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2.2.1等差数列


复习回顾:
1.数列定义:按照一定顺序排成的一列数

简记作:{an}
2.通项公式:如果数列{an}中第n项an与n之间的
关系可以用一个式子来表示,那么这

个公式叫做数列的通项公式. 3.数列的分类
(1)按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间

的大小关系:递增数列,

摆动数列,

递减数列, 常数列。

4.数列的实质
数列可以看作是一个定义域为正整数集 N ( 或它的有限子集{1,2,…,n})的函数, 当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函 数值。
*

5.递推公式:
如果已知{an}的第1项(或前n项),且任一项an与 它的前一项an-1(或前n项)间的关系可用一个公 式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.

说明:递推公式也是数列的一种表示方法。

在过去的三百 多年里,人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星:

相差76

(1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 )

你能预测出下一次 的大致时间吗?

主持人问: 最近的时间什么 时候可以看到哈雷慧星? 天文学家陈丹说: 2062年左 右。

通常情况下,从地面 到10公里的高空,气 温随高度的变化而变 化符合一定的规律, 请你根据下表估计一 下珠穆朗玛峰峰顶的 温度。
高度(km) 温度(℃) 1 28 2 21.5 3 15 4 8.5 5 2 … …

8844.43米

减少6.5

9 -24

(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.

你能根据规律在( ) 内填上合适的数吗?
(1)1682,1758,1834,1910,1986,(2062). ( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, (-20).

(3)

1,4,7,10,(13 ),16,…

(4)

2, 0, -2, -4, -6,( -8 )…

它们的共同的规律是?
d=76
( 1 ) 1682,1758,1834,1910,1986,(2062)

d=-6.5
( 2 ) 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, ( -20).

d=3
( 3 ) 1,4,7,10,( 13 ),16,…

d=-2
( 4 ) 2,0,-2,-4,-6,( -8 ),…

定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

它们是等差数列吗?

an 是项数 n 的函数

(5)
(6) (7)

1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10

×

5,5,5,5,5,5,…公差 d=0 常数列

x,3x,5x, 7 x,9 x,

公差 d= 2x

你会求它们的通项 公式吗? (3)

a5 ? 13 ? 10 ? 3 ? 1 ? 4 ? 3
…… an ? 1 ? (n ?1) ? 3
(4) 2,0,-2,-4,-6,-8 …

a4 ? 10 ? 7 ? 3 ? 1 ? 3? 3

a3 ? 7 ? 4 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3

a2 ? 4 ? 1 ? 3

1,4,7,10,13,16,…

an ? 2 ? (n ?1) ? (?2)

等差数列的通项公式
如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …

是等差数列,它的公差是d,那么

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a1 ? 3d a5 ? a4 ? d ? (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? 4d an ? a1 ? (n ?1)d

?? ??
n=1时亦适合

等差数列的通项公式
a2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d


a4 ? a3 ? d

an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d
迭加得 an ? a1 ? (n ?1)d

an ? a1 ? (n ?1)d

用一下
例1 (1) 求等差数列8,5,2,…,的第20项。
解: ? a1

an ? a1 ? (n ?1)d

? 8 , d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20 ,

? a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49
(2) 等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是 –401? 解: ? a1

? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4, an ? ?401 ,
?5 ? (n ? 1) ? (?4)

? 401? 因此,
解得

n ? 100

练一练
a4 ? 15 ,

an ? a1 ? (n ?1)d
a7 ? 27, a10 ? 39

1. 求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项;

2. 100是不是等差数列2,9,16,…中的项?

100 ? 2 ? (n ? 1) ? 7 ? n ? 15
7 3. -20是不是等差数列0,- 2 ,-7…中的项;

47 ? 7? ? 20 ? 0 ? (n ? 1) ? ? ? ? ? n ? (舍) 7 ? 2?

例2

在等差数列中,已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d. an ? a1 ? (n ?1)d 解:由题意可知

?

a1 ? 4 d ?10 a1 ?11d ? 31

这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次 方程组,解这个方程组,得 a1 ? ? 2 d ?3

?

即这个等差数列的首项是-2,公差是3.

练一练
4. 在等差数列中

(1)已知a4 ? 10, a7 ? 19, 求a1与d.
a1 ? 1, d ? 3
(2)已知a3 ? 9, a9 ? 3,求a12

a1 ? 11, d ? ?1

? a12 ? 0

思考
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列: (1)2 ,( 3 ) , 4
a?b ( 3 ) a, ( ), b 2

(2)-12,( -6 ) ,0

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项。
a?b A? 2

an ?1

an ? an ? 2 ? 2

例4 求证:一个数列 ?an ? 为等差数列的充 要条件是 an ? pn ? q ( p, q为常数)

判断数列是否为等差数列的常用方法:

(1) 定义法: 证明an-an-1=d (常数)
(2) 中项法: 利用中项公式,若2b=a+c, 则a, b, c成等差数列. (3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是 关于n的一次函数.

1、试用三种数学语言(文字语言、符号语言)来表述 一下等差数列的概念: ①如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。

②如果数列{an},满足an-an-1=d(d为常数,n≥2,且 n∈N*),则数列{an}叫做以d为公差的等差数列。

总 结 反 思

2、首项是a1,公差是d的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d, 在a1,d,n,an这四个量中可知三求一,体现方程思想;
3、等差数列的通项公式的推导方法——归纳法(由特殊到 一般)和累加法,也是我们今后已知数列的递推式求通项公 式的常用方法。 4、数学与生活实际有着密切联系,数学概念来源于生活 实际,又应用于生活实际

巩固练习 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-10a-1, 则 a 等于( ) A. 1 B. -1

提示: (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 提示: d=an+1- an=-4

1 C.3

5 D. 11

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 . 3. 在等差数列{an}中a1=83,a4=98,则这个数列有 多少项在300到500之间? 40

2 2 提示: 300< 83+5×(n-1)500 ? 44 ? n ? 84 5 5
n=45,46,…,84


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