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山东省等比数列求和教案


等比数列的前 n 项和
1.知识与技能目标: 1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。 2)通过对公式的推导,对学生渗透分类讨论思想以。 2 过程与方法目标: 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力;体会公式探求中从特 殊到一般的数学思想,同时渗透如上所说的数学思想。 3.情感与态度目标: 通过公式的推导与简单应用,激发学生求知欲,鼓励学生大

胆尝试,敢于探索、创新的 学习品质。 二 教学重点: 等比数列项前 n 和公式的推导与简单应用。 三 教学难点: 等比数列 n 项和公式的推导。 四、教学过程分析 1 复习等比数列的相关知识: (1)等比数列的定义以及数学表达式(2)等比数列的通项公式(3)等比中项以及各项之 间的关系 2 创设情境,提出问题在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大 舍罕为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的 64 个方格上,第 一格放 1 粒小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第 64 格.国王觉得太容易了,就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国 王大吃一惊.为什么呢?大家想一下,这个国王能够满足宰相的要求吗? 【教师提问】 同学们, 你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数. 带着这样的问题, 学生会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时我对他们的 这种思路给予肯定. 3 学生探究,解决情境 在 肯 定 他 们 的 思 路 后 , 我 接 着 问 : 1 , 2 , 22 , … , 263 是 什 么 数 列 ? 有 何 特 征 ? 应归结为什么数学问题呢? 探讨 1: 设 s = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ? ? ? + 2 63 ,记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联 64 系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项, (1)式两边同乘以 2 则 有 2 s 64 = 2 + 2 2 + 2 3 + ? ? ? + 2 63 + 2 64 ,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 【设计意图】 留出时间让学生充分地比较, 等比数列前 n 项和的公式推导关键是变 “加” 为“减” ,在教师看来这是很显然的事,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应 着力在这儿做文章,从而培养学生的辩证思维能力. 解决情境问题:经过比较、研究,学生发现: 、 (1)(2)两式有许多相同的项,把两式
64 ?1 相减,相同的项就可以消去了,得到: s 64 ? 2 。老师强调指出:这就是错位相减法,并要

1

求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢? 【设计意图】经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁了, 让学生在探索过程中, 充分感受到成功的情感体验, 从而增强学习数学的兴趣和学好数学的 信心,同时也为推导一般等比数列前 n 项和提供了方法。 4 类比联想,解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化,设等比数列为 项和?让学生自主完成,然后对个别学生进行指导。 一般等比数列前 n 项和: 即 错位相减法
? S ? a ? a q ? a q 2 ? ? a q n ? 2 ? a q n ?1 ? n 1 1 1 1 1 ? 2 3 n ?1 n ? qS n ? a 1 q ? a 1 q ? a 1 q ? ? a 1 q ? a1 q ?

?a n ? ,公比为 q,如何求它的前 n

S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? ? a n ?1 ? a n ? ?
S n ? a1 ? a1 q ? a1 q
2

? ? a1 q

n?2

? a1 q

n ?1

? ?

? (1 ? q ) S n ? a 1 ? a 1 q

n

?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是什么数列?此时 sn=?
? a (1 ? q n ) 1 ? ? 1? q ? ? ? ? na 1 ? q ?1 q ?1

Sn

在学生推导完成之后,我再问:由

(1 ? q ) S n ? a 1 ? a 1 q

n

Sn ?

a1 ? a1 q 1? q

n



【设计意图】在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学 生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感。 5 例题讲解,形成技能 例 1.求和
1? a ? a ? a ?? a
2 3 n

例 2.求等比数列

1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

的第 5 项到第 10 项的和.

方法 1: 观察、发现: . 方法 2: 此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成一个新的等比数列:首项为
a 5 ? 16

a 5 ? a 6 ? ? ? a 10 ? S 10 ? S 4

,公比为 q ? 2 ,项数为 n ? 6 . 的前 n 项和.

变式 变式

1 1 1 1 1 1 , ,3 , 4 2 ,5 ? 1:求 2 4 8 16 32 2 3 4 5 , , , , ? 2 4 8 16 32 2:求 1

的前 n 项和.

【设计意图】采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形

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成.通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生自主学习的意识.解题时,以学 生分析为主,教师适时给予点拨。 6 总结归纳,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再 从知识点及数学思想方法两方面总结。 【设计意图】以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力。 7 课后作业,分层练习 必做: P129 练习 3(1)习题 3.5 第 1 题

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