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广东省中山一中2013届高三高考模拟数学文试题 Word版含答案(2013高考)

时间:2013-05-29


中山一中 2013 年高考文数模拟试题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z 的实部是 ? 1 , 虚部是 2 , 其中 i 为虚数单位, 则
1 z

在复平面对应的点在 (



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 数列 { a n } 是等差数列, S n 是它的前 n 项和,若 S 3 ? 12 , S 5 ? 30 , 那么 S 7 = A.43 3.“ a ? A.充分不必要条件 C.充要条件 B.54
2

C.48
2

D.56 )

2 ”是“直线 l : y ? x ? a 和圆 C : x ? y ? 1 相切”的(

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是等腰 直角三角形,则该几何体的体积为 ( ) A.
16 3

B. 8

C. 1 6
????

D.

8 3

5.如图,在 ? A B C 中,已知 BC ? 3 DC ,则 A D ?
2 3 AB ? 1 3




A

A.

AC

B.

2 3

AB ?

1 3

AC

C.

? 2 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3

D.

? 2 ???? 1 ??? AB ? AC 3 3

B

D

C

6.若 f ( x ) ? ?

x ?1 ? ln ( 0 < x < 2 ) , 若 f ( m ) ? 2, 则 m的 值 为 ( 2 x( x ? 2 ) ?


1 e

A. e

B. 2
m 3a ? b ?

C.
3 a ?

1 e 1 b

D.

2 或

7.已知 a ? 0 , b ? 0 ,若不等式 A.4 B.16

? 0 恒成立,则 m 的最大值等于(



C.9

D.3

2 x 8.函数 f ( x ) ? x ? x ? b ,函数 g ( x ) ? e ? f ?( x ) 的零点所在的区间是 ( k , k ? 1) ( k ? Z ),

则 k 的值等于 ( )Ks5u A. ? 1 B. 0

C. 1

D. 0 或 1

9.有下列四种说法: ①命题“ ? x 0 ? R , 使 得 x 0 ? x 0 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R , 都 有 x ? x ? 0 ” ;
2
2

②“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件; ③“若 am
2

? bm , 则 a ? b ”的逆命题为真;
2

④若实数 x , y ? [0,1] ,则满足: x ? y ? 1 的概率为
2 2

?
4

.

其中错误的个数是( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 10.对于定义域和值域均为 [0 ,1] 的函数 f ( x ) ,定义
f1 ( x ) ? f ( x )



f 2 ( x ) ? f ( f 1 ( x ))







f n ( x ) ? f ( f n ? 1 ( x )) ,n=1,2,3,….满足 f n ( x ) ? x 的点 x ? [0 ,1] 称为 f 的 n 阶周期点.设

? 2 x, ? ? f (x) ? ? ? 2 ? 2 x, ? ?

0? x? 1 2

1 2

,

则 f 的 3 阶周期点的个数是( )

? x ? 1,

A.4 B.6 C. 8 D.10 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. (一)必做题(11~13 题) 11.双曲线
y ? ?
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a . ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线为

开始 . .
1 ? an 1 ? an

3 x ,双曲线的离心率为

12.如图,该程序运行后输出的结果是 13.已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 2 ,a n ? 1 ?

A=1,S=0
*

(n ? N ) , A>15? 否 S=S+1



则 a 3 的值为 为 .

, a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 0 1 3 的值

输出 S

(二)选做题(14~15 题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,△ABC 中,D、E 分别在边 AB、AC 上,CD 平分∠ACB,DE∥BC,如果 AC=10,BC=15,那么 AE=___________. 15.(坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 直,则常数 k = .
? x ? 1 ? 2t ? y ? 2 ? 4t

A=A+2

结束

(t 为参数)与直线 3 x ? ky ? 2 ? 0 垂

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知 a ? (sin(
? ? 函数 f ( x ) ? a ? b .
?

?
2

? ? x ), cos( ? ? x )), b ? (cos x , ? sin x ) ,

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ? ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A ) ? 1 , B C ? 2 , B ?
?
3

,求 A C 边的长.

型号

A 样式

B 样式

C 样式

17.(本小题满分 12 分) 一车间生产 A, B, C 三种样式的 LED 节能灯,每种 样式均有 10W 和 30W 两种型号,某天的产量如 右表(单位:个):

10W 30W

2000 3000

z 4500

3000 5000

按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取 100 个, 其中有 A 样式灯泡 25 个. 求 z 的值; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)

(2)用分层抽样的方法在 A 样式灯泡中抽取一个容量为 5 的样本,从这个样本中任取 2 个 灯泡,求至少有 1 个 10W 的概率. 18.(本小题满分 14 分) 矩形 A B C D 中,2 AB ? AD ,E 是 A D 中点,沿 B E 将 ? A B E 折起到 ? A B E 的位置,使
'

A C ? A D , F 、 G 分别是 B E 、 C D 中点.
' '

(1)求证: A ? F ⊥ CD ; (2)设 AB ? 2 ,求四棱锥 A ? ? BCDE 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系上,设不等式
?x ? 0 ? ? ( n ? N ) 表示的平面区域为 D n ,记 组?y ? 0 ? y ? ? 2 n ( x ? 3) ?

D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 a n .

(1)求出 a 1 , a 2 , a 3 的值(不要求写过程) ; (2)求数列 { a n } 的通项公式; (3)令 bn=
1 a n a n ?1

(n∈N*) ,求 b1+b2+?+bn.
1 3 a 2 x ? 2x ?a ? R ? .
2

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?

x ?
3

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f ? ( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0 , ?
? ? 1? ? 可作函数 y ? f 3?

? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.
2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x a

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F ( ?

2 , 0 ) ,离心率

e=

2 2

,M、N 是椭圆上的的动点。 (Ⅰ)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

求 椭

圆标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: O P ? O M ? 2 O N ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
??? ? ???? ? ????
1 2

,问:是否存

在定点 F1 , F 2 ,使得 P F1 ? P F 2 为定值?,若存在,求出 F1 , F 2 的坐标,若不存在, 说明理由。 (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A ,连接 N A 并延长交椭圆于点 B ,证明: M N ? M B ;

中山一中 2013 年高考文数模拟试题答题卷
班级
一、选择题 二、填空题 11. 12. 13. ;

姓名

登分号

14. 15. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?

1 3

x ?
3

a 2

x ? 2x ?a ? R ? .
2

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f ? ( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围; (3)若过点 ? 0 , ?
? ? 1? ? 可作函数 y ? f 3?

? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F ( ?

2 , 0 ) ,离心率

e=

,M、N 是椭圆上的的动点。

(Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: O P ? O M ? 2 O N ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
??? ? ???? ? ????
1 2

,问:是否存

在定点 F1 , F 2 ,使得 P F1 ? P F 2 为定值?,若存在,求出 F1 , F 2 的坐标,若不存在, 说明理由。 (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A ,连接 N A 并延长交椭圆于点 B ,证明: M N ? M B ;

Ks5u

中山一中 2013 年高考文数模拟试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1. C 2. D 3. A 4. B 5. C 6.C 7.B 8.C 9. B 10.C 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11. 2; 12.8 ; 13. ?
1 2 , (2 分)

2 (3 分) ;

14.4 ;

15. 6

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分)已知 a ? (sin(
? ? 函数 f ( x ) ? a ? b .
?

?
2

? ? x ), cos( ? ? x )), b ? (cos x , ? sin x ) ,

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;Ks5u (2)在 ? ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A ) ? 1 , B C ? 2 , B ? 16 解: (1) 由题设知 f ( x ) ? s in (
? f ( x ) ? c o s x ? s in x c o s x ?
2

?
3

,求 A C 边的长.

?
2

? x ) c o s x ? s in x c o s ( ? ? x )

(2 分)
?
4 )? 1 2 ??4 分
2

2 2

s in ( 2 x ?

?T ? ?

?6 分
2

(2)

? f ( A ) ? co s A ? sin A co s A ? 1
2

? sin A co s A ? 1 ? co s A ? sin A

? sin A ? co s A

? A ?
AC sin

?
4

????????8 分
?
4

AC s in B

?

BC s in A

?
3

?

2 sin

AC ?

6

???????????12 分 17.(本小题满分 12 分) 一车间生产 A, B, C 三种样式的 LED 节能灯,每种样式均有 10W 和 30W 两种型号,某天的产量 如右表(单位:个): 按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取 100 个, 其中有 A 样式灯泡 25 个. 求 z 的值; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)用分层抽样的方法在 A 样式灯泡中抽取一个容量为 5 的样本,从这个样本中任取 2 个 灯泡,求至少有 1 个 10W 的概率. (1)

型 号

A 样式 B 样式 C 样式

17 解: (1).设该厂本月生产的 B 样式的灯 在 C 样式的灯泡中抽取 x 个,由题意得,
25 5000 ? x 8000 ,,

10 W

2000

z

3000

泡为 n 个,

所以 x=40. 则 100-40-25=35, 所以,
25 5000 ? 35 n , n=7000,

-----------2 分

故 z=2500

------6 分

(2) 设所抽样本中有 m 个 10W 的灯泡, 因为用分层抽样的方法在 A 样式灯泡中抽取一个容量为 5 的样本, 所以
2000 5000 ? m 5 , ,解得 m=2

-----------8 分

也就是抽取了 2 个 10W 的灯泡,3 个 30W 的灯泡, 分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 个的所有基本事件为 (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共 10 个, (10 分) (11 分)

其中至少有 1 个 10W 的灯泡的基本事件有 7 个基本事件:

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 个, 至少有 1 个 10W 的灯泡的概率为
7

.

-----------12 分

10 18.(本小题满分 14 分) 矩形 A B C D 中, 2 AB ? AD ,

E 是 A D 中点,沿 B E 将 ? A B E 折起到 ? A B E 的位置,
'

使 A C ? A D , F 、 G 分别是 B E 、 C D 中点.
' '

(1)求证: A ? F ⊥ CD ; (2)设 AB ? 2 ,求四棱锥 A ? ? BCDE 的体积. 18(1)证明:矩形 A B C D 中,∵ F 、 G 分别是 B E 、
C D 中点 ? FG ? BC

? ????? 1 分
? ????? 2 分
'

? FG ? CD
∵AC ? AD
'

? ? ? ? ?3 分 ? ? ????? 4 分
'

? A G ? CD
'

? C D ? 平面 A G F
'
'

? ????? 6 分

又 A F ? 平面 A G F ? ? ? ? ? ? 7 分

? C D ? A'F ? ? ? ? ? ? 8 分 (2)∵ AB ? 2 ? BC ? 4 , ED ? 2 ? 在等腰直角三角形 A ? B E 中, A ? F ?
2 且 A ?F ? B E ? ? ? ? ? ? 9 分

∵ C D ? A F 且 B E 、 C D 不平行 ? A ? F ? 平面 B C D E
'

? ? ? ? ? ? 10 分
1 3 A F ? S 四边形
' BCDE

? 几何体 A ' ? B C D E 的体积 V A ? BCDE ?

?

1

?

2?

2?4

?2 ? 2

2

3 2 ? ? ? ? ? ? 14 分

?x ? 0 ? ? ( n ? N ) 表示 19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ? 2 n ( x ? 3) ?

的平面区域为 D n ,记 D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 a n . (1)求出 a 1 , a 2 , a 3 的值(不要求写过程)(2)求数列 { a n } 的通项公式; ; (3)令 bn=
1 a n a n ?1

(n∈N*) ,求 b1+b2+?+bn.

19. 解: (1) a 1 ? 9 , a 2 ? 15 , a 3 ? 21 ; (2)由 x ? 0, y ? 0, ? 2 n ( x ? 3) ? y 得
0? x?3

………………3 分 …………4 分

所以平面区域为 D n 内的整点为点(3,0)与在直线 x ? 1 和 x ? 2 上,…………5 分 直线 y ? ? 2 n ( x ? 3 ) 与直线 x ? 1 和 x ? 2 交点纵坐标分别为 y 1 ? 4 n 和 y 2 ? 2 n ……6 分
Dn

内 在 直 线 x ? 1和 x ? 2 上 的 整 点 个 数 分 别 为 …………………9 分
1 6 ( n ? 1) ? 3

4n+1



2n+1,

a n ? ( 4 n ? 1) ? ( 2 n ? 1) ? 1 ? 6 n ? 3
1 a n a n ?1 1 1

(3)∵bn=

?

6 6n ? 3

(

?

)

……………10 分

? b1+b2+?+bn
? 1 6
? 1 (

[(

1 6 ?1 ? 3
1 ?

?

1 6?2 ? 3
1

)?(

1 6?2 ? 3
n

?

1 6?3? 3

)+ (

1 6?3? 3

?

1 6?4 ? 3

)+ ? ? ? + (

1 6n ? 3

?

1 6 ( n ? 1) ? 3

)]

6 6 ?1 ? 3

6 ( n ? 1) ? 3

) ?

2 7 ( 2 n ? 3)

………………………14 分
1 3 x ?
3

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?

a 2

x ? 2x ?a ? R ? .
2

(1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f ? ( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立,求实数 a 的取值范围;

(3)若过点 ? 0 , ?
?

?

1? ? 可作函数 y ? f 3?

? x ? 图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.
1 3 x ?
3

20.解: (1)当 a ? 3 时, f ? x ? ? ?
2

3 2

x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x ? 3 x ? 2 .?1 分
2

2

因为 f ' ? x ? ? ? x ? 3 x ? 2 ? ? ? x ? 1 ? ? x ? 2 ? , 所以当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增; 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减. 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 1, 2 ? , 单调递减区间为 ? ? ? ,1 ? 和 ? 2 , ? ? ? . ???4 分 (2)方法 1:由 f ? x ? ? ?
1 3 x ?
3

a 2

x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x ? a x ? 2 ,
2

2

因为对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f '( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立, 即对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 ? x ? a x ? 2 ? 2 ( a ? 1) 成立,
2

即对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 x ? a x ? 2 a ? 0 成立,????6 分
2

令 h ? x ? ? x ? ax ? 2a ,
2

要使对任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 h ? x ? ? 0 成立,
? ? ? 0, ? ?a ??????????????????8 分 ? ? 1, 2 ? ? h ?1 ? ? 0 . ?

必须满足 ? ? 0



即 a ? 8a ? 0
2



? a ? 8 a ? 0, ? ?a ????????????9 分 ? ? 1, ?2 ?1 ? a ? 0 . ?
2

所以实数 a 的取值范围为 ? ? 1, 8 ? .?????????10 分 方法 2:由 f ? x ? ? ?
1 3 x ?
3

a 2

x ? 2 x ,得 f ' ? x ? ? ? x ? a x ? 2 ,
2

2

因为对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 f '( x ) ? 2 ( a ? 1) 成立, 所以问题转化为,对于任意 x ? ?1, ? ? ? 都有 ? f '( x ) ? m ax ? 2 ( a ? 1) .???6 分

因为 f ? ? x ? ? ? ? x ?
?

?

a? a a ? 2 ,其图象开口向下,对称轴为 x ? . ? ? 2? 4 2

2

2

①当

a 2

? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 ?1, ? ? ? 上单调递减,

所以 f ' ? x ? m ax ? f ' ? 1 ? ? a ? 3 , 由 a ? 3 ? 2 ? a ? 1 ? ,得 a ? ? 1 ,此时 ? 1 ? a ? 2 .??????7 分 ②当
a
? a? ?a ? ? 1 时,即 a ? 2 时, f ' ? x ? 在 1, 上单调递增,在 ? , ? ? ? 上单调递减, ? 2? 2 2 ? ? ? ?

所以 f ' ? x ? m a x ? f ' ?
2

?a? a ?2, ?? 4 ?2?

2



a

4

? 2 ? 2 ? a ? 1 ? ,得 0 ? a ? 8 ,此时 2 ? a ? 8 .??8 分

综上①②可得,实数 a 的取值范围为 ? ? 1, 8 ? .?????10 分 (3)设点 P ? t , ?
? ? 1 3 t ?
3

a

? 2 t ? 2 t ? 是函数 y ? f 2 ?
2

? x ? 图象上的切点,

则过点 P 的切线的斜率为 k ? f ' ? t ? ? ? t ? a t ? 2 , 所以过点 P 的切线方程为 y ?
? ? 1? ? 在切线上, 3?

1 3

t ?
3

a 2

t ? 2 t ? ? ? t ? a t ? 2 ? ? x ? t ? .???11 分
2 2

因为点 ? 0 , ? 所以 ? 即
2 3
? ?
3

1 3

? 1 2

1 3

t ?
3 2

a 2 1 3

t ? 2t ? ? ? t ? at ? 2 ? ? 0 ? t ? ,
2 2

t ?

at ?

? 0 .?????12 分

若过点 ? 0 , ? 则方程
2 3
3

1? ? 可作函数 y ? f 3?

? x ? 图象的三条不同切线,

t ? 2 3
2

1 2

at ?
2

1 3

? 0 有三个不同的实数解.?????13 分 1 3

令 g ?t ? ?

t ?
3

1 2

at ?
2

,则函数 y ? g ? t ? 与 t 轴有三个不同的交点.
a 2

令 g ? ? t ? ? 2 t ? a t ? 0 ,解得 t ? 0 或 t ?



因为 g ? 0 ? ?

1 3

,g ?

1 3 1 ?a ? a ? , ?? ? 24 3 ?2?

所以必须 g ?

1 3 1 ?a? a ? ? 0 ,即 a ? 2 . ?? ? 24 3 ?2?

所以实数 a 的取值范围为 ? 2 , ? ? ? .?????14 分
x a
2 2
2 2

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F ( ?

2 , 0 ) ,离心率

e=

,M、N 是椭圆上的的动点。

(Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: O P ? O M ? 2 O N ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
??? ? ???? ? ????
1 2

,问:是否存

在定点 F1 , F 2 ,使得 P F1 ? P F 2 为定值?,若存在,求出 F1 , F 2 的坐标,若不存在, 说明理由。 (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A ,连接 N A 并延长交椭圆于点 B ,证明: M N ? M B ;
?c ? ? 21.解: (Ⅰ)由题设可知: ? c ? ? ?a
2 2 2

2 2 ? a ? 2, c ? 2 2 ……………………………2 分

故 b ? a ? c ? 2 ……………………………3 分
x
2

故椭圆的标准方程为:

?

y

2

? 1 ……………………………4 分

4

2

(Ⅱ)设 P ( x p , y P ), M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,由 O P ? O M ? 2 O N 可得:
? x P ? x1 ? 2 x 2 .............① ……………………………5 分 ? ? y P ? y1 ? 2 y 2

??? ?

???? ?

????

由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?
y1 y 2 x1 x 2 ? ? 1 2

1 2

可得:

,即 x1 x 2 ? 2 y 1 y 2 ? 0 ............② ……………………………6 分
2 2

由①②可得: x P ? 2 y P ? ? x1 ? 2 x 2 ? ? 2 ? y 1 ? 2 y 2 ? ? ( x1 ? 2 y 1 ) ? 4 ( x 2 ? 2 y 2 )
2 2 2 2 2 2

M、N 是椭圆上,故 x1 ? 2 y 1 ? 4, x 2 ? 2 y 2 ? 4
2 2 2 2

故 x P ? 2 y P ? 2 0 ,即
2 2

xP 20

2

?

yP 10

2

? 1 ……………..8 分

由椭圆定义可知存在两个定点 F1 ( ? 1 0 , 0 ), F 2 ( 1 0 , 0 ) , 使得动点 P 到两定点距离和为 定值 4 5 ;……………………………….9 分; (Ⅲ)设 M ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 由题设可知 x1 ? 0, y1 ? 0, x 2 ? 0, y 2 ? 0, x1 ? x 2 , A ( x1 , 0 ), N ( ? x1 , ? y 1 ) ……10 分 由题设可知 l A B 斜率存在且满足 k N A ? k N B ?
y2? x 2? x y1 2 x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

………….③

kM N? k

M B

?1?

y1 x1

?

y1 ? 1 . . . . ④. …………………12 分 . ...
1

将③代入④可得:
k MN ? kMB ? 1 ? 2 ( y 2 ? y1 ) x 2 ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ?1? ( x 2 ? 2 y 2 ) ? ( x1 ? 2 y 1 )
2 2 2 2

x 2 ? x1
2

2

……⑤……13 分

点 M , B 在椭圆

x

2

?

y

2

? 1 ,故

4
2

2
2 2 2

kMN ? kMB ? 1 ?

( x 2 ? 2 y 2 ) ? ( x1 ? 2 y 1 ) x 2 ? x1
2 2

?

4?4 x 2 ? x1
2 2

? 0

所以 k M N ? k M B ? 1 ? 0 ? k M N ? k M B ? ? 1 ? M N ? M B …………14 分


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