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江苏省高中数学联赛试题2013


2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1.设方程 x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是 .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)

( x ?

k )2 x2 2 11. 设 k 为实数,0 ? k ? 6 , 椭圆 E1 : ? y ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 9 9
,若四边形 ABCD 是正方形,求实 C , E1 的左顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) 数k .

2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为



3. 设实数 x , y 满足 x ? 4 x ? y ? 3 ? 0 , 则 x ? y 的最大值与最小值之差是
2 2 2



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi ) ? (a ? bi ) ( i 是虚数单位, n ? N ) ,则 n 的最小值
n n

*





5.若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ?A 的取值范围是



* 6.若数列 ? an ? 满足 a4 ? 9 ,(an ?1 ? an ? 1)(an ?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N ) ,则满足条件的 a1 的

所有可能值之积是
2



12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关

7.已知 f ( x) ? x ? 94 x ? 2013 ,则

n ?30

? ? f ( n) ?

60

f ( n) ? ?



于对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

y? 8 . 设 x , y ? ? 0, 2? ? , 且 满 足 2 si nx cos
为 .

si x n?

1 cos y? ? ,则 x ? y 的最大值 2

9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、

DBC 、 DCA 的距离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是



10. 将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数, 这个四位数为完全平 方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全 平方数,小王现在的年龄是 .

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等 腰梯形的顶点.

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题参考答案
1.(-1,3)

7.364

2.

17 . 33
8.

23? . 6

3.8

4.3

9. 2 6

5. 0 ? ?A ?

?
3

. 10.12

6.0

11.析:BD=6-k=AC 又 AC=

36 ? k 2 3

得 k= 4.8

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等 12.析:连 A’O,B’O,C’O,D’O 易证 A’,O,C’; B’,O,D’共线(角度) ,由比例线段证 毕。 腰梯形的顶点. 根据抽屉原理,必定存在 34 个点同色。该 34 个点连成 34*33/2=561 条线段。 考虑这 561 条线段的垂直平分线,显然它们都是正 100 边形的对称轴。正 100 边形的对称 轴有 200 条,所以必定存在 3 条线段它们的垂直平分线重合。 所以这 3 条线段两两平行,其中必有两条不等长,于是构成等腰梯形四个顶点且同色,证 毕。

13.析:记 f(x)= cos ? x ? 2 x ,则 f’(x)= ?? sin ? x ? 2 ,令 f’(x)=0 ,

arcsin
则 x=

2

?

? ? 0.2196 ,所以 x<0.2196 时 f’(x)>0 , x>0.2196 时 f’(x)<0

所以 f(a)≥min{f(0),f(1)}=1,f(b)≤f(0.5)=1,所以 f(b)≤f(a) ,证毕。


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