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高二数学 弦切角的性质 学案 新人教版选修4-1


高二数学选修 4-1 学案

弦切角的性质
班级
学习目标: 1.理解弦切角的概念; 2.掌握弦切角定理及推论,并会运用它们解决有关问题; 3.理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法. 教学重点和难点 弦切角定理及其应用是重点; 教学过程: 一、创设情境,以旧探新 1.提问:什么样的角是圆周角? 2.圆周角∠CAB,让射线

AC 绕点 A 旋转,产生无数个圆周角,当 AC 绕点 A 旋转至与圆相切 时,停止旋转,得∠BAE.(图 7-132) 弦切角定理的证明是难点.

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思考:这时∠BAE 还是圆周角吗?为什么? 归纳总结出弦切角的特点: (1)顶点在圆周上; (2)一边与圆相交; (3)一边与圆相切. 3. 弦切角定义: 顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角. 4.判断下列各图形中的角是不是弦切角,并说明理由: (图 7-133)
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由此发现,弦切角可分为三类: (1)圆心在角的外部; (2)圆心在角的一边上; (3)圆心在角的内部. 二、观察联想、发现规律 1.当弦切角一边通过圆心时,(如图 7-135) (1)弦切角∠CAB 是多少度?为什么? (2)∠CAB 所夹弧所对的圆周角∠D 是多少度?为什么? (3)此时,弦切角与它所夹弧所对的圆周角有什么关系? 观察图形,不难发现,此时弦切角与其所夹弧所对的圆周角都是直角.
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2.以 A 为端点.旋转 AC 边, 使弦切角增大或减小, 观察它与所夹弧所对圆周角之间的关系, 猜想:弦切角是否等于它所夹的弧对的圆周角.(图 7-134)

三、类比联想,尝试论证 1.回忆联想: (1)圆周角定理的证明采用了什么方法? (2)既然弦切角可由圆周角演变而来,那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? 2.前面证明了特殊情况,下面考虑圆心在弦切角的外部和内部两种情况. 讨 论:怎样将一般情况的证明转化为特殊情况。如图 7-136(1),圆心 O 在∠CAB 外,作⊙O 的直 径 AQ,连结 PQ,则∠BAC=∠BAQ-∠1=∠APQ-∠2=∠APC.

如图 7-136(2),圆心 O 在∠CAB 内,作⊙O 的直径 AQ,连结 PQ, 则∠BAC=∠QAB+∠1=∠QPA+∠2=∠APC. 你能写出完整的证明过程吗? 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角. 3.看书并思考: 课本上关于定理的证明与我们现在的证明方 法有何异同? 四、巩固知识、初步应用 例 1(课本 p

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如图 7-139,已知 AB 是⊙O 的直

径,AC 是弦,直线 CE 和⊙O 切于点 C,AD⊥CE,垂足为 D. 求证:AC 平分∠BAD. 思路一:要证∠BAC=∠CAD,可证这两角所在的直角三角形相 似,于是连结 BC,得 Rt△ACB,只需证∠ACD=∠B.(图 7-139) 证明:(学生自己完成证明) 思路二:连结 OC,由切线性质,可得 OC∥AD,于是有∠1=∠3,又由于∠1=∠2,可证得结 论.(图 7-140)
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思路三:过 C 作 CF⊥AB,交⊙O 于 F,连结 AF.由垂径定理可知∠1=∠3,又根据弦切角定理 有∠2=∠1,于是∠2=∠3,进而可证明结论成立.(图 7-141) [课堂练习]: 1.如图 7-142,AB 为⊙O 的直径,直线 EF 切⊙O 于 C,若∠BAC=56°, 则∠ECA= 度. (口答) 2.AB 切⊙O 于 A 点,圆周被 AC 所分成的优弧与劣弧之比为 3∶1,则夹劣弧的弦切角 ∠BAC= . 3.已知:经过⊙O 上的点 T 的切线和弦 AB 的延长线相交于点 C. 求证:∠ATC=∠TBC.② CT = CB ? CA
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五、归纳小结
① 在证明弦切角定理时,我们是从特殊情况入手,通过猜想、分析、证明和归纳,从 而证明了弦切角定理.通过弦切角概念的引入和定理的证明过程,逐步学会用运动变化的观点 观察问题,进而理解从一般到特殊,从特殊到一般的认识规律. ②学习了分类讨论的思想和完全归纳的证明方法.在这里一定要注意为什么要对弦 切角进行分类和如何进行分类. ③弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角.

六.反馈

练习

练习 1 直线 AB 和圆相切于点 P,PC,PD 为弦,指出图中所有的弦切角以及它们所夹 的弧.(图 7-137)

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练习 2 如图 7-138,DE 切⊙O 于 A,AB,AC 是⊙O 的弦,若 AB=AC,那么∠DAB 和 ∠EAC 是否相等?为什么? 分析,由于 AB 和 AC 分别是两个弦切角∠DAB 和∠EAC 所夹的弧, 而 AB 和 AC .连结 B,C,易证∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC.

推论:若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等.

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