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湖北省枣阳市第七中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


湖北省枣阳市第七中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文科)试题
时间:120 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. " a ? 0" 是 " a ? 0" 的 A.充分不必要条件 C. 充要条件
2

/>
( B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



2.设甲:函数 f ( x) ? log 2 ( x ? bx ? c) 的值域为 R ,乙:函数 g ( x) ? x 2 ? bx ? c 有四 个单调区间,那么甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 .已知抛物线 C : y ? 2 x 上的点 A ? ?1, 2 ? ,直线 l1 过点 A 且与抛物线相切,直线 l2 :
2

x ? a ? a ? ?1? 交抛物线于点 B ,交直线 l1 于点 D ,记 ?ABD 的面积为 S1 ,抛物线和直线 l1 ,

l2 所围成的图形面积为 S2 ,则 S1 : S 2 ? (
A. 2 :1 C. 4 : 3 B. 3 : 2 D.随 a 的值而变化
x



4.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是( A. (??,2) B. (0,3) C. (1, 4)

) D. (2,??)

5.给出下列四个命 题: ( 1 ) 若 sin 2 A ? sin 2 B , 则 ?ABC 是 等 腰 三 角 形 ; (2)若

sin A ? cos B ,则 ?ABC 是直角三角形; (3)若 cos A ? cos B ? cos C ? 0 ,则 ?ABC 是钝
角三角形.以上命题正确的是( A. (1) (2) B. (3) 6. ) C. ( 2) (3) ) D. (1) (3)

x2 ? 4 ? 0 成立的一个必要不充分条件是( x ?1
B、 [?2, ??) D、 (1, ??)

A、 [?2,1) ? [2, ??) C、 [2, ??)

7. 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是 x ? 2 y ?0 ? y ? 20 ? .在杯内放入一个
2

1

玻璃球,要使球触及 酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的范围是( A.0<r≤1 B.0<r<1 C.0<r≤2 D.0<r<2 8.已知 F1,F2 分别为双曲线

)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线左支上任 a 2 b2


| PF2 |2 一点,若 的最小值为 8a,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( | PF1 |
A. (1, ??)
2

B. (0,3]
2 2

C. (1,3]
2

D. (1, 2] )

9.动圆与两圆 x ? y ? 1 和 x ? y ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心轨迹是 (
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A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 双曲线的一支 10.以下命题中:①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品
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进行某 项指标检测,这样的抽样是分层抽样。②由 y ? 3sin 2 x 的图像向右平移

?
3

个单位长

?? ? 度可以得到函数 f ( x) ? 3sin ? ? 2 x ? ? 的图像。③在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当变量 x 3? ?

? 增加 0.2 单位。④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K 的观测 每增加一个单位时,变量 y
2

值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大。⑤设 0 ? x ? ? ,则“ x sin 2 x ? 1 ”
2

是“ x sin x ? 1 ”的充分而不必要条件。其中为真命题的个数有: A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 11. .下列四个命题中,正确的是 ( )

A .已知函数 f (a ) ? ? sin xdx ,则 f [ f ( )] ? 1 ? cos1 ; 0 2

a

?

y ? 2 ? 2.5 x , 设回归直线方程为 ? 当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位; B.

C .已知 ? 服从正态分布 N (0 , ? 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 ,则 P(? ? 2) ? 0.2
D .对于命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0
12. “ x >0”是“x<0”成立的( A 充分不必要条件 C 充要条件
3 2



B 必要不充分条件 D 既非充分也非必要条件

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)

2

13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? b ? 0 ? 的离心率为 2,则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为 4 b2

14.椭圆 ?

? x ? a cos ? (a ? b ? 0 ,参数 ? 的范围是 0 ? ? ? 2? )的两个焦点为 F1 、 F2 , ? y ? b sin ?

以 F1F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,且 F1F2 ? 4 ,则 a 等 于 .
2

15.若命题“存在实数 x, 使x ? ax ? 1 ? 0 ”是假命题, 则实数 a 的取值范围为
2 x



16.已知 f ( x) ? ?( x ? 1) ? m,g ( x) ? xe , 若 ?x1,x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实 数 m 的取值范围是_______. 三、解答题(70 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? { y | y ? x 2 ?

2 1 命题 p: x ∈ A, 命 x ? 1, x ? [? ,2]}, B ? {x || x ? m |? 1} ; 3 2

题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

x y2 - 2 2 16 =1 共渐近线且焦点在圆 x ? y ? 100 上的双曲线的标准 18. (12 分) 求与双曲线 9
方程。

2

17 19. (本题 12 分)已知抛物线 C:x =2py( p>0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为 4 .
2

(Ⅰ)求 p 和 m 的值; (Ⅱ)设 B(-1,1),过点 B 任作两直线 A1B1,A2B2,与抛物线 C 分别交于点 A1,B1,A 2,B2,过 A1,B1 的抛物线 C 的两切线交于 P,过 A2,B2 的抛物线 C 的两切线交于 Q,求 PQ 的直线方程. 20. (本题 12 分)已知 F1 , F2 为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点, O 是坐标 a 2 b2

原点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线 MF2 交椭圆于 M ( 2,1) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程. 21. (本题 12 分)已知抛物线 y ? ? x 2 ? ax ?

??? ? ??? ?

1 与直线 y ? 2 x 2

求证:抛物线与直线相交; 求当抛物线的顶点在直线的下方时, a 的取值范围; 当 a 在 (2) 的取值范围内时,求抛物线截直线所得弦长的最小值。

3

22. (本题 10 分)已知抛物线 C1 的顶点是双曲线 C2 : x ? 4ky ? 4 的中心,而焦点是双曲
2 2

线的左顶点, (1)当 k ? 1 时,求抛物线 C1 的方程; (2)若双曲线的离心率 e ?

6 ,求双曲线的渐近线方程和准线的方程. 2

参考答案 1.A 【解析】

" a ? 0" 时, 故 " a ? 0" a ? 0或a ? 0 , " a ? 0" 一定有 " a ? 0" , 试题分析: 但反之, 时, 可得
是 " a ? 0" 的充分不必要条件,选 A。 考点:充要条件的概念。 点评:简单题,充要条件的判断问题,往往综合性较强,主要方法有:定义法、等价关系法、 集合关系法等。 2.B. 【解析】 试题分析:函数 f ( x) ? log 2 ( x ? bx ? c) 的值域为 R ,意味着能取 到 x 2 ? bx ? c ? 0 的实
2

数值,所以 b 2 ? 4c ? 0 ;函数 g ( x) ? x 2 ? bx ? c 有四个单调区间,意味着 y ? x ? bx ? c
2

有两个不同零点,所以 b 2 ? 4c ? 0 ,故甲是乙的必要不充分条件,选 B。 考点:本题主要考查充要条件的概念,对数函数的值域,二次函数的单调性。 点评:典型题,充要条件的判断问题,已是高 考考查的保留题型之一,往往具有一定的综 合性。充要条件的判断有:定义法、等价关系法、集合关系法。 3.B 2 【解析】解: (1)由 y=2x ,得 y′=4x.当 x=-1 时,y'=-4. ∴l1 的方程为 y-2=-4(x+1) ,即 y=-4x-2. (3 分) (2)由 2 y=2x 2 x=a ,得:B 点坐标为(a,2a ) .由 x=a 4 x+y+12=0 ,得 D 点坐标(a,-4a-2) . ∴点 A 到直线 BD 的距离为|a+1|. 2 2 |BD|=2a +4a+2=2(a+1) 3 ∴S1=|a+1| .

4

(3)当 a>-1 时,S1=(a+1) , (8 分) S2=

3

?

2 [2 x 2 ? 4 x ? 2]dx ? (a ? 1)3 ?1 3
a

∴S1:S2=3 :2 . 当 a<-1 时,S1=-(a+1)3 S2=

?

?1

a

2 [2 x 2 ? 4 x ? 2]dx ? (a ? 1)3 3

故 S1:S2=3 :2,综上可得结论为 B 4.D 【解析】 试题分析:? f ? x ? ? ? x ? 3? ? e ,? f ? ? x ? ? e ? ? x ? 3? ? e ? ? x ? 2 ? ? e ,令 f ? ? x ? ? 0 ,
x x x x

即 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 ,故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 2, ?? ? ,故选 D. 考点:函数的单调性与导数. 5.B 【解析】略 6.B 【解析】 试题分析:∵

?( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2) ? 0 x2 ? 4 ,解得 ?2 ? x ? 1或x ? 2 ,它的必 ? 0 ,∴ ? x ?1 ?x ? 1

要不充分条件要比 [?2,1) ? [2, ??) 范围大,故区间 [?2, ??) 符合题意,故选 B 考点:本题考查了不等式的解法及充分必要条件 点 评 : 此 类 问 题 常 常 利 用

f ( x) ?0 g ( x)

? f ( x) ? 0, ? f ( x) ? 0, 或 ? ? ? ? g ( x) ? 0, ? g ( x) ? 0,

f ( x) ?0? g ( x)

? f ( x) ? 0, 或 ? ? g ( x) ? 0,

? f ( x) ? 0, 转化 ? ? g ( x) ? 0,

7.A 【解析】 试题分析:设 小 球 圆 心 ( 0 , y 0 ) , 抛 物 线 上 点 ( x, y) ,求得点到圆 心距离 平 方 的 2 表 达 式 ,进 而 根 据 若 r 最 小 值 在( 0 ,0 )时 取 到 ,则 小 球 触 及 杯 底 ,需 1-y 0 ≥ 0 , 进而求得 r 的范围. 考点:抛物线定义与性质. 8.C 【解析】 考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 解答:解:由定义知:|PF2|-|PF1|=2a,

5

PF2 ? 2a? | PF1 |? = 4a2 +4a+|PF | ≥8a, |PF2|=2a+|PF1|, = 1 PF1 PF1 PF1
2 2

4a 2 当且仅当 =|PF1|, PF1
即|PF1|=2a 时取得等号 设 P(x0,y0) (x0≤-a) 由焦半径公式得: |PF1|=-ex0-a=2a ex0=-2a e=-

3a ≤3 x0

又双曲线的离心率 e>1 ∴e∈(1,3]. 故选 C. 点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意焦半径公式的合理运用. 9.D 【解析】外切条件: d ? r1 ? r2 10.D 【解析】略 11.A 【解析】略 12.B 【解析】本题考查充分条件,必要条件,充要条件及推理.
3

x 2 ? 0 ? x ? 0, 所以 3 x 2 ? 0 ?? x ? 0; 但是 x ? 0 ? x 2 ? 0 ? 3 x 2 ? 0; 则“ 3 x 2 >0”

是“x<0”成立的必有不充分条件.故选 B 13. 2 3 【解析】 因为 e ?

c 2 2 所以 b ? c ? a ? 2 3 , 则双曲线的焦点坐标为 (?4, 0) , ? 2, a ? 2 , a

渐近线方程为

x y 4 3 ? ? 0 即 3 x ? y ? 0 ,所以焦点到渐近线的距 离为 ?2 3 2 2 2 3

14. 3 ? 1 【解析】 试题分析: 设 P 为椭圆平分正三角形的边的一个点, 则 ?PF1 F2 为一个锐角为 30 直角三角形,
?

6

因为斜边长

F1F2 ? 4

,所以另两条直角边长为 2, 2 3. 由椭圆定义有 2a ? 2 ? 2 3, a ? 1 ? 3.

考点:椭圆定义 15. [?2, 2] 【解析】略 16. ? ? , ?? ? 【解析】
2 试题分析:由题可知 f ( x) ? ?( x ? 1) ? m 的最大值为 m ,又 g '( x) ? e ? xe ? e ?1 ? x ? ,

? 1 ? e

? ?

x

x

x

当 x ? ?1 时,g '( x) ? 0, g ( x) 减函数, 当 x ? ?1 时,g '( x) ? 0 ,g ( x) 为增函数, 所以 g ( x) 有最小值为 ? .若 ?x1,x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,只需 m ? ? 考点:利用导数判断函数的单调性. 17.

1 e

1 . e

9 ? ? m的取值范围是? ? ?, ? ???3, ? ?? 16 ? ?
3 3? 7 ? x ? 1 ,配方得: y ? ? x ? ? ? 2 4 ? 16 ?
2

【解析】解:先化简集合 A,由 y ? x 2 ?

?2 分

? 1 ? ?7 ? ? 7 ? ? x ? ?? ,2?,? y ? ? ,2?, ? A ? ? y | ? y ? 2?. ??4 分 ? 2 ? ?16 ? ? 16 ?
化简集合 B,由 x ? m ? 1, 解得 x ? m ? 1或x ? m ? 1.

? B ? ?x | x ? m ? 1或x ? m ? 1????6 分 ? 命题p是命题q的充分条件 ? A ? B ????8 分
?m ?1 ? 7 9 或m ? 1 ? 2 ,??10 分解得 m ? ? 或m ? 3 , 16 16

则实数 m的取值范围是? ? ?, ?
2 2

? ?

9 ? ???3, ? ? ? ??12 分 16 ?

x y2 y x2 - ?1 - ?1 64 36 18. 36 、 64
【解析】略

y??
19.解: (Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:

p 2 , 根据抛物线定义

7

点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即

4?

p 17 1 ? p? 2 4 ,解得 2

2 ? 抛物线方程为: x ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2 ???6 分

(Ⅱ)因为点 B(-1,1) 在抛物线 C 上,所以 B1,B2 即为点 B, 则过 A1,B1 的抛物线 C 的两切线交于 P 在过 B 的抛物 线 C 的切线上, 过 A2,B 2 的抛物线 C 的两切线交于 Q 同样在过 B 的抛 物线 C 的切线上, 故直线 PQ 就是抛物线 C 在点 B(-1,1)处的切线,易求其直线方程为 y=―2x―1 15 分 【解析】略 20.(1)

x2 y 2 ? ?1 4 2

(2) 即 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的运用。 解:(Ⅰ)由条件知 c ? 解得, a ? 2, b ?

2 ,且

2 1 ? ? 1 ,由 a 2 ? b 2 ? c 2 , a 2 b2
???????????4 分

2 ,

x2 y 2 所以椭圆方程为 ? ? 1. 4 2
(Ⅱ)设点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

?????????? 5 分

当 l ? x 轴时,A (? 2 ,?1) ,B (? 2 ,1) ,所以 OA ? OB ? 0 , 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ?

??? ? ??? ?

???6 分

2) ,
?????8 分

代入椭圆方程得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4 2k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .

? 4 2k 2 x ? x ? ? , ? 2 2 ? 1 1 ? 2k 所以 ? 2 ? x ? x ? 4k ? 4 1 2 ? ? 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? 由 OA ? OB ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

????????? 9 分

???????? 10 分

x1 ? x 2 ? k 2 (x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? (1 ? k 2 )x1 ? x 2 ? 2k 2 (x1 ? x 2 ) ? 2k 2 ? 0 .
(1 ? k 2 )(4k 2 ? 4) 4 2k 2 ? 2k 2 代入得 ? ? 2k 2 ? 0 , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
解得 k ? ? 2 . ???????? 12 分

8

所以直线 l 的方程为 y ? ? 2( x ? 2) . 即 2x ? y ? 2 ? 0 或 2x ? y ? 2 ? 0 .

? y ? 2x ? ? 2 x 2 ? (4 ? 2a) x ? 1 ? 0,? ? (4 ? 2a) 2 ? 8 ? 0, ? 1 2 21. (1)由 y ? ? x ? ax ? ? ? 2
? 直线与抛物线总相交。
( 2 ) ? y ? ? x ? ax ?
2

1 a a2 ? 2 a a2 ? 2 ? ?( x ? ) 2 ? , 其顶点为 ( , ) ,且顶点在直线 2 2 4 2 4

y ? 2 x 的下方,?

a2 ? 2 a ? 2 ? ,即 a 2 ? 4a ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 ? a ? 2 ? 2 。 4 2

(3)设直线与抛物线的交点为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 则

2a ? 4 ? x1 ? x2 ? ? a?2 ? ? 2 ? ?x ? x ? ? 1 1 2 ? ? 2
2 ? AB ? 1 ? 22 ? (a ? 2) 2 ? 2 ? 5 ?? a ? 2 ? ? 2 ? .? 2 ? 2 ? a ? 2 ? 2,? ? ?



a ? 2时, AB min ? 10
【解析】同答案 22. (1) y ? ?8 x ; (2)渐近线方程为: y ? ?
2

2 2 6 . x ,准线方程为: x ? ? 2 3

【解析】 试题分析:双曲线 C2 :

x2 y 2 (1)当 k ? 1 时,根据双曲线的标准方程可知双曲线 ? ? 1, 4 1 k

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 ? ?2, 0 ? ;所以抛物线为开口向左,焦点为 ? ?2, 0 ? ,进而求得抛物 4
x2 y 2 6 ? ? 1 ,由离心率为 e ? 线 C1 的方程; (2 )因为双曲线的方程为 即 4 1 2 k
4? 1 k ? 3, 4 2

9

进而求得 k 的值,得到双曲线的标准方程,渐近线方程和准线方程. 试题解析: (1) k ? 1 , C2 :
2

x2 ? y 2 ? 1 ,∴ a ? 2,? F1 (?2, 0) 4
p ? 2,? p ? 4,? y 2 ? ?8 x. 2

设抛物线 C1 的方程为 y ? ?2 px( p ? 0) ,则 (2)依题意,得 a ? 4, b ?
2 2

1 1 c2 3 ,? c 2 ? 4 ? ,? 2 ? k k a 2

4?
所以

1 2 2 k ? 3 ,? 1 ? 2,? k ? 1 ,? C : x ? y ? 1 2 4 2 k 2 4 2
2 x. 2

所以渐近线方程为 y ? ?

准线方程为: x ? ?

2 6 . 3

考点:1.双曲线的标准方程;2.抛物线的标准方程.

10


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