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解析几何小小练9


北师大版·数学·必修 2

高中同步学习方略

解析几何 9
一、选择题 1 1.已知 a2+b2=2c2,则直线 ax+by+c=0 与 x2+y2=4 的位置 关系是( ) B.相交且过圆心 D.相离 |c| = 2<2 a2+b2

A.相交但不过圆心 C.相切 解析 圆心到直线的距离 d=
<

br />∴直线与圆相交,又 c≠0(否则 a=b=c=0), ∴圆心不在直线上. 答案 A )

2. 设直线 l 过点(-2,0), 且与 x2+y2=1 相切, 则 l 的斜率为( A.± 1 3 C.± 3 解析 如图可知|OA|=2,r=1, 1 B.± 2 D.± 3

∴∠PAO=30° =∠QAO.

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北师大版·数学·必修 2 3 ∴切线 l 的斜率为± 3 . 答案 C

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3.若圆心在 x 轴上,半径为 5的圆位于 y 轴左侧,且与直线 x +2y=0 相切,则圆 O 的方程为( A.(x- 5)2+y2=5 C.(x-5)2+y2=5 ) B.(x+ 5)2+y2=5 D.(x+5)2+y2=5

解析 设圆心(a,0)(a<0),由题意,得 5= |a| ,得|a|=5,即 a=-5. 12+22

所以圆 O 的方程为(x+5)2+y2=5. 答案 D

4.已知圆 C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线 l:x-y+3=0, 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3时,则 a 等于( A. 2 C. 2-1 解析 由题可得 B.2- 2 D. 2+1 |a-2+3| 2 2 2= 4-? 3? =1,得 1 +?-1? )

a= 2-1 或 a=- 2-1(舍). 答案 C

5.如果直线 ax+by=4 与圆 x2+y2=4 有两个不同的交点,那么 点 P(a,b)与圆的位置关系是( A.P 在圆外 B.P 在圆上 C.P 在圆内 D.P 与圆的位置关系不确定
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)

北师大版·数学·必修 2 解析 由题意,得 4 <2, a +b2
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得 a2+b2>4,即点 P(a,b)在圆 x2+y2=4 外. 答案 A

6.设圆 x2+y2-8x-9=0 的弦 AB 的中点为 P(5,2),则直线 AB 的方程为( ) B.2x-y-8=0 D.5x-2y-21=0

A.2x-5y=0 C.x+2y-9=0

解析 ∵x2+y2-8x-9=0 可化为(x-4)2+y2=25 2-0 ∴圆心为 C(4,0),故 kPC= =2. 5-4 1 又 PC⊥AB,∴kAB=-2. 1 故 AB 所在的直线方程为 y-2=-2(x-5). 即 x+2y-9=0. 答案 C

二、填空题 7.圆心为(1,2)且与 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为________. 解析 由题可知, (1,2)到 5x-12y-7=0 的距离 d= 26 =13=2, 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=4. 答案 (x-1)2+(y-2)2=4 |5-12×2-7| 52+?-12?2

8.直线 2x+y+5=0 与圆 x2+y2=9 相交于 A,B 两点,则|AB| =________.

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北师大版·数学·必修 2 解析 圆心 O 到 2x+y+5=0 的距离 d= =2 9-5=4. 答案 4

高中同步学习方略 |5| = 5,即|AB| 22+12

9.已知⊙C:(x-2)2+(y+3)2=25,过点 A(-1,0)的弦中,弦长 的最大值为 M,最小值为 m,则 M-m=________. 解析 弦长的最大值 M=2r=10, 当弦与过 A 点与圆心的连线垂 直时弦取得最小值 m,此时 m=2· 25-[?-1-2?2+?0+3?2]=2 7, 故 M-m=10-2 7. 答案 10-2 7 三、解答题 10.求过(2,3)点,且与(x-3)2+y2=1 相切的直线方程. 解 当直线 l 的斜率不存在时,l:x=2,

此时 l 与圆(x-3)2+y2=1 相切, 当 l 的斜率存在时,设 l:y-3=k(x-2), 即 kx-y-2k+3=0. |3k-2k+3| 由题意,得 =1 , k2+1 4 4 得 k=-3,故 l 的方程为 y-3=-3(x-2), 综上得所求的切线方程为 x=2,或 4x+3y-17=0. 11.直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点, 若|MN|≥2 3,求 k 的取值范围. 解

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如图,设题中圆的圆心为 C(2,3),作 CD⊥MN 于 D,则|CD|= |2k| ,于是有|MN|=2|MD|= 1+k2 2 |CM |-|CD| =2 3 ≤k≤ 3 . 12.直线 l 经过点 P(5,5),且和圆 C:x2+y2=25 相交,截得的 弦长为 4 5,求 l 的方程. 解 设所求的圆的方程为 y-5=k(x-5),即:kx-y-5k+5=0,
2 2

4 k2 4 k2 3 4- 即 4- 解得- 3 2≥2 3, 2≥3, 1+k 1+k

∵直线与圆截得的弦长为 4 5, ∴圆心到直线的距离为 25-20= 5. 即 |5-5k| 1 = 5.得 k=2 或 k=2. 2 k +1

∴所求的直线方程为 2x-y-5=0 或 x-2y+5=0. 思 维 探 究 13.已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为 1 的 直线 l,l 被圆 C 截得的弦为 AB,使以 AB 为直径的圆过原点?若存 在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. 解 不妨设直线方程为 y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),

将直线方程与圆的方程联立,消去 y,可得 2x2+(2b+2)x+b2+
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北师大版·数学·必修 2 b2+4b-4 4b-4=0,∴x1+x2=-b-1,x1x2= , 2 b2+2b-4 故 y1y2=(x1+b)(x2+b)= . 2

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∵以 AB 为直径的圆过原点,故 OA⊥OB,即 kOA· kOB=-1,整 b2+4b-4 b2+2b-4 理可知 x1x2+y1y2=0,故 + =0,解之得 b=-4, 2 2 或 b=1,验证知,此时 Δ>0,故存在这样的直线 l,其方程为 y=x -4,或 y=x+1.

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