：直线 x=k [-1，1]。这里 k∈Z.

+

均为其对称轴，点（k

, 0）均为其对称中心，值域为

定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对

称性：直线 x=kπ 均为其对称轴，点

均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2kπ

时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2kπ-π 时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里 k∈Z.

定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x

kπ+

)在开区间(kπ-

, kπ+

)上

为增函数, 最小正周期为 π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+ 中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式： cos(α β )=cosα cosβ

，0）均为其对称

sinα sinβ ,sin(α

β )=sin

α cosβ

cosα sinβ ; tan(α

β )=

定理 7 和差化积与积化和差公式:

sinα +sinβ =2sin

cos

,sinα -sinβ =2sin

cos

,

cosα +cosβ =2cos

cos

, cosα -cosβ =-2sin

sin

,

sinα cosβ =

[sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ =

[sin(α +β )-sin(α -β )],

cosα cosβ =

[cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =-

[cos(α +β )-cos(α -β )].

定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,

tan2α =

定理 9 半角公式:sin

=

,cos

=

,

tan

=

=

定理 10 万能公式:

,

,

定理 11 辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2

0，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过

点(a, b)的一个角为β ，则 sinβ = asinα +bcosα = sin(α +β ).

,cosβ =

，对任意的角α .

定理 12 正弦定理：在任意△ABC 中有 是角 A，B，C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径。

，其中 a, b, c 分别

定理 13 余弦定理：在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得

y=sin(x+

)的图象 （相位变换） 纵坐标不变， ； 横坐标变为原来的

， 得到 y=sin

(

)

的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变 换）；y=Asin( x+ )( >0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，

得到 y=Asinx 的图象 （振幅变换） y=Asin( ； 个单位得到 y=Asin x 的图象。

x+

)(

,

>0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移

定义 4 函数 y=sinx

的反函数叫反正弦函数， 记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1])，

函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数

y=tanx

的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0,

π])的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n ∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是

{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=

；arctana+arccota=

.

定理 16 若 二、方法与例题 1．结合图象解题。

，则 sinx<x<tanx.

例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有 6 个交点，故方程有 6 个解。 2．三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。

【解】 若

，则 cosx?1 且 cosx>-1，所以 cos

，

所以 sin(cosx) ?0,又 0<sinx?1, 所以 cos(sinx)>0， 所以 cos(sinx)>sin(cosx).

若

，则因为 sinx+cosx=

(sinxcos

+sin

cosx)=

sin(x+

)?

<

，

所以 0<sinx<

-cosx<

，

所以 cos(sinx)>cos(

-cosx)=sin(cosx).

综上，当 x∈(0,π)时，总有 cos(sinx)<sin(cosx).

例 3 已知α ，β 为锐角，且 x·（α +β -

）>0，求证：

【证明】 若α +β >

，则 x>0，由α >

-β >0 得 cosα <cos(

-β )=sinβ ,

所以 0<

<1，又 sinα >sin(

-β )=cosβ , 所以 0<

<1，

所以

若α +β <

，则 x<0，由 0<α <

-β <

得 cosα >cos(

-β )=sinβ >0,

所以

>1。又 0<sinα <sin(

-β )=cosβ ，所以

>1，

所以

，得证。

注： 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式， 值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π 是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx）；其

次，当且仅当 x=kπ+

时，y=0（因为|2cosx|?2<π）, sin(2cosπ)， 所以 T0=2π。

所以若最小正周期为 T0， T0=mπ, m∈N+， sin(2cos0)=sin2 则 又 4．三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+

，求函数的最大值与最小值。

【解法一】 令 sinx=

,

则有 y=

因为

，所以

，

所以

?1，

所以当

，即 x=2kπ-

(k∈Z)时，ymin=0，

当

，即 x=2kπ+

(k∈Z)时，ymax=2. ,

【解法二】 因为 y=sinx+ =2（因为(a+b)2?2(a2+b2)）， 且|sinx|?1? ，所以 0?sinx+ ?2，

所以当

=sinx，即 x=2kπ+

(k∈Z)时, ymax=2，

当

=-sinx，即 x=2kπ-

(k∈Z)时, ymin=0。

例 6 设 0< <π，求 sin

的最大值。

【解】因为 0< <π，所以

，所以 sin

>0, cos

>0.

所以 sin

（1+cos ）=2sin

·cos2

=

?

=

当且仅当 2sin2

=cos2

, 即 tan

=

,

=2arctan

时， sin

(1+cos )取得最大值

。 例 7 若 A，B，C 为△ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。

【解】 因为 sinA+sinB=2sin

cos

,①

sinC+sin

,

②

又因为 ③

，

由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin

?4sin

,

所以 sinA+sinB+sinC?3sin

=

,

当 A=B=C=

时，（sinA+sinB+sinC）max=

.

注：三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。

例8 求

的值域。

【解】 设 t=sinx+cosx=

因为 所以 又因为 t2=1+2sinxcosx,

所以 sinxcosx=

，所以

，

所以

因为 t

-1，所以

，所以 y

-1.

所以函数值域为

例 9 已知 a0=1, an=

(n∈N+)，求证：an>

.

【证明】 由题设 an>0，令 an=tanan, an∈

，则

an=

因为

，an∈

，所以 an=

，所以 an=

又因为 a0=tana1=1，所以 a0=

，所以

·

。

又因为当 0<x<

时，tanx>x，所以

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。

另外当 x∈ 证明是很容易的。

时，有 tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，

6．图象变换：y=sinx(x∈R)与 y=Asin( 由 y=sinx 的图象向左平移

x+

)(A,

,

>0).

个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，

然后再保持纵坐标不变， 横坐标变为原来的

， 得到 y=Asin(

x+

)的图象； 也可以由 y=sinx

的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来

的

，最后向左平移

个单位，得到 y=Asin(

x+

)的图象。

例 10 例 10 已知 f(x)=sin(

x+

)(

>0, 0?

?π)是 R 上的偶函数，其图象关于点

对称，且在区间

上是单调函数，求 +

和

的值。 x+ )， 所以 cos sinx=0，

【解】 f(x)是偶函数， 由 所以 f(-x)=f(x)， 所以 sin( 对任意 x∈R 成立。

)=sin(-

又 0?

?π，解得

=

，

因为 f(x)图象关于

对称，所以

=0。

取 x=0，得

=0，所以 sin

所以

(k∈Z)，即

=

(2k+1) (k∈Z).

又

>0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+

)在[0，

]上是减函数；

取 k=1 时，

=2，此时 f(x)=sin(2x+

)在[0，

]上是减函数；

取 k=2 时，

≥

，此时 f(x)=sin(

x+

)在[0，

]上不是单调函数，

综上，

=

或 2。

7．三角公式的应用。

例 11 已知 sin(α-β)= sin2α,cos2β 的值。

，sin(α+β)=-

，且 α-β∈

，α+β∈

，求

【解】 因为 α-β∈

，所以 cos(α-β)=-

又因为 α+β∈

，所以 cos(α+β)=

所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

,

例 12 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且

，试

求

的值。

【解】 因为 A=1200-C，所以 cos

=cos(600-C)，

又由于

=

，

所以

=0。

解得

或

。

又

>0，所以

。

例 13 求证：tan20 +4cos70 .

【解】 tan20 +4cos70 =

+4sin20

三、基础训练题 1．已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3)，则 x 的弧度数为___________。

2．适合 3．给出下列命题：（1）若 α

-2cscx 的角的集合为___________。 β，则 sinα sinβ；（2）若 sinα sinβ,则 α β；（3）

若 sinα>0，则 α 为第一或第二象限角；（4）若 α 为第一或第二象限角，则 sinα>0. 上述四 个命题中，正确的命题有__________个。

4．已知 sinx+cosx=

(x∈(0, π))，则 cotx=___________。

5．简谐振动 x1=Asin x=___________。 6．已知 3sinx-4cosx=5sin(x+
4 分别是第________象限角。

和 x2=Bsin

叠加后得到的合振动是

1)=5sin(x-

2)=5cos(x+

3)=5cos(x-

4)，则

1，

2，

3，

7．满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。

8．已知

，则

=___________。

9．

=___________。

10．cot15 cos25 cot35 cot85 =___________。

11．已知 α,β∈(0, π), tan

, sin(α+β)=

，求 cosβ 的值。

12．已知函数 f(x)= 四、高考水平训练题

在区间

上单调递减，试求实数 m 的取值范围。

1．已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R，若其周长为定值 c(c>0)，当扇形面积最大 时，a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

3. 函数

的值域为__________.

4. 方程

=0 的实根个数为__________.

5. 若 sina+cosa=tana, a

，则

__________a（填大小关系）.

6. (1+tan1 )(1+tan2 )?(1+tan44 )(1+tan45 )=__________.

7. 若 0<y?x<

且 tanx=3tany，则 x-y 的最大值为__________.

8.

=__________.

9.

·cos

·cos

·cos

·cos

=__________.

10. cos271 +cos71 cos49 +cos249 =__________. 11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.

13. 已知 f(x)=

(kA

0, k∈Z, 且 A∈R)，（1）试求 f(x)的最大值和最小值；

（2）若 A>0, k=-1，求 f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数 k，使得当 x 在任意两个整数 （包括整数本身）间变化时，函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、联赛一试水平训练题（一） 1．若 x, y∈R，则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________.

2．已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 实数 k 的取值范围是____________.

的一个最大值点与一个最小值点，则

3．f( )=5+8cos +4cos2 +cos3 的最小值为____________. 4．方程 sinx+ cosx+a=0 在（0，2π）内有相异两实根 α，β，则 α+β=____________.

5．函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

6．设 sina>0>cosa, 且 sin

>cos

，则

的取值范围是____________.

7．方程 tan5x+tan3x=0 在[0，π]中有__________个解. 8．若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.

9．若 0< <

, m∈N+, 比较大小：(2m+1)sinm (1-sin )__________1-sin2m+1 .

10．cot70 +4cos70 =____________.

11. 在方程组

中消去 x, y，求出关于 a, b, c 的关系式。

12．已知 α，β，γ

，且 cos2α+cos2β+cos2γ=1，求 tanαtanβtanγ 的最小值。

13．关于 x, y 的方程组 等，求 sinα+sinβ+sinγ 的值。

有唯一一组解，且 sinα, sinβ, sinγ 互不相

14．求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对（x, y）, x, y 联赛一试水平训练题（二）

.

1．在平面直角坐标系中，函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的 图象与函数 g(x)= 的图象所围成的封闭图形的面积是__________.

2．若 __________.

，则 y=tan

-tan

+cos

的最大值是

3． 在△ABC 中， BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0， 记 则

=__________.

4．设 f(x)=x2-πx, α=arcsin

, β=arctan

, γ=arccos

, δ=arccot

,将

f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________. 5．logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为 __________. 6．在锐角△ABC 中，cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα，则 tanα·tanβ·tanγ=__________.

7．已知矩形的两边长分别为 tan R, f(x)=sin ·x2+

和 1+cos (0< <π)，且对任何 x∈

·x+cos ?0，则此矩形面积的取值范围是__________.

8．在锐角△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9．已知当 x∈[0, 1]，不等式 x2cos -x(1-x)+(1-x)2sin >0 恒成立，则 的取值范围是 __________. 10．已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________.

11． 已知 a1, a2, ?,an 是 n 个实常数， 考虑关于 x 的函数： f(x)=cos(a1+x)+

cos(a2+x) +?

+

cos(an+x)。求证：若实数 x1, x2 满足 f(x1)=f(x2)=0，则存在整数 m，使得 x2-x1=mπ.

12．在△ABC 中，已知

，求证：此三角形中有一个内角为

。

13．求证：对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+?+|sin(3n-1)|+|sin3n|>

.

六、联赛二试水平训练题 1．已知 x>0, y>0, 且 x+y<π，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0①（w∈R）.

2. 已知 a 为锐角，n?2, n∈N+，求证：

?2n-2

+1.

3. 设 x1, x2,?, xn,?, y1, y2,?, yn,?满足 x1=y1= 求证：2<xnyn<3(n?2).

, xn+1=xn+

, yn+1=

，

4．已知 α，β，γ 为锐角，且 cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；

π<α+β+γ<π.

5．求实数 a 的取值范围，使得对任意实数 x 和任意

，恒有(x+3+2sin

cos )2+(x+asin +asin )2?

6. 设 n, m 都是正整数，并且 n>m，求证：对一切 x 3|sinnx-cosnx|.

都有 2|sinnx-cosnx|?

7．在△ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。

8．求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, ?, cos2na, ?中的每一项均为负数。

9．已知
1，

i

，tan
n 都有

1tan

2?tan

n=2

, n∈N+, 若对任意一组满足上述条件的
n?λ，求

2，?，

cos

1+cos

2+?+cos

λ 的最小值。

高中数学竞赛讲义（七）
──解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A，B，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各

边长，

为半周长。

1．正弦定理：

=2R（R 为△ABC 外接圆半径）。

推论 1：△ABC 的面积为 S△ABC= 推论 2：在△ABC 中，有 bcosC+ccosB=a.

推论 3：在△ABC 中，A+B= ，解 a 满足

，则 a=A.

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由

正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，所以 S△ABC=

；再证推论 2，因为 B+C=

-A，所以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a；

再证推论 3，由正弦定理

，所以

，即 sinasin( -A)=sin(

-a)sinA， 等价于

[cos( -A+a)-cos( -A-a)]=

[cos( -a+A)-cos( -a-A)]， 等价于 cos( . 所以只有 -A+a= -a+A， 所以 a=A， 得证。

-A+a)=cos( -a+A)， 因为 0< -A+a， -a+A<

2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA 常用的结论。

，下面用余弦定理证明几个

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点，BD=p，DC=q，则

AD2=

（1）

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos 因为 ADB+ ADC= ， ADC=0， ， ① ②

，

所以 cos

ADB+cos

所以 q×①+p×②得

qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q)，即 AD =

2

2

2

2

注：在（1）式中，若 p=q，则为中线长公式

（ 2 ） 海 伦 公 式 ： 因 为

b c sin A=

2 2

2

b c (1-cos A)=

2 2

2

bc

2 2

[(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c).

2

2

2

这里 所以 S△ABC= 二、方法与例题 1．面积法。 例 1 （共线关系的张角公式）如图所示，从 O 点发出的三条射线满足 ， 另外 OP， OQ， 的长分别为 u, w, v， OR 这里 α， α+β∈(0, β， 则 P，Q，R 的共线的充要条件是 )，

【证明】P，Q，R 共线

(α+β)=

uwsinα+

vwsinβ

，得证。 2．正弦定理的应用。

例 2 如图所示，△ABC 内有一点 P，使得 ACB。 求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD BC，PE AC，PF

BPC-

BAC=

CPA-

CBA=

APB-

AB，垂足分别为 D，E，F，则 P，D， EDF=
0

C，E；P，E，A，F；P，D，B，F 三组四点共圆，所以 PBA= BPC0

PDE+

PDF= BAC+

PCA+ CBA+

BAC。由题设及 BAC= CPA-

BPC+ CBA=

CPA+ APB-

APB=360 可得 ACB=600。 BAC=BPsin

ACB=180 。 所以 所以 BPCEDF=600，同理 DEF=600，所以△DEF 是正三角形。 ACB=APsin ABC，两边同时

所以 DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin

乘以△ABC 的外接圆直径 2R，得 CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证： 例 3 如图所示， △ABC 的各边分别与两圆⊙O1， 2 相切， ⊙O 直线 GF 与 DE 交于 P， 求证： PA BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M，

因为 O1G

BC，O2D

BC，所以只需证

由正弦定理

，

所以

另一方面，

，

所以

，

所以 即 PA

，所以 PA//O1G， BC，得证。

3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点 A，B，C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z， 则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ABC 中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。

例 5 设 a, b, c∈R+，且 abc+a+c=b，试求

的最大值。

【解】 由题设

，令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,

则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤

，

当且仅当 α+β=

，sinγ=

，即 a=

时，Pmax=

例 6 在△ABC 中，若 a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<

【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β

.

因为 a, b, c 为三边长，所以 c<

, c>|a-b|，

从而

，所以 sin2β>|cos2α·cos2β|.

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β

=

[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]

=

+

cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)

>

+

cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=

.

所以 a2+b2+c2+4abc< 三、基础训练题

1．在△ABC 中，边 AB 为最长边，且 sinAsinB= __________. 2．在△ABC 中，若 AB=1，BC=2，则

，则 cosAcosB 的最大值为

的取值范围是__________. tanCtanB，则△ABC 的面积为

3．在△ABC 中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+ __________. 4．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则

=__________.

5．在△ABC 中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件. 6．在△ABC 中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角 A 的取值范围是__________.

7．在△ABC 中，sinA=

，cosB=

，则 cosC=__________.

8．在△ABC 中，“三边 a, b, c 成等差数列”是“tan 件. 9．在△ABC 中，若 sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.

”的__________条

10．在△ABC 中，tanA·tanB>1，则△ABC 为__________角三角形. 11．三角形有一个角是 600，夹这个角的两边之比是 8：5，内切圆的面积是 12 这个三角形的面积。 12．已知锐角△ABC 的外心为 D，过 A，B，D 三点作圆，分别与 AC，BC 相交于 M， N 两点。求证：△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。 ，求

13．已知△ABC 中，sinC= 四、高考水平训练题

，试判断其形状。

1．在△ABC 中，若 tanA=

, tanB=

，且最长边长为 1，则最短边长为__________.

2．已知 n∈N+，则以 3，5，n 为三边长的钝角三角形有________个. 3．已知 p, q∈R+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C. 4．在△ABC 中，若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三 角形.

5．若 A 为△ABC 的内角，比较大小：

__________3.

6．若△ABC 满足 acosA=bcosB，则△ABC 的形状为__________. 7．满足 A=600，a= , b=4 的三角形有__________个.

8．设 为三角形最小内角，且 acos2 __________.

+sin2

-cos2

-asin2

=a+1，则 a 的取值范围是

9．A，B，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔 D 的西南方向，正西方向，西偏北 30 方向，且 AB=BC=1km，求塔与公路 AC 段的最近距离。 10．求方程 的实数解。
0

11．求证： 五、联赛一试水平训练题 1．在△ABC 中，b2=ac，则 sinB+cosB 的取值范围是____________.

2．在△ABC 中，若

，则△ABC 的形状为____________.

3．对任意的△ABC， ____________.

-(cotA+cotB+cotC)，则 T 的最大值为

4．在△ABC 中，

的最大值为____________. ，C，D 为动点，且

5．平面上有四个点 A，B，C，D，其中 A，B 为定点，|AB|=

|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S，S△BCD=T，则 S2+T2 的取值范围是____________. 6．在△ABC 中，AC=BC， ABO=300，则 ACO=____________. ，O 为△ABC 的一点， ，

7．在△ABC 中，A≥B≥C≥ 最小值为__________.

，则乘积

的最大值为____________，

8． 在△ABC 中， c-a 等于 AC 边上的高 h， 若 则 9．如图所示，M，N 分别是△ABC 外接圆的弧

=____________. ，AC 中点，P 为 BC 上的动点，PM

交 AB 于 Q，PN 交 AC 于 R，△ABC 的内心为 I，求证：Q，I，R 三点共线。

10 ． 如 图 所 示 ， P ， Q ， R 分 别 是 △ ABC 的 边 BC ， CA ， AB 上 一 点 ， 且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。 11．在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使 BF=FC，CD=DA， AE=EB， ADC=2 BAC， AEB=2 ABC， BFC=2 ACB，并且 AF，BD，CE 交 于一点，试判断△ABC 的形状。 六、联赛二试水平训练题 1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以 BC 的中点为圆心，且与两腰 AB 和 AC 分别 相切于点 D 和 G，EF 与半圆相切，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过 E 作 AB 的垂线，过 F

作 AC 的垂线，两垂线相交于 P，作 PQ B。

BC，Q 为垂足。求证：

，此处 =

2．设四边形 ABCD 的对角线交于点 O，点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点，点 H1， H2（不重合）分别是△AOB 与△COD 的垂心，求证：H1H2 MN。

3．已知△ABC，其中 BC 上有一点 M，且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等，求证：

，此处

(a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 ABC= AED=900， BAC= EAD，BD 与 CE 交

4．已知凸五边形 ABCDE，其中 于点 O，求证：AO BE。

5．已知等腰梯形 ABCD，G 是对角线 BD 与 AC 的交点，过点 G 作 EF 与上、下底平 行，点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上，求证： AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。 7．已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d，外接圆半径为 R，如果 a2+b2+c2+d2=8R2， 试问对此四边形有何要求？ 8．设四边形 ABCD 内接于圆，BA 和 CD 延长后交于点 R，AD 和 BC 延长后交于点 P， A， B， C 指 的 都 是 △ ABC 的 内 角 ， 求 证 ： 若 AC 与 BD 交 于 点 Q ， 则 AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。 PAQ= QAR= RAS，求证： 6．AP，AQ，AR，AS 是同一个圆中的四条弦，已知

9．设 P 是△ABC 内一点，点 P 至 BC，CA，AB 的垂线分别为 PD，PE，PF（D，E， F 是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

高中数学竞赛讲义（八）
──平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量，如 a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同，模为 1 的向量称为单位向量。

定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0，使得 a= f

定理 3 平面向量的基本定理， 若平面内的向量 a, b 不共线， 则对同一平面内任意向是 c， 存在唯一一对实数 x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作 为基底，任取一个向量 c，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则（x, y） 叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积， 若非零向量 a, b 的夹角为 ， a, b 的数量积记作 a· 则 b=|a|· |b|cos =|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影（注：投影可能为负值）。 定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，

3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

(a, b

0),

定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p2 的一点，则存在唯一实数 λ，使

，

λ叫P分

所成的比，若 O 为平面内任意一点，则

。由此可得若

P1，P，P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移 |a|= 个单位得到图形 ， 这一过程叫做平移。 p(x, y)是 F 上任意一点， 设 平移到

上对应的点为

，则

称为平移公式。

定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2· 2-|a· 2= |b| b| |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0， 又|a· b|≥0,

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,?,xn)，b=(y1, y2, ?, yn)， 同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| ， 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 ：

(x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn)，同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| ， 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 ： (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。 2）对于任意 n 个向量，a1, a2, ?,an，有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1．向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心，求证：

【证明】 记 后与原正 n 边形重合，所以

， 若 不变，这不可能，所以

， 则将正 n 边形绕中心 O 旋转

例 2 给定△ABC，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是 【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为 D，E，F，延长 AD 至 P，使 DP=GD， 则 又因为 BC 与 GP 互相平分， 所以 BPCG 为平行四边形，所以 BG 所以 充分性。 若 因为 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在凸四边形 ABCD 中，P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点，求证： AB +BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示，结结 BQ，QD。 因为 ，
2

PC，所以

， 延长 AG 交 BC 于 D， GP=AG， 使 连结 CP， 则 ，则 ，所以 GB CP，所以 AG 平分 BC。

所以 = = 又因为 同理 ， ② ， ③ 由①，②，③可得 。得证。 2．证利用定理 2 证明共线。 例 4 △ABC 外心为 O，垂心为 H，重心为 G。求证：O，G，H 为共线，且 OG：GH=1： 2。 · ①

【证明】 首先

=

其次设 BO 交外接圆于另一点 E，则连结 CE 后得 CE 又 AH 又 EA 所以 所以 所以 所以 与 ， 共线，所以 O，G，H 共线。 ， BC，所以 AH//CE。 AB，CH AB，所以 AHCE 为平行四边形。

所以 OG：GH=1：2。 3．利用数量积证明垂直。

例 5 给定非零向量 a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是 a 【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2

b. a·b=0 a b.

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2

例 6 已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC，D 为 AB 中点，E 为△ACD 重心。求证：OE CD。 【证明】 设 ，

则

，

又

，

所以

a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 又因为 AB=AC，OB=OC，所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE 4．向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形，BE//AC，AC=CE，EC 的延长线交 BA 的延长线于 点 F，求证：AF=AE。 【证明】 如图所示，以 CD 所在的直线为 x 轴，以 C 为原点建立直角坐标系，设正方 形边长为 1，则 A，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1），设 E 点的坐标为（x, y），则 y-1), 又因为 ，因为 ，所以-x-(y-1)=0. =(x, CD。

，所以 x2+y2=2.

由①，②解得

所以

设 所以 所以

，则 ，即 F =4+

。由

和 ，

共线得

，所以 AF=AE。

三、基础训练题 1 ． 以 下 命 题 中 正 确 的 是 __________. ① a=b 的 充 要 条 件 是 |a|=|b| ， 且 a//b ； ② (a·b)·c=(a·c)·b；③若 a·b=a·c，则 b=c；④若 a, b 不共线，则 xa+yb=ma+nb 的充要 条件是 x=m, y=n；⑤若 在 b=(-3, 4)上的投影为-4。 2．已知正六边形 ABCDEF，在下列表达式中：① ③ ；④ 与 ，相等的有__________. ；② ； ，且 a, b 共线，则 A，B，C，D 共线；⑥a=(8, 1)

3．已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，则|x|+|y|=__________. 4． s, t 为非零实数， b 为单位向量， 设 a, 若|sa+tb|=|ta-sb|， a 和 b 的夹角为__________. 则 5． 已知 a, b 不共线， 条件. 6．在△ABC 中，M 是 AC 中点，N 是 AB 的三等分点，且 于 D，若 7．已知 __________. 8． 已知 =b, a· b=|a-b|=2， 当△AOB 面积最大时， 与 b 的夹角为__________. a ， ，则 λ=__________. 不共线，点 C 分 所成的比为 2， ，则 ，BM 与 CN 交 =a+kb, =la+b， “kl-1=0” “M， P 共线” 则 是 N， 的__________

9．把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象，c=(1, -1), 若 c·b=4，则 b 的坐标为__________.

10．将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转

得到向量 b，则 b 的坐标为__________. 与

11． Rt△BAC 中， 在 已知 BC=a， 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点， 试问 的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值。

12． 在四边形 ABCD 中， 试判断四边形 ABCD 的形状。 四、高考水平训练题

， 如果 a· b=b· c=c· d=d· a，

1．点 O 是平面上一定点，A，B，C 是此平面上不共线的三个点，动点 P 满足

则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 2．在△ABC 中， 3．非零向量 =__________. 4．若 O 为△ABC 的内心，且 为__________. 5．设 O 点在△ABC 内部，且 __________. 6．P 是△ABC 所在平面上一点，若 __________心. 7．已知 围是__________. 8．已知 a=(2, 1), b=(λ, 1)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是__________. 9．在△ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=2，则 值为__________. 10． 已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}， 集合 N={a|a=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M N=__________. 11．设 G 为△ABO 的重心，过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 P 和 Q，已知 ，△OAB 与△OPQ 的面积分别为 S 和 T， 的最小 ，则| |的取值范 ，则 P 是△ABC 的 ，则△AOB 与△AOC 的面积比为 ，则△ABC 的形状 ，且 a·b<0，则△ABC 的形状是__________. ，若点 B 关于 所在直线对称的点为 B1 ，则

（1）求 y=f(x)的解析式及定义域；（2）求

的取值范围。

12．已知两点 M（-1，0），N（1，0），有一点 P 使得 成公差小于零的等差数列。

（1）试问点 P 的轨迹是什么？（2）若点 P 坐标为(x0, y0), tan .

为

与

的夹角，求

五、联赛一试水平训练题 1．在直角坐标系内，O 为原点，点 A，B 坐标分别为（1，0），（0，2），当实数 p, q

满足

时，若点 C，D 分别在 x 轴，y 轴上，且

，则直线

CD 恒过一个定点，这个定点的坐标为___________. 2．p 为△ABC 内心，角 A，B，C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平面内任意一点， 则 =___________（用 a, b, c, x, y, z 表示）.

3．已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量，且两两的夹角均为 1200，若|ka+b+c|>1(k ∈R)，则 k 的取值范围是___________. 4．平面内四点 A，B，C，D 满足 的取值有___________个. 5．已知 A1A2A3A4A5 是半径为 r 的⊙O 内接正五边形，P 为⊙O 上任意一点，则 取值的集合是___________. 6．O 为△ABC 所在平面内一点，A，B，C 为△ABC 的角，若 sinA· +sinC· ，则点 O 为△ABC 的___________心. (a-b)”的___________条件. ，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，则△ +sinB· ，则

7．对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) 8．在△ABC 中， ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________. 9． 已知 P 为△ABC 内一点， 且

， 交 AB 于 D， CP 求证：

10．已知△ABC 的垂心为 H，△HBC，△HCA，△HAB 的外心分别为 O1，O2，O3， 令 心。 11．设坐标平面上全部向量的集合为 V，a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量，已知从 V 到 的变换 T，由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定， （1）对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证：T(x)·T(y)=x·y； （2）对于 V 的任意向量 x，计算 T[T(x)]-x； （3）设 u=(1, 0)； ，若 ，求 a. ，求证：（1）2p=b+c-a；（2）H 为△O1O2O3 的外

六、联赛二试水平训练题 1．已知 A，B 为两条定直线 AX，BY 上的定点，P 和 R 为射线 AX 上两点，Q 和 S 为

射线 BY 上的两点，

为定比，M，N，T 分别为线段 AB，PQ，RS 上的点，

为另一定比，试问 M，N，T 三点的位置关系如何？证明你的结论。 2．已知 AC，CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线，点 M，N 分别内分 AC，CE， 使得 AM：AC=CN：CE=r，如果 B，M，N 三点共线，求 r. 3．在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A，B 的点 M，点 P，Q，R， S 是 M 分别在直线 AD，AB，BC，CD 上的射影，求证：直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4．在△ABC 内，设 D 及 E 是 BC 的三等分点，D 在 B 和 F 之间，F 是 AC 的中点，G 是 AB 的中点，又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点，求比值 EH：HG。 5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之 和垂直？ 6．已知点 O 在凸多边形 A1A2?An 内，考虑所有的 同的自然数，求证：其中至少有 n-1 个不是锐角。 7．如图，在△ABC 中，O 为外心，三条高 AD，BE，CF 交于点 H，直线 ED 和 AB 交 于点 M，FD 和 AC 交于点 N，求证：（1）OB DF，OC DE，（2）OH MN。 AiOAj，这里的 i, j 为 1 至 n 中不

8．平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点 O 作 ，求证△ABC 为正三角形。 9．在平面上给出和为 的向量 a, b, c, d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学竞赛讲义（九）
──不等式 一、基础知识 不等式的基本性质： （1）a>b （3）a>b a-b>0； （2）a>b, b>c a>c； ac>bc； ac>bd; ; a+c>b+c； （4）a>b, c>0

（5）a>b, c<0

ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0

（7）a>b>0, n∈N+ （9）a>0, |x|<a

an>bn; （8）a>b>0, n∈N+ x>a 或 x<-a;

-a<x<a, |x|>a

（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈R，则(a-b)2≥0 （12）x, y, z∈R+，则 x+y≥2 a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为 a>b>0, c>d>0，所以 ac>bc, bc>bd，所以 ac>bd；重复利用性质（6），可得 性质（7）；再证性质（8），用反证法，若 即 a≤b， a>b 矛盾， 与 所以假设不成立， 所以 ，由性质（7）得 ，

； 由绝对值的意义知 （9） 成立； -|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b| ， 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| ， 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ； 下 面 再 证 （ 10 ） 的 左 边 ， 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因 为 x+y-2 不等式，令 ≥0，所以 x+y≥ ，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证另一

， 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0， 所以 a3+b3+c3≥3abc， x+y+z≥ 即 时成立。 二、方法与例题 1．不等式证明的基本方法。 ， 等号当且仅当 x=y=z

（1）比较法，在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小，或把 1 比较大小，最后得出结论。 例 1 设 a, b, c ∈ R+ ， 试 证 ： 对 任 意 实 数

（A，B>0）与

x,

y,

z, 有

x2+y2+z2

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边，不等式成立。 例 2 若 a<x<1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

【 解 】

因 为

1-x

1 ， 所 以

loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) 0<1-x<1）. 所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.

>log(1-x)(1-x)=1（因为 0<1-x2<1，所以

>1-x>0,

（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止， 叙述方式为：要证??，只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+，求证：a+b+c-3 【证明】 要证 a+b+c 因为 ≥a+b ≥a+b 只需证 ， ，所以原不等式成立。

例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤

，求证：

【证明】 因为 0<a≤b≤c≤

，由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c)，

所以

，

所以

，

所以只需证明

，

也就是证

，

只需证 b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，显然成立。所以命题成立。 （3）数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n. 【证明】 1）当 n=3 时，因为 34=81>64=43，所以命题成立。

2）设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即

>1. 因

为

，所以只需证 所以由数学归纳法，命题成立。 （4）反证法。

，即证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 ，只需证

(k+1)2>k(k+2)，即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。

例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0，求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数，不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一个 出现的正数， a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0， 则 依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 （5）分类讨论法。

例 7 已知 x, y, z∈R+，求证： 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

ⅰ）x≥y≥z，则

，x2≥y2≥z2，由排序原理可得

，原不等式成立。

ⅱ）x≥z≥y，则

，x2≥z2≥y2，由排序原理可得

，原不等式成立。

（6）放缩法，即要证 A>B，可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).

例 8 求证：

【证明】

，得证。

例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长，m>0，求证：

【证明】

（因为 a+b>c），得证。 （7）引入参变量法。

例 10 已知 x, y∈R+, l, a, b 为待定正数，求 f(x, y)=

的最小值。

【解】 设

，则

，f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)=

，等号当且仅当

时成立。所以 f(x, y)min=

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

【证明】

设 x1=k(x2+x3+x4) ， 依 题 设 有

≤k≤1, x3x4≥4 ， 原 不 等 式 等 价 于

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即

(x2+x3+x4) ≤x2x3x4，因为 f(k)=k+

在

上递减，

所以

(x2+x3+x4)=

(x2+x3+x4)

≤

·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 （8）局部不等式。

例 12 已知 x, y, z∈R+，且 x2+y2+z2=1，求证：

【证明】 先证

因为 x(1-x2)=

,

所以

同理

，

，

所以

例 13 已知 0≤a, b, c≤1，求证：

≤2。

【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1，所以①式成立。

①

同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 （9）利用函数的思想。

例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1， f(a, b, c)= 求 值。

的最小

【解】 当 a, b, c 中有一个为 0，另两个为 1 时，f(a, b, c)=

，以下证明 f(a, b, c) ≥

.不

妨设 a≥b≥c，则 0≤c≤

, f(a, b, c)=

因为 1=(a+b)c+ab≤

+(a+b)c， -c).

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2(

考虑函数 g(t)=

, g(t)在[

）上单调递增。

又因为 0≤c≤

，所以 3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以 2

≥

所以 f(a, b, c)=

≥

=

=

≥

下证

0 ①

c2+6c+9≥9c2+9

≥0

因为

，所以①式成立。

所以 f(a, b, c) ≥

，所以 f(a, b, c)min=

2．几个常用的不等式。

（1）柯西不等式：若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，则 等号当且仅当存在 λ∈R，使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式 1：若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，则 等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式 2：设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n)，则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.

（2）平均值不等式：设 a1, a2,?,an∈R+，记 Hn=

, Gn=

,

An= ≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an.

， Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均 则

【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn，再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn，以下仅证 Gn≤An. 1）当 n=2 时，显然成立； 2）设 n=k 时有 Gk≤Ak，当 n=k+1 时，记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 所以由数学归纳法，结论成立。 （3）排序不等式：若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn，则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 排列 ，有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ ≤a1b1+a2b2+?+anbn. 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1，即 Ak+1≥Gk+1.

【 证 明 】 引 理 ： 记 A0=0 ， Ak=

，则

=

（阿贝尔求和法）。 证法一：因为 b1≤b2≤?≤bn，所以 记 sk= ≥b1+b2+?+bk.

-( b1+b2+?+bk)，则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。

所

以

-(a1b1+a2b2+

?

+anbn)=

+snan≤0.

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。 证法二：（调整法）考察 若 因为 ≥0， 所 调整后，和是不减的，接下来若 得左边不等式。 ，则继续同样的调整。至多经 n-1 次调整 (j≤n-1)，则将 与 互换。 ，若 ，则存在。

就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可

例 15 已知 a1, a2,?,an∈R+，求证；

a1+a2+?+an.

【 证 明 】 证 法 一 ： 因 为

， ? ，

≥2an.

上述不等式相加即得

≥a1+a2+?+an.

证法二：由柯西不等式

(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2，

因为 a1+a2+?+an >0，所以 证法三： 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为

≥a1+a2+?+an. ，则 ，

，由排序原理可得

=a1+a2+?+an≥

，得证。

注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题

1．已知 0<x<1，a, b∈R+，则

的最小值是____________.

2．已知 x∈R+，则

的最小值是____________.

3．已知 a, b, c∈R，且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M，最小值为 N，则 MN=___________.

4． 若不等式 5．若不等式

对所有实数 x 成立， a 的取值范围是____________. 则 x+a 的解是 x>m，则 m 的最小值是____________.

6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7．若 a, b∈R+，则 a+b=1，以下结论成立是__________.① a4+b4≥

；②

≤a3+b3<1；

③

；④

；⑤

；⑥

8．已知 0< <

，若

，则 =____________.

9．已知 +(xn-a)2, 若

，p=(x1-

)2+(x2-

)2+?+(xn-

)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+?

，则比较大小：p___________q. b, m=aabb, n=abba, 则比较大小：m_________n.

10．已知 a>0, b>0 且 a

11．已知 n∈N+，求证：

12．已知 0<a<1，x2+y=0，求证：loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13．已知 x∈R，

，求证：

四、高考水平训练题 1．已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q； （4）m+q≥n+p. 2．已知 a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比 较大小：M________N.

3．若 ________.

R+ ，且

，

，将

从小到大排列为

4．已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b，则

的取值范围是________.

5．若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1，则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为________. 6．设函数 f(x)= (x∈[-4,2])，则 f(x)的值域是________.

7 ． 对 x1>x2>0, 1>a>0 ， 记 x1x2________y1y2.

，比较大小：

8．已知函数

的值域是

，则实数 a 的值为________.

9．设 a≤b<c 是直角△ABC 的三边长，若不等式 最大值为________.

恒成立，则 M

10． 实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1， 另一个根大于 1 且小于 2， 则 的取值范围是________. 11．已知 a, b, c∈R+ 且满足 a+b+c≥abc，求证：下列三个式子中至少有两个成立：

12．已知 a, b∈R+且

，求证：对一切 n∈N+，(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.

13．已知 a, b, c ∈R+，求证：

14．设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数，求

的最大值。

五、联赛一试水平训练题 1．已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1小：P_______Q. 2．已知 x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3．二次函数 f(x)=x2+ax+b，记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，则 M 的最小值为__________. 4．设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d，比较大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d). =a2c2 >0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大

5．已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且 n>1）.

，则 x1x2?xn 的最小值为__________（这里

6．已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为__________.

7．已知 0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n)，记 a2n+1=a1, a2n+2=a2，则 __________.

的最大值为

8．已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，则

的最大值为__________.

9．已知

≤x≤5，求证：

10．对于不全相等的正整数 a, b, c，求证：

11．已知 ai>0(i=1, 2, ?, n)，且

=1。又 0<λ1≤λ2≤?≤λn，求证：

≤ 六、联赛二试水平训练题

1．设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1，求证： 2．设整数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+? +xn>y1+y2+?+ym，求证：x1x2xn>y1y2?ym. 3．设 f(x)=x2+a，记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?)，M={a∈R|对所有正整数 n,

|fn(0)| ≤2}，求证：

。

4． 给定正数 λ 和正整数 n(n≥2)， 求最小的正数 M （λ） 使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn ， ，

有 M(λ)

5．已知 x, y, z∈R+，求证：(xy+yz+zx) 6．已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1，求证：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)， 并求出等号成立的条件。

高中数学竞赛讲义（十）
──直线与圆的方程 一、基础知识 1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是 通过映射建立曲线与方程的关系， 即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间 存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原 点为圆心的单位圆的方程。 2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合； (3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程 的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角，叫做 它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫 做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4．直线方程的几种形式： （1）一般式：Ax+By+C=0； （2）点斜式：y-y0=k(x-x0)； （3）

斜截式：y=kx+b；（4）截距式：

；（5）两点式：

；（6）

法线式方程：xcosθ +ysinθ =p（其中θ 为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）

参数式： 则取负）。

（其中θ 为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点 P0（x0, y0）到

动点 P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若 P0P 方向向上则取正，否 5．到角与夹角：若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2，将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角；1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。 l

若记到角为θ ，夹角为α ，则 tanθ =

,tanα =

.

6．平行与垂直：若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合，则 l1//l2 的充要条 件是 k1=k2；l1 l2 的充要条件是 k1k2=-1。 。

7．两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=

8．点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式：

。

9．直线系的方程：若已知两直线的方程是 l1：A1x+B1y+C1=0 与 l2：A2x+B2y+C2=0，则 过 l1, l2 交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0； l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 由 （A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以 x 和 y 表示；（2） 写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。 12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其参 ).

10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0，则

数方程为

（θ 为参数）。

13．圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圆心为

，半径为

。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为

① 14．根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫 两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。 不难证明这三条直线交于一点或者互相平行， 这就是著名的蒙 日定理。 二、方法与例题 1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。 例 1 在Δ ABC 中，AB=AC，∠A=900，过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E，求证： ∠ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1，以 A 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 B，C

坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点 D 坐标为（a, 0）。直线 BD 方程为 直线 BC 方程为 x+y=2a，

， ① AE，

②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2， k1=-2。 则 因为 BD

所以 k1k2=-1.所以

，所以直线 AE 方程为

，由

解得点 E 坐标为

。

所以直线 DE 斜率为
0

因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ，即∠BDA=∠EDC。 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两 条边截圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点，平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴，建立直角坐标系见 图 10-2，设⊙D 的半径等于 BC 边上的高，并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB，AC 的交 点分别为 E，F，设半径为 r，则直线 AB，AC 的方程分别为 方程为(x-m) +y =r .①设点 E， 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)， F 则 分别代入①并消去 y 得
2 2 2 0

,

.设⊙D 的 ，

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。

由韦达定理 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.

，所以

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2．到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C2，正Δ PQR 三顶点在此双曲线上，求证：P，Q， R 不可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支 C1 上，并设 P，Q，R 三点的坐

标分别为

且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ， 它是直线 QR 到 PQ 的角，

由假设知直线 QR，PQ 的斜率分别为

，

由到角公式 所以θ 为钝角，与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3．代数形式的几何意义。 例 4 求函数 [解] 因为 的最大值。 表示动点 P(x, x2)到两

定点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图 10-3，当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时，f(x)取最大值|AB|= 4．最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC， 求 m 为何值时，Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①，②，③。在①，③中取 x=-1, y=0，知等式成立，所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点；在②，③中取 x=0, y=m+1，等式也成立，所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3

的 交 点 。 设 l1, l2 斜 率 分 别 为 k1, k2, 若 m

0 ， 则 k1?k2=

, SΔ

ABC=

， 由 点 到 直 线 距 离 公 式 |AC|=

，

|BC|=

。

所以 SΔ ABC=

。因为 2m?m2+1，所以 SΔ ABC?

。又因

为-m -1?2m，所以

2

，所以 SΔ ABC?

当 m=1 时，（SΔ ABC）max= 5．线性规划。

；当 m=-1 时，（SΔ ABC）min=

.

例 6 设 x, y 满足不等式组 （1）求点(x, y)所在的平面区域； （2）设 a>-1，在（1）区域里，求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

[解] （1）由已知得

或

解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x-5； CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距，直线 l 与阴影相交，因为 a>-1，所以它过顶 点 C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7），于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a?2，则 l 通过点 A（2，-1）时，f(x, y)最小，此时值为-2a-1；如果 a>2，则 l 通过 B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1. 6．参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示，过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点，在该直线上取 P 点，使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|，求 P 点的轨迹方程。

[解] 设直线 OP 的参数方程为 代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0.

（t 参数）。

所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |，而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |，而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 当 t=±2 时，轨迹方程为 x +y =4；当 sinα =1 时，轨迹方程为 x=0. 7．与圆有关的问题。 例 8 点 A，B，C 依次在直线 l 上，且 AB=ABC，过 C 作 l 的垂线，M 是这条垂线上的动 点，以 A 为圆心，AB 为半径作圆，MT1 与 MT2 是这个圆的切线，确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6，以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立坐标系，H 为 OM 与圆的交点，N 为 T1T2 与 OM 的交点，记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16， 连结 OT1， 2。 OT 因为 OT2
2 2 2 2

MT2， 1H T

MT2， 所以 OT2//HT1，

同理 OT1//HT2，又 OT1=OT2，所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM T1T2，OT1 MT1，所以 ON?OM。设点 H 坐标为（x,y）。

点 M 坐标为(5, b)，则点 N 坐标为

，将坐标代入

=ON?OM，再由

得

在 AB 上取点 K，使 AK=

AB，所求轨迹是以 K 为圆心，AK 为半径的圆。

例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A，B，且 OA，OB 与 x 轴正方向所成的角 是α 和β ，见图 10-7，求证：sin(α +β )是定值。

[证明] 过 D 作 OD

AB 于 D。则直线 OD 的倾斜角为

，因为 OD

AB，所以

2?

,

所以

。所以

例 10 已知⊙O 是单位圆，正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦，试确定|OD|的最大值、 最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点，AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系，设点 A，B 的坐标 分别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα )，由题设|AD|=|AB|=2sinα ，这里不妨设 A 在 x 轴上方，则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧（否则将整个图形关于 y 轴作对称 即可），从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα )， 所以|OD|=

=

因为

，所以

当

时，|OD|max=

+1；当

时，|OD|min=

例 11 当 m 变化且 m≠0 时，求证：圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上， 并求这一系列圆的公切线的方程。

[证明] 由

消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公

切线方程为 y=kx+b，则由相切有 2|m|= (-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立

，对一切 m≠0 成立。即

所以

即

当 k 不 存 在 时 直 线 为 x=1 。 所 以 公 切 线 方 程

y=

和 x=1. 三、基础训练题 1．已知两点 A(-3,4)和 B(3,2)，过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点，则该直线的倾

斜角的取值范围是__________.

2．已知θ ∈[0,π ]，则

的取值范围是__________.

3． 三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形， 当点 P(x, y)在此三角形边上 或内部运动时，2x+y 的取值范围是__________. 4．若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形，则 m 的范围是__________. 5．若λ ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ )y-2(3+2λ )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d，比较大小： d__________ .

6．一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点，且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14，则此圆的 方程为__________. 7．自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 C： x +y -4x-4y+7=0 相切，则光线 l 所在的方程为__________. 8．D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件. 9．方程|x|-1= 表示的曲线是__________.
2 2

10．已知点 M 到点 A（1，0），B（a,2）及到 y 轴的距离都相等，若这样的点 M 恰好 有一个，则 a 可能值的个数为__________. 11．已知函数 S=x+y，变量 x, y 满足条件 y2-2x?0 和 2x+y?2，试求 S 的最大值和最小 值。 12．A，B 是 x 轴正半轴上两点，OA=a，OB=b(a<b)，M 是 y 轴正半轴上的动点。 （1）求∠AMB 的最大值； （2）当∠AMB 取最大值时，求 OM 长； （3）当∠AMB 取最大值时，求过 A，B，M 三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1．已知Δ ABC 的顶点 A(3,4)，重心 G(1,1)，顶点 B 在第二象限，垂心在原点 O，则点 B 的坐标为__________. 2．把直线 绕点（-1，2）旋转 30 得到的直线方程为__________.
0

3．M 是直线 l: 在线段 AB 上满足
2 2

上一动点，过 M 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A，B，则 的点 P 的轨迹方程为__________.
2 2

4．以相交两圆 C1：x +y +4x+y+1=0 及 C2：x +y +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程 为__________. 5 ． 已 知 M={(x,y)|y= N ,a>0},N={(x,y)|(x-1) +(y2

) =a ,a>0}.M

2

2

，a 的最大值与最小值的和是__________. 6．圆 x +y +x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P，Q 两点，O 为原点，OP
2 2

OQ，则

m=__________. 7．已知对于圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y)，使 x+y+m?0 恒成立，m 范围是 __________. 8．当 a 为不等于 1 的任何实数时，圆 x -2ax+y +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切，则直线 l 的方程为__________. 9．在Δ ABC 中，三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a,b,c， lgsinA,lgsinB, lgsinC 若 成等差数列，那么直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是__________. 10． A={(x,y)|0?x?2,0?y?2},B={(x,y)|x?10,y?2,y?x-4}是坐标平面 xOy 上 设
2 2 2 2 2 2

的 点 集 ， C= __________.

所围成图形的面积是

11．求圆 C1：x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2：x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方程。 12．设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交，且以交点的横坐标为斜率}。 （1）点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小？ （2）设 a∈R+，点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin，求 dmin 的表达式。 13． 已知圆 C： 2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A， B 是动点， x 点 且∠OBA=900， OB 交⊙C 于 M，AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1．在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数，过点(a,0)的 所有直线中，每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2．等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上，顶点 A(2,3)，如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0，则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3．若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线，则 m=__________. 4．直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________. 5．直线 y=kx-1 与曲线 y= 有交点，则 k 的取值范围是__________.

6．经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________.

7．在直角坐标平面上，同时满足条件：y?3x, y? __________.

x, x+y?100 的整点个数是

8．平面上的整点到直线
2

的距离中的最小值是__________.

9．y=lg(10-mx )的定义域为 R，直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________.

10 ． 已 知 f(x)=x -6x+5 ， 满 足 __________.

2

的 点 (x,y) 构 成 图 形 的 面 积 为

11．已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D，E，F，在 t=0 时分别从 A，B，C 出发，各以 一定速度向 B，C，A 前进，当时刻 t=1 时，分别到达 B，C，A。 （1）证明：运动过程中Δ DEF 的重心不变； （2）当Δ DEF 面积取得最小值时，其值是Δ ABC 面积的多少倍？ 12．已知矩形 ABCD，点 C(4,4)，点 A 在圆 O：x +y =9(x>0,y>0)上移动，且 AB，AD 两 边始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值，以及取得最小值时点 A 的坐标。 13．已知直线 l: y=x+b 和圆 C：x +y +2y=0 相交于不同两点 A，B，点 P 在直线 l 上， 且满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时，求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1．设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点，求 x -xy+y 的最大值、最小值。 2．给定矩形Ⅰ（长为 b，宽为 a），矩形Ⅱ（长为 c、宽为 d），其中 a<d<c<b，求证： 矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是：(ac-bd) +(ad-bc) ?(a -b ) . 3．在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE，它的顶点都是整点，求证：见图 10-8，A1， B1，C1，D1，E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，试证：存在一个同心圆的集合， 使得：（1）每个整点都在此集合的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上，有且只有一个 整点。 5．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,?，ln，?的直线族，它满足 条件：（1）点（1,1）∈ln,n=1,2,3,?；（2）kn+1?an-bn，其中 kn+1 是 ln+1 的斜率，an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距，n=1,2,3,?；（3）knkn+1?0, n=1,2,3,?.并证明你的结 论。 6．在坐标平面内，一圆交 x 轴正半径于 R，S，过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交，l1 交圆于 A，B，l2 交圆于 D，C，直线 AC，BD 分别交 x 轴正半轴于 P，Q，求证：
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

高中数学竞赛讲义（十一）
──圆锥曲线 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之 间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).

第二定义： 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1) 的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即

(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原 点出发的射线交圆 c1 于 P，交圆 c2 于 Q，过 P 引 y 轴的平行线，过 Q 引 x 轴的平行线，两 条线的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由 定义可求得它的标准方程，若焦点在 x 轴上，列标准方程为

(a>b>0)，

参数方程为

（ 为参数）。

若焦点在 y 轴上，列标准方程为

(a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆

， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标 分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为

， 与右焦点对应的准线为 知 0<e<1.

； 定义中的比 e 称为离心率， 且

， c2+b2=a2 由

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆

1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。

若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

； 2）斜率为 k 的切线方程为 3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为 ；

。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为

，

参数方程为

（

为参数）。

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线

(a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦

点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为

离心率

，由

a2+b2=c2 知 e>1。两条渐近线方程为

，双曲线

与

有相

同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线

，F1（-c,0）, F2(c, 0)

是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a； 若 P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

。

10．抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F

坐标为

，准线方程为

，标准方程为 y2=2px(p>0)，离心率 e=1.

11．抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=

；

2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；

3）过焦点倾斜角为θ 的弦长为

。

12． 极坐标系， 在平面内取一个定点为极点记为 O， O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴， 从 这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ，则由（ρ ，θ ）唯 一确定点 P 的位置，（ρ ，θ ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若 0<e<1，则点 P 的轨迹为椭圆；若 e>1，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨

迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 二、方法与例题 1．与定义有关的问题。

。

例 1 已知定点 A（2，1），F 是椭圆 3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P 的坐标。

的左焦点，点 P 为椭圆上的动点，当

[解] 见图 11-1，由题设 a=5, b=4, c=

=3,

.椭圆左准线的方程为

，又因为

，所以点 A 在椭圆内部，又点 F 坐标为（-3，0），过 P 作

PQ 垂直于左准线，垂足为 Q。由定义知

，则

|PF|=|PQ|。

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

|PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM

左准线于 M)。

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时， 3|PA|+5|PF|取最小值， y=1 代入椭圆方程得 把

，又 x<0，所以点 P 坐标为

例 2 已知 P，

为双曲线 C：

右支上两点， F1K=∠KF1Q.

延长线交右准线于 K，

PF1 延长线交双曲线于 Q，（F1 为右焦点）。求证：∠

[证明] 记右准线为 l， PD 作

l 于 D，

于 E， 因为

//PD， 则

，

又由定义

，所以 =∠KF1Q。

，由三角形外角平分线

定理知，F1K 为∠PF1P 的外角平分线，所以∠ 2．求轨迹问题。

例 3 已知一椭圆及焦点 F，点 A 为椭圆上一动点，求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 [解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点 O，焦点所在的直线为 x 轴，建立直角坐标

系，设椭圆方程：

=1（a>b>0）.F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为

。连结

，

OP，则

。所以|FP|+|PO|=

(|FA|+|A

|)=a.

所以点 P 的轨迹是以 F， 为两焦点的椭圆 O （因为 a>|FO|=c） 将此椭圆按向量 m=( ，

,0)

平移，得到中心在原点的椭圆：

。由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。 设点 P(x,y), A(x1, y1)， 则

， x1=2x+c, y1=2y. 又 即

因为点 A 在椭圆

上，所以

代入得关于点 P 的方程为

。它表示中心为

，焦点分别为 F 和 O 的椭圆。

例 4 长为 a, b 的线段 AB，CD 分别在 x 轴，y 轴上滑动，且 A，B，C，D 四点共圆， 求此动圆圆心 P 的轨迹。

[解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点， B，C， 的坐标分别为 A(xA， D

,0), B(x+

,0), C(0,

y-

), D(0, y+

), 记 O 为原 点 ，由 圆 幂定 理 知 |OA|?|OB|=|OC|?|OD|， 用 坐 标表 示 为

，即 当 a=b 时，轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x； 当 a>b 时，轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线； 当 a<b 时，轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。

例 5 在坐标平面内，∠AOB= 的轨迹方程。

，AB 边在直线 l: x=3 上移动，求三角形 AOB 的外心

[解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方， 则点 A， 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ B

-

)),设外心为 P(x,y)，由中点公式知 OB 中点为 M

。

由外心性质知

再由

得

×tanθ =-1。结合上式有

?tanθ =

①

又

tanθ +

=

②

又

所以 tanθ -

=

两边平方，再将①，②代入得

。即为所求。 3．定值问题。

例 6 过双曲线

(a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2

轴，交双曲线于 B1，B2

两点，B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点，连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标为 定值。 [证明] 设点 B，H，F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0)，则 F1，B1，B2 的坐

标分别为(-c, 0), (c,

), (c,

)，因为 F1，H 分别是直线 B2F，BB1 与 x 轴的交点，所以

①

所以

。

由①得

代入上式得

即

（定值）。

注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例 7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准线上，且 BC//x 轴。证明：直线 AC 经过定点。
2

[证明]

设

，则

，焦点为

，所以

，

，

，

。由于

，所以

?y2-

y1=0 ， 即

=0 。 因 为

，所以 以

。所以

，即

。所

，即直线 AC 经过原点。

例 8 椭圆 为定值。

上有两点 A， 满足 OA B，

OB， 为原点， O 求证：

[证明]

设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

，则点 A，B 的坐标分别为

A(r1cosθ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A，B 在椭圆上有

即

①

②

①+②得 4．最值问题。

（定值）。

例 9 设 A，B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点，且 OA 值与最小值。

2

2

OB（O 为原点），求|AB|的最大

[解] 由题设 a=1，b=

,记|OA|=r1,|OB|=r2,

，参考例 8 可得

=4。设

m=|AB| =

2

,

因为

，且 a >b ，所以

2

2

，

所以 b?r1?a，同理 b?r2?a.所以

。又函数 f(x)=x+

在

上单调递减，

在

上单调递增， 所以当 t=1 即|OA|=|OB|时， |AB|取最小值 1； 当

或

时， |AB|

取最大值

。

例 10 设一椭圆中心为原点， 长轴在 x 轴上， 离心率为 1 上点与这椭圆上点的最大距离为

， 若圆 C：

，试求这个椭圆的方程。

[解] 设 A，B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为

，半径|CA|=1，

因为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当 A，B，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最 大值 ，所以|BC|最大值为

因为

；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t,

,t，椭圆方程

为

， 并设点 B 坐标为 B(2tcosθ ,tsinθ )， 则|BC| =(2tcosθ ) +

2

2

=3t sin θ -3tsinθ +

2

2

+4t =-3(tsinθ +

2

) +3+4t .

2

2

若

，则当 sinθ =-1 时，|BC| 取最大值 t +3t+

2

2

，与题设不符。

若 t>

,则当 sinθ =

时，|BC| 取最大值 3+4t ，由 3+4t =7 得 t=1.

2

2

2

所以椭圆方程为 5．直线与二次曲线。

。

例 11 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点，试求 a 的取值范围。 [解] 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1)，对称轴为 y 轴，存在关于直线 x+y=0 对称两点 的条件是存在一对点 P(x1,y1)， (-y1,-x1)，满足 y1=a 且-x1=a(-y1) -1，相减得
2 2

2

x1+y1=a(

),因为 P 不在直线 x+y=0 上，所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1)，即 x1=y1+

所以

此方程有不等实根，所以

，求得

，即为所求。

例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 最大时，求 b 的值。

相交，（1）求 b 的范围；（2）当截得弦长

[解] 二方程联立得 17x +16bx+4(b -1)=0.由Δ >0，得

2

2

<b<

；设两交点为

P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韦达定理得|PQ|= 时，|PQ|最大。 三、基础训练题

。所以当 b=0

1．A 为半径是 R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点 P 是 A 关于 B 的对称点， 则点 P 的轨迹是________. 2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m (>0)，则动点的轨迹是________.
2

3．椭圆 ________.

上有一点 P，它到左准线的距离是 10，它到右焦点的距离是

4．双曲线方程

，则 k 的取值范围是________.

5．椭圆 积是________.

，焦点为 F1，F2，椭圆上的点 P 满足∠F1PF2=60 ，则Δ F1PF2 的面

0

6．直线 l 被双曲线 ________.

所截的线段 MN 恰被点 A（3，-1）平分，则 l 的方程为

7．Δ ABC 的三个顶点都在抛物线 y =32x 上，点 A（2，8），且Δ ABC 的重心与这条抛物 线的焦点重合，则直线 BC 的斜率为________. 8． 已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0， 一条准线方程为 5y+4=0， 则双曲线方程为________. 9．已知曲线 y =ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个 交点的直线的倾斜角为 45 ，那么 a=________.
0 2

2

10.P 为等轴双曲线 x -y =a 上一点，

2

2

2

的取值范围是________.

11．已知椭圆

与双曲线

有公共的焦点 F1，F2，设 P 是它们的

一个焦点，求∠F1PF2 和Δ PF1F2 的面积。 12．已知（i）半圆的直径 AB 长为 2r；（ii）半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直，垂

足为 T，设|AT|=2a(2a<

)；（iii）半圆上有相异两点 M，N，它们与直线 l 的距离|MP|，

|NQ|满足

求证：|AM|+|AN|=|AB|。

13．给定双曲线 求线段 P1P2 的中点的轨迹方程。 四、高考水平测试题

过点 A（2，1）的直线 l 与所给的双曲线交于点 P1 和 P2，

1．双曲线与椭圆 x +4y =64 共焦点，它的一条渐近线方程是 标准方程是_________.

2

2

=0，则此双曲线的

2．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，若 A，B 在抛物线准线上的射影 分别是 A1，B1，则∠A1FB1=_________.

3．双曲线

的一个焦点为 F1，顶点为 A1，A2，P 是双曲线上任一点，以|PF1|

为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.

4．椭圆的中心在原点，离心率

，一条准线方程为 x=11，椭圆上有一点 M 横坐标

为-1，M 到此准线异侧的焦点 F1 的距离为_________.

5．4a +b =1 是直线 y=2x+1 与椭圆

2

2

恰有一个公共点的_________条件.

6．若参数方程 条直线的方程是_________.

（t 为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这

7．如果直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 _________.

总有公共点，则 m 的范围是

8． 过双曲线

的左焦点， 且被双曲线截得线段长为 6 的直线有_________条.

9．过坐标原点的直线 l 与椭圆

相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的

圆恰好通过椭圆的右焦点 F，则直线 l 的倾斜角为_________. 10．以椭圆 x +a y =a (a>1)的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角 三角形 ABC，这样的三角形最多可作_________个.
2 2 2 2

11．求椭圆

上任一点的两条焦半径夹角θ 的正弦的最大值。

12．设 F，O 分别为椭圆

的左焦点和中心，对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB，

点 O 都在以 AB 为直径的圆内，求椭圆离心率 e 的取值范围。

13．已知双曲线 C1： 的左焦点 F1。

(a>0)，抛物线 C2 的顶点在原点 O，C2 的焦点是 C1

（1）求证：C1，C2 总有两个不同的交点。 （2） 问： 是否存在过 C2 的焦点 F1 的弦 AB， 使Δ AOB 的面积有最大值或最小值？若存在， 求直线 AB 的方程与 SΔ AOB 的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1．在平面直角坐标系中，若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆，则 m 的 取值范围是_________. 2．设 O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且 PQ 为过 F 的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，Δ OPQ 面积为_________.
2 2 2

3． 给定椭圆

， 如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P， 两点， OP Q 且

OQ，

则离心率 e 的取值范围是_________.

4．设 F1，F2 分别是双曲线

(a>b>0)的左、右焦点，P 为双曲线上的动点，

过 F1 作∠F1PF2 平分线的垂线，垂足为 M，则 M 的轨迹为_________.

5． ABC 一边的两顶点坐标为 B Δ （0，
+

） C 和 （0，

） 另两边斜率的乘积为 ，

，

若点 T 坐标为(t,0)(t∈R ),则|AT|的最小值为_________. 6．长为 l(l<1)的线段 AB 的两端点在抛物线 y=x 上滑动，则线段 AB 的中点 M 到 x 轴的 最短距离等于_________. 7．已知抛物线 y =2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b ≠2pa，M 是抛物线上的点，设 直线 AM，BM 与抛物线的另一个交点分别为 M1，M2，当 M 变动时，直线 M1M2 恒过一个定点， 此定点坐标为_________.
2 2 2

8．已知点 P（1，2）既在椭圆
+

内部（含边界），又在圆 x +y =

2

2

外

部（含边界），若 a,b∈R ,则 a+b 的最小值为_________.

9．已知椭圆

的内接Δ ABC 的边 AB，AC 分别过左、右焦点 F1，F2，椭圆的

左、右顶点分别为 D，E，直线 DB 与直线 CE 交于点 P，当点 A 在椭圆上变动时，试求点 P 的轨迹。

10．设曲线 C1：

（a 为正常数）与 C2：y =2(x+m)在 x 轴上方有一个公共点

2

P。（1）求实数 m 的取值范围（用 a 表示）；

（2）O 为原点，若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A，当 0<a< 值（用 a 表示）。

时，试求Δ OAP 面积的最大

11．已知直线 l 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上，若点 A（-1， 0）和 B（0，8）关于 l 的对称点都在 C 上，求直线 l 和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠BAD，在 CD 上取一点 E，BE 与 AC 相交于 F，延 长 DF 交 BC 于 G，求证：∠GAC=∠EAC。 2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为 1 的闭折线，它的每 个顶点坐标都是有理数。 3．以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与Δ AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1)，在 AB0 的延长线上任取点 P0，以 B0 为圆心，B0P0 为半径作圆弧 交 C1B0 的延长线于 Q0；以 C1 为圆心，C1Q0 为半径

作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1；B1 为圆心，B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1；以 C0 为圆心，C0Q1 为半径作圆弧 Q1 ，交 AB0 的延长线于 。求证：（1）点 与点 P0 重合，

且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0；（2）P0，Q0，P1，Q1 共圆。 4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度 v0 和不同发射角（即发射方向与 x 轴正向

之间 的夹角）α (α ∈[0,π ],α ≠

)射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，

所有这些抛物线组成一个抛物线族， 若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直， 则称这 个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方 程（确定变量取值范围）。 5．直角Δ ABC 斜边为 AB，内切圆切 BC，CA，AB 分别于 D，E，F 点，AD 交内切圆于 P 点。若 CP BP，求证：PD=AE+AP。

6． 已知 BC

CD， A 为 BD 中点， Q 在 BC 上， 点 点 AC=CQ， 又在 BQ 上找一点 R， BR=2RQ， 使

CQ 上找一点 S，使 QS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC。

高中数学竞赛讲义（十二）
──立体几何 一、基础知识 公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记 作：a a． 公理 2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若 P ∈α ∩β ，则存在唯一的直线 m，使得α ∩β =m,且 P∈m。 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平 面． 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面． 推论 2 两条相交直线确定一个平面． 推论 3 两条平行直线确定一个平面． 公理 4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行． 定义 1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任 意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过 900 的角叫做两条异 面直线成角． 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线， 公垂线夹在两条异 面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离． 定义 2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相 交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外． 定义 3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面 垂直． 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直． 定理 2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行． 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直． 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平 行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离． 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面 引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线 在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角． 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角． 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线，b 为它在平面 a 内的射影，c 为平面 a 内的一条直线，若 c b，则 c a．逆定理：若 c a，则 c b．

定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线，若它与平面内一条直线 b 平行，则它与平面 a 平 行 定理 6 若直线。与平面α 平行，平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6，则 a//b． 结论 2 若直线。与平面α 和平面β 都平行，且平面α 与平面β 相交于 b，则 a//b． 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个 角相等．

定义 6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交． 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a，b 都与平面β 平行，则α //β . 定理 9 平面α 与平面β 平行，平面γ ∩α =a，γ ∩β =b，则 a//b． 定义 7 (二面角)，经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m，称为二面角的 棱)所组成的图形叫二面角，记作α —m—β ，也可记为 A—m 一 B，α —AB—β 等．过棱上 任意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP， BP， 则∠APB(?900)叫做二面角的平面角． 它的取值范围是[0，π ]． 特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即 α β . 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 定理 11 如果两个平面垂直， 过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面 内． 定理 12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直． 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的 公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做 底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是 正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 底面是矩形的直棱柱叫做长方体． 棱长都相等的正四棱柱叫 正方体． 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面)， 其余各面是一个有公共顶点的三角形的多 面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V，棱数为 E，面数为 F，则 V+F-E=2． 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面． 球面所围成的几何 体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心． 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R，那么平面与球相交所得的截面是圆面， 圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为 r，则 d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大 圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离． 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬 线． 纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度． 用经过南极和北极 的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午 线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经． 定理 15 (祖暅原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意 平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个 角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于 3600． 定理 17 （面积公式）若一个球的半径为 R，则它的表面积为 S 球面=4π R2。若一个圆锥 的母线长为 l，底面半径为 r，则它的侧面积 S 侧=π rl.

定理 18 （体积公式）半径为 R 的球的体积为 V 球=

；若棱柱（或圆柱）的底面

积为 s，高 h，则它的体积为 V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为 s，高为 h，则它的体积

为 V= 定理 19 如图 12-1 所示， 四面体 ABCD 中， 记∠BDC=α ， ∠ADC=β ， ∠ADB=γ ， ∠BAC=A， ∠ABC=B，∠ACB=C。DH 平面 ABC 于 H。

（1）射影定理：SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH，其中二面角 D—AB—H 为Ф 。

（2）正弦定理： （3）余弦定理：cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα .

（4）四面体的体积公式

DH?SΔ ABC

=

（其中 d 是 a1, a 之间的距离，

是它们的夹角）

SΔ ABD?SΔ ACD?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。 二、方法与例题 1．公理的应用。 例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交，且 a//b,c//b，求证：a,b,c,d 共面。 [证明] 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交，两者确定一个平面，设为 a. 又因为 a//b，所以两者也确定一个平面，记为β 。因为 A∈α ，所以 A∈β ，因为 B∈b，所 以 B∈β ，所以 d 同理 c β .又过 b,d 的平面是唯一的，所以α ，β 是同一个平面，所以 a α . α .即 a,b,c,d 共面。

例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？ [解] 充要条件。先证充分性，设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的正六 边形截面，延长 PQ，SR 设交点为 O，因为直线 SR O∈平面 CC1D1D，又因为直线 PQ 平面 CC1D1D，又 O∈直线 SR，所以
0

平面 A1B1C1D1，又 O∈直线 PQ，所以 O∈平面 A1B1C1D1。

所以 O∈直线 C1D1，由正六边形性质知，∠ORQ=∠OQR=60 ，所以Δ ORQ 为正三角形，因为

CD//C1D1， 所以

=1。 所以 R 是 CC1 中点， 同理 Q 是 B1C1 的中点， 又Δ ORC1≌Δ OQC1，

所以 C1R=C1Q，所以 CC1=C1B1，同理 CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留 给读者自己证明。 2．异面直线的相关问题。 例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对？ [解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线 12×4=48 对，而

每一对异面直线被计算两次，因此一共有

24 对。

例 4 见图 12-3，正方体，ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1，求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。 [解] 连结 AC，B1C，因为 A1A 所以 A1C1 AC。 B1 B C1C，所以 A1A C1C，所以 A1ACC1 为平行四边形，

所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角，由正方体的性质 AB1=B1C=AC， 所以∠B1AC=600。所以 A1C1 与 AB1 所成角为 600。 3．平行与垂直的论证。 例 5 A， C， 是空间四点， B， D 且四边形 ABCD 四个角都是直角， 求证： 四边形 ABCD 是矩形。 [证明] 若 ABCD 是平行四边形，则它是矩形；若 ABCD 不共面，设过 A，B，C 的平 面为α ，过 D 作 DD1 面α ，又 AB α 于 D1，见图 12-4，连结 AD1，CD1，因为 AB AB，所以 AB
0

AD1，又因为 DD1

平

α ，所以 DD1

平面 ADD1，所以 AB
2

AD1。同理 BC
2 2

CD1，所以 ，与

ABCD1 为矩形，所以∠AD1C=90 ，但 AD1<AD,CD1<CD，所以 AD +CD =AC = <AD +CD 矛盾。所以 ABCD 是平面四边形，所以它是矩形。 例 6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。 [证明] 见图 12-5，设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O，因为 AE 以 AE CD，BF 平面 ACD，所以 BF CD，所以 CD 平面 ABO，所以 CD AB，又 AB PD 于
2 2

平面 BCD，所

AB。设四面体另 CD，所以 AB ，因为 AB 平面

两条高分别为 CM，DN，连结 CN，因为 DN 平面 CDN，所以 AB CDN，所以 AB

平面 ABC，所以 DN

CN。设 CN 交 AB 于 P，连结 PD，作 ，所以 平面 ABD，即

为四面体的高，所以

与 CM 重合，

所以 CM，DN 为Δ PCD 的两条高，所以两者相交。 例7 在矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 中点，沿 BE 将Δ ABE 折起，并使 AC=AD，见图 平面 BCDE。

12-6。求证：平面 ABE

[证明] 取 BE 中点 O，CD 中点 M，连结 AO，OM，OD，OC，则 OM//BC，又 CD 以 OM 所以 AO CD。又因为 AC=AD，所以 AM CD，所以 CD 平面 AOM，所以 AO

BC，所

CD。又因为 AB=AE，

BE。 因为 ED≠BC， 所以 BE 与 CD 不平行， 所以 BE 与 CD 是两条相交直线。 所以 AO 平面 ABE。所以平面 ABE 平面 BCDE。

平面 BC-DE。又直线 AO

4．直线与平面成角问题。 例8 见图 12-7，正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点，G 为 BF 的中点，将正
0

方形沿 EF 折成 120 的二面角，求 AG 和平面 EBCF 所成的角。

[解]设边长 AB=2，因为 EF

AD，又 AD

AB。所以 EF

AB，所以 BG=

，

又 AE

EF，BE

EF，所以∠AEB=120 。过 A 作 AM

0

BE 于 M，则∠AEM=60 ，ME=

0

，

AM=AEsin60 =

0

.

由

余

弦

定

理

MG =BM +BG -2BM?BGcos

2

2

2

∠

MBG= BE，所以 EF 平面 AEB，所以 EF AM，又 AM

=2， 所以 MG= BE，所以 AM

因为 EF

AE， EF

平面 BCE。所以∠AGM 为 AG

与平面 EBCF 所成的角。而 tan∠AGM=

。所以 AG 与平面 EBCF 所成的角为

. 例 9 见图 12-8，OA 是平面α 的一条斜角，AB α 于 B，C 在α 内，且 AC OC，∠AOC=

α ，∠AOB=β ，∠BOC=γ 。证明：cosα =cosβ ?cosγ . [证明] 因为 AB α ，AC OC，所以由三垂线定理，BC OC，所以 OAcosβ =OB,OBcos

γ =OC,又 RtΔ OAC 中，OAcosα =OC，所以 OAcosβ cosγ =OAcosα ，所以 cosα =cosβ ?cos γ . 5．二面角问题。 例 10 见图 12-9，设 S 为平面 ABC 外一点，∠ASB=45 ，∠CSB=60 ，二面角 A—SB—C 为直角二面角，求∠ASC 的余弦值。
0 0

[解] 作 CM 以平面 ASB

SB 于 M，MN

AS 于 N，连结 CN，因为二面角 A—SB—C 为直二面角，所 SB，所以 CM 平面 ASB，又 MN AS，所以由三垂线定理的

平面 BSC。又 CM

逆 定 理 有 CN

AS ， 所 以 SC?cos ∠ CSN=SN=SC?cos ∠ CSM?cos ∠ ASB ， 所 以 cos ∠

ASC=cos45 cos60 =

0

0

。

例 11 见图 12-10，已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2，BC=3，P 为斜边 AB 上一点， 沿 CP 将此三角形折成直二面角 A—CP—B，当 AB= [解] 过 P 作 PD 即平面 ACP AC 于 D， PE 作 时，求二面角 P—AC—B 的大小。

CP 交 BC 于 E， 连结 DE， 因为 A—CP—B 为直二面角， CA，所以由三垂线定理知 DE
0

平面 CPB，所以 PE

平面 ACP，又 PD

AC，所

以∠PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角。设∠BCP=θ ，则 cos∠ECD=cosθ ?cos(90 -θ )=sin

θ cosθ ，由余弦定理 cos∠ACB=

，所以 sinθ cosθ =

，所以 sin2θ

=1.又 0<2θ <π ，所以θ =

，设 CP=a，则 PD= 。

a,PE=a.所以 tan∠PDE=

所以二面角 P—AC—B 的大小为 6．距离问题。

例 12 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a，求对角线 AC 与 BC1 的距离。 [解] 以 B 为原点，建立直角坐标系如图 12-11 所示。设 P，Q 分别是 BC1，CA 上的点，

且

，各点、各向量的坐标分别为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，

, 所 以

， 所 以

a × a+

a ×

a=0,

a×a-

a×a=0.所以

。所以 PQ 为 AC 与 BC1 的公

垂线段，所以两者距离为

例 13 如图 12-12 所示，在三棱维 S—ABC 中，底面是边长为

的正三角形，棱 SC

的长为 2，且垂直于底面，E，D 分别是 BC，AB 的中点，求 CD 与 SE 间的距离。 [分析] 取 BD 中点 F，则 EF//CD，从而 CD//平面 SEF，要求 CD 与 SE 间的距离就转化 为求点 C 到平面 SEF 间的距离。 [解] 设此距离为 h，则由体积公式

计算可得 SΔ SEF=3， 7．凸多面体的欧拉公式。

所以

例 14 一个凸多面体有 32 个面，每个面或是三角形或是五边形，对于 V 个顶点每个顶 点均有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交，求 100P+10T+V。 [解] 因 F=32，所以 32-E+V=2，所以 E=V+30。因为 T+P 个面相交于每个顶点，每个顶 点出发有 T+P 条棱，所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30)，即 V(T+P-2)=60. 由于每个

三角形面有三条棱，故三角形面有

个，类似地，五边形有

个，又因为每个面或者是

三角形或者是五边形，所以

=32，由此可得 3T+5P=16，它的唯一正整数解为

T=P=2，代入 V(T+P-2)=60 得 V=30，所以 100P+10T+V250。 8．与球有关的问题。 例 15 圆柱直径为 4R，高为 22R，问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个？ [解] 最底层恰好能放两个球，设为球 O1 和球 O2，两者相切，同时与圆柱相切，在球 O1 与球 O2 上放球 O3 与球 O4，使 O1O2 与 O3O4 相垂直，且这 4 个球任两个相外切，同样在 球 O3 与球 O4 上放球 O5 与球 O6，??直到不能再放为止。 先 计 算 过 O3O4 与 过 O1O2 的 两 平 行 面 与 圆 柱 底 面 的 截 面 间 距 离 为 。设共装 K 层，则(22因此最多装 30 个。 9．四面体中的问题。 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的垂心，二面角 H—AB—C 的平面角等于 300，SA= [解] 由题设，AH 故 SC CO 平面 SBC，作 BH 。求三棱锥 S—ABC 的体积。 AE，SC AB， )R< R(K-1)+2R?22R，解得 K=15，

SC 于 E，由三垂线定理可知 SC

平面 ABE。 S 在平面 ABC 内射影为 O， SO 设 则

平面 ABC， 由三垂线定理的逆定理知，

AB 于 F。同理，BO

AC，所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形，故 O 为Δ

ABC 的中心，从而 SA=SB=SC= 线定理知 ，EF

，因为 CF

AB，CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影，又由三垂
0

AB，所以∠ EFC 是二面 角 H— AB— C 的平 面角，故∠ EFC=30 ，所 以

OC=SCcos60 =

0

,SO=

tan60 =3，又 OC=

0

AB，所以 AB=

OC=3。所以 VS—

ABC

=

×3 ×3=

2

。

例 17 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h 是四面体的最小高的长，求证： 2d>h. [证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h，AC 与 BD 间的距离为 d，作 AF CN BD 于点 F，

BD 于点 N，则 CN//HF，在面 BCD 内作矩形 CNFE，连 AE，因为 BD//CE，所以 BD//平面

ACE，所以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中，AH 为边 EF 上的高，AE 边上的高 FG=d， EM 作 AF 于 M， 则由 EC//平面 ABD 知， 为点 C 到面 ABD 的距离 EM （因 EM

面 ABD），于是 EM?AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中，由 EM?AH 得 EF?AF。又因为Δ AEH

∽Δ FEG，所以

?2。所以 2d>h.

注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法， 请读者在解题中认真总结。 三、基础训练题 1．正三角形 ABC 的边长为 4，到 A，B，C 的距离都是 1 的平面有__________个. 2．空间中有四个点 E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H 不共面；命题乙：直线 EF 和 GH 不相交，则甲是乙的__________条件。 3．动点 P 从棱长为 a 的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则 点 P 运动的最大距离为__________。 4．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别是面 ADD1A1、面 ABCD 的中心，G 为棱 CC1 中点， 直线 C1E，GF 与 AB 所成的角分别是α ，β 。则α +β =__________。 5．若 a,b 为两条异面直线，过空间一点 O 与 a,b 都平行的平面有__________个。 6．CD 是直角Δ ABC 斜边 AB 上的高，BD=2AD，将Δ ACD 绕 CD 旋转使二面角 A—CD—B 为 60 ，则异面直线 AC 与 BD 所成的角为__________。
0

7．已知 PA

平面 ABC，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上一点且 AC=

AB，则二面角 A—PC

—B 的大小为__________。 8．平面α 上有一个Δ ABC，∠ABC=105 ，AC= 使得 SA=SB=SC= ，TA=TB=TC=5，则 ST=_____________.
0

，平面α 两侧各有一点 S，T，

9．在三棱锥 S—ABC 中，SA

底面 ABC，二面角 A—SB—C 为直二面角，若∠BSC=45 ，

0

SB=a，则经过 A，B，C，S 的球的半径为_____________. 10．空间某点到棱长为 1 的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________. 11．异面直线 a,b 满足 a//α ,b//β ,b//α ,a//β ，求证：α //β 。 12．四面体 SABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，S0，S1，S2，S3 分别表示Δ ABC，Δ SBC，Δ SCA，Δ SAB 的面积，求证： 13． 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中， 在棱 BB1 上， E 截面 A1EC （2）若 AA1=A1B1，求二面角 EC-A1-B1C1 的平面角。 四、高考水平训练题 1．三棱柱 ABC-A1B1C1 中，M 为 A1B1 的中点，N 为 B1C 与 BC1 的交点，平面 AMN 交 B1C1 于 P， 侧面 AA1C1C， （1） 求证： BE=EB1；

则

=_____________.

2.空间四边形 ABCD 中，AD=1，BC= 所成的角为_____________. 3．平面α 且 CD 平面β ，α

，且 AD

BC，BD=

，AC=

，则 AC 与 BD

β =直线 AB，点 C∈α ，点 D∈β ，∠BAC=45 ，∠BAD=60 ，

0

0

AB，则直线 AB 与平面 ACD 所成的角为_____________.

4．单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，二面角 A—BD1—B1 大小为_____________. 5．如图 12-13 所示，平行四边形 ABCD 的顶点 A 在二面角α —MN—β 的棱 MN 上，点 B， C，D 都在α 上，且 AB=2AD，∠DAN=45 ，∠BAD=60 ，若◇ABCD 在半平面β 上射影为为菜， 则二面角α —MN—β =_____________. 6． 已知异面直线 a,b 成角为θ ， M， 在 a 上， N， 在 b 上， 为公垂线， MN=d， 点 A 点 B MN 且 MA=m，NB=n。则 AB 的长度为_____________. 7．已知正三棱锥 S—ABC 侧棱长为 4，∠ASB=45 ，过点 A 作截面与侧棱 SB，SC 分别交 于 M，N，则截面Δ AMN 周长的最小值为_____________. 8．l1 与 l2 为两条异面直线，l1 上两点 A，B 到 l2 的距离分别为 a,b，二面角 A—l2—B 大小为θ ，则 l1 与 l2 之间的距离为_____________. 9 ． 在 半 径 为 R 的 球 O 上 一 点 P 引 三 条 两 两 垂 直 的 弦 PA ， PB ， PC ， 则 PA +PB +PC =_____________. 10．过Δ ABC 的顶点向平面α 引垂线 AA1，BB1，CC1，点 A1，B1，C1∈α ，则∠BAC 与∠ B1A1C1 的大小关系是_____________. 11．三棱锥 A—BCD 中∠ACB=∠ADB=90 ，∠ABC=60 ，∠BAD=45 ，二面角 A—CD—B 为直 角二面角。（1）求直线 AC 与平面 ABD 所成的角；（2）若 M 为 BC 中点，E 为 BD 中点，求 AM 与 CE 所成的角；（3）二面角 M—AE—B 的大小。
0 0 0 2 2 2 0 0 0

12．四棱锥 P—ABCD 底面是边长为 4 的正方形，PD

底面 ABCD，PD=6，M，N 分别是 PB，

AB 的中点，（1）求二面角 M—DN—C 的大小；（2）求异面直线 CD 与 MN 的距离。 13．三棱锥 S—ABC 中，侧棱 SA，SB，SC 两两互相垂直，M 为Δ ABC 的重心，D 为 AB 中 点，作与 SC 平行的直线 DP，证明：（1）DP 与 SM 相交；（2）设 DP 与 SM 的交点为 为三棱锥 S—ABC 外接球球心。 五、联赛一试水平训练题 1．现有边长分别为 3，4，5 的三角形两个，边长分别为 4，5， 的三角形四个，边 ，则

长分别为

，4，5 的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。

2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这两个多

面体的内切球的半径之比是一个既约分数

，那么 mn=_________。

3．已知三个平面α ，β ，γ 每两个平面之间的夹角都是

，且

=a, _________条件。

，命题甲：

；命题乙：a,b,c 相交于一点。则甲是乙的

4．棱锥 M—ABCD 的底面是正方形，且 MA 棱锥的最大球的半径为_________.

AB，如果Δ AMD 的面积为 1，则能放入这个

5．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六 面体，并且该六面体的最短棱长为 2，则最远两个顶点间距离为_________。 6．空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线，那么与 a,b,c 都相交的直线有_________条。 7． 一个球与正四面体的六条棱都相切， 正四面体棱长为 a， 这个球的体积为_________。 8．由曲线 x =4y,x =-4y,x=4,x=-4 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V1， 满足 x +y ?16,x +(y-2) ?4,x +(y+2) ?4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转
2 2 2 2 2 2 2 2

体的体积为 V2，则

_________。

9．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆围上的点，B 是底面圆内的 点，O 为底面圆圆心，AB OB，垂足为 B，OH PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的中点，则

当三棱锥 C—HPC 体积最大时，OB=_________。

10．

是三个互相垂直的单位向量，π 是过点 O 的一个平面，

分

别是 A， C 在π 上的射影， B， 对任意的平面π ， 由

构成的集合为_________。

11．设空间被分为 5 个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个 集合有公共点。 12．在四面体 ABCD 中，∠BDC=90 ，D 到平面 ABC 的垂线的垂足 S 是Δ ABC 的垂心，试 证：(AB+BC+CA) ?6(AD +BD +CD )，并说明等号成立时是一个什么四面体？ 13．过正四面体 ABCD 的高 AH 作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直 线与四面体的底面夹角为α ，β ，γ ，求 tan α +tan β +tan γ 之值。 六、联赛二试水平训练题 1．能否在棱长为 1 的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为 1 的正四面体？
2 2 2 2 2 2 2 0

2．P，Q 是正四面体 A—BCD 内任意两点，求证： 3．P，A，B，C，D 是空间五个不同的点，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ ，这里θ 为已 知锐角，试确定∠APC+∠BPD 的最大值和最小值。 4．空间是否存在有限点集 M，使得对 M 中的任意两点 A，B，可以在 M 中另取两点 C，D， 使直线 AB 和 CD 互相平行但不重合。 5．四面体 ABCD 的四条高 AA1，BB1，CC1，DD1 相交于 H 点（A1，B1，C1，D1 分别为垂足）。 三条高上的内点 A2，B2，C2 满足 AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1 在同一个球面上。 6．设平面α ，β ，γ ，δ 与四面体 ABCD 的外接球面分别切于点 A，B，C，D。证明： 如果平面α 与β 的交线与直线 CD 共面，则γ 与δ 的交线与直线 AB 共面。

高中数学竞赛讲义（十三）
──排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办 法中有 m2 种不同的方法，??，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事一共 有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分 n 个步骤，第 1 步有 m1 种不同的方法，第 2 步 有 m2 种不同的方法，??，第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1×m2×? ×mn 种不同的方法。 3．排列与排列数：从 n 个不同元素中，任取 m(m?n)个元素，按照一定顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列， n 个不同元素中取出 m 个(m?n)元素的 从 所有排列个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 表示， =n(n-1)?

(n-m+1)= 注：一般地

,其中 m,n∈N,m?n, =1，0！=1， =n!。

4．N 个不同元素的圆周排列数为

=(n-1)!。

5．组合与组合数：一般地，从 n 个不同元素中，任取 m(m?n)个元素并成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合， 即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成 原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 表示：

6．组合数的基本性质： （1）

； （2）

； （3）

；

（4） 。

；（5）

；（6）

7．定理 1：不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为

。

[证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A， 不定方程 x1+x2+? +xn=r 的正整数解构成的集合为 B，A 的每个装法对应 B 的唯一一个解，因而构成映射，不同 的装法对应的解也不同，因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒 子中球的个数，i=1,2,?,n，便得到 A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将 r 个小球从左到右排成一列， 每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个， 将球分 n 份， 共有 种。故定理得证。 推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可 重组合，其组合数为 8 (a+b) = Tr+1= 叫二项式系数。 9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进
n

．

二

项

式

定

理

：

若

n

∈

N+, r+1

则 项

. 其 中 第

行同一试验时，事件 A 发生的频率

总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做

事件 A 发生的概率，记作 p(A),0?p(A)?1.

10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果，其中事件 A 包含

的结果有 m 种，那么事件 A 的概率为 p(A)= 11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事 件 A1，A2，?，An 彼此互斥，那么 A1，A2，?，An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12．对立事件：事件 A，B 为互斥事件，且必有一个发生，则 A，B 叫对立事件，记 A 的对立事件为 。由定义知 p(A)+p( )=1.

13．相互独立事件：事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率没有影响，这 样的两个事件叫做相互独立事件。 14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1，A2，?，An 相互独立,那么这 n 个事件同 时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的 结果,则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重 复试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= ?p (1-p) .
k n-k

17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样 的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量，ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。 如果随机变量的可能取值可以一一列出， 这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地， 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?) 的概率 p(ξ =xi)=pi，则称表 ξ x1 p p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布，简称ξ 的分布列，称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期 望或平均值、均值、简称期望，称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均方差，简称方差。 叫随机变量ξ 的标准差。

18． 二项分布： 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p， 那么在 n 次独立重复试验中， 这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= ξ p 0 1 ? ? , ξ 的分布列为 xi ? ? N

此时称ξ 服从二项分布，记作ξ ～B(n,p).若ξ ～B(n,p)，则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p.

19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随 机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为 p，则 p(ξ =k)=q p(k=1,2,?)，ξ 的分布服
k-1

从几何分布，Eξ = 二、方法与例题 1．乘法原理。

，Dξ =

(q=1-p).

例 1 有 2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结 对方式？ [解] 将整个结对过程分 n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有 2n-1 种选 则；这一对结好后，再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有 2n-3 种选择，??这样一直进行下去，经 n 步恰好结 n 对，由乘法原理，不同的结对方式有

(2n-1)×(2n-3)×?×3×1= 2．加法原理。 例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表， 其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？ [解] 断路共分 4 类：1）一个电阻断路，有 1 种可能，只能是 R4；2）有 2 个电阻断路， 有 -1=5 种可能；3）3 个电阻断路，有 =4 种；4）有 4 个电阻断路，有 1 种。从而一

共有 1+5+4+1=11 种可能。 3．插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈， 要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱， 有多 少种不同的安排节目演出顺序的方式？ [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 个位置中选出 4 个安排舞蹈有 4．映射法。 例 4 如果从 1， ?， 中， 2， 14 按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足：2-a1?3,a3-a2 a ?3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？ [解] 设 S={1,2,?,14}， ={1， ?， 2， 10}； T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1?3,a3-a2 ? 3}, ={( )∈ }, 若 ，则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 然是单射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令 从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|= 5．贡献法。 例 5 已知集合 A={1，2，3，?，10}，求 A 的所有非空子集的元素个数之和。 ，令 到 T 的映射，它显 ， 种方法，故共有 种排法，再从演唱节目之间和前后一共 7 =604800 种方式。

，则

=120，所以不同取法有 120 种。

[解] 设所求的和为 x，因为 A 的每个元素 a，含 a 的 A 的子集有 2 个，所以 a 对 x 的 贡献为 2 ，又|A|=10。所以 x=10×2 . [另解] A 的 k 元子集共有 个，k=1,2,?,10，因此，A 的子集的元素个数之和为 10×2 。 6．容斥原理。 例 6 由数字 1，2，3 组成 n 位数(n?3)，且在 n 位数中，1，2，3 每一个至少出现 1 次，问：这样的 n 位数有多少个？ [解] 用 I 表示由 1，2，3 组成的 n 位数集合，则|I|=3 ，用 A ，A ，A 分别表示不含 1，不含 2，不含 3 的由 1，2，3 组成的 n 位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2 ，|A1 A3|=|A1 A3|=1。|A1 A2 A3|=0。
n n 1 2 3 9 9 9

9

A2|=|A2

所以由容斥原理|A1

A2

A3|= A2 A3|=3 -3×2 +3 个。
n n

=3×2 -3.所

n

以满足条件的 n 位数有|I|-|A1 7．递推方法。

例 7 用 1， 3 三个数字来构造 n 位数， 2， 但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中， 问：能构造出多少个这样的 n 位数？ [解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数，则 a1=3，由乘法原理知 a2=3×3-1=8.当 n?3 时：1）如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3，那么这样的 n 位数有 2an-1；2）如果 n 位数的第 一个数字是 1，那么第二位只能是 2 或 3，这样的 n 位数有 2an-2，所以 an=2(an-1+an-2)(n?3). 这里数列{an}的特征方程为 x =2x+2，它的两根为 x1=1+
2

,x2=1-

,故 an=c1(1+

)+

n

c2(1+

),

n

由

a1=3,a2=8

得

，

所

以

8．算两次。 例 8 m,n,r∈N+，证明： [证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 中选出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 位的方法有 9．母函数。 ① 种；另一方面，从这 n+m 人

种，k=0,1,?,r。所以从这 n+m 人中选出 r 种。综合两个方面，即得①式。

例 9 一副三色牌共有 32 张，红、黄、蓝各 10 张，编号为 1，2，?，10，另有大、小 王各一张，编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为 k 的 牌计为 2 分，若它们的分值之和为 2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 [解] 对于 n∈{1,2,?,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数目，则 an 等于函数 f(x)=(1+ ) ?(1+
2 k

) ??????(1+

3

) 的展开式中 x 的系数（约定|x|<1），由于

3

n

f(x)=

[

(1+

)(1+

)? ? ?(1+

)] =

3

3

=

3

。

而 0 ? 2004<2 ， 所 以 an 等 于

11

的展开式中 x 的系数，又由于

n

=
2k 2

?

=(1+x +x +?+x2k+?)[1+2x+3x +?+(2k+1)x +?],所
2

2

3

2

2k

以 x 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1) ,k=1,2,?,从而，所求的“好牌”组的 个数为 a2004=1003 =1006009. 10．组合数 例 10 的性质。 是奇数(k?1).

证明：

[证明]

=

令

i=

?pi(1?i?k)，pi 为奇数，则 是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。

，它的分子、分母均

为奇数，因

例 11 对 n?2,证明： [证明] 1）当 n=2 时，2 <
2

=6<4 ；2）假设 n=k 时，有 2 <

2

k

<4 ,当 n=k+1 时，因

k

为

又

<4，所以 2 <

k+1

.

所以结论对一切 n?2 成立。 11．二项式定理的应用。

例 12 若 n∈N, n?2，求证：

[证明]

首先

其次因为

，

所

以

2+ 证。

得

例 13 证明： [证明] 首先，对于每个确定的 k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中
n-k m-h

是(1+x) 的展开式中 x 的系数。
n-k k m-h h

是(1+y) 的展开式中 y 的系数。 从而

k

k

?

就是(1+x) ?(1+y) 的展开式中 x y 的系数。

于是，

就是

展开式中 x y 的系数。

m-h h

另一方面，

=

=

?

=

(xk-1+xk-2y+?+yk-1)，上式中，xm-hyh 项的系数恰为

。

所以 12．概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产 品，问：恰好有 k 件是次品的概率是多少？ [解] 把 k 件产品进行编号，有放回抽 n 次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为 (a+b)n（即所有的可能结果）。设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品，则事件

A 所包含的基本事件总数为

?akbn-k，故所求的概率为 p(A)=

例 15 将一枚硬币掷 5 次，正面朝上恰好一次的概率不为 0，而且与正面朝上恰好两次 的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。

[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p， 则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为

(1-p)5-k(k=0,1,2,?,5)，由题设

，且 0<p<1，化简得

，所

以恰好有 3 次正面朝上的概率为 例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为 0.6，乙胜 的概率为 0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的 可能性大？ [解] （1） 如果采用三局两胜制， 则甲在下列两种情况下获胜： 1—2： （甲净胜二局） A 0 ， A2—2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）. p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= ×0.6=0.288. 因为 A1 与 A2 互斥，所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. (2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B1—3：0（甲净胜 3 局），B
2

×0.6×0.4

—3：1（前 3 局甲 2 胜 1 负，第四局甲胜），B3—3：2（前四局各胜 2 局，第五局甲胜）。 因为 B1，B2，B2 互斥，所以甲胜概率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.6 + ×0.6+ ×0.6 ×0.4 ×0.6=0.68256.
2 2 3

×0.6 ×0.4

2

由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。 例 17 有 A，B 两个口袋，A 袋中有 6 张卡片，其中 1 张写有 0，2 张写有 1，3 张写有 2；B 袋中有 7 张卡片，其中 4 张写有 0，1 张写有 1，2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片， B 袋中取 2 张卡片，共 3 张卡片。求：（1）取出 3 张卡片都写 0 的概率；（2）取出的 3 张 卡片数字之积是 4 的概率；（3）取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。

[解]（1）

；（2） 2 4

；（3）记ξ 为 8

取出的 3 张卡片的数字之积，则ξ 的分布为 ξ 0 p

所以 三、基础训练题 1．三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2．在正 2006 边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3．用 1，2，3，?，9 这九个数字可组成_________个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七 位数。

4．10 个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。 5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6．今天是星期二，再过 10 7．由
1000

天是星期_________。

展开式所得的 x 的多项式中，系数为有理数的共有_________项。

8．如果凸 n 边形(n?4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸 n 边形内共有 _________个交点。 9． 袋中有 a 个黑球与 b 个白球， 随机地每次从中取出一球 （不放回） 第 k(1?k?a+b) ， 次取到黑球的概率为_________。 10．一个箱子里有 9 张卡片，分别标号为 1，2，?，9，从中任取 2 张，其中至少有一 个为奇数的概率是_________。 11．某人拿着 5 把钥匙去开门，有 2 把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率 是_________。 12．马路上有编号为 1，2，3，?，10 的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关 掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。 13．a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐，若 a,b 不相邻有_________种安排方 式。 14． 已知 i,m,n 是正整数， 1<i?m?n。 且 证明： （1）
n

； （2） (1+m) >(1+n) .

n

m

15.一项“过关游戏”规定：在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次，如果这 n 次抛掷所得到的 点数之和大于 2 ，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三 关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有 1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体） 四、高考水平训练题 1．若 n∈{1,2,?,100}且 n 是其各位数字和的倍数，则这种 n 有__________个。 2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数，能 组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3．四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中任取 4 个不共面的点，有_________ 种取法。 4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经 5 次 传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。 5．一条铁路原有 m 个车站（含起点，终点），新增加 n 个车站（n>1），客运车票相应 地增加了 58 种，原有车站有_________个。
2

6．将二项式

的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展

开式中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7． 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数， 从 共可得到_________ 种不同的对数值。 8．二项式(x-2) 的展开式中系数最大的项为第 _________项，系数最小的项为第 _________项。 9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的 5 节，每节用红、黄、蓝三 色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）
5

10．在 1，2，?，2006 中随机选取 3 个数，能构成递增等差数列的概率是_________。

11．投掷一次骰子，出现点数 1，2，3，?，6 的概率均为 数之和为 35 的概率为_________。

，连续掷 6 次，出现的点

12．某列火车有 n 节旅客车厢，进站后站台上有 m(m?n)名旅客候车，每位旅客随意选 择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13．某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有 量比现在提高 10%，如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精

确到 1 公顷）？（粮食单产= 五、联赛一试水平训练题

）

1．若 0<a<b<c<d<500，有_________个有序的四元数组（a,b,c,d）满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元 素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_________。 3．已知 A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射 f:A→A 满足：（1）若 i≠j，则 f(i)≠ f(j)；（2）若 i+j=7，则 f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_________。 4．1，2，3，4，5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质：对于 1?i?4,a1,a2,?,ai 不构成 1， 2，?，i 的某个排列，这种排列的个数是_________。 5．骰子的六个面标有 1，2，?，6 这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫 变差，变差的总和叫全变差 V，则全变差 V 的最大值为_________，最小值为_________。 6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有 3 名选手各比赛 2 场 之后就退出了，这样，全部比赛只进行 50 场，上述三名选手之间比赛场数为_________。 7．如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且 a 是 a,b,c,d 中的最 小值