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平面向量的坐标表示和运算1


y

M ( x, y)

O

x

力的正交分解

F1 F3

F2 F4

那么是否任意向量也能表示为 一个水平方向向量和一个竖直方 向向量之和呢

探索1: 向量的正交分解
方向分别与x轴正向和y轴

正向相同的两个单位向量 称为 基本单位向量, 分别记作 i和 j
对于起点在原点的向量 OA

y
N

A (x,y)

OM=x i ON=y j OA=OM+ON =xi+y j
j

o

i

M

x

特别地, i ? (1, 0), j ? (0, 1), 0 ? (0, 0).

探索2:
在平面直角坐标系内,起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
y

o

x

解决方案:
可通过向量的平移, 将向量的起点移到坐 标的原点O处.

y

o
我们将这样的起点在坐标原点处的向量称 为位置向量,平面上任意向量都有与它相 等的位置向量,所以研究向量的性质可以 通过研究其相应的位置向量来实现。

x

方向分别与x轴正向和y轴正向相同的两个单位向量 称为 基本单位向量, 分别记作 i和 j
对于起点在原点的向量 OA

y
N

A (x,y)

OM=x i ON=y j OA=OM+ON =xi+y j
任意的位置向量都有这样的表示 思考: 能否用有序实数对来表示平面内的向量?

j

o

i

M

x

位置向量

一一对应

有序实数对

4

位置向量的关键点

3

2

(3, 2) P
OP=3i+2 j
2 4 6

1

j
-2

O i
-1 -2

注意观察,发现一个位置 向量,只要它的终点确定了, 那这个位置向量也就确定 了.

-3

4

向量的坐标表示

3

b
2

P (a,b)

j
-2

1

O
-1 -2

2

i

a

4

6

OP=ai+b j =(a,b)
一一对应

一一对应

向量OP

?点P(a,b) ?有序实数对 (a,b)
-3

联想:直角坐标系中的点与有序实数对
y
y0 ( x0 , y0 )

平面上的点
一 一 对 应

( a , b)
b

O

a

x0

x

有序实数对

归纳总结 定义:
在平面直角坐标系内,我们分别取与X轴、Y轴方 向相同的单位向量 i , j作为基本单位向量,任作一 向量a,由前分析可知,有且仅有一对实数 x , y , 使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量的正交分解. 2 、把(x , y)叫做向量a的(直角)坐标, 记为:a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)

4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
单位向量 i =(1,0),j =(0,1)

平面向量可以用坐标表示,向量 探索3:

的运算可以用坐标来运算吗? 如何计算? (1)已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) , 求a + b , a – b . (2)已知a =(x1 , y1)和实数 ? , 求? a的坐标 .

向量运算的坐标化
? ? 设 ? ? R, a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 试用坐标表示下列向量: ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j

即 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 向量的和、差以及数乘运算可以用坐标表示为: ? ? a ? b ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ? a ? ? ( x1, y1 ) ? (? x1 , ? y1 )

例题解析
??? ? , y1 ) , 写出以 A( x1为起点 为终点的向量 的坐标. AB B( x2 , y2 ) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 求出AB的模. AB ? OB ? OA y ? ? ? ? B( x2 , y2 ) ? x2 i ? y2 j ? ( x1 i ? y1 j ) ? ? ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j A( x1 , y1 ) ??? ? 1 ? AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

??? ? | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
两点间距离公式

O

1

x

动 手 练 练
1、若向量 a 的起点坐标为(3,1),终 点坐标为(-3,-1)求 a 的坐标.

2、已知向量 AB =(6,1), BC =( CD =(-1,-2), ??? ?1 ,-3), 求向量 DA .
思考: 已知 AB =(2 , 3) , 点B的坐标为 (-2,1)求 的单位向量.

OA

课内小结:
1 向量坐标定义. 2 加、减法法则.
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) 3 实数与向量积的运算法则: λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j

4 向量坐标.


若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)

AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )

例题解析
(2)若ABCD是平行四边形, 求D的坐标. 解: 设D的坐标为 D( xD , yD ) ??? ? ??? ? 则由 BC ? AD
y

例1.如图, 平面上三点A, B, C的坐标分别为 (2,1),(?3,2),( ?1,3)

? ( xD ? 2, yD ? 1) ? (2,1)

C (?1,3) B(?3,2)

D ( xD , y D )

? xD ? 2 ? 2 ? xD ? 4 ?? ?? ? yD ? 1 ? 1 ? yD ? 2

1

A(2,1)
1 x

O

课堂练习练习8.1(1) 1,2,3.

那么是否任意向量也能表示为一个 水平方向向量和一个竖直方向向量 之和呢
显然回答是肯定的

思考:
1. 是否能够建立一种以水平方向向量和竖直方向向量 为基础的向量表示的方法呢? 2. 为什么要建立这样一种表示方法呢?


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