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河南省名校2015届高三上学期期中考试数学(理)试题


一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.在复平面内,复数 Z ? A.第四象限

2 ? i 2015 对应的点位于 3?i B.第三象限 C.第二象限





D. 第一象限

r />N ?(

1? x? ? 2 2.已知集合 M ? ? x | y ? lg ? , N ? y | y ? x ? 2x ? 3 ,则 (?R M ) x ? ?

?

?



A.{x|10<x<1} B.{x|x>1} 3.已知 sin2α=- A.-

C.{x|x≥2}

D.{x|1<x<2} ) D.

1 5

? 24 ,α∈(- ,0) ,则 sinα+cosα=( 4 25 1 7 B. C.- 5 5
( B. ln6-6 ) C. -ln6+6

7 5

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,f(x)=x ?e? x (e 为自然对数的底数) ,则 f (ln 6) 的值 为 A.ln6+6 D.-ln6-6 )

5.已知向量 a ? b ? ? 2, ? 8? , a ? b ? ? ?8, 16? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为(

63 63 63 5 B. ? C. ? D. 65 65 65 13 6.执行右图所示的程序框图,会输出一列数,则这
A. 个数列的第 3 项是 A.870 B.30 C.6 D.3 ( )

?? ? ? ? ?? 7.函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象向左平移 个单位后关于原点对称,则函数 f(x)在 ? 0, ? 上的 2 6 ? ? ? 2?
最小值为( A. ?
3 2

) B. ?
x
正视图

3 1 1 C. D. 2 2 2 8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是

2

( A.2 C.
3 2



1 1 侧视图

[来源:Zxxk.Com]

B.

9 2
俯视图

D.3

9. 已知数列 ?an ? 为等差数列, ?bn ? 为等比数列,且满足: a1003 ? a1013 ? ? , b6 ? b9 ? 2 ,则 tan
高三文科数学试卷第-3 页 共4页

a1 ? a2015 ? 1 ? b7 b8

( A .1

) B. ?1 C.

3 3

D.

3


10.如图,把周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) ,一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆运动一 周,记弧 AM=x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t ? f ( x) 的图像大致为(

11.已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是( A. (1,2014) )

?sin ? x (0 ? x ? 1) ? , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的 log x x ? 1 ? ? ? 2014 ?
B. (1,2015) C. (2,2015) D.[2,2015]

12. 已知定义的 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 且在 [1,??) 上是增函数,不等式
? ? f (ax ? 2) ? f ( x ? 1) 对任意 x ? ? ,1? 恒成 立,则实数 a 的取值范围是( 1 ?2 ?

)

A. ? ?3, ? 1?

B. ? ?2, 0?

C. ? ?5, ? 1?

D. ? ?2,1?

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.已知 tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2cos2 ? ? 3 的值为 14. 图中阴影部分的面积等于 .
2 1 2 xy 取得最大值时, ? ? x y z z

15.设正实数 x、y、z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 的最大值为

16. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且对于 ?x ? R 恒有 f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ,已知当 x ? ?0,1? 时,
?1? f ? x? ? ? ? ?2?
1? x

则 (2) f ? x ? 在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
x ?3

(1) f ? x ? 的周期是 2;

?1? (3) f ? x ? 的最大值是 1,最小值是 0; (4)当 x ? ? 3, 4? 时, f ? x ? ? ? ? ?2?

其中正确的命题的序号是 17.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2x ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

4? ) ? 2cos2 x. 3

(1)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值时 x 的集合;
高三文科数学试卷第-1 页 共4页

3 (2)已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 f ( B ? C ) ? , b ? c ? 2 ,求 a 的最小值. 2
18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2an ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 2 an , cn =

1 ,记数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .若对 n ? N ? , bnbn ?1
A1 C1

Tn ? k ? n ? 4 ? 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19. (本小 题满分 12 分)

B1

O 是 AC 的中点, 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

A1O ⊥平面 ABC ,?BCA ? 90? ,AA1 ? AC ? BC .
(Ⅰ)求证: A1 B ? AC1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? BB1 ? C 的余弦值. A O B 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已知|AB|= 2 |F1F2|. 2 a b

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F1, 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切, 求直线 l 的斜率. 21. (本小题满分 12 分)
2

[来源:学科网]

已知函数 f ( x) ? x ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数. (1)求函数 y ? f ( x) 的图象在点 1 , f ?1? 处的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x) 图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围;
' (3)证明: ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f (? ) ?

?

?

f (e) ? f (1) . e ?1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第 22 题计分. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆上的 AC ? BD ,过 C 点的圆的切 线与 BA 的延长线交于 E 点. (Ⅰ)求证:∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)若 BE=9,CD=1,求 BC 的长. 23. (本小题满分 10 分)
高三文科数学试卷第 1 页 共4页

选修 4-4:坐标系与参数方程

x ? 5 cos? x=t cos ?+m 已知直线 l: ? (t 为参数)恒经过椭圆 C: ? (?为参数)的右焦点 F. ? ? ? y=t sin ? ? y ? 3 sin ? (Ⅰ)求 m 的值;
(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|·|FB|的最大值与最小值. 24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

高三文科数学试卷第 3 页

共4页

高三理科数学参考答案

f ( x) 的最大值为 2 ???????????????4 分
要使 f ( x) 取最大值, cos( 2 x ? 故 x 的集合为 ? x x ? k? ?

?
3

) ? 1,2 x ?

?
3

? 2k? (k ? Z )

? , k ? Z ? ???6 分 6 ? ? 3 ? 1 (2)由题意, f ( B ? C ) ? cos[ 2( B ? C ) ? ] ? 1 ? ,即 cos( 2? ? 2 A ? ) ? . 3 2 3 2 ? 1 化简得 cos( 2 A ? ) ? ????????????????????8 分 3 2 ? ? ? 5? ? ? Q A ? ? 0,? ? ,? 2 A ? ? (? , ) ,只有 2 A ? ? , A ? . ???9 分 3 3 3 3 3 3 ? 2 2 2 2 在 ?ABC 中,由余弦定理, a ? b ? c ? 2bc cos ? (b ? c) ? 3bc ???10 分 3 b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 ,????????????11 分 由 b ? c ? 2 知 bc ? ( 2 当 b ? c ? 1 时, a 取最小值 1 . ?????????????12 分
18.解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 2 ,当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2 ? ( 2a n ?1 ? 2) 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1
n

? ?

?

? an ? 2n

(2)由 bn=log2an 得 bn=log22 =n,则 cn=

1 1 1 1 = = - , bnbn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

1 1 1 1 1 1 n + - +?+ - = 1- = . 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 n n n 1 = 2 ∵ ≤k(n+4),∴k≥ = . (n+1)(n+4) n +5n+4 n+ 4 +5 n ?1 n
Tn=1- ∵n+

4 4 4 +5≥2 n +5=9,当且仅当 n= ,即 n=2 时等号成立, n n n

高三文科数学试卷第 5 页

共4页



1 1 1 ?1 ? ≤ ,因此 k≥ ,故实数 k 的取值范围为 ? , ?? ? 4 9 ?9 ? n+ +5 9 n
⊥平面 ,所以 ,所以 . 是菱形,所以 . . .又 ,

19.(Ⅰ)因为 所以 因为 所以 (Ⅱ)以 则 平面

,所以四边形 平面 ,所以

????????5 分 ,

为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系 , , , , , 的一个法向量,则 , .



是面

即 同理面

,令

,取

.

的一个法向量为 . ????????10 分

因为

.

所以二面角

的余弦值

.

??????????12 分 c2 1 又 b2=a2-c2,则 2= , a 2 4分

20. 解:(1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0). 由|AB|= 3 |F F |,可得 a2+b2=3c2. 2 1 2 2 . 2

所以椭圆的离心率 e=

x2 y2 故椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c → → 设 P(x0,y0).由 F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c). → → 由已知,有F1P· F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① x2 y2 0 0 又因为点 P 在椭圆上, 所以 2+ 2=1.② 2c c 4 c 由① 和② 可得 3x2 得 y0= , 0+4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- c.代入① 3 3 4c c? 即点 P 的坐标为? ?- 3 ,3?. 4 c - c+0 +c 3 3 2 2 设 圆 的 圆 心 为 T(x1 , y1) , 则 x1 = = - c , y1 = = c,进而圆的半径 r= 2 3 2 3 (2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2.
高三文科数学试卷第 7 页 共4页

(x1-0)2+(y1-c)2=

5 c. 3

|kx1-y1| 设直线 l 的斜率为 k, 依题意, 直线 l 的方程为 y=kx.由 l 与圆相切, 可得 2 =r, 即 k +1 = 5 c,整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4± 15, 3 所以直线 l 的斜率为 4+ 15或 4- 15.

?k?-2c?-2c? ? ? 3? 3?
k2+1

21 解: (1)函数的定义域为 ?x | x ? 0?,

1 f / ( x) ? 2 x ? a(1 ? ) f (1) ? 1 ? a , f / (1) ? 2 ? 2a x 函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1 , f (1)) 处的切线为 y ? (1 ? a) ? (2 ? 2a)(x ? 1) ,
即 y ? (1 ? a)(2 x ? 1) ??????????4 分 ( 2 ) ① a ? 0 时 , f ( x) ? x 2 , 因 为 x ? 0 , 所 以 点 ( x , x 2 ) 在 第 一 象 限 , 依 题 意 ,

f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 ② a ? 0 时,由对数函数性质知, x ? (0 , 1) 时, ln x ? (?? , 0) , a ln x ? (?? , 0) ,从而“ ?x ? 0 ,
[来源:学科网 ZXXK]

f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 ”不成立
③ a ? 0 时 , 由 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 得

1 1 1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) , 设 g ( x) ? ?( ? 2 ln x) , a x x x x

g / ( x) ?

x ?1 2 ? 3 ln x x3 x

x
g / ( x)
g ( x)

(0 , 1)
- ↘

1

(1 , ? ?)

0
极小值

?


1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) ? ?1 , ? 1 ? a ? 0 a x x 综上所述,常数 a 的取值范围 ? 1 ? a ? 0 ??????????8 分 f (e) ? f (1) a ? e ?1? a ? (3)计算知 e ?1 e ?1 f (e) ? f (1) a a / ? 2 x ? (e ? 1) ? ? 设函数 g ( x) ? f ( x) ? e ?1 x e ?1

g ( x) ? g (1) ? ?1 ,从而

g (1) ? 1 ? e ? a ?
2

a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 a a e(e ? 1) 2 ? a , g (e) ? e ? 1 ? ? ? ? e ?1 e ?1 e e ?1 e(e ? 1)

(e ? 1) 2 当 a ? e(e ? 1) 或 a ? 时, e?2
g (1) g (e) ? ? [a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] ? 0, e(e ? 1) 2

因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 ,即 ? ? (1 , e) ,使

f / (? ) ?

f (e) ? f (1) ; e ?1
高三文科数学试卷第 9 页 共4页



(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为正,由均值不等式知, e?2
a ? e2 ?1 ,等号当且仅当 x? e ?1

g ( x ) ? 2 2a ?

a ? (1 , e) 时 成 立 , 所 以 g ( x) 有 最 小 值 2

m ? 2 2a ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ,且 ? e ?1 e ?1

m?

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) ? ?0, e ?1 e ?1
此时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 ,

a a ,使 g (? ) ? 0 ) 或? ? ( , e) ) 2 2 f (e) ? f (1) 综上所述, ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ? ????? ?1 2 分 e ?1

(22)解: (Ⅰ) 又

AC ? BD,??ABC ? ?BCD .??????(2 分)

EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC , ? ?ACE ? ?BCD .?????(5 分)

EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC ,??????????????(7 分) CD BC ∴△ BEC ∽△ CBD ,∴ ,∴ BC =3.????????(10 分) ? BC EB
(Ⅱ) (23)解: (Ⅰ)椭圆的参数方程化为普通方程,得

x2 y 2 ? ?1, 25 9

? a ? 5, b ? 3, c ? 4, 则点 F 的坐标为 (4, 0) .
直线 l 经过点 (m, 0),? m ? 4 .?????????????(4 分) (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理得:

(9 cos 2 ? ? 25sin 2 ? )t 2 ? 72t cos ? ? 81 ? 0 .
设点 A, B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1 , t2 ,则

81 81 ? . ??????(8 分) 2 9 cos ? ? 25sin ? 9 ? 16sin 2 ? 当 sin ? ? 0 时, | FA | ? | FB | 取最大值 9 ;

| FA | ? | FB |?| t1t2 | =

2

当 sin

? ? ?1 时, | FA | ? | FB | 取最小值

81 . ?????????(10 分) 25

24. (Ⅰ)原不等式等价于

[来源:学科网 ZXXK]

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? ----3 分 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6

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