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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):4.3平面向量的数量积与平面向量的应用举例


课时跟踪检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量的应用举例

1.(2012· 豫东、豫北十校阶段性测试)若向量 a=(x+1,2)和向量 b=(1,-1)平行,则|a +b|=( A. 10 C. 2 ) B. D. 10 2 2 2

2.(2012· 山西省考前适应性训练)已知向量 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b

方向上的射 影为( ) B. D. 13 5 65 5

A. 13 C. 65

3.已知 A,B,C 为平面上不共线的三点,若向量 AB =(1,1),n=(1,-1),且 n· AC =2,则 n· 等于( BC A.-2 C.0

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) B.2 D.2 或-2

4.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB · =1,则 BC=( BC A. 3 B. 7

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)

C.2 2 D. 23 5.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= A.30° C.120° 2 3 |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角 θ 为( 3 )

B.60° D.150°

1 1 6.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x3+ |a|x2+a· 在 R 上有极值,则 a 与 b bx 3 2 的夹角 θ 的取值范围为( π A.?0,6? ? ? π C.?3,π? ? ? ) π B.?6,π? ? ? π 2π D.?3, 3 ? ? ?

7.(2012· 安徽省“江南十校”联考)若|a|=2,|b|=4,且(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是 ________. 8.(2012· 新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= ________.

9. (2012· 烟台调研)在等腰直角三角形 ABC 中, 是斜边 BC 的中点, D 如果 AB 的长为 2,

? ??? ??? ??? ? ? AD 的值为________. 则( AB + AC )·
10.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c.

1 3 11.设在平面上有两个向量 a=(cos α,sin α)(0° ≤α<360° ),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

12.已知两个不共线的向量 a,b 的夹角为 θ,且|a|=3,|b|=1,x 为正实数. (1)若 a+2b 与 a-4b 垂直,求 tan θ; π (2)若 θ= ,求|xa-b|的最小值及对应的 x 的值,并判断此时向量 a 与 xa-b 是否垂直. 6

1.设 a,b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

)

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa

D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 2.(2012· 石家庄质检)△ABC 中,∠C=90° ,且 CA=CB=3,点 M 满足 BM =2 AM , 则 CM · =________. CA 3.已知 AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3). (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 之间的关系式; (2)在(1)条件下,若 AC ⊥ BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.

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课时跟踪检测(二十八) A级 1.选 C 依题意得,-(x+1)-2×1=0,得 x=-3,故 a+b=(-2,2)+(1,-1)=(- 1,1),所以|a+b|= ?-1?2+12= 2. a· 2×?-4?+3×7 b 65 2.选 D 依题意得,向量 a 在 b 方向上的射影为 = 2 2 = 5 . |b| ?-4? +7

BA 3.选 B n· =n·BA + AC )=n· +n· ( (-1,-1)+2=0+2= BC AC =(1,-1)·
2.

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4.选 A ∵ AB · =1,且 AB=2, BC ∴1=| AB || BC |cos(π-B),

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??? ? 1 ∴| BC |cos B=- . 2
在△ABC 中,|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos B, 1 即 9=4+|BC|2-2×2×?-2?. ? ? ∴|BC|= 3. 5.选 B 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a· b=0; 将|a-b|= 2 3 1 |a|两边同时平方得 b2= a2, 3 3

?a+b?· ?a-b? a2-b2 1 所以 cos θ= = = ,θ=60° . 4 2 2 |a+b|· |a-b| a 3 6.选 C 同的实数解, 1 故 Δ=|a|2-4a· b>0?cos θ< , 2 又 θ∈[0,π], π 所以 θ∈?3,π?. ? ? 7.解析:设向量 a,b 的夹角为 θ.由(a+b)⊥a 得(a+b)· a=0,即|a|2+a· b=0, 1 2π ∵|a|=2,∴a· b=-4,∴|a|· cos θ=-4,又|b|=4,∴cos θ=- ,即 θ= .∴向量 a, |b|· 2 3 1 1 f(x)= x3+ |a|x2+a· 在 R 上有极值,即 f′(x)=x2+|a|x+a· bx b=0 有两个不 3 2

2π b 的夹角为 . 3 2π 答案: 3 8.解析:∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· cos 45° |b|· = ∴|2a-b|2=4-4× ∴|b|=3 2. 答案:3 2 2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10. 2

??? ? ??? ? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 9.解析:| BC |2=| AB |2+| AC |2=8,| AD |= | BC |, AB + AC =2 AD ,( AB + 2 ??? ??? ? ? ? ??? ??? 1 ??? ? ? AD AD AC )· =2 AD · =2| BC |2=4.
答案:4 10.解:(1)∵a· b=2n-2,|a|= 5, |b|= n2+4, ∴cos 45° = 2 = , 2 5· n +4
2

2n-2

∴3n2-16n-12=0(n>1), 2 ∴n=6 或 n=- (舍),∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0, |a|2 5 1 ∴λb· a-|a|2=0,∴λ= = = , b· 10 2 a 1 ∴c= b=(-1,3). 2 1 3 11.解:(1)证明:因为(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-?4+4?=0, ? ? 所以 a+b 与 a-b 垂直. (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0. 而|a|=|b|,所以 a· b=0,

1 3 则?-2?×cos α+ ×sin α=0, ? ? 2 即 cos(α+60° )=0, 所以 α+60° 180° =k· +90° , 即 α=k· +30° 180° ,k∈Z. 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° α=210° 或 . 12.解:(1)由题意,得(a+2b)· (a-4b)=0, 即 a2-2a· b-8b2=0, 得 32-2×3×1×cos θ-8×12=0, 1 得 cos θ= .又 θ∈(0,π), 6 所以 sin θ= 1-cos2θ= sin θ tan θ= = 35. cos θ (2)|xa-b|= ?xa-b?2 = x2a2-2xa· 2 b+b = = π 9x2-2x×3×1×cos +1 6 9?x- 1 35 1-?6?2= , ? ? 6

?

3?2 1 + , 6? 4

故当 x=

3 1 时,|xa-b|取得最小值为 , 6 2 3 π ×9-3×1×cos =0,故向量 a 与 xa-b 垂直. 6 6 B级

此时 a· (xa-b)=xa2-a· b=

1.选 C ∵|a+b|=|a|-|b|,∴(a+b)2=(|a|-|b|)2,即 a2+2a· 2=|a|2-2|a||b|+|b|2, b+b ∴a· b=-|a||b|.∵a· b=|a||b|· cos? a,b? ,∴cos? a,b? =-1, ∴? a,b? =π,此时 a 与 b 反向共线,因此 A 错误.当 a⊥b 时,a 与 b 不反向也不共 线,因此 B 错误.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ=-1,使 b=-a,满足 a 与 b 反向共线, 故 C 正确.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a+λa|=|1+λ||a|,|a|-|b|=|a|-|λa|=(1 -|λ|)|a|,只有当-1≤λ≤0 时,|a+b|=|a|-|b|才能成立,否则不能成立,故 D 错误. 2.解析:由 BM =2 AM 可知,A 是线段 MB 的中点,如图所示.

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∵AC⊥BC,且 CA=CB=3,

∴ CM · =( CA + AM )· CA CA =( CA + BA )· CA =( CA + CA - CB )· CA =(2 CA - CB )· CA =2 CA 2- CB · =2×32=18. CA 答案:18 3.解:(1)∵ AD = AB + BC + CD =(x+4,y-2), ∴ DA =- AD =(-x-4,2-y). 又∵ BC ∥ DA 且 BC =(x,y), ∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① (2)由于 AC = AB + BC =(x+6,y+1),

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? ? ??? ??? ??? ? BD = BC + CD =(x-2,y-3), ??? ? ??? ? 又 AC ⊥ BD , ??? ??? ? ? BD 所以 AC · =0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0. 解得 y=3 或 y=-1. 故当 y=3 时,x=-6, 此时 AC =(0,4), BD =(-8,0),

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? ? 1 ??? ??? 所以 SABCD= | AC |·BD |=16; | 2
当 y=-1 时,x=2, 此时 AC =(8,0), BD =(0,-4),

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? ? 1 ??? ??? ∴SABCD= | AC |·BD |=16. | 2


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