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高中数学必修1知识点总结

时间:2012-01-10


高中数学必修 1 知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个 对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中, 任何两个元素都是不同的对象, 相同的对象 归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的, 没有先后顺序, 因此判定两个集合是否一样, 仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a ? A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的 方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法: 不等式 x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 例: 4、集合的分类: (1) .有限集 含有有限个元素的集合 (2) .无限集 含有无限个元素的集合 (3) .空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5)
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实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元 素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等 于集合 B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 B ? A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x ∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不 属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个 集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 四、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域 即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合 或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数
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不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零 且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那 么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底 不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定 义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定 义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数 的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域 都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函 数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 集合 C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、 为坐标的点(x, 均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) y y), | y= f(x) , x∈A },图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能 是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组 成。 (2) 画法 A、 描点法: 根据函数解析式和定义域, 求出 x,y 的一些对应值并列表, 以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接 起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高 解题的速度。发现解题中的错误。 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间 的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,
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那么就称对应 f:A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A→ B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应 法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应, 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ③对于映射 f: A→B 来说, 则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意 判断一个图形是否是函数图象的依据; 解析法: 2 必须注明函数的定义域; 图 3 象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数 的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数 值. 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值 时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方 程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各 部分的自变量的取值情况. (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个 函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 的复合函数。 例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

称为 f、g

7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 a,b,当 a<b 时,都有 f(a)<f(b),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函 数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a, 当 a<b 时, b, 都有 f(a)>f(b), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意: 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 1 是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a,b;当 a<b 时,总有 f(a)<f(b) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法
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(A) 定义法:任取 a,b∈D,且 a<b;2 作差 f(a)-f(b);3 变形(通常是因 式分解和配方) ;4 定号(即判断差 f(a)-f(b)的正负) ;5 下结论(指出函 数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区 间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定 单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x) 就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数 的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义 域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原 点对称) . 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判 断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结 论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) = -f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根 据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1) .函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果 已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式 时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用 凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. 、
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(2) 利 、

用图象求函数的最大 (小) 值 (3) 利用函数单调性的判断函数的最大 、 (小) 值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则 函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递 减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x n ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 th root) (n , 其中 n >1,且 n ∈ N *. 当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数. 此 n n 时,a 的 n 次方根用符号 a 表示.式子 a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫 做根指数(radical exponent) a 叫做被开方数(radicand) , . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正 数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正 的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成± n a ( a >0) .由此可得:负数没有 偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 ?a (a ? 0) 注意:当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a

?

m n

?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

a a 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 r s rs r r r ?s (1) a · a ? a (a ? 0, r, s ? R) ; (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R) ;

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r, s ? R) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数 (exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
r r s
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图象特征
-6-

函数性质

a ?1 0 ? a ?1 向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右 自左向右 看, 看, 图象逐渐 图象逐渐 上升 下降 在第一象 在第一象 限内的图 限内的图 象纵坐标 象纵坐标 都大于 1 都小于 1 在第二象 在第二象 限内的图 限内的图 象纵坐标 象纵坐标 都小于 1 都大于 1

a ?1 0 ? a ?1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

函数值开 函数值开 始增长较 始减小极 图象上升 图象上升 慢,到了 快,到了 趋势是越 趋势是越 某一值后 某一值后 来越陡 来越缓 增长速度 减小速度 极快; 较慢; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f ( x ) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x 1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为 . . 底 N 的对数,记作: x ? log a N ( a — 底数, N — 真数, log a N — 对数 . 式) 1 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; x 2 ○ a ? N ? log a N ? x ;

loga N 3 ○ 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . 对数式与指数式的互化 log a N ? x ? a x ? N 对数式 指数式 ?
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对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: (1) log a ( M · N ) ? log a M M + log a N ; ) log a (2 (3) log a M n ? n log a M ? log a M - log a N ; N (n ? R) . log c b 注意:换底公式 log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) . log c a 1 n 利用换底公式推导下面的结论 (1) a m b n ? log a b ; 2) a b ? ( log . log log b a m (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 . x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) 1 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。
x 都不是对数函数, 而只能称其为对数型函数. 5 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1

如:y ? 2 log 2 x ,y ? log 5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对 称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点 (1, 0) 自左向 自左向 右看, 右看, 图象逐 图象逐 渐上升 渐下降 第一象 第一象 限的图 限的图 象纵坐 象纵坐 标都大 标都大 于0 于0

函数的定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为 R log a 1 ? 0 增函数 减函数

x ? 1, log a x ? 0

0 ? x ? 1, log a x ? 0

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第二象 限的图 象纵坐 标都小 于0

第二象 限的图 象纵坐 标都小 于0

0 ? x ? 1, log a x ? 0

x ? 1, log a x ? 0

三、幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为 常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特 别地,当 ? ? 1时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方 程 f ( x) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f (x) 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? 函 数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 y ? f (x) 的零点: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) . 1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴 有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点, 二次函数无零点.

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