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福建省漳州市平和县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

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平和一中 2015-2016 学年上学期期末考试高二文科数学试题
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ? (0, ??), x2 ? x ? 0 ”的否定是( A. ?

x ? (??,0], x2 ? x ? 0 C. ?x ? (0, ??), x2 ? x ? 0 )

B. ?x ? (0, ??), x2 ? x ? 0 D. ?x ? (??,0], x2 ? x ? 0 ) D.既不充分也不必要条件

2.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

3.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图所示:

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中 抽取 7 人,则其中成绩在区间[136,151]上的运动员人数为( A.3
2

)

B.4

C.5

D.6

y2 ? x 2 ? 1的一个 4.已知抛物线 x = 2 py( p > 0) 的准线经过椭 圆 2
焦点,则抛物线焦点坐标为( A. (0, ?2) B. (0, 2) ) C. (0, ?1) D. (0,1)

5.右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“辗转相除法”,执行该程序框图,若输入的 m, n 分别为 112,91,则输出的 m 为( A.3 B.7 ) C.0 D.21 (第 5 题图)

6.已知变量 x 和 y 满足关系 y ? ?0.2 x ? 3 ,变量 y 与 z 负相关. 下列结论中正确的是( ) B. x 与 y 正相关, x 与 z 正相关

A. x 与 y 负相关, x 与 z 负相关

1

C. x 与 y 正相关, x 与 z 负相关

D. x 与 y 负相关, x 与 z 正相关

7.在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点,则使得该点到此三角形的三个顶点的距离都 不小于 1 的概率为( A. 1 ? )

? 2

B. 1 ?

? 4

C. 1 ?

? 8

D. 1 ?

? 16

8.某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生.随机询问了该班五名男生和五名女 生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90 ,五名女生的成绩 分别为 88,93,93,88,93 .下列说法一定正确的是( A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法 是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9.双曲线 C : )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,焦点到渐近线的距离为 3 ,则 C 的 a 2 b2
) B. 2 C. 2 2 D. 4 2 )

焦距等于( A. 4

10.已知函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? 4 x ? 3ln x ,则下列说法正确的是( 2

A. f ( x ) 的单调递减区间为 (1,3) C. f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ∪ (3, ??)

B. x = 3 是函数 f ( x ) 的极小值点 D. x = 1 是函数 f ( x ) 的极小值点

1 1. 已知抛物线 y = 2 px( p > 0) 与椭圆

2

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 有相同的焦点 F , 点A是 a 2 b2


两曲线的一个公共点,且 AF ⊥ x 轴,则椭圆的离心率为( A. 3 - 1 B. 2 - 1
x ?x

C.

5- 1 2

D.

2 2- 1 2

12. 已知函数 f ( x) ? e ? e 立的 x 的取值范围为( A. ( ,1)

, 则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成 ? x2(其中 e 为自然对数的底数) )

1 3

B. ( ??, ) ? (1, ??)

1 3

C. ( ? , ) 共 90 分)

1 1 3 3

D. ( ??, ? ) ? ( , ?? )

1 3

1 3

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.
2

13.某校老年、中年和青年教师的人数分别为 900、1800、1600,采用分层抽样的方法调查 教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 240 人,则该样本的老年教师人数为

14.若函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1, ??) 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 15.函数 y ? x ? ln x 在其极值点处的切线方程为____________

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 16.设 F 1 、 F2 分别是椭圆 25 16
(6, 4) ,则 PM ? PF1 的最大值为
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:从装有 2 个红球 A 各 1, A 2 和 2 个白 球 B 1 , B2 的甲箱与装有 3 个红球 a1 , a2 , a3 和 1 个白球 b1 的乙箱中, 随机摸出 1 个球,若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖. (Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (Ⅱ)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为 正确吗?请说明理由. 18.(本小题满分 10 分) 为了分析某次考试数学成绩情况, 用简单随机抽样从某班 中抽取 40 名学生的成绩作为样本, 得到频率分布表如下: 分数 频数 频率 [90,100) 2 0.05 [100,110) 8 0.20 [110,120) 12 0.30 [120,130) [130,140) [140,150] 2 0.05

a
b

6 0.15

(Ⅰ) 求样本频率分布表中 a ,b 的 值,并根据上述频率分布表,在答题 卡中作出样本频率分布直方图; (Ⅱ)用样本估计总体,估 计这个 班这次数学成绩的平均数. (同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)

3

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b (a, b ? R) ,当 x = 1 时 f ( x ) 取得极值 2 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, b] 上的最大值.

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,焦点为 F ,若点 A(2, m )(m> 0)在抛物线 E 上,且

AF = 3 .
(Ⅰ)求抛物线 E 的方程和 A 点的坐标; (Ⅱ)若过点 (2, 0) 且平行于 AF 的直线 l 与抛物线 E 相交于 M , N 两点,求 MN .

21.(本小题满分 12 分)

x2 y2 2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0,1) ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1与椭圆 E 交于不同两点 M , N , 线段 MN 的中点为 P ,O 为 坐标原点,且直线 OP 的斜率存在,求直线 l 与直线 PO 的斜率之积.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? x ln x ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)若曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

4

平和一中 2015-2016 学年上学期期末考试高二文科数学试题 参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5:BACDB 6-10:DBCAD 11-12:BA

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13: 135 14: [- 3, + ? ) 15: y ? 1 16: 15

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)所有可能的摸出结果是:

{A1, a1},{A1, a2},{A1, a3},{A1, b1} , {A2 , a1},{A2 , a2},{A2 , a3},{A2 , b1} , {B1, a1},{B1, a2},{B1, a3},{B1, b1} , {B2 , a1},{B2 , a2},{B2 , a3},{B2 , b1} . ??6 分
(Ⅱ)不正确,理由如下: 由(I)知,所有可能的摸出结果共 16 种, 其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 ??7 分 ??8 分

{A1 , a1},{A1 , a2},{A1 , a3}, {A2 , a1},{A2 , a2},{A2 , a3} ,共 6 种,
故中奖的概率为

??9 分

P=

6 3 3 5 3 = ,不中奖的概率为 1- = > , 16 8 8 8 8

??11 分 ??12 分

故该说法不正确. ??12 分 18.(本小题满分 10 分) 解析: (Ⅰ)由 2 + 8 + 12 + a + 6 + 2 = 40 ,得 a = 10 ; 由

10 = 0.25 ,得 b = 0.25 . 40

??2 分 ??6 分

频率分布直方图(略) (Ⅱ)这 40 名学生数学成绩的平均数估计为

x = 95? 0.05 105? 0.20 115? 0.30 125? 0.25 135? 0.15 145? 0.05 119
由此估计这个班这次数学成绩的平均数为 119 分. 19.(本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) f ? ( x) ??10 分

3x2 - 2x - a

??2 分

因为 x = 1 时 f ( x ) 取得极值 2 ,所以 ? í 解得 a = 1, b = 3 ,经检验符合 题意.

ì f (1) = 2, ? ì 1- 1- a + b = 2, ? 即? í ? ? ? ? f ?(1) 0, ? ? 3 - 2 - a = 0,

??4 分

??6 分

5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b = 3 , f ( x) = x3 - x2 - x + 3 , f ? ( x)

3x2 - 2x - 1

??8 分

( x) 当 x ? (0,1) 时 f ?

0 , f ( x) 单调递减;当 x ? (1,3) 时, f ?( x)

0 , f ( x) 单调递增,
??11 分 ??12 分

又 f (0) = 3 , f (3) = 18 ,而 3 < 18 故 f ( x ) 在区间 [0, b] 上的最大值为 f (3) = 18 . 20.(本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由题意和抛物线定义得 2 + 故抛物线 E 的方程为 y 2 = 4 x ,
2 因为点 A 在抛物线 E 上,所以 m = 8 ,又 m > 0 ,

p = 3 ,解得 p = 2 , 2
??3 分

故 m = 2 2 ,于是 A(2, 2 2) . (Ⅱ)由(I)知 F (1, 0) , A(2, 2 2) ,故直线 AF 的斜率为 2 2 由题意得直线 l 的方程为 y = 2 2( x - 2) , 把它代入 y 2 = 4 x 整理得 2 x - 9 x + 8 = 0 ,
2

??6 分

??8 分

D = (- 9)2 - 4创 2 8> 0
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = 故 MN =

9 , x1 x2 = 4 2

??10 分

1+ k 2 ? x2

9 x1 = 1+ (2 2)2 ? ( )2 2

4? 4

3 17 2

??12 分

21.(本小题满分 12 分) 解析:(I)由题意知 b = 1,

c 2 2 2 2 = ,又 a = b + c ,故 a = a 2

2

于是椭圆 E 的方程为

x2 + y2 = 1. 2

??5 分

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

x2 + y 2 = 1 整理得 (1+ 2k 2 ) x2 - (4k 2 - 4k ) x + 2k 2 - 4k = 0 把 y = k ( x - 1) + 1代入 2

6

由已知有 D > 0 ,故 x1 + x2 =

4k 2 - 4k , 1 + 2k 2

??8 分

y1 + y2 = k ( x1 - 1) + 1+ k ( x2 - 1) + 1 = k ( x1 + x2 - 2) + 2 =
1 2k 2 - 2k - k + 1 , , ) ,直线 PO 的斜率为 2 2 2k 1 + 2k 1 + 2k

- 2( k - 1) , ??9 分 1 + 2k 2
??11 分

于是 P (

又直线 l 的斜率为 k ,所以直线 l 与直线 PO 的斜率之积为 备注:用点差法求解相应给分. 22.(本小题满分 12 分)

1 . 2

??12 分

( x) 解析: (I) f ? (1) 由题意 f ?

2ax + ln x ,
??4 分 ??5 分

- 2 ,得 2a = - 2 ,解得 a = - 1 .

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0, + ? ) 因为 f ( x) ? 0 恒成立,所以 ax - 1 + ln x ? 0 恒成立,即 a ?

1- ln x 恒成立.??6 分 x
??7 分 ??8 分

1- ln x ( x > 0) , x ln x - 2 则 g ?( x ) , x2
令 g ( x) =

( x) 由 g?

0 得 x > e2 ;由 g ? ( x)
2

0 得 0 < x < e2 .
2

所以 g ( x) 在 (0, e ) 上单调递减,在 (e , + ? ) 上单调递增, 因此 g ( x) 的最小值为 g (e ) = 又a?
2

??10 分 ??11 分 ??12 分

1- ln x 恒成立,故 a ? x

1 e2 1 1 ]. ,即 a 的取值范围为 (- ? , 2 e e2

7


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