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2015年高考文科数学试题分类解析之平面向量


第五章

平面向量

试题部分
???? 1.【2015 高考新课标 1,文 2】已知点 A(0,1), B(3, 2) ,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向

??? ? 量 BC ? ( )
(A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

/>
2.【2015 高考广东,文 9】在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ??CD 是平行

???? ??? ? ??? ? ???? 四边形, ?? ? ?1, ?2 ? , ?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? (
A. 2 B. 3



C. 4 D. 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.【2015 高考重庆,文 7】已知非零向量 a , b 满足 |b |=4|a|,且a ? (2a +b ) 则 a与b 的夹角为( (A) ) (B)

5? 3 2 6 ? ? ? ? ? ? ? 4.【2015 高考福建,文 7】设 a ? (1, 2) ,b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k

?

?

(C)

2? 3

(D)

的值等于( A. ?
3 2

) B. ?
5 3

C.

? ? ? ? ? ? ? ? 5.【2015 高考北京,文 6】设 a , b 是非零向量, “ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的
( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5 3

D.

3 2

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

? ? 6.【2015 高考陕西,文 8】对任意向量 a, b ,下列关系式中不恒成立的是( ? ? ? ? A. | a ? b |?| a || b | ? ? ? ? C. (a ? b) 2 ?| a ? b |2 ? ? ? ? B. | a ? b |?|| a | ? | b ||

? ? ? ? ?2 ?2 D. (a ? b)(a ? b) ? a ? b
??? ? ??? ?

7.【2015 高考湖北,文 11】.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? _________.

??? ?

??? ? ??? ?

? ? 8.【2015 高考安徽,文 15】 ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a、b 满
? ? ? ? ? 足 AB ? 2a , AC ? 2a ? b ,则下列结论中正确的是

.(写出所有正

确结论得序号)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ① a 为单位向量;② b 为单位向量;③ a ? b ;④ b // BC ;⑤ (4a ? b ) ? BC 。

9. 【2015 高考山东,文 13】 别为 A, B ,则 PA ? PB = .

过点 P 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线,切点分 ( 1,3)

10. 【 2015 高 考 天 津 , 文 13 】 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , 已 知
AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且

??? ? 2 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? . BE ? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6 ? ? ? ? 1 11.【2015 高考浙江,文 13】已知 e1 , e2 是平面单位向量,且 e1 ? e2 ? .若平面 2 ? ? ? ? ? ? 向量 b 满足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 ,则 b ? .

12. 【 2015 高 考 上 海 , 文 13 】 已 知 平 面 向 量 a 、 b 、 c 满 足 a ? b , 且

{| a |, | b |, | c |} ? {1,2,3} ,则 | a ? b ? c | 的最大值是

.

参考答案
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1..【答案】A∵ AB ? OB ? OA =(3,1) ,∴ BC ? AC ? AB =(-7,-4),故选 A.
2.【答案】D

2 ? ? 3.【答案】C 由已知可得 a ? (2a ? b) ? 0 ? 2a ? a ? b ? 0 ,设 a与b 的夹角为 ? ,

则有 2 a ? a ? b cos ? ? 0 ? cos ? ? ?

2

2a 4a

2

2

1 2? ?? , 又因为 ? ? [0, ? ] , 所以 ? ? , 2 3

故选 C.

? ? ? ? ? 4.【答案】A 由已知得 c ? (1, 2) ? k (1,1) ? (k ? 1, k ? 2) ,因为 b ? c ,则 b ? c ? 0 ,因

3 此 k ? 1 ? k ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? ,故选 A. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5. 【答案】 A a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , 由已知得 cos ? a, b ?? 1 , 即 ? a, b ?? 0 , a //b .
? ? ? ? ? ? ? ? 而当 a //b 时, ? a, b ? 还可能是 ? ,此时 a ? b ? ? | a || b | ,故

? ? ? ? ? ? “ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的充分而不必要条件,故选 A.
? ? ? ? ? ? ? ? 6【答案】 B 因为 | a ? b |?|| a || b | cos a, b |?| a || b | ,所以 A 选项
D F O

y C x B

? ? 正确;当 a 与 b 方向相反时,B 选项不成立,所以 B 选项错误;
向量平方等于向量模的平方,所以 C 选项正确;
? ? ? ? ?2 ?2 (a ? b)(a ? b) ? a ? b ,所以 D 选项正确,故答案选 B .

A

7. 【答案】 9 . 因为向量 OA ? AB ,所以 OA ? AB ? 0 ,即 OA ? (OB ? OA) ? 0 ,所以
uur uuu r uur 2 uur uuu r uur 2 OA ? OB ? OA ? 0 ,即 OA ? OB ? OA ? 9 ,故应填 9 .

??? ?

??? ?

uur uuu r

uur

uuu r

uur

8.【答案】①④⑤

3 9【答案】 如图,连接 PO ,在直角三角形 PAO 中, OA ? 1, PA ? 3, 所以, 2

3 2 ) 1 ? tan ?APO 1 3 3 ? ? ,故 , cos ?APB ? tan ?APO ? 2 1 ? tan ?APO 2 3 3 1 ? ( )2 3
2

1? (

PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos ?APB ? 3 ? 3 ?
10 【 答 案 】
29 18

1 3 ? . 2 2
ABCD 中 , 由

在 等 腰 梯 形

???? ??? ? 1 ??? ???? 1 ??? ? ? ???? AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 得 AD ? BC ? , AB ? AD ? 1 , DC ? AB , 所 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 以 AE ? AF ? AB ? BE ? AD ? DF

?

??

?

? 2 ??? ? ? ? ???? 1 ??? ? ? ??? ? ???? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 1 1 29 ? ??? ? ? AB ? BC ? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? BC ? AD ? AB ? BC ? AB ? 1 ? ? ? ? 3 12 3 12 18 3 3 18 18 ? ? ? ?

? ?? ? 1 3 ?? ? ? 2 3 11 【答案】 由题可知, 不妨 e1 ? (1, 0) , 设 b ? ( x, y ) , 则 b ? e1 ? x ? 1 , e2 ? ( , ) , 3 2 2
? ? 1 ? ? 3 3 1 2 3 . b ? e2 ? x ? y ? 1 ,所以 b ? (1, ) ,所以 b ? 1 ? ? 2 2 3 3 3

12. 【 答 案 】 3 ? 5 因 为 a ? b , 设 a ? (1,0) , b ? (0,2) , c ? (3 cos ? ,3 sin ? ) ,

? ? [0,2? ) ,
所以 a ? b ? c ? (1 ? 3 cos ? ,2 ? 3 sin ? ) , 所 以

| a ? b ? c |2 ? (1 ? 3 cos ? ) 2 ? (2 ? 3 sin ? ) 2 ? 14 ? 6 5 sin(? ? ? )
6 6 5 ? 5 , 5

, 其 中

sin ? ?

所以当 sin(? ? ? ) ? 1 时, | a ? b ? c | 取得最大值,即 14 ? 6 5 ? 3 ? 5 .


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