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湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学(文)试题 word版含答案


湖北黄冈市 2013 年高三年级 4 月份模拟考试

数学(文)试题
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选英中,只有 一个是符合题目要求的) 1.集合 M ? {y | y ? lg( x ? 1), x ? R}, 集合 N ? {x | 4 ? 4, x

? R}, 则M ? N 等于
2 x

A. [0,??)

B. [0,1)

C. (1,??)

D. (0,1]

2.在 [?2,3] 上随机取一个数 x,则 ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 的概率为 A.

2 5

B.

1 4

C.

3 5

D.

4 5

3.给出下列命题: (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面。 其中错误命题的个数是 A.1 B. 2 C.3 D.4 4.一个三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的体积为

1 3 2 C. 3
A. 5.若复数

1 2 1 D. 6
B.

2 ? ai ( a ? R ) 是纯虚数(i 是虚数单位) ,则 a 的值为 1? i
B.2 C.1 D.—1

A.—2

| x| 6.下列函数中与函数 y ? ? 3 奇偶性相同且在(— ? ,0)上单调性也相同的是

A. y ? ?

1 x

B. y ? log2 | x |

C. y ? 1 ? x

2

D. y ? x ? 1
3

7.已知 x ? 1, y ? 1, 且 A.有最大值 e

1 1 ln x, ,lny 成等比数列,则 xy 4 4
B.有最大值 e C.有最小值 e D.有最小值 e

x2 y2 2 8. 设斜率为 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 交于不同的两点, 且这两个交点在 a b 2
x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

9.若函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax)(a ? 0, a ? 1) 在区间 (? 是 A. [ ,1)

1 ,0) 内单调递增,则 a 的取值范围 2
D. (1, )

1 4

B. [ ,1)

3 4

C. ( ,?? )

9 4

9 4

10.已知函数 f ( x)是定义在 ??,0) ? (0,??) 上的偶函数,当 x ? 0 时, (

?2| x ?1| ? 1,0 ? x ? 2, ? f ( x) ? ? 1 则函数g ( x) ? 4 f ( x) ? 1 的零点个数为 ? f ( x ? 2), x ? 2 ?2
A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。

1 4 11.一组样本数据的茎叶图如右: 2 12334, 3 6
则这组数据的平均数等于 .
y y

12.若向量 a ? ( x ? 1,2), b ? (4, y) 相互垂直,则 9 ? 3

的最小值为 . 13.某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个 小矩形,若第一个小矩形的面积等于其余 n-1 的小矩形 的面积之和的

1 ,则第一个小矩形对应的频数是 5

.

14.右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的 独立评分,P 为该题的最终得分。当 x1 ? 6, x2 ? 9 ,

p ? 8.5 时, x3 等于

.

15.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x, g ( x) ? 2 x ? sin x, 若数列 an } 满足 {

? f (ai ) ? 7? , 则? g (
i ?1 i ?1

7

7

?
2

? a1 ) ?

.

? x ? 1, ? 16.实数 x、y 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4,则实数 a 的值 ? x ? y ? 0, ?
为 . 17.下列四个命题 ① “函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b 是奇函数”的充要条件是 ab ? 0 ② x 2 ? x ? 6 ? 0, 则x ? 2 ”的否命题; “若 ③ ABC 中,“A>30°”是“sinA ? 在△

1 ”的充分不必要条件; 2

④ “函数 f ( x) ? tan(x ? ?) 为奇函数”的充要条件是“ ? ? k? (k ? Z ) ” 其中真命题的序号是 。 (把真命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 12 分) 《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓 度在+20—80mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车;在 80mg/100ml(含 80)以上 时,属于碎酒驾车,某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中,依法检查了 300 辆机动车,查处酒后驾车和醉酒驾驶员共 20 人,检测结果如下表:

(1)求检测数据中醉酒驾驶的频率; (2)估计检测数据中酒精含量的平均数。

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 菱形, ∠ 1=60°,AB⊥ 1C。 CBB B (1)求证:平面 AA1B1B⊥ 平面 BB1C1C; (2)若 AB=2,求三棱柱 ABC—A1B1C1 体积。

20. (本小题满分 13 分)某单位设计了一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线 在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长 的材料弯折而成,边 BA,AD 再用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠ 和∠ 互补,且 A C AB=BC。 (1)设 AB=x 米,cosA=f(x),求 f (x) 的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值。

21. (本小题满分 14 分)已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为 F,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直 线 l 交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )两点,抛物线在 A、B 两点处的切线交于点 M. (1)求 A,B 两点的横坐标之积; (2)求证:A、M、B 三点的横坐标成等差数列; (3)设直线 MF 交该抛物线于 C,D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值。

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? 1. 3

(1)求 x ? 1 时, f (x) 取得极值,求 a 的值; (2)求 f (x) 在[0,1]上的最小值; (3) 若对任意 m ? R, 直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线, a 的取值范围。 求

参考答案
一、选择题(每小题正确答案均唯一,每小题 5 分共 50 分) CDCAB CCDBD 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11. 25 12. 6 13. 30 14. 8 15. 0 18.解: )所求频率为 p ? (Ⅰ 16. 2 17. ②

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2 ?1 3 ? 20 20

………………5 分

(Ⅱ )估计所求平均数为

3 4 1 4 2 3 2 1 ? 25 ? ? 35 ? ? 45 ? ? 55 ? ? 65 ? ? 75 ? ? 85 ? ? 95 20 20 20 20 20 20 20 20 C 1095 ? ? 55 ……………12 分 20

C1

B

O A

19 解: )由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥ 1. (Ⅰ BB 又 AB⊥ 1C,BB1∩ 1C=B1,所以 AB⊥ B B 平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥ 1C1C. …4 分 BB (Ⅱ )由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连结 CO,则 CO⊥ 1. BB 3 3 由(Ⅰ )知,CO⊥ 平面 AB1B1A,且 CO= 2 BC= 2 AB= 3. 1 1 2 3 连结 AB1,则 VC-ABB1= 3 S△ 1· ABB CO= 6 AB2· CO= 3 . 1 2 3 因 VB1-ABC=VC-ABB1= 3 VABC-A1B1C1= 3 , 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 VABC-A1B1C1=2 3. 20 解: )在△ (Ⅰ ABD 中,由余弦定理得 2 2 2 BD =AB +AD -2AB· cosA. AD· 同理,在△ CBD 中,BD2=CB2+CD2-2CB· cosC. ………………… 2 分 CD· 因为∠ 和∠ 互补, A C 2 所以 AB +AD2-2AB· cosA=CB2+CD2-2CB· cosC AD· CD· 2 2 =CB +CD +2CB· cosA. ………… 3 分 CD· 2 2 2 2 即 x +(9-x) -2 x(9-x) cosA=x +(5-x) +2 x(5-x) cosA. 2 2 解得 cosA=x ,即 f( x)=x .其中 x∈ (2,5). (Ⅱ )四边形 ABCD 的面积 1 1 S=2(AB· AD+ CB· CD)sinA=2[x(5-x)+x(9-x)] 1-cos2A. ……………………… 5 分

B1 A1

…8 分

…12 分

=x(7-x)

2 1-( x )2= (x2-4)(7-x)2= (x2-4)( x2-14x+49).………… 8 分

所以 g(x)=(x2-4)( x2-14x+49),x∈ (2,5). 2 2 由 g′ (x)=2x( x -14x+49)+(x -4)( 2 x-14)=2(x-7)(2 x2-7 x-4)=0, 1 解得 x=4(x=7 和 x=-2舍). ……………………… 10 分

所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108.……………………… 12 分 四边形 ABCD 的面积最大值为 6 3 答:四边形 ABCD 的面积最大值为 6 3 . ……………………… 13 分

21 解(Ⅰ )由已知,得 F (0,1) ,显然直线 AB 的斜率存在且不为 0,

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ( k ? 0 ) ,

? x 2 ? 4 y, ? y ? kx ? 1消去 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 . 由?
所以

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 .

即 A , B 两点的横坐标之积为-4 ………………………………………………4 分

(Ⅱ )由 x ? 4 y ,得
2

y?

1 2 1 1 x y' ? x k AM ? x1 4 ,所以 2 ,所以,直线 AM 的斜率为 2 , y ? y1 ? 1 x1 ( x ? x1 ) x 2 ? 4 y1 , 2 ,又 1

所以,直线 AM 的方程为 所以,直线 AM 的方程为 同理,直线 BM 的方程为

x1x ? 2( y ? y1 ) ① . x2 x ? 2( y ? y2 ) ② .
x? x1 ? x2 2 ,
……………………9 分

x ? x2 得点 M 的横坐标 ② 并据 1 -①

即 A , M , B 三点的横坐标成等差数列.

(Ⅲ )由①易得 y=-1,所以点 M 的坐标为(2k,-1)( k ? 0 ). ②

所以

kMF ?

2 1 1 ?? y ? ? x ?1 ?2k k ,则直线 MF 的方程为 k ,

设 C(x3,y3),D(x4,y4)

? x 2 ? 4 y, ? ? 4 16 1 x2 ? x ? 4 ? 0 ? ? 2 ? 16 ? 0 ? y ? ? x ?1 k k k 由? 消去 y ,得 ,显然 ,

所以 又

x3 ? x4 ? ?

4 k , x3 x4 ? ?4 .

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2
.

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 4(k 2 ? 1)

| CD |? ( x3 ? x4 )2 ? ( y3 ? y4 )2 ? (1 ? ? (1 ?

1 )( x3 ? x4 )2 2 k

1 1 )[( x3 ? x4 )2 ? 4 x3 x4 ] ? 4( 2 ? 1) 2 k k .……………12 分

因为

kMF ? k AB ? ?1 ,所以 AB ? CD ,
S ACBD ? 1 1 1 | AB | ? | CD |? 8( 2 ? 1)(k 2 ? 1) ? 8(k 2 ? 2 ? 2) ? 32 2 k k ,

所以,

当且仅当 k ? ?1 时,四边形 ACBD 的面积取到最小值 32 .……………………14 分 22.

(III)因为 ?m ? R ,直线

y ? ?x ? m

都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,

2 ( 所以 f ' x) ? x ? a ? ?1 对 x ? R 成立, 2 ( 只要 f ' x) ? x ? a 的最小值大于 ?1 即可, 2 ( 而 f ' x) ? x ? a 的最小值为 f (0) ? ?a

所以 ?a ? ?1 ,即 a ? 1

………………14 分


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