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高中数学高考正弦定理与余弦定理高考题及详解


高考总复习

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理详解
一、选择题 1.(2010· 聊城市、银川模拟)在△ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,且 sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则角 C 等于( π A. 6 5π C. 6 [答案] B [解析] 由正弦定理得 a2-c2=(a-b)· b, a2+b

2-c2 1 由余弦定理得 cosC= = , 2ab 2 π ∵0<C<π,∴C= . 3 2.(文)(2010· 泰安模拟)在△ABC 中,若 A=60° ,BC=4 3,AC=4 2,则角 B 的大小 为( ) A.30° C.135° [答案] B [解析] ∵AC· sin60° =4 2× 4 2 4 3 = , sinB sin60° ∴sinB= 2 ,∵4 2<4 3,∴B<A,∴B=45° . 2 ) 3 =2 6<4 2<4 3,故△ABC 只有一解,由正弦定理得, 2 B.45° D.45° 或 135° π B. 3 2π D. 3 )

π (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,A= ,a= 3,b=1,则 c=( 3 A.1 C. 3-1 [答案] B [解析] ∵bsinA= 3 <1< 3,∴本题只有一解. 2 B.2 D. 3

π ∵a= 3,b=1,A= , 3 b2+c2-a2 1+c2-3 1 ∴根据余弦定理,cosA= = = , 2bc 2c 2 解之得,c=2 或-1, ∵c>0,∴c=2.故选 B.
含详解答案

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3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有 两解,则角 A 的取值范围是( π? A.? ?0,4? π 3π? C.? ? 4, 4 ? [答案] A [解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2,∴sinA< π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A< . 4 [点评] 如图,AC=2 2,以 C 为圆心 2 为半径作⊙C,则⊙C 上任一点(⊙C 与直线 AC 交点除外)可为点 B 构成△ABC,当 AB 与 π π ⊙C 相切时,AB=2,∠BAC= ,当 AB 与⊙C 相交时,∠BAC< , 4 4 π 因为三角形有两解,所以直线 AB 与⊙C 应相交,∴0<∠BAC< . 4 4.(2010· 湖南理)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.若∠C=120° ,c = 2a,则( A.a>b C.a=b [答案] A [解析] ∵∠C=120° ,c= 2a,c2=a2+b2-2abcosC ∴a2-b2=ab, 又∵a>0,b>0,∴a-b= ab >0,所以 a>b. a+b ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 2 , 2 ) π π? B.? ?4,2? π π? D.? ?4,3?

5.(文)(2010· 天津理)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a2-b2= 3 bc,sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° [答案] A b2+c2-a2 [解析] 由余弦定理得:cosA= , 2bc ∵sinC=2 3sinB,∴c=2 3b,∴c2=2 3bc, 又∵b2-a2=- 3bc,∴cosA= 3 , 2 ) B.60° D.150°

又 A∈(0° ,180° ),∴A=30° ,故选 A.

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(理)(2010· 山东济南)在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 若(a2+c2-b2)tanB = 3ac,则角 B 的值为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 [答案] D [ 解析 ] 由 (a2 + c2 -b2)tanB = 3 ac 得, a2+c2-b2 · tanB = 3 ,再由余弦定理 cosB= ac ) π B. 3 π 2π D. 或 3 3

a2+c2-b2 3 π 2π 得,2cosB· tanB= 3,即 sinB= ,∴角 B 的值为 或 ,故应选 D. 2ac 2 3 3 6.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 [答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2 ) B.3+ 3 D.2+ 3

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 7.(2010· 厦门市检测)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、 B、C 依次成等差数列,且 a=1,b= 3,则 S△ABC 等于( A. 2 C. 3 2 B. 3 D.2 )

[答案] C [解析] ∵A、B、C 成等差数列,∴B=60° , b a asinB ∵ = ,∴sinA= = sinB sinA b 1× 3 2 1 = , 2 3

∴A=30° 或 A=150° (舍去),∴C=90° , 1 3 ∴S△ABC= ab= . 2 2 B a+c 8.(2010· 山师大附中模考)在△ABC 中,cos2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对 2 2c 边),则△ABC 的形状为( )
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A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] A

B.正三角形 D.等腰三角形或直角三角形

1+cosB sinA+sinC B a+c [解析] ∵cos2 = ,∴ = , 2 2c 2 2sinC ∴sinCcosB=sinA, ∴sinCcosB=sin(B+C),∴sinBcosC=0, π ∵0<B,C<π,∴sinB≠0,cosC=0,∴C= ,故选 A. 2 1 3 10 9.(2010· 四川双流县质检)在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短 2 10 边的长为( 4 5 A. 5 2 5 C. 5 [答案] D [解析] 由 tanA>0,cosB>0 知 A、B 均为锐角, 1 π 3 10 3 ∵tanA= <1,∴0<A< ,cosB= > , 2 4 10 2 π ∴0<B< ,∴C 为最大角, 6 3 10 1 由 cosB= 知,tanB= ,∴B<A,∴b 为最短边, 10 3 由条件知,sinA= 1 2 1 ,cosA= ,sinB= , 5 5 10 ) 3 5 B. 5 D. 5 5

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = 1 3 2 1 2 × + × = , 2 5 10 5 10

b c b 1 5 由正弦定理 = 知, = ,∴b= . sinB sinC 1 5 2 10 2 → → → → ? AB AC ? → AC· BC → → → + 10.(2010· 山东烟台)已知非零向量AB,AC和BC满足? · BC=0,且 = ? → → → → ?|AB| |AC|? |AC|· |BC| 2 ,则△ABC 为( 2 A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 )

含详解答案

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C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 [答案] D → → AC· BC 2 [解析] ∵ =cos∠ACB= , 2 → → |AC|· |BC| ∴∠ACB=45° , → → ? AB AC ? → + 又∵? · BC=0, → →? ?|AB| |AC|? ∴∠A=90° ,∴△ABC 为等腰直角三角形,故选 D. 二、填空题 11.(文)判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________. ①a=1,b= 2,B=45° ; ②a= 5,b= 15,A=30° ; ③a=6,b=20,A=30° ; ④a=5,B=60° ,C=45° . [答案] ①④ [解析] ①一解,asinB= ②两解,b· sinA= 2 <1< 2,有一解. 2

15 < 5< 15,有两解; 2

③无解,b· sinA=10>6,无解. ④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定. (理)在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是________. [答案] 3<c< 5

[解析] 边 c 最长时: a2+b2-c2 1+4-c2 cosC= = >0, 2ab 2×1×2 ∴c2<5.∴0<c< 5. a2+c2-b2 1+c2-4 边 b 最长时:cosB= = >0, 2ac 2c ∴c2>3.∴c> 3. 综上, 3<c< 5. 12.(2010· 上海模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶点 sinA+sinC x2 y2 B 在椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB
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[答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC 13.(文)(2010· 沈阳模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 b2+c2 → → =a2+bc,且AC· AB=4,则△ABC 的面积等于________. [答案] 2 3 b2+c2-a2 1 [解析] ∵b +c =a +bc,∴cosA= = , 2bc 2
2 2 2

→ → ∵AC· AB=4,∴b· c· cosA=4,∴bc=8, 1 1 ∴S= AC· ABsinA= ×bc· sinA=2 3. 2 2 (理)(2010· 北京延庆县模考)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a=c 4 3 =2b 且 sinB= ,当△ABC 的面积为 时,b=________. 5 2 [答案] 2 [解析] ∵a+c=2b,∴a2+c2+2ac=4b2(1) 1 2 3 15 ∵S△ABC= acsinB= ac= ,∴ac= (2) 2 5 2 4 4 3 ∵sinB= ,∴cosB= (由 a+c=2b 知 B 为锐角), 5 5 ∴ a2+c2-b2 3 9 = ,∴a2+c2= +b2(3) 2ac 5 2

由(1)、(2)、(3)解得 b=2. sinA-sinB 2sinA-sinC 14.(2010· 合肥市质检)在△ABC 中, = ,则角 B=________. sin?A+B? sinA+sinB [答案] π 4

[解析] 依题意得 sin2A-sin2B=sin(A+B)( 2sinA-sinC)= 2sinAsinC-sin2C, 由正弦定理知:a2-b2= 2ac-c2, ∴a2+c2-b2= 2ac, a2+c2-b2 2 由余弦定理知:cosB= = , 2ac 2 π ∴B= . 4 三、解答题 15.(文)(2010· 广州六中)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满足

含详解答案

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A 2 5 → → cos = ,AB· AC=3. 2 5 (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=6,求 a 的值. A 2 5 [解析] (1)∵cos = , 2 5 A 3 4 ∴cosA=2cos2 -1= ,sinA= . 2 5 5 → → 又由AB· AC=3 得,bccosA=3,∴bc=5, 1 ∴S△ABC= bcsinA=2. 2 (2)∵bc=5,又 b+c=6,∴b=5,c=1 或 b=1,c=5, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=20,∴a=2 5. (理)(2010· 山东滨州)已知 A、 B、 C 分别为△ABC 的三边 a、 b、 c 所对的角, 向量 m=(sinA, sinB),n=(cosB,cosA),且 m· n=sin2C. (1)求角 C 的大小; → → → (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且CA· (AB-AC)=18,求边 c 的长. [解析] (1)m· n=sinA· cosB+sinB· cosA=sin(A+B). 在△ABC 中,由于 sin(A+B)=sinC. ∴m· n=sinC. 又∵m· n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 1 π 又 sinC≠0,所以 cosC= .而 0<C<π,因此 C= . 2 3 (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. → → → → → ∵CA· (AB-AC)=18,∴CA· CB=18. 1 即 abcosC=18,由(1)知,cosC= ,所以 ab=36. 2 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab. ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36. ∴c=6. 16.(文)在△ABC 中,已知 AB= 3,BC=2.

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(1)若 cosB=-

3 ,求 sinC 的值; 6

(2)求角 C 的取值范围. [解析] (1)在△ABC 中,由余弦定理知, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB =3+4-2×2 3×?-

?

3? =9. 6?

所以 AC=3. 又因为 sinB= 1-cos2B= AB AC 由正弦定理得 = . sinC sinB AB 11 所以 sinC= sinB= . AC 6 (2)在△ABC 中,由余弦定理得, AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC, ∴3=AC2+4-4AC· cosC, 即 AC2-4cosC· AC+1=0. 由题意知,关于 AC 的一元二次方程应该有解, 1 1 令 Δ=(4cosC)2-4≥0,得 cosC≥ ,或 cosC≤- (舍去,因为 AB<BC) 2 2 π? π 所以,0<C≤ ,即角 C 的取值范围是? ?0,3?. 3 [点评] 1.本题也可用图示法,如图:A 为⊙B 上不在直线 BC 上的任 π π 0, ?. 一点, 由于 r=AB= 3, 故当 CA 与⊙B 相切时∠C 最大为 , 故 C∈? ? 3? 3 2.高考命题大题的第一题一般比较容易入手,大多在三角函数的图 象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制,这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方 法的落实. (理)(2010· 东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分 1 别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围. 1 [解析] (1)由 acosC+ c=b 得 2 1 sinAcosC+ sinC=sinB 2 1-?-

?

33 3?2 = , 6 6?

含详解答案

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又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 1 ∴ sinC=cosAsinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2 π 又∵0<A<π,∴A= . 3 (2)解法 1:由正弦定理得: asinB 2 2 b= = sinB,c= sinC sinA 3 3 l=a+b+c=1+ =1+ 2 (sinB+sinC) 3

2 (sinB+sin(A+B)) 3 3 1 ?=1+2sin?B+π? ? 6? ? 2 sinB+2cosB?

=1+2?

2π? π π ?π 5π? ∵A= ,∴B∈? ?0, 3 ?,∴B+6∈?6, 6 ?, 3 π? ?1 ? ∴sin? ?B+6?∈?2,1?. 故△ABC 的周长 l 的取值范围是(2,3]. 解法 2:周长 l=a+b+c=1+b+c 由(1)及余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, ∴b2+c2=bc+1, ∴(b+c)2=1+3bc≤1+3? b+c?2 ? 2 ? ,∴b+c≤2,

又 b+c>a=1,∴l=a+b+c∈(2,3], 即△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 17.(文)△ABC 中内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m=(2sinB,- 3),n= B (cos2B,2cos2 -1)且 m∥n. 2 (1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. [分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数, 利用三角恒等变换 知识解决;(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决. [解析] (1)∵m∥n,
2B ? ∴2sinB? ?2cos 2 -1?=- 3cos2B

∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3
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2π π 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3 a2+c2-b2 ∴由余弦定理 cosB= 得, 2ac a2+c2-ac-4=0 又∵a2+c2≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 S△ABC= acsinB= ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立), 2 4 [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起,题目新疑精巧,难度也 不大,即符合在知识“交汇点”处构题,又能加强对双基的考查,特别是向量的坐标表示及 运算, 大大简化了向量的关系的运算, 该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算 后转化为三角函数问题,然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解. (理)(2010· 山师大附中模考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 sinB 5 = ,且 a、b、c 成等比数列. 13 (1)求 1 1 + 的值; tanA tanC

(2)若 accosB=12,求 a+c 的值. [解析] (1)依题意,b2=ac 5 25 由正弦定理及 sinB= 得,sinAsinC=sin2B= . 13 169 1 1 cosA cosC sin?A+C? sinB 13 + = + = = = . tanA tanC sinA sinC sinAsinC sinAsinC 5 (2)由 accosB=12 知 cosB>0, 5 12 ∵sinB= ,∴cosB= (b 不是最大边,舍去负值) 13 13 12 从而,b2=ac= =13. cosB 由余弦定理得,b2=(a+c)2-2ac-2accosB. 12? ∴13=(a+c)2-2×13×? ?1+13?. 解得:a+c=3 7.

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