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求数列通项公式的十种方法

时间:2014-03-11


总述:求数列通项的方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、 一、累加法 适用于: an?1 ? an ? f (n)

转换成 an?1 ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项 ①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②

若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an .

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 解;由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1得 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1

练 习 1. 已 知 数 列 答案: n ? n ? 1
2

?an ?

的 首 项 为 1 , 且

an?1 ? an ? 2n n ( ? N * )写 出 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 .

练 习 2. 已 知 数 列

{an } 满 足 a1 ? 3 ,
1 n

a n ? a n ?1 ?

1 (n ? 2) n(n ? 1) , 求 此 数 列 的 通 项 公 式 .

答案:裂项求和

an ? 2 ?

二、累乘法 1.适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列

2.若

an?1 a a a ? f (n) ,则 2 ? f (1),3 ? f (2), ??,n ?1 ? f (n) an a1 a2 an
n an?1 ? a1 ? ? f (k ) a1 k ?1

两边分别相乘得,

例 4 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

三.公式法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1



?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2.
?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 点评:利用公式 an ? ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

练一练:① 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

四、待定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 1.形如

an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{

a n }为等差数列; a n }为等比数列;

(2)若 d=0 时,数列{

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:设

an?1 ? ? ? c(an ? ? ) ,



an?1 ? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得

(c ? 1)? ? d ,所以

??

d d d , (c ? 0) an ? ? c(a n ?1 ? ) c ?1 c ?1 c ?1 所以有:

d ? ? d a1 ? ?a n ? ? c ? 1 ? 构成以 c ? 1 为首项,以 c 为公比的等比数列, 因此数列 ?
an ? d d ? (a1 ? ) ? c n ?1 c ?1 c ?1 a n ? (a1 ? d d ) ? c n ?1 ? c ?1 c ?1.

所以

即:

a ? can ? d 化为 规律:将递推关系 n?1
a n ?1 ?

a n ?1 ?

d d d ? c(a n ? ) {a n ? } c ?1 c ? 1 ,构造成公比为 c 的等比数列 c ? 1 从而

求得通项公式

d d ? c n ?1 (a1 ? ) 1? c c ?1

逐项相减法(阶差法) :有时我们从递推关系

an?1 ? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 an ? can?1 ? d , 两式相减有

an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数列 {an?1 ? an } ,进而求得通项公式. an?1 ? an ? c n (a2 ? a1 ) ,再利
用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例 6 已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解法一:? an ? 2an?1 ? 1(n ? 2), ? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) 又? a1 ? 1 ? 2,??an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ? an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1

{a } 练习.已知数列 n 中,
2.形如:

a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 1 an ? , a n ? ( ) n ?1 ? 1 a 2 2 求通项 n 。 答案: 2

a n?1 ? p ? an ? q n

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即:

a n?1 ? an ? q n ,累加即可.
n

a ? p ? an ? q , ②若 p ? 1 时,即: n?1
求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p
n ?1

.目的是把所求数列构造成等差数列

a n ?1
即:

p

n ?1

?

an q
n

?

an 1 p n 1 p bn ?1 ? bn ? ? ( ) n ?( ) bn ? n p q ,然后类型 1,累加求通项. p q ,令 p ,则
a n ?1 ? p an 1 ? ? q qn q ,

ii.两边同除以 q

n ?1

. 目的是把所求数列构造成等差数列。 即:

q n ?1

bn ?


an q ,则可化为
n

bn ?1 ?

p 1 ? bn ? q q .然后转化为类型 5 来解,

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 设

a n?1 ?? ? q n?1 ? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。 例 7 已知数列

{an } 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列 ?an ? 的通项公式。

解法一(待定系数法) :设

an?1 ? ?13n ? ?2 (an ? ? ? 3n?1 ),比较系数得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 , a1 ? 4 ? 31?1 ? ?5 ,公比为 2 的等比数列,

则数列

?a

n

? 4 ? 3n ?1?

是首项为

所以

an ? 4 ? 3n?1 ? ?5 ? 2n?1 ,即 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1

an ?1 2 an 4 ? ? n? 2 n ?1 n ?1 n ?1 q 3 3 3 3 3 ,下面解法略 解法二(两边同除以 ) : 两边同时除以 得:

解法三(两边同除以 p

n ?1

) : 两边同时除以 2

n ?1

a n ?1 a n 4 3 n ? n ? ?( ) n ?1 3 2 ,下面解法略 2 得: 2

n?1 练 习 . ( 2003 天 津 理 ) 设 a0 为 常 数 , 且 an ? 3 ? 2an?1 (n ? N ) . 证 明 对 任 意 n ≥ 1 ,

1 an ? [3n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 5 ;

3.形如

a n?1 ? pan ? kn ? b

(其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

方法 1:逐项相减法(阶差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ;
2、设等比数列

解 题 基 本 步 骤 : 1 、 确 定 f ( n) =kn+b

bn ? (an ? xn ? y) , 公 比 为 p
5、解得数列

3、列出关系式

(an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ? 1) ? y) ,即 bn ? pbn?1
6、解得数列

4、比较系数求 x,y

(an ? xn ? y) 的通项公式

?an ? 的通项公式
{an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n, 求通项 a n .(逐项相减法)


例 8 在数列 解:? ,

a n?1 ? 3a n ? 2n,

? n ? 2 时, an ? 3an?1 ? 2(n ?1) ,

两式相减得

an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 .令 bn ? a n?1 ? a n ,则 bn ? 3bn?1 ? 2

利用类型 5 的方法知

bn ? 5 ? 3n?1 ? 2
5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2. a1 ?



an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ? 1
an ?



再由累加法可得

an ?

亦可联立 ① ②解出

5 n ?1 1 ?3 ? n ? 2 2.

例 9. 在数列

{ an }

中,

3 ,2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 a 2 ,求通项 n .(待定系数法)

解:原递推式可化为

2(an ? xn ? y) ? an?1 ? x(n ? 1) ? ? y

比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为

2bn ? bn?1
9 1 9 1 n ?1 ( ) 2 2 1 a n ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) n 2 即:

b1 ? a1 ? 6n ? 9 ? ?b ? 2 ,公比为 2 . 所以 n 是一个等比数列, 首项 1 a n ? 9 ? ( ) n ? 6n ? 9 2 故 .
4.形如

? bn ?

a n?1 ? pan ? a ? n 2 ? b ? n ? c

(其中 a,b,c 是常数,且 a ? 0 )

基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 例 10 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。
2

解:设 an?1 ? x(n ? 1)2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(an ? xn2 ? yn ? z) 比较系数得 x ? 3, y ? 10, z ? 18 , 所以 an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ?1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ? 10n ?18) 由 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 ,得 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 0

an?1 ? 3(n ? 1)2 ? 10(n ? 1) ? 18 则 ? 2 ,故数列 {an ? 3n2 ?10n ?18} 为以 a1 ? 3?12 ? 10 ?1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项, 2 an ? 3n ? 10n ? 18
以 2 为公比的等比数列,因此 an ? 3n2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2n?1 ,则 an ? 2n?4 ? 3n2 ?10n ?18 。 5.形如 an?2 ? pan?1 ? qan 时将 an 作为 f ( n) 求解 分析:原递推式可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( p ? ? )(an?1 ? ?an ) 的形式,比较系数可求得 ? ,数列 ?an?1 ? ?an ? 为等比数 列。 例 11 已知数列

{an } 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:设

an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ? )(an?1 ? ?an ) 比较系数得 ? ? ?3 或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 , (取-3 结果形式可能不同, an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ,则 ?an?1 ? 2an ? 是首项为 4,公比为 3 的等比数列

但本质相同)则

?an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1 ,所以 an ? 4 ? 3n?1 ? 5 ? 2n?1
a ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an 练习.数列 { an } 中,若 a1 ? 8, a 2 ? 2 ,且满足 n? 2
四、迭代法
r a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

答案:

an ? 11 ? 3n .

3( n ?1)2 {a } a ? an ,a1 ? 5 ,求数列 {an } 的通项公式。 例 12 已知数列 n 满足 n ?1

n

解:因为

3( n ?1)2 an?1 ? an ,所以

n

3 n?2 an ? an ?1

n?1

3( n ?1)?2 ? [an ]3n?2 ?2
n?3 2

n?2

n?1

3 ( n ?1)?n?2 ? an ?2

2

( n?2)?( n?1)

3( n ? 2)?2 ? [an ]3 ( n ?1)?n?2 ?3 3 ( n ? 2)( n ?1) n?2 ? an ?3
3

( n?2)?( n?1)

( n?3)?( n?2)?( n?1)

?? ? a13 ?a
n?1

?2?3??( n ? 2)?( n ?1)?n?21?2????( n?3)?( n?2)?( n?1)
n ( n?1) 2

3n?1 ?n!?2 1

a ? 5 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 53 又 1

n?1

?n!?2

n ( n?1) 2



注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例 13.(2005 江西卷)

{a }的各项都是正数 , 且满足 : 已知数列 n
(1)证明

a 0 ? 1, a n ?1 ?

1 a n (4 ? a n ), n ? N 2 ,

an ? an?1 ? 2, n ? N ;

(2)求数列

{an } 的通项公式 an.

解: (1)略(2)

a n ?1 ?

1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2 ??? 2 n ?1 2 n 22 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ( ? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 又 bn=-1,所以

1 n 1 n bn ? ?( ) 2 ?1 , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 2 .

? ?bn ,则 c n 方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c n

?

1 2 c n ?1 2 ,转化为上面类型(1)来解

五、对数变换法 适用于

r a n?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

p>0,

an ? 0

例 14. 设正项数列

2 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? 2an a n ? 的通项公式. ?1 (n≥2).求数列 ?

an an ? 1 an an ? 1 b ? log 2n ? 1 ,则 bn ? 2bn?1 解:两边取对数得:log2 ? 1 ? 2 log2 ,log2 ? 1 ? 2(log2 ? 1) ,设 n

a

?bn ?

是以 2 为公比的等比数列, b1 ? log2 ? 1 ? 1
1

an n?1 n?1 n bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 , loga ? 1 ,∴ 2 ?1? 2 , log2 ? 2

an ? 22

n ?1

?1

练习 数列

?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 2
2?n

a n ?1

(n≥2) ,求数列

?a n ? 的通项公式.

a ? 2 2? 2 答案: n

例 15

5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。

两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) 比较系数得, x ? 由 lg a1 ? (同类型四)

lg 3 lg 3 lg 2 ,y? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 ,得 lg an ? n? ? ? 0, 4 16 4 4 16 4 4 16 4

所以数列 {lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg an ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 4 16 4 4 16 4

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 4 1 16 1 4 n ?1

? [lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 )]5 ? lg(7 ? 3 ? 3 ? 2 ) ? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1
5 n ? 4 n ?1 16 1 4 1 16 1 n?1 4 5

? lg(3 ? 3 ? 2 )
n 4 1 16 1 4

n 4

1 16

1 4

? lg(3 ? 3 ? 2 ) )

?2

5n?1 ?1 4

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

例 16

2an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 an ? 2

解:求倒数得

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 1? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ? 为等差数列,首项 ? 1 ,公差为 , 2 a1 an ?1 2 an an ?1 an 2 ? an ?1 an ?

?

1 1 2 ? (n ? 1),? an ? an 2 n ?1

十二、四种基本数列 1.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 2.形如 等差数列的广义形式,见累加法。

a n ?1 ? f (n) 型 等比数列的广义形式,见累乘法。 an

3.形如 an?1 ? an ? f (n) 型 (1)若 a n?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ a n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项和 偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 an?1 ? an ? f (n) 型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两 式相减)得 an?1 ? an?1 ? f (n) ? f (n ? 1) ,,分奇偶项来分求通项.


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