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圆锥曲线练习题 (2)


圆锥曲线 1. 椭圆 定义

| PF1 | ? | PF2 | ? 2a ( 2a ? | F1F2 | )
y P 图形 y

F2 F2
x P O x

F1

O

F1

标准方程 长轴短轴 焦距 离心率 关系式 焦点坐标

/>
x2 y 2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a 2 b2
2 a 、 2b 2c

y2 x2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a2 b2

0?e?

c ?1 a

a2 ? b2 ? c2
F1 (?c,0) F2 (?c,0) A1 (?a,0) A2 (a,0) F1 (0,?c) A1 (0,?a) B1 (?b,0) F2 (0,?c) A2 (0, a) B2 (b,0)

顶点坐标

B1 (0,?b) B2 (0, b)
2. 双曲线 定义

| | PF1 | ? | PF2 | | ? 2a ( 2a ? | F1F2 | )
Y

Y

F2

图形

l

F1

o

F2 X

l

o

B1

X

B1

F1

标准方程

x2 y 2 ? ? 1?a ? 0,b ? 0? a 2 b2

y2 x2 ? ? 1?a ? 0,b ? 0? a2 b2

实轴虚轴 焦距 离心率 关系式 焦点坐标 顶点坐标 渐近线 方程

2 a 、 2b 2c c e ? ?1 a

c2 ? a 2 ? b2
F1 (?c,0) F2 (?c,0) A1 (?a,0) A2 (a,0)
y?? b x a

F1 (0,?c) A1 (0,?a)
y??

F2 (0,?c) A2 (0, a)
a x b

3. 抛物线 定义

| PF |? dP?l

图形

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?
P F ( ,0 ) 2 P x?? 2

? p ? 0?
e ?1

? p ? 0?
P F (0, ) 2 P y?? 2

? p ? 0?
P F (0,? ) 2 P y? 2

离心率 焦点坐标 准线方程

F (?

P ,0 ) 2 P x? 2

(2009 年高考广东卷第 11 小题) 巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 【解析】 e ?
3 ,且 G 上一点到 G 的 2



x2 y2 3 ? ? 1. , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 36 9 2
3 ,在双曲线 C 的方程是 2

(2013 年高考广东卷第 7 题) 7. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 ( )

x2 y 2 ? ?1 A . 4 5
D.

x2 y 2 B. ? ?1 4 5

x2 y 2 C. ? ?1 2 5

x2 y 2 ? ?1 2 5
3 ,所以 a ? 2 ,从而 a 2 ? 4 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ,故选 B. 2

【解析】B;依题意 c ? 3 , e ?

(2014 年高考广东卷第 4 题 )4 . 若实数 k 满 足 0 ? k ? 9 , 则曲 线
x2 y2 ? ? 1的 D 25 ? k 9
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等

x2 y2 ? ? 1 与曲 线 25 9 ? k

D.焦距相等

(2007 年高考广东卷第 11 小题) 在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A ( 2 , 1 ) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0)的焦点,则该抛物线的准线方程是
【解释】线段 OA 的垂直平分线方程为 y ?

.

5 1 5 ? ?2( x ? 1) ? F ( , 0) ? 准线方程 x ? ? 4 2 4

大题: (2013 年高考广东卷第 20 题) 已知抛物线 C 的顶点为原点 , 其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为
3 2 . (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; 2

【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x2 ? 4cy ,由 解得 c ? 1 . x2 ? 4 y
一、选择题:

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 , 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛 1.【2014 年上海卷(理 03) 】若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 9 5
2

物线的准线方程为

.

【答案】 x ? ?2

【解析】 :椭圆右焦点为 (2, 0) ,即抛物线焦点,所以准线方程 x ? ?2 2.物线 y ? 4ax (a ? 0) 的焦点坐标为(B
2



A

(

1 ,0 ) 4a

B

(0,

1 ) 16 a

C

(0,?

1 ) 16 a

D

(

1 ,0 ) 16 a


x2 y2 4 3. (2006 全国 II)已知双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为( 3 a2 b2 5 (A) 3 4 (B) 3 5 (C) 4 3 (D) 2

3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的 4.【2014 年北京卷(理 11) 】设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 4
方程为________;渐近线方程为________. 【答案】 y=±2x

【解析】与

﹣x =1 具有相同渐近线的双曲线方程可设为

2

﹣x =m, (m≠0) ,

2

∵双曲线 C 经过点(2,2) ,∴m=



即双曲线方程为

﹣x =﹣3,即

2

,对应的渐近线方程为 y=±2x,

故答案为: 5.若 k ? R则" k ? 3"是" 方程 A 充分不必要条件

,y=±2x

x2 y2 ? ? 1表示双曲线 "的 ( A k ?3 k ?3
C 充要条件 D

)

B 必要不充分条件

既不充分也不必要条件

6.曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
(B) 离心率相等 (C)焦点相同



(A)焦距相等 6.由

(D)准线相同

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆, ? ? 1(5 ? m ? 9) 由 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m

知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。 7. (2006 上海卷)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D (2, 0) ,则求该椭圆的标准方程为 。

7.椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

8、已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴的端点、焦点,则双曲线 C 的方 25 16

程是__

x2 y 2 ? ? 1 __ 9 16

9、已知椭圆与双曲线 椭圆的离心率等于( B

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10 ,那么 4 12
)

A.

3 5

B.

4 5

C.

5 4

D.

3 4

10.

5 3 x2 y 2 ? ? 1 有共同焦点,则椭圆的标准方程是 已知椭圆经过点 ( ? , ? ) 且与另一椭圆 2 2 20 16

_____

x2 y 2 ? ? 1 _______________. 10 6

x2 8. (2006 全国 II)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭 3 圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 8. (数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得 ?ABC 的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C

9.【2014 年全国大纲卷(06) 】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离 a 2 b2


心率为

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( 3
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 3 2

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

【答案】A 【解析】∵△AF1B 的周长为 4 ,∴4a=4 ,∴a= ,∵离心率为 ,

∴c=1,∴b= A. .

=

,∴椭圆 C 的方程为

+

=1.故选:A

10.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 10) 】已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一
2

点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =

A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

【答案】 :C 【解析】 :过 Q 作 QM⊥直线 L 于 M,∵ FP ? 4FQ ∴

QM PQ 3 PQ 3 ? ,又 ? ? ,∴ QM ? 3 ,由抛物线定义知 QF ? QM ? 3 4 PF 4 PF 4

11.【2014 年全国大纲卷(09) 】已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在 C 上,若

| F1 A |? 2 | F2 A | ,则 cos ?AF2 F1 ? (



A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

【答案】A 【解析】∵双曲线 C 的离心率为 2,∴e= ,即 c=2a,

点 A 在双曲线上,则|F1A|﹣|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|, ∴解得|F1A|=4a,|F2A|=2a,||F1F2|=2c,则由余弦定理得 cos∠ AF2F1= = =

,故选:A

所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . (2011 年高考广东卷第 8 小题) 设圆 C与圆x2 ? ( y ? 3)2 ? 1外切,与直线y ? 0相切,则圆C的圆心轨迹为 A A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆

(2011 年高考广东卷第 19 题) (本小题满分 14 分) 设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y2 ? 4,( x ? 5)2 ? y2 ? 4 中的一个内切,另一个外切。 (1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 解: (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F1 (? 5, 0) 、 F2 ( 5, 0) , 由题意得 R ?| CF1 | ?2 ?| CF2 | ?2 或 R ?| CF2 | ?2 ?| CF1 | ?2 ,

? || CF1 | ? | CF2 ||? 4 ? 2 5 ?| F1F2 | ,
可知圆心 C 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的双曲线,设方程为
x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 b2 x2 ? y 2 ? 1. 4

2a ? 4, a ? 2, c ? 5, b2 ? c2 ? a2 ? 1, b ? 1,所以轨迹 L 的方程为

(2014 年高考广东卷第 20 题)
20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程。

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5,0) , 离心率为 , 2 a b 3

20.解: (1)可知 c ? 5 ,又 椭圆 C 的标准方程为

c ? 5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , a 3

x2 y 2 ? ? 1; 9 4

(2)设两切线为 l1 , l2 , ①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ; ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

k

l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立

x2 y 2 ? ? 1, 9 4

得 (9k 2 ? 4) x2 ? 18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 , 因为直线与椭圆相切,所以 ? ? 0 ,得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,

??36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 , ?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0
所以 k 是方程 ( x0 ? 9) x ? 2x0 y0 x ? y0 ? 4 ? 0 的一个根,
2 2 2

同理 ? 1 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根,

k

y 2 ?4 ,得 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 , ? k ? (? 1 ) ? 0 2 k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 ( x ? ?3 ) , 因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 .

(2007 年高考广东卷第 18 小题) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切 于坐标原点 O ,椭圆 为 10 . (1)求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)(m<0,n>0)
n ? ? ?1 ? m 依题意可得 ? ? m2 ? n2 ? 2 2 ?

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和 a2 9

?m ? ?2 解得 ? ? n?2

?所求的圆的方程为
(2) 由已知可得
2a ? 1 0

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

?

a?5

?

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 , 25 9

右焦点为

F( 4, 0);

?( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 2) 2 ? 8 ? 4 12 设 Q( x0 , y0 ) , 依 题 意 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 解 得 x0 ? , y0 ? 或 ? 0 0 ? 5 5

x0 ? 0, y0 ? 0 (舍去)

?存在点 Q( 4 , 12 )
5 5


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