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辽宁省实验中学高二下学期期末考试 数学(理科)考前模拟


辽宁省实验中学高二下学期期末考试考前模拟 数学(理科)学科
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题纸上,写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12

小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1) 复数 (i ? ) 等于
3

1 i

( B.-8 C.8i D.-8i ( D.7 ( D. 60 ( D、640

)

A.8

(2)曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率 k 是 A.4 B.5 C.6 (3)? ~ B(n , P) , E? ? 15 , D? ? 11.25 ,则 n ? A. 45 A、288 B. 50 B、480
2





C. 55 C、600
n ?1

(4)6 个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是



(5)用数学归纳法证明 1 ? a ? a ? ? ? a 时,左边所得的项为 A. 1 B. 1+ a
x

?

1 ? a n?1 (n ? N * , a ? 1) ,在验证 n ? 1 成立 1? a
( )
3

C. 1 ? a ? a

2

D. 1 ? a ? a ? a
2

(6)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??)





( x ? ) 展开式中的常数项是 (7)
9

1 x

( C -84 D 84 (
1 D. ? p 2



A -36
1 A. ? p 2

B 36

(8) 设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1), 若 P( ? >1)= p , 则 P(-1< ? <0)= B.1- p C.1-2 p

) 。

(9)函数 y ?

ln x 的最大值为 x
高二理科数学试卷 共 4 页
1





第 1 页

A

e ?1

B

e

C

e2

D

10 3

(10)设 ( x2 ? 1)(2x ? 1)9 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? ?? a11 ( x ? 2)11 , 则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a11 的值为 A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 ( )

( 11)同时抛掷三颗骰子一次,设 A ? “ 三个点数都不相同”, B ? “ 至少有一个 6 点 ”则

P( B | A) 为
A.

( B.



1 2

60 91

C.

5 18

D.

91 216

( 12 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? (??,0) 时 不 等 式

f ( x) ? xf ' ( x) ? 0









a ? 30.3 f (30.3 )



b ? (log? 3) f (log? 3),
( D. a ? c ? b )

1 1 c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是 9 9
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调 查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归 ? ? 0.254x ? 0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮 直线方程: y 食支出平均增加____________万元. (14)

?

?

2 0

(3 x ? sin x)dx =__________.

(15)每次试验的成功率为 p(0 ? p ? 1) ,重复进行 10 次试验,其中前 7 次都未成功后 3 次都成功的概率为
3 3 ( A) C10 p (1 ? p)7 3 3 ( B ) C10 p (1 ? p)3

(C ) p3 (1 ? p)7

( D) p7 (1 ? p)3

(16) 、观察下列一组等式:

3 3 ,② sin2150+cos2450+sin150cos450= , 4 4 3 ③ sin2450+cos2750+sin450cos750= ,……, 4
① sin2300+cos2600+sin300cos600= 那么,类比推广上述结果,可以得到的一般结果是:__ 高二理科数学试卷 共 4 页
2

_____.

第 2 页

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业, 某省 2012 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡, 向省外人士 发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司组 织了一个有 36 名游客的旅游团到该省名胜旅游,其中 省外游客中有

3 是省外游客,其余是省内游客。在 4
w. w.w.. c.o. m

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; (II)在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

(18) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

3

(19) (本小题满分 12 分) 在一个盒子里放有 6 张卡片,上面标有数字 1,2,3,4,5,6,现在从盒子里每次任意取 出一张卡片,取两片. (I)若每次取出后不再放回,求取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率; (II) 在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中, 得到的两张卡片上的最 大数字的期望值是否相等?请说明理由.

(20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

4

(21) (本小题满分 12 分) 甲乙两个学校高三年级分别为 1100 人,1000 人,为了统计两个学校在地区二模考试的数学 科目成绩,釆用分层抽样抽取了 105 名学生的成绩,并作出了部分频率分布表如下: (规定 考试成绩在[120,150]内为优秀) 甲校. [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 分组 [70,80) [80,90) 频数 2 3 10 15[ 15 X 3 1

高二理科数学试卷 共 4 页 乙校: 分组 频数 [70,80) 1 [80,90) 2 [90,100) 9 [100,110] 8

第 3 页 [110,120) 10 [120,130) 10 [130,140) y [140,150] 3

(1)计算 x, y 的值; (2)由以上统计数据填写下面 2X2 列联表,并判断是否有 97.5%的把握认为两个学校的数学 成绩有差异.

n(ad ? bc)2 附: k ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(k2>k0) K

0. 10 2. 706

0. 025 5. 024

0. 010 6. 635

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。

5

(22). (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , ?ABC 内 接 于 ⊙O ,

AB 是 ⊙O 的 直 径 , PA 是 过 点 A 的 直 线 , 且

?PAC ? ?ABC .

O 的切线; (Ⅰ ) 求证: PA是⊙
(Ⅱ ) 如果弦 CD 交 AB 于点 E , AC ? 8 , 求 sin ?BCE .

CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3 ,

(23). (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 过点

P(

3 3 , ) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1相交于不同的两点 M , N . 2 2
(Ⅰ ) 写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ ) 求

1 1 的取值范围. ? PM PN

( 24 ) (本小题满分 10 分)选修 4- 5 :不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | , (1) 若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2) (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。

6

高二理科数学试卷 共 4 页 第 4 页 辽宁省实验中学高二下学期期末考试 数学(理科)学科 参考答案 一、选 择 题 : 1D 、 2D 3D 4A 5C 6D 7C 8D 9A 12C 二、填空题 13、0.254 14、

10A

11A

3? 2 ?1 8

15、 p3 (1 ? p)7

16、 sin2 + cos2 (30°+x)= 三、解答题

3 ,本题答案不唯一,与之等价的均可。 4

(II)设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为: 事件 B1 为“采访该团 2 人,持金卡 0 人,持银卡 0 人”,或事件 B2 为“采访该团 2 人,持 金卡 1 人,持银卡 1 人”两种情况,则

P( B) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ?

1 1 2 C9 C6 44 C21 ? ? 2 2 C36 C36 105

所以采访该团 2 人, 持金卡与持银卡人数相等的概率是

44 . 105

????????12 分

(Ⅱ)解: f ?( x) ?

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2
1 , x2 ? a .当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况 a
7

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?

如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

1? ? ? ? ? ?∞, a? ?

1 a
0 极小值

? 1 ? ? ? ,a ? ? a ?

a
0 极大值

(a, ? ∞)

?

?
?

?
?

?

所以 f ( x ) 在区间 ? ?∞, ? ---8 分 函数 f ( x ) 在 x1 ? ? 函数 f ( x ) 在 x2 ?

? ?

1? ? 1 ? ? ∞) 内为减函数,在区间 ? ? ,a ? 内为增函数。 ? , (a, a? ? a ?

1 ? 1? 处取得极小值 f ? ? ? ,且 a ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 , ? a?

1 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 1 . ------12 分 a

(II) 若每次取出后不再放回, 则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ , ξ =2, 3,4,5,6.

? P(? ? 2) ? P(? ? 5) ? ? E? ? 2 ?

1 1 C3 C2 1 1 2 3 ? , P ( ? ? 3 ) ? ? , P ( ? ? 4 ) ? ? , 2 2 2 C 6 15 C 6 15 C 6 15

1 1 C5 C4 4 5 ? , P ( ? ? 6 ) ? ? . 2 2 C 6 15 C 6 15

1 2 3 4 5 14 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? . 15 15 15 15 15 3

------7 分 若每次取出后再放回,则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量,η , η =1,2,3,4,5,6.

1 3 5 7 9 , P(? ? 2) ? , P(? ? 3) ? , P(? ? 4) ? , P(? ? 5) ? , 36 36 36 36 36 11 P(? ? 6) ? 36 1 3 5 7 9 11 161 ? E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? . 36 36 36 36 36 36 36 ? P(? ? 1) ?
-----11 分
8

∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中,得到的两张卡上的 数字中最大数字的期望值不相等. -----12 分 (20) 、解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x

2分

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

( x ? 1) 2 f ( x) ? x
'

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。

3分

(II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

由 于 1<a<5, 故 g ?( x) ? 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x2 ? 0 时 有

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,即 f (x1) ? f (x 2) ?x 1 ?x 2 ? 0 ,故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x2 x1 ? x2

时,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ?1· · · · · · · · ·12 分 x1 ? x2 x2 ? x1

(21) 、解: (1)依题意甲校抽取 55 人,乙校抽取 50 人,故 x=6,y=7. ----4 分 (2) 优秀 非优秀 甲校 10 45 乙校 20 30
9

总计 30 75

总计

55

50

105 -----8 分

k2 ?

105(10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? 6.109 55 ? 50 ? 30 ? 75

-----10 分 -----12 分

故有 97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 ( t 为参数)?????????????? 4 分 (23). (Ⅰ) ? ? y ? 3 ? t sin ? ? 2 ? ? 3 ? t cos? ?x ? ? 2 ( t 为参数)代入 x 2 ? y 2 ? 1 ,得 (Ⅱ) ? 3 ? y ? ? t sin ? ? 2 ?

t 2 ? ( 3 cos? ? 3sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ?

?
6

)?

6 3

1 1 1 1 t ?t ( 3 cos? ? 3 sin ? ) ? ? ? ? ? 1 2 ? ? 3 sin(? ? ) ? PM PN t1 t 2 t1t 2 2 6
???10 分

?

2, 3

?

?

( 24 )解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ,由 f ( x) ? 3 得: | x ? 1| ? | x ? 1|? 3 , (法一)由绝对值的几何意义知不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? }。 (法二)不等式可化为 ?

3 2

3 2

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? , ??2 x ? 3 ? 2 ? 3 ?2 x ? 3
10

∴ 不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? }。-------------5 分

3 2

3 2

11


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