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【全优课堂】2014年秋高中数学 2.2.1-2平面与平面平行的判定课件 新人教A版必修2

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自学导引 线面平行、面面平行的判定定理 定理 线面平行的判定定理 表示

面面平行的判定定理

________ 一条直线与 一个平面内的 平面外的 两条相交 直线与另一 此________ __________ 平面内 的 文字叙述 ____________, 则该直 个平面平行,则这两个 一条直线平行 线与此平面平行 平面平行

符号表示

a?α b?α a∥b

? ? ??a∥α ? ?

a?α b?α a∩b=P a∥β b∥β

? ? ? ??α∥β ? ? ?

图形表示

自主探究 探究 1:命题“若 a∥b,a∥α,则 b∥α”正确吗?

【答案】不正确,有可能 b?α.
探究 2:在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这 两个平面平行,对吗?

【答案】不对.在一个平面内的无数条直线是一组平行线时, 这两个平面有可能相交,因此必须是这个平面内所有的直线才行.

预习测评 1.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( ) A.b?α,a∥b B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c C.b?α,A,B∈a,C,D∈b,且 AC=BD D.a?α,b?α,a∥b

【答案】D

2.正方体 EFGH-E1F1G1H1 中,下列四对截面中,彼此平行 的一对截面是( ) A.平面 E1FG1 与平面 EGH1 B.平面 FHG1 与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1 与平面 EH1G

【答案】A

3.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与 过 A,C,E 三点的平面的位置关系是________.

【答案】平行
4.已知直线 a 与直线 b,平面 α 与平面 β 满足下列关系,a∥ α,b∥α,a?β,b?β,则 α 与 β 的位置关系是________.

【答案】平行或相交

要点阐释 1.直线与平面平行的判定方法 (1)利用定义:说明直线和平面无公共点(往往用反证法). (2)利用判定定理: 用此判定定理判定直线和平面平行时, 必须 具备三个条件: 平面外一条直线, 平面内一条直线, 两条直线平行, 三个条件缺一不可.

2.平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义:说明平面与平面无公共点(往往用反证法). (2)判定定理:平面 α 内的两条相交直线 a,b 都平行于 β,则 a?α ? ? b?α ? a∩b=A??α∥β,五个条件缺一不可. ? a∥β ? b∥β ?

α∥β.即

应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a,b. (3)化归为线线平行:平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的 两条相交直线分别平行,则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性:两个平面同时和第三个平面平行, 则这两个平面平行.

典例剖析 题型一 直线与平面平行的判定

【例 1】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, E,F 分别是 PB,PC 的中点.证明:EF∥平面 PAD. 思路点拨:证明线面平行,关键是找线线平行.注意题中涉及 中点时,利用中位线的性质是找线线平行的常用方法.

【解析】在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点, ∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD, ∵AD?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

题型二 平面与平面平行的判定

【例 2】 如图所示,三棱锥 S-ABC 中,D,E,F 分别是棱 AC,BC,SC 的中点.求证:平面 DEF∥平面 SAB. 思路点拨:利用三角形中位线性质,证明线线平行,得到线面 平行,从而证得结论.

【解析】 ∵D,E 分别是 AC,BC 的中点. ∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB. ∵DE?平面 SAB,AB?平面 SAB, ∴DE∥平面 SAB. 同理 DF∥平面 SAB. 又∵DE∩DF=D,∴平面 DEF∥平面 SAB.

2.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点.求证:平面 AMN∥平 面 EFDB.

【解析】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵M,N,E,F 分别是 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点, ∴MN∥EF. 又 MN?平面 EFDB,EF?平面 EFDB, ∴MN∥平面 EFDB. 同理可证 AM∥平面 EFDB. 又 MN∩AM=M,∴平面 AMN∥平面 EFDB.

题型三 线面平行、面面平行的综合应用

【例 3】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,M 分 别是棱 B1C1,BB1,C1D1 的中点,是否存在过点 E,M 且与平面 A1FC 平行的平面?若存在,请作出并证明;若不存在,请说明理 由. 思路点拨: 证明面面平行, 只要证明两平面的两条相交直线相 互平行.

【解析】如图,设 N 是棱 C1C 上的一点, 1 且 C1N= C1C,则平面 EMN 为符合要求的平 4 面.证明如下: 设 H 为棱 C1C 的中点,连接 B1H,D1H, ME,MN,EN 1 1 ∵C1N= C1C,∴C1N= C1H. 4 2 又 E 为 B1C1 的中点,∴EN∥B1H. 又 CF∥B1H,∴EN∥CF,∴EN∥平面 A1FC, 同理 MN∥D1H,D1H∥A1F, ∴MN∥A1F,∴MN∥平面 A1FC. 又 EN∩MN=N,∴平面 EMN∥平面 A1FC. 方法点评:对于开放性问题,要仔细观察题目本身的特点,结 合相应的定理,大胆地进行猜想,然后给予证明.

3.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中 点,E,F,G 分别是 BC,DC 和 SC 的中点.求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.

【解析】 (1)如图所示,连接 SB. ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB?平面 BDD1B1,EG?平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.

(2)如图所示,连接 SD. ∵F,G 分别是 DC,SC 的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴直线 FG∥平面 BDD1B1. 又 EG∥平面 BDD1B1,且直线 EG?平面 EFG,直线 FG?平 面 EFG,直线 EG∩直线 FG=G. ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.

误区解密 使用定理不当导致证明错误 【例 4】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 棱 BC,C1D1 的中点,求证:EF∥平面 BB1D1D.

错误证明: 连接 C1E,并延长至 G 点,使 GE=C1E,连接 D1G. 在△C1D1G 中,F 是 C1D1 的中点,E 是 C1G 的中点,所以 EF ∥D1G. 而 EF?平面 BB1D1D,D1G?平面 BB1D1D, 故 EF∥平面 BB1D1D.

错证分析:上述证明中,“D1G?平面 BB1D1D”这一结论没 有根据,只是主观认为 D1G 在平面 BB1D1D 内,说明在利用线面 平行的判定定理时, 对两直线平行比较关注, 而对另外两个条件(一 直线在平面内,另一直线在平面外)忽视,大多数情况下这两个条 件在作图(添加辅助线)时就可以清楚地表达出来,一般不需单独证 明,而本题作图过程看不出 D1G?平面 BB1D1D 的理论依据,而且 题设条件“E 是 BC 的中点”没有用到,而没有这一条件,结论会 成立吗?比如把 E 点移到 B 点,显然结论不成立.

正确证明: 连接 C1E,并延长交 B1B 的延长线于 G,连接 D1G,因为 C1C ∥B1B,E 是 BC 的中点, 所以 E 是 C1G 的中点.在△C1D1G 中,F 是 D1C1 的中点,E 是 C1G 的中点,所以 EF∥D1G. 而 EF?平面 BB1D1D,D1G?平面 BB1D1D,所以 EF∥平面 BB1D1D.

纠错心得: (1)线与线的平行,不能凭直觉判断,直观图中的线线关系, 往往造成视觉上的错误. (2)面面平行的判定是通过线面平行来实现的,不能“越级”, 事实上,这里也易出现错解,要证明两个平面平行,只要证明一个 平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 即可.

课堂总结 1.判定直线和平面平行的主要依据是判定定理,它是通过线 线平行来判定线面平行, 从而将空间问题转化为平面问题, 在应用 该定理证线面平行时,三个条件 a∥b,a?α,b?α 缺一不可. 2.利用判定定理证明两个平面平行,必须具备:①一个平面 内有两条直线平行于另一个平面. ②这两条直线必须相交. 定理中 要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字. 由此定理还可以 得到一个推论: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.由此可见,线线平 行?线面平行?面面平行.其中证明线线平行是基础,也是关键.


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