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对一道联赛题的探究

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21 0 2年 7月  名 师导 航  ⑩ 河北省 围场 县天 卉 中学 赵 平  【 原题 】 o1 ( l年全 国初 中数学联合竞赛试题 ) 图1已知P 2 如 ,   为锐 角 AA C B 内一点 , 分别作B , , B 过P C AC A 的垂线 , 足分别  垂 为D, F B E, ,M为  ̄A C B 的平分线 , 的延长线  ̄ 4 于点. 如果  MP cz " 7 、 7 . P =EP , D P + F 求证 :N ̄ LA B的平分线. C Z C   .   B D  C   8   D  C   【 原题 证明 】 图2作M 上 C 如 , M。 B 于点M。 M L B 点  , , 2A 于 M   N l B 于  N , N L C NL C lN 2 A 于 、 2 N.   图6   图7   【 探究二 】 把两 内角平 分线条 变为一内角一外角平分线 , . 牛   探究类似的结论.   如 图8 已知P △A 外一点 , 分别 作B AC A 所 在  , 为  c 过P C, , B 直线 的垂线 , 垂足 分别 为D, , B E F,M为 LA C B 的平分线 , 的延  MP 长线交鲋 的延 长线 于点Ⅳ如果P : E P , D= + F 求证 :Ⅳ 厶4 B P c是 C 的  外角 厶4 G   的平分线. C   B  D  C  B  N1 D    M1   C  Nl D  M l     图l   图2   图3   证明 : 图9 作MM, C 如 ,  ̄B 于点M  ,   N  上 的延长线 于点    N  N   ̄.P A M. . =N   N- M2N 1 C 延 长 线 于点 Ⅳ1 N  AC 点Ⅳ2 , N 上B 的 , 2 N L 于 .   观察 如图2 N< M1 图3 作N   知N IM . 如 , H上 . 分别交MM1 D ,   P 于 日 A H M, 器= ,以   点, ̄N- N 所   所 朋= H Pc H 以 , o A   MH.   B   D   C   B  MI D     C N    M1  D  H  Ⅳl   所 以 P P + D A 日+ Ⅳ= MM广^ ) ^ = MM1  D= Hl日1= 肘 Ⅳ lA( w1+ WlA + 图 8   图9   图 l  0 (- N 1 1A) N .   设 MP A M . =N   若N = , D Ⅳ l删 I MMI(- ^ . Nl MMl则P = Ⅳ= = A + 1A)w1   若N > , Nl MM1同理可] P = M + 1A) N . a D A Ml( - N 1 Y : ,   观察 图9 Ⅳ。 知^v> MM。 图 1 , , 如 0 作MH上Ⅳ  分 别交 Ⅳ ,   Ⅳ, Ⅳ, 肋 于 点  t ̄  ,0 AMP H— AMN   以  H M  =P 删 P P Ht=   J gP  ̄ 因为艘 ∥Ⅳ 2听以  Ⅳ√ =   = - , 以肚 (  IA所 1 .   NH .   1fP fM 2 以  ̄ rF M ,   J 所 = _’以   A所   A   .   所 以P = H1日1 A H+ D P + D= N MM = ( Nl A N — MM1  MlA Nl ) + =N +   ( - MM1 1A) .  

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