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2015学年人教A版数学课件选修4-4


第一讲 坐标系 本 讲 小 结 知 识 结 构 知识要点 1.平面直角坐标系 (1)坐标系的建立 方法技巧 要根据问题的几何特点,建立适当的坐标系,注意建系后 尽量保持几何图形的对称性,使更多的点落在坐标轴上,最后 求出的曲线方程简单. (2)平面直角坐标系中的伸缩变换 设 P(x , y) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 , 在 变

换 φ : ? x ?x′=λ· ? ? y ?y′=μ· ?λ>0?, 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′), ?μ>0? 称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 【例 1】 已知 A,B,C 依次为直线 l 上的三个定点,动 点 P(P?l)恒满足∠APB=∠BPC≠0,点 P 与直线 l 在确定的平 面内,求动点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 【解】 以点 B 为原点, l 为 x 轴建立直角坐标系, 如下图: 设 A(-a,0),C(c,0),(a>0,c>0),P(x,y). 由∠APB=∠BPC≠0,知 |PA| |AB| a = = . |PC| |BC| c ?x+a?2+y2 a2 ∴ = 2. ?x-c?2+y2 c 化简整理,得 (a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0. (1)当 a=c 时,P 点的轨迹为 y 轴(除去原点); 2ac (2)当 a≠c 时,方程可化为 x +y - x=0,其轨迹是以 a-c 2 2 ac ac 2ac ( ,0)为圆心, 为半径的圆,但不包括点(0,0)和( , a-c |a-c| a-c 0). 【例 2】 ? ?x′=2x, 在同一坐标系中, 经过伸缩变换? ? ?y′=2y 后, 曲线 C 变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线 C 的方程,并判 断是什么曲线. 【解】 ? ?x′=2x, 把? ? ?y′=2y 代入曲线方程(x′-5)2+(y′+6)2 =1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1. 52 1 2 即(x-2) +(y+3) =4. 所以,曲线 C 的方程为 52 1 5 1 2 (x-2) +(y+3) =4,它表示以(2,-3)为圆心,2为半径的 圆. 2.极坐标系 极坐标系是平面上经常使用的又一坐标形式,建立极坐标 系要选择一个合适的点为极点,确定极轴,再选定一个长度单 位,一个角度单位及其正方向. (1)点的极坐标 在极坐标系中,点 M 到极点的距离为它的极径 ρ,以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 即为极角 θ,极径 ρ 与 极角 θ 确定后,点 M 的极坐标即为(ρ,θ). 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点,极 点 O 的极坐标为(0,θ)(θ∈R),可见一个点的极坐标有无穷多 个表示法.如果我们规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除去极点外,平面 内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示. (2)极坐标与直角坐标的互化 互化的前提条件是两种坐标系必须有如下对应关系: 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 具有相同的单位长度.如图. y 互化公式为 x=ρcosθ,y=ρsinθ;ρ =x +y ,tanθ= (x≠0). x 2 2 2 确定 θ 的值由点 M(x, y)所在象限来确定, 一般取[0,2π)中的一 个就可以了. (3)简单曲线的极坐标方程 1)圆的极坐标方程 ①半径为 r,

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