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2016-2017学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系练习新人教A版必修2(新)


4.2.1

直线与圆的位置关系
课后训 练案 巩固提 升

A组 1.若直线 x+y+m=0 与圆 x +y =m 相切,则 m 的值为(
2 2

)

A.0 或 2 B.0 或 4 C.2 D.4 2 2 2 解析:(法一)圆 x +y =m 的圆心坐标为(0,0),半径长

r=(m>0),由题意得,即 m =2m, 又 m>0,所以 m=2. (法二)由消去 y 并整理, 2 2 得 2x +2mx+m -m=0. 因为直线与圆相切,所以上述方程有唯一实数解, 2 2 2 因此 Δ =(2m) -8(m -m)=0,即 m -2m=0, 又 m>0,所以 m=2. 答案:C 2 2 2.过点(1,1)的直线与圆(x-2) +(y-3) =9 相交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为( ) A.2 B.4 C.2 D.5 解析:当圆心和点(1,1)的连线与 AB 垂直时,弦心距最大,|AB|最小.易知弦心距的最大值为, 故|AB|的最小值为 2=4. 答案:B 2 2 3.已知圆 C:(x-a) +(y-2) =4(a>0)及直线 l:x-y+3=0,当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 时,a 等于 ( ) A. B.2C.-1 D.+1 解析:圆心 C(a,2)到直线 l 的距离 d=,所以=4, 解得 a=-1-(舍去)或 a=-1. 答案:C 2 2 4.已知圆 C1:(x+1) +(y-1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为( ) 2 2 2 2 A.(x+2) +(y-2) =1 B.(x-2) +(y+2) =1 2 2 2 2 C.(x+2) +(y+2) =1 D.(x-2) +(y-2) =1 解析:设点(x,y)与圆 C1 的圆心(-1,1)关于直线 x-y-1=0 对称,则解得从而可知圆 C2 的圆心坐标为 2 2 (2,-2),又知其半径为 1,故所求圆 C2 的方程为(x-2) +(y+2) =1. 答案:B 2 2 2 5.已知点 P(a,b)(ab≠0)是圆 x +y =r 内的一点,直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线,直线 l 的方 2 程为 ax+by=r ,则( ) A.m∥l,且 l 与圆相交 B.m⊥l,且 l 与圆相切 C.m∥l,且 l 与圆相离 D.m⊥l,且 l 与圆相离 2 2 2 解析:∵点 P(a,b)在圆内,∴a +b <r . 又 kOP=,∴km=-. 2 直线 l 的方程为 ax+by=r ,∴kl=-, ∴l∥m.设圆心到直线 l 的距离为 d, 则 d==r,故直线 l 与圆相离.

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答案:C 6.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 . 2 2 2 2 解析:设圆心为(a,0)(a>0),则=2,∴a=2,故所求方程为(x-2) +y =4,即 x +y -4x=0. 2 2 答案:x +y -4x=0 2 2 7.过点 M(3,2)作圆 O:x +y +4x-2y+4=0 的切线方程是 . 解析:由圆的方程可知,圆心为(-2,1),半径为 1,显然所求直线斜率存在,设直线的方程为 y-2=k(x3), 即 kx-y-3k+2=0,由=1, 解得 k=0 或 k=, 所以所求直线的方程为 y=2 和 5x-12y+9=0. 答案:y=2 或 5x-12y+9=0 8. 导学号 96640119 已知 x,y 满足方程 x +y +4x-2y-4=0,则 x +y 的最大值 为 . 2 2 2 2 解析:方程 x +y +4x-2y-4=0 可化为(x+2) +(y-1) =9,它表示圆心为 A(-2,1),半径为 3 的圆,如图所 2 2 2 2 示.x +y =() 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然,连接 OA 并延长交圆于点 B,则|OB| 即 x2+y2 的最大值,为||OA|+3|2=(+3)2=14+6.
2 2 2 2

答案:14+6 2 2 9.已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对任意 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|=,求 l 的倾斜角. 2 (1)证明:由已知直线 l:y-1=m(x-1),知直线 l 恒过定点 P(1,1).∵1 =1<5,∴P 点在圆 C 内, ∴直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (2)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立方程组消去 y,得 2 2 2 2 (m +1)x -2m x+m -5=0,设 x1,x2 是一元二次方程的两个实根,∵|AB|=|x1-x2|, ∴, ∴m2=3,m=±,∴l 的倾斜角为. 10. 导学号 96640120 已知☉O:x +y =1 和定点 A(2,1),由☉O 外一点 P(a,b)向☉O 引切线 PQ,切点为
2 2

Q,且满足|PQ|=|PA|. (1)求实数 a,b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 的最小值.

解:(1)连接 OP, ∵Q 为切点,∴PQ⊥OQ. 2 2 2 由勾股定理有|PQ| =|OP| -|OQ| .又|PQ|=|PA|, 2 2 ∴|PQ| =|PA| ,

2

即 a +b -1=(a-2) +(b-1) , 整理,得 2a+b-3=0. (2)由 2a+b-3=0,得 b=-2a+3,∴|PQ|=,∴当 a=时,|PQ|min=, 即线段 PQ 的最小值为. B组 2 2 1.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相交,则点 P(a,b)的位置是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 解析:由题意,得<1,∴>1, 2 2 即 a +b >1.∴点 P(a,b)在圆外. 答案:B 2 2 2.已知圆 C:x +y -4x-2y-15=0 上有两个不同的点到直线 l:y=k(x-7)+6 的距离等于,则 k 的取值范 围是( ) A. B. C.(-∞,-2)∪∪(2,+∞) D.∪(2,+∞) 2 2 2 2 解析:圆 x +y -4x-2y-15=0 的圆心为(2,1),半径为 2,∵圆 C:x +y -4x-2y-15=0 上有两个不同的点到 直线 l:y=k(x-7)+6 的距离等于, ∴<3, ∴k 的取值范围是(-∞,-2)∪∪(2,+∞). 答案:C 2 2 3.(2016 吉林长春外国语学校期中)若过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y -5=0 在第一 象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是( ) A.0<k< B.-<k<0 C.0<k< D.0<k<5 2 2 2 2 解析:圆 x +4x+y -5=0 化为(x+2) +y =9, 圆与 y 轴正半轴交于(0,), 2 2 因为过定点 M(-1,0)且斜率为 k 的直线与圆 x +4x+y -5=0 在第一象限内的部分有交点,

2

2

2

2

如图,

∴kMA<k<kMB,∴0<k<,∴0<k<. 答案:A 4.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程 为 . 解析:令 y=0,得 x=-1,所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0).因为直线 x+y+3=0 与圆 C 相切, 所以圆心到直线 x+y+3=0 的距离等于半径, 即 r=, 2 2 所以圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 2 2 答案:(x+1) +y =2 2 2 5.若垂直于直线 2x+y=0,且与圆 x +y =5 相切的切线方程为 ax+2y+c=0,则 ac 的值为 .

3

解析:已知直线斜率 k1=-2,直线 ax+2y+c=0 的斜率为-.∵两直线垂直,∴(-2)·=-1,得 a=-1.∵圆心 到切线的距离为,即, ∴c=±5,故 ac=±5. 答案:±5 2 2 6.已知圆 C:(x-1) +(y-2) =2,点 P(2,-1),过 P 点作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点. (1)求 PA,PB 所在直线的方程; (2)求切线长|PA|; (3)求直线 AB 的方程. 解:(1)易知切线斜率存在,设切线的方程为 y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0,又 C(1,2),半径 r=, 由点到直线的距离公式,得, 解之,得 k=7 或 k=-1.故所求切线 PA,PB 的方程分别是 x+y-1=0 和 7x-y-15=0. (2)连接 AC,PC,则 AC⊥AP. 在 Rt△APC 中,|AC|=, |PC|=, 故|PA|==2. (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 2 2 2 (x1-1) +(y1-2) =2,(x2-1) +(y2-2) =2. ∵CA⊥AP,∴kCA·kAP=-1,即=-1, ∴(y1-2)(y1+1)=-(x1-1)(x1-2), 变形,得(y1-2)(y1-2+3)=-(x1-1)(x1-1-1), 2 2 (y1-2) +3(y1-2)=-(x1-1) +(x1-1), 2 2 (x1-1) +(y1-2) +3(y1-2)-(x1-1)=0. ∵(x1-1)2+(y1-2)2=2, ∴上式可化简为 x1-3y1+3=0. 同理可得 x2-3y2+3=0. ∵A,B 两点的坐标都满足方程 x-3y+3=0, ∴直线 AB 的方程是 x-3y+3=0. 7. 导学号 96640121 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y-29=0 相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax-y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(-2,4)?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设圆心为 M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切,且半径为 5,所以=5, 即|4m-29|=25.因为 m 为整数,故 m=1. 2 2 故所求圆的方程为(x-1) +y =25. (2)把直线 ax-y+5=0,即 y=ax+5, 代入圆的方程,消去 y, 2 2 整理,得(a +1)x +2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 与圆交于 A,B 两点, 2 2 2 故 Δ =4(5a-1) -4(a +1)>0,即 12a -5a>0. 由于 a>0,解得 a>, 所以实数 a 的取值范围是. (3)设符合条件的实数 a 存在,则直线 l 的斜率为-,

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l 的方程为 y=-(x+2)+4,即 x+ay+2-4a=0.由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上, 所以 1+0+2-4a=0,解得 a=. 由于,故存在实数 a=,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.

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