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最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编10:概率、统计


最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编 10:概率、统计 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、填空题 1 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)一个社会调查

机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所

得数据画了样本的频率分布直方图 (如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中 再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查 , 则在[2500,3000)( 元 ) 月收入段应抽出 ______________人.
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

2 . (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)某校高中生共有 2000 人,其中高一年

级 560 人,高二年级 640 人,高三年级 800 人,现采取分层抽样抽取容量为 100 的样本, 那么高二年级应抽取的人数为________人.
3 . (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) )在如图所示的茎叶图中,

乙组数据的中位数是

;若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 组.

后,两组数据的平均数中较大的一组是
甲 乙

0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3

4 . (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)某工厂生产 A, B, C

三种不同型号的产品,三种产品数量之比依次为 2 : 3 : 4 ,现采用分层抽样的方法从中 抽 出 一 个 容 量 为 n 的 样 本 , 样 本 中 A 型 号 的 产 品 有 16 件 , 那 么 此 样 本 容 量 n ? __________. 5 . (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)某学校高一、高二、高三年级 的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为

50 的样本,则应从高二年级抽取_________名学生.
6 . (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷)某单位共有老、 中、 青职工 430

人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍.为了解职工身体状况, 现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年 职工人数为_______.
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二、解答题 7 . (天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)在某校教师趣

味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球都投进者获奖; 否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.

8 . (天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题(WORD 版) )甲乙等 5 名志愿者被随机分

到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ξ 为这 5 名志愿者咱家 A 岗位的服务的人数,求 ξ 的分布列及期望.

9 . (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某学生在上学路上要经

过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 灯时停留的时间都是 2min. (Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

1 ,遇到红 3

10. (天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学(理)试题)某饮料公司招聘了一名

员工,现对其进行一项测试,以确定其工资级别,公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其 颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后, 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料,若 4 杯都选对,则月工资定为 3500 元,若 4 杯中选对 3 杯, 则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元,令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设 此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求此员工月工资的期望.

11. (天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷)张师傅驾车从公司开往火车站,途径

4 个公交站,这四个公交站将公司到火车站分成 5 个路段,每个路段的驾车时间都是 3 分 钟,如果遇到红灯要停留 1 分钟,假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的,并且概
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率都是

1 3

(1)求张师傅此行时间不少于 16 分钟的概率 (2)记张师傅此行所需时间为 Y 分钟,求 Y 的分布列和均值

12. (2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理) )为加强大学生实践、创

新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽 车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段, 参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序. 通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

13. (天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分 13 分)口袋中有大

小、质地均相同的 9 个球,4 个红球,5 个黑球,现在从中任取 4 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

14. (天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考理科数学)甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定

先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲,乙各胜 1 局.

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(1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 的分布列及数学期望.

15. (天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学(理)试题)甲、乙两人参加某

种选拔测试.规定每人必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进行测试, 在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙只能答对其中的 3 道题. 5

答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概 率.

16. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题)某机构向民间招募防爆犬,

首先进行入围测试,计划考察三个项目:体能,嗅觉和反应.这三个项目中只要有两个通 过测试,就可以入围.某训犬基地有 4 只优质犬参加测试,已知它们通过体能测试的概率 都是 1/3,通过嗅觉测试的概率都是 1/3,通过反应测试的概率都是 1/2.求(1)每只优质 犬能够入围的概率;(2)若每入围 1 只犬给基地记 10 分,设基地的得分为随机变量 ξ ,求 ξ 的数学期望.
17. (天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题)有甲,乙两个盒子,甲盒中装

有 2 个小球,乙盒中装有 3 个小球,每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球 (1)当甲盒中的球被取完时,求乙盒中恰剩下 1 个球的概率; (2) 当第一次取完一个盒子中的球时 ,另一个盒子恰剩下 ? 个球 ,求 ? 的分布列及期望

E? .
18. (天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷) (本小题满分 13 分)甲、乙、

丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分, 没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为

2 1 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率 3 4

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1 . 5

(1)求甲获第一名且丙获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲得分为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

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最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编 10:概率、统计参考答案 一、填空题

25 [来源; 2. 32 3. 84; 乙
1. 4. 5.

【答案】 【答案】15

72

由题意可知 n ? (

2 2n )? ? 16 ,解得 n ? 72 。 2?3? 4 9

解:高二所占的人数比为

3 3 3 ? ,所以应从高二年级抽取 50 ? ? 15 人. 3 ? 3 ? 4 10 10

6.

【答案】18 解:由题意知,中年职工和老年职工共有 270 人,则老年职工人数为 90 人.则抽出老年 职工人数为 x ,则

x 32 ,解得 x ? 18 . ? 90 160

三、解答题 7. 解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.

依条件可知 X~B(6,

2 ). 3
k

?2? P( X ? k ) ? C ? ? ? ?3?
k 6

?1? ?? ? ?3?

6?k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

X 的分布列为: X P 0 1 2 3 4 5 6

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

64 729

(注:每个概率 1 分,列表 1 分,共 8 分,没有过程只列表扣 3 分)

1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ?192 ? 6 ? 64) = ?4. 729 729 2 2 或因为 X~B(6, ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4 3 3 EX ?
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,
2 1 则 P ( A) ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? C4 ? ? ( )5 ? ( ) 6 ?

1 3

2 3

1 3

2 3

2 3

32 . 81

(每个概率计算正确一分,共三分;列一个大式子,若计算错误则无分) 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为

32 . 81
3 A3 1 ? , 2 4 C5 A4 40

8.

解:(1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) ?

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即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

1 .----------4 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 .-----------9 10

(3)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 P (? ? 2) ?
3 C52 A3 1 ? ? ? ? ?10 2 4 C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 2) ?

3 ,------------11 4

? 的分布列是

?
P

1

2

3 4

1 4

E? ?
9.

5 -----------13 4

解:(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯 ,在第三个路口遇到红灯”,所以事 件 A 的概率为 P ? A ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ?

(Ⅱ)由题意,可得 ? 可能取的值为 0,2,4,6,8(单位:min). 事件“ ? ? 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”( k ? 0,1,2,3,4),

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 . ? 3 ? 3 27

?1? ? 2? ∴ P ?? ? 2k ? ? C ? ? ? ? ? k ? 0,1, 2,3, 4 ? , ?3? ? 3? ∴即 ? 的分布列是 ? 0 2 4 6 16 32 8 8 P 81 81 27 81 16 32 8 8 1 8 ∴ ? 的期望是 E? ? 0 ? ? 2? ? 4? ? 6? ? 8? ? . 81 81 27 81 81 3
4 k

k

4?k

8

1 81

10.解:(I)X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4

P( X ? i) ?
即 X

1 4 ?i C4 C4 (i ? 0,1, 2,3, 4) C54

0

1

2

3

4

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P

1 70

16 70

36 70

16 70

1 70

(II)令 Y 表示新录用员工的月工资,则 Y 的所有可能取值为 2100,2800,3500

则P(Y ? 3500) ? P( X ? 4) ? P(Y ? 2800) ? P ( X ? 3) ?

1 70

8 35 53 P(Y ? 2100) ? P ( X ? 2) ? 70 1 16 53 EY ? 3500 ? ? 2800 ? ? 2100 ? ? 2280. 70 70 70
所以新录用员工月工资的期望为 2280 元.

65 ? 1? 11.解:(1) P ? 1 ? ?1 ? ? ? 81 ? 3?
(2) 记 张 师 傅 此 行
k

4




4? k













X,



? 1? k?1? ? 2? X ~ B? 4, ?, P( X ? k ) ? C 4 ? ? ? ? ? 3? ?3? ? 3?
的分布列为 Y P 15 16

, k ? 0,1,2,3,4 ,依题意, Y ? X ? 15 ,则 Y

17

18

19

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

1 49 ? 15 ? 3 3 12.解: (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,则 2 ? 3! 1 P ? A? ? ? . 5! 10 1 所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 .???????3 分 10
Y 的均值为 E (Y ) ? E ( X ? 15) ? E ( X ) ? 15 ? 4 ?
(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 .

2 ? 4! 2 ? , 5! 5 3 ? 2 ? 3! 3 , P ? X ? 1? ? ? 5! 10 2 ? 2!? 3 ? 2! 1 P ? X ? 2? ? ? , 5! 5 2 ? 3! 1 P ? X ? 3? ? ? . ?????.11 分 5! 10 随机变量 X 的分布列为: P ? X ? 0? ?

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2 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 , 5 10 5 10 所以 随机变量 X 的数学期望为 1 .?????.13 分
因为 EX ? 0 ? 13.

14.解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是
0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是 2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是 0.36+0.288=0.648. (2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为 2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eξ=2*0.52+3*0.48=2.48

15.

【解】设乙的得分为 X , X 的可能值有 0,10, 20,30

P( X ? 0) ?

C33 C6
3

?

1 20
9 ? 20

P( X ? 10) ?

C32C31 C6
3

?

9 20

P( X ? 20) ?

C31C32 C6
3

P( X ? 30) ?

C33 C6
3

?

1 20

乙得分的分布列为:

X

0

10

20

30

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P

1 20

9 20

9 20

1 20

EX ? 0 ?

1 9 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 15 20 20 20 20

所以乙得分的数学期望为 15 (2) 乙通过测试的概率为

1 9 1 ? ? 20 20 2
2

甲通过测试的概率为( ) ? C3 ( )
3

3 5

3 5

2

2 81 ? 5 125

甲、乙都没通过测试的概率为(1 ?

1 81 22 ) ? (1 ? )? 2 125 125 22 103 ? 125 125

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1 ?
16.解:(1)每只优质犬入围概率相等:

p= ? ?

1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3

(2)ξ 的取值为 0,1,2,3,4

1 4 4 40 ) Eξ = Eη = ? 10 ? 3 3 3 3 3 2 1 2 1 1 17.解:(1) P ? C3 ( ) ? ? ? 2 2 2 16
服从 ξ ~B(4, (2) ? ? 1, 2,3

1 3 1 3 1 1 4 1 1 3 P(? ? 1) ? C32 ( ) 4 ? C3 ( ) ? P(? ? 2) ? ( )3 ? C2 ( ) ? 2 2 8 2 2 8 1 2 1 15 P(? ? 3) ? ( ) ? E? ? 2 4 8 2 1 1 18.解: (1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,所以甲获第一的概率为 ? ? 3 4 6
丙获第二,则丙胜乙,其概率为 1 ?

1 4 ? , 5 5 1 4 2 ? ? 6 5 15

所以甲获第一名且丙获第二名的概率为 (2) ? 可能取的值为 0,3,6.

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2 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? 3 4 4 P(? ? 3) ? P(? ? 6) ? 2 1 1 2 7 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12 2 1 1 ? ? 3 4 6

所以 ? 的分布列为

?
P E? = 0 ?

0

3

6

1 4

7 12

1 6

1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? 4 12 6 4

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