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高中数学知识点归纳总结

时间:2017-07-02


教师版高中数学必修+选修知识点归纳 必修 1 数学知识点 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关 第一章:集合与函数概念 系、值域.如果两个函数的定义域相同,并 §1.1.1、集合 且对应关系完全一致,则称 这两个函数相 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组 等. 成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、 §1.2.2、函数的表示法 互异性、无序性。 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称 列表法. 这两个集合相等。 §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: 3、 常见集合:正整数集合: N * 或 N ? ,整数 (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上 是 增 函 集合:Z , 有理数集合:Q , 实数集合:R . 数; 4、集合的表示方法:列举法、描述法. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上 是 减 函 §1.1.2、集合间的基本关系 数. 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则 格式:解:设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 ,则: 称集合 A 是集合 B 的子集。记作 A ? B . f ?x ? ? f ?x ? =… 2 、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且
x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记 作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:? . 并规定:空集合是任何集合的子集.

(2) 导数法:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内 可导,若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任 意一个 x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函 数 f ?x ? 为 偶函数 . 偶函数图象关于 y 轴对 称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任 意一个 x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称 函数 f ?x ? 为 奇函数 . 奇函数图象关于原点 对称. 知识链接:函数与导数 1、函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线
y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 f ?( x0 ) , 相 应 的 切 线 方 程 是

1

2

4、 如果集合 A 中含有 n 个元素, 则集合 A 有 2 n 个子集, 2 n ? 1 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元 素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记 作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所 有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记 作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? {x | x ?U , 且x ?U } §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定 的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任意一 个数 x , 在集合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应,那么就称 f : A ? B 为集合 A 到 集合 B 的一个函数, 记作:y ? f ?x ?, x ? A .
-1-

y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
2、几种常见函数的导数

① C ' ? 0 ;② ( x n ) ' ? nxn?1 ; ③ (sin x) ' ? cos x ; ④ (cosx) ' ? ? sin x ; ⑤ (a x ) ' ? a x ln a ; ⑦ (log a x) ' ? ⑥ (e x ) ' ? e x ;

注:极值是在局部对函数值进行比较(局部 性质) ;最值是在整体区间上对函数值进行比较 (整体性质)。 第二章:基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次 方根。其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ; 当 n 为偶数时, n a n ? a . 3、 我们规定:
n

1 1 ;⑧ (ln x ) ' ? x ln a x 3、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u' ? v' .

(2) (uv)' ? u'v ? uv' .
u u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( )' ? v v2 4、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导数和函数 y ? f (u), u ? g ( x) 的导数间的关系为 y x? ? yu? ? u x? , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数 与 u 对 x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义:

⑴ a m ? m an

?a ? 0, m, n ? N
⑵ a ?n ?

*

,m ?1 ;

?

1 ?n ? 0? ; an 4、 运算性质:

极值是在 x0 附近所有的点,都有 f ( x) <
f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极大值;

⑴ a r a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ; ⑵ ?a r ? ? a rs ?a ? 0, r , s ? Q ? ;
s

极值是在 x0 附近所有的点,都有 f ( x) >
f ( x 0 ) ,则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x) 的极小值.

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: y ? a x ?a ? 0, a ? 1?
y

(2)判别方法: ①如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) >0, 右侧 f ' ( x) <0,那么 f ( x 0 ) 是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) <0, 右侧 f ' ( x) >0,那么 f ( x 0 ) 是极小值. 6、求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值(极大或者极 小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为极小 值。
-2-

y=ax

a ?1 0<a<1
1
6

a>1

0 ? a ?1
6

图 象
1
-4 -2

5

o

x

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 (2)值域: (0,+∞) 质 (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4) 在 R 上是增 (4)在 R 上是减函 函数 数 x (5) x ? 0, a ? 1 ; (5) x ? 0,0 ? a x ? 1 x x ? 0, 0 ? a ? 1 ;
x ? 0, a ? 1
x

a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2 1.5

1、记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1?
y

2.5

2

图 象

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

y=logax
1

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

0<a<1
o

-1.5

-1.5

-2

-2
-2.5

-2.5

(1)定义域: (0,+∞) 性 (2)值域:R ,即 x=1 时,y=0 质 (3)过定点(1,0) (4)在 (0,+∞) (4)在(0,+∞) 上是增函数 上是减函数 (5) x ? 1, loga x ? 0 ; (5) x ? 1, loga x ? 0 ; 0 ? x ? 1, loga x ? 0 0 ? x ? 1, loga x ? 0

1 a>1

x

2、性质: §2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象:

2、性质: §2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式: a x ? N ? x ? loga N ; 2、对数恒等式: a loga N ? N . 3、基本性质: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 . 4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ;
?M ? ⑵ loga ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

第三章:函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.
2、 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ?在区间 ?a, b? 上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有 f ?a? ? f ?b? ? 0 ,那 么函数 y ? f ?x ?在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在

⑶ loga M n ? n loga M . 5、换底公式: loga b ?

logc b logc a

c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适 当的函数拟合,最后检验.
-3-

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
m 6、重要公式: log an b m ? log a b n 7 、 倒 数 关





loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

§2..2.2、对数函数及其性质

必修 2 数学知识点 第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见 的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱 柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体 叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投 影,中心投影的投影线交于一点;把在一束 平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投 影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l

⑶圆台侧面积: S侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:
1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3 ⑸球的表面积和体积: 4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3 第二章:点、直线、平面之间的位置关系

?

?

1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内。 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只 有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平 行,那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面 平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行(简称线线 平行,则线面平行) 。 ⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行(简称线面平行,则线线平行) 。 10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行,则这两个平面平行(简称线面平 行,则面面平行) 。 ⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面 相交, 那么它们的交线平行 (简称面面平行, 则线线平行) 。 11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任 意一条直线,那么就说这条直线和这个平面 垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直,则该直线与此平面垂直(简称线 线垂直,则线面垂直) 。 ⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面 角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定: 一个平面经过另一个平面的一条垂线, 则这两个平面垂直(简称线面垂直,则面面 垂直) 。 ⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线垂直于另一个平面。 (简称 面面垂直,则线面垂直) 。
-4-

第三章:直线与方程 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b
y ? y1 y2 ? y1 ⑶两点式: ? x ? x1 x2 ? x1
x y ⑷截距式: ? ? 1 a b

5、两点间距离公式:

y 2 ? y1 x2 ? x1

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

6、点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7、两平行线间的距离公式:

l1 :Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 :Ax ? By ? C2 ? 0 平行,
则d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线:

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r . ⑵一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 其 中 圆 心 为 (?
r? 1 2 D2 ? E 2 ? 4F . D 2 ?, E 2 ) 半 径 为 ,

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:
?k1 ? k 2 ⑴ l1 // l 2 ? ? ; ?b1 ? b2

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ;
?k1 ? k 2 ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ? ; ?b1 ? b2

2、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

⑷ l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 . 4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
有: 弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2
? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? A1 B2 ? A2 B1 ⑴ l1 // l 2 ? ? ; ? B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ;
? A1 B2 ? A2 B1 ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ? ; ? B1C 2 ? B2 C1

3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:
-5-

⑷ l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2
必修 3 数学知识点

第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流 程线等规范表示方法; 3、算法的三种基本结构:
?当型循环结构 顺序结构、 条件结构、 循环结构 ? ?直到型循环结构

(图 3) ⑶循环结构示意图: ①当型(WHILE 型)循环结构示意图:

循环体 满足条件? 否



⑴顺序结构示意图:

(图 4) ②直到型(UNTIL 型)循环结构示意图:

语句 n 循环体 语句 n+1 满足条件? 是 否

(图 1) ⑵条件结构示意图: ①IF-THEN-ELSE 格式: (图 5) 4、基本算法语句: ①输入语句的一般格式: INPUT“提示内容” ;
满足条件? 是 语句 1 语句 2 否

变量 ②输出语句的一般格式: PRINT“提示内容” ; 表达式 ③赋值语句的一般格式:变量=表达式

(图 2) ②IF-THEN 格式:
是 满足条件? 否 语句

( “=”有时也用“←” ). ④条件语句的一般格式有两种: IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为: IF 条件 语句 1 ELSE 语句 2
-6-

THEN

END IF

(图 2)

IF—THEN 语句的一般格式为: IF 条件 THEN 语句 END IF
(图 3)

k 进制数化为十进制数 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组 成样本, 每个个体被抽到的机会 (概率) 均为
n 。 N

⑤循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式: WHILE 循环体 WEND
(图 4)

条件

直到型循环(UNTIL)语句的一般格式: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件
(图 5)

2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看 出数据的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从 小到大书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: ⑴平均数: x ?
x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? x n ; n

⑹算法案例: ①辗转相除法—结果是以相除余数为 0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ⅰ) :用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个 商 S0 和一个余数 R0 ; ⅱ) :若 R0 =0,则 n 为 m,n 的最大公约数; 若 R0 ≠0, 则用除数 n 除以余数 R0 得到一个商 S1 和一个余数 R1 ; ⅲ) :若 R1 =0,则 R1 为 m,n 的最大公约数; 若 R1 ≠0,则用除数 R0 除以余数 R1 得到一个商 S2 和一个余数 R2 ;…… 依次计算直至 Rn =0,此时所得到的 Rn?1 即 为所求的最大公约数。 ②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下: ⅰ) :任意给出两个正数;判断它们是否都是 偶数。若是,用 2 约简;若不是,执行第二步。 ⅱ) :以较大的数减去较小的数,接着把较小 的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续 这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数 (等数)就是所求的最大公约数。 ③进位制 十进制数化为 k 进制数—除 k 取余法
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取值为 x1 , x 2 , ?, x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则 其平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ?, x n 方差: s 2 ?
1 n

?
i ?1

n

2

( x i ? x) ;
2

标准差: s ?

1 n

?
i ?1

n

( x i ? x)

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映 数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
?

n ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ? ?b ? n 2 ? xi2 ? nx ? ? i ?1 ? ? ? a ? y ? bx

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生, 则称这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y) 。 第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英 文字母表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点;
m ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ? ,0 ? P( A) ? 1 . n

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是 对立事件。 必修 4 数学知识点 第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. l 2、 ? ? . r n?R ? ? R. 3、弧长公式: l ? 180
n?R 2 1 ? lR . 4、扇形面积公式: S ? 360 2

2、古典概型: ⑴基本事件:一次试验中可能出现的每一个基 本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能 基本事件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个 基本事件,则事件 A 发生的概率 P( A) ? 3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度 m . n

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点 P?x, y ?,那么:
sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? y x

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、 面积、体积等。 4、互斥事件: ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果 事件 A1 , A2 , ? , An 任意两 个 都是互 斥事 件,则称事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的 概率,等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
-8-

2、 设点 A? x , y ? 为角 ? 终边上任意一点,那 么: (设 r ? x 2 ? y 2 )
sin ? ? y x y , cos ? ? , tan ? ? , r r x

cot ? ?

x y

3、

sin ? , cos? , tan ? 在四个象限的符号和 三角函数线的画 y T 法. P

正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT

O

M

Ax

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值. ? 0 ? 3? ? ? 2? 3?
?
6

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? ? tan? .
2?

5、诱导公式五:

? 4

3

2

3

4

2

sin ?
cos ?

tan ?

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
6、诱导公式六:

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 .
sin ? . cos ? 3、 倒数关系: tan ? cot ? ? 1 §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z ) 1、 诱导公式一:

2、 商数关系: tan ? ?

?? ? sin? ? ? ? ? cos? , ?2 ? ?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

sin ?? ? 2k? ? ? sin ? , cos?? ? 2k? ? ? cos? , (其中: k ? Z ) tan?? ? 2k? ? ? tan? .
2、 诱导公式二:

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y 1 o -1
? 2 ? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

7? 2 4?

x

y=cosx
-4? -7? 2 -5? -3? 2 -2? -3? 2

sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
3、诱导公式三:

? -? - 2

?

3? 2 2? 5? 2

7? 3? 2

4?

x

sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos?? ? ? ? cos? , tan?? ? ? ? ? tan? .
4、诱导公式四:

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性 质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、 对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.
y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:

? 3? (0, 0) ( , , 1 ) ( , ?, 0) ( , ,) -1( , 2?, 0) . 2 2
y

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
3? 2

y=tanx

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-9-

y

2、记住余切函数的图象:

y=cotx

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ?x ? T ? ? f ?x ?,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域 值域
x ? 2 k? ?

R

R

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

[-1,1]
?
2 , k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

[-1,1]
x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

R

最值
x ? 2 k? ?

?
2



周期 性 奇偶 性 单调 性 k ?Z
2

T ? 2?

T ? 2?

T ??







在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递
2





在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递
2 2

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递 增 2 2 减 减
?

对 称 对称轴方程: x ? k? ? 2 性 k ? Z 对称中心 (k? , 0)

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? ? , 0) 2
-2-

无对称轴 对称中心 (
k? 2
, 0)

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图象 1、对于函数:

平移 | B | 个单位

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,
周期 T ?
1 f ?T ?

y ? Asin ??x ? ? ? ? B
(上加下减) 3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠ 2? 0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , |? |
x ? k? ?

2?

?
2?

,初相 ? ,相位 ?x ? ? ,频率

?

.

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩
变换关系. ① 先平移后伸缩:
y ? sin x 平移 |?| 个单位

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的

周期 T ?

y ?s i n ? x ?? ?

? . |? |

(左加右减) 横坐标不变

y? A sin ?? ? ? x
纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

对于 y ? Asin( ? x? ? )和 y ? A cos(? x ? ? ) 来 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点 联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中 ? 心,只需令 ? x ? ? ? k? ? (k ? Z ) 与
? x ? ? ? k? (k ? Z ) 解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 y ? ymin y ? ymin 利用图像特征:A ? max ,B ? max . 2 2
2

y? A sin ?? ? ?? x
横坐标变为原来的 | | 倍
?
1

平移 | B | 个单位

? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值: ? cos? tan ? sin ?
? 12
6? 2 4 6? 2 4

y ? Asin ??x ? ? ? ? B
(上加下减) ② 先伸缩后平移:
y ? sin x

横坐标不变

y ? As i n x

纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

2? 3

y ? As i n ? x
横坐标变为原来的 | | 倍
?
1

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 单 位 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?
-1-





? ?



y? A sin ?? ? ?? x
(左加右减)

tan? ?tan ? 5、 tan ?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? . tan? ?tan ? 6、 tan ?? ? ? ? ? 1?tan? tan ? .

称模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零 向量;长度等于 1 个单位的向量叫做单位 向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (或共线向量).规定:零向量与任意向量 平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 . 2 sin 2? 2、 cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?
? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? .

变形如下:
2 ? ?1 ? cos 2? ? 2 cos ? 升幂公式: ? 2 ? ?1 ? cos 2? ? 2sin ?

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? 2 ?sin ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反 向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

3、 tan 2? ? 4、 tan ? ?

2 tan? . 1 ? tan2 ?

sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2? §3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式
y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? )

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这 种运算叫做向量的数乘 .记作: ? a ,它的 长度和方向规定如下: ⑴ ?a ? ? a , ⑵当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理: 向量 a a ? 0 与 b 共线, 当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .
-2-

(其中辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决
b ). a 第二章:平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加 速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段 包含三个要素:起点、方向、长度.

定, tan ? ?

?

?

2、 向量 AB 的大小, 也就是向量 AB 的长度 (或

§2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面 内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 , 使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则:

⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵ a ? x12 ? y12 ⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则:

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
a ?b a b ? x1 x2? y1 y2 x ? y 12 ? x 2 2 ?y
2 1 2 2

3、 两向量的夹角公式
co? s ?

4、点的平移公式 平移前的点为 P( x, y) (原坐标) ,平移后的 对 应 点 为 P?( x?, y?) ( 新 坐 标 ) ,平移向量为

PP? ? (h, k ) ,

? x? ? x ? h 则? ? y? ? y ? k .

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则

函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? (h, k ) 平移后 的图像的解析式为 y ? k ? f ( x ? h). §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类 比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求 值的应用进行总结归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为 直线 l 的一个方向向量;与 AB 平行的任意非零 向量也是直线 l 的方向向量. ⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? , 则称这个 向量垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,
-3-

? ⑵△ABC 的重心坐标为 ?
⑴线段 AB 中点坐标为 1、 a ? b ? a b cos? .

x1 ? x2 2

y2 , , y1 ? 2

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3 .

?

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义

2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ? a . 5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则:
2

2

2

那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标

即:两平面平行或重合 两平面的法向量 共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直 设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证 明 l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 . 即:两直线垂直 ⑵线面垂直 两直线的方向向量垂直。

a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) .
? ?n ? a ? 0 ④根据法向量定义建立方程组 ? . n ? b ? 0 ? ? ⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的 法向量.

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a ∥

(如图)

u ,即 a ? ? u .
②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、 n ,若
? ?a ? m ? 0 , 则l ? ? . ? a ? n ? 0 ? ?

2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行 设直线 l1, l2 的方向向量分别是 a 、 则要证明 b,

l1 ∥ l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) .
即:两直线平行或重合 共线。 ⑵线面平行 两直线的方向向量

即:直线与平面垂直 直线的方向向量与 平面的法向量共线 直线的方向向量与平面 内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ⑶面面垂直 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为

v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 .
即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ∥ ? ,只需证明

a ? u ,即 a ? u ? 0 .
即:直线与平面平行 直线的方向向量与 该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行, 也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向 向量是共线向量即可. ⑶面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为

是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

AC ? BD AC BD

.

⑵求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射 影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的 角
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v ,要证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v .
-4-

②求法:设直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的

法向量为 u , 直线与平面所成的角为 ? , a 与u 的 夹角为 ? , 则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角 的余角.即有:

5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离 若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上,a 为直 线 l 的方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离 1 为 h? (| a || b |)2 ? (a ? b ) 2 |a| ⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任 一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就 等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值. 即 d ? MP cos n, MP

sin ? ? cos ? ?

a ?u a u

.

⑶求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个 部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直 线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫 做二面角的面
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二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的 棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线
AO ? l , BO ? l ,则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的

平面角. 如图:
A

? MP ? n ? MP n

n? M P n MP

B
O

l B

?

A ②求法:设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的
法向量分别为 m 、 n ,再设 m 、 n 的夹角为 ? ,二 面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , 则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? . 根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角: ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ?

O

⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各 点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面 的距离可转化为求直线上任一点到平面的距 离,即转化为点面距离。

即d ?

n ? MP n

.

m?n m n



⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等,可将两 平行平面间的距离转化为求点面距离。 即d ?

即 ? ? arccos

m?n m n



n ? MP n

.

◆ 如果 ? 是钝角, 则 cos ? ? ? cos ? ? ?
? m?n ? ?. 即 ? ? arccos ? ? ? m n? ? ?

m?n m n



⑸异面直线间的距离 设 向 量 n 与 两 异 面 直 线 a, b 都 垂 直 ,
M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是

-5-

MP 在向量 n 方向上投影的绝对值。

即d ?

n ? MP n

.

为锐二面角 ? ,则 S' S cos? ? = 射 . S S原 9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线 上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为

6、三垂线定理及其逆定理 ⑴三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也 和这条斜线垂直 P 推理模式:
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?1、? 2、?3 ,则有
l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

PO ? ? , O ? ? ? ? PA ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

O A a

? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 . (立体几何中长方体对角线长的公式是其特 例).
必修 5 数学知识点 第一章:解三角形 1、正弦定理: a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)
? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C. 用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元 素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角, 求其它元素。 ? sin A ?

?

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和 这条斜线的射影垂直
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PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?

概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线, AD 是 ? 的 一条斜线 AB 在 ? 内的射影,且 BD⊥AD,垂足为 D.设 AB 与 ? (AD)所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所 成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则

B A ?
?1 ?2 ?

D C

2、余弦定理: ?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ?

cos? ? cos?1 cos? 2 .

? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2bc ? a 2 ? c2 ? b2 ? cos B ? , ? 2ac ? ? a 2 ? b2 ? c 2 . ?cos C ? 2ab ?
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元 素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:
-6-

8、 面积射影定理 已知平面 ? 内一个多边形的面积为

S ? ? S射 ? ,平面 ? 与平面 ? 所成的二面角的大小

S ? S原 ? ,它在平面 ? 内的射影图形的面积为

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 4、三角形内角和定理: 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) C ? A? B ? ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2 5、一个常用结论: 在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; S ?ABC ?

③数列 ??an ? b?( ?, b 为常数)仍为等差数列; ④若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、

{kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、
,…也成等差数列。 {ap?nq }( p, q ? N * ) 、 ⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q (p,q 是 常数) ⑦ 若 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn , 则 Sk 、

若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

?

2 意,在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成 立。

. 特别注

第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:
, ( n ? 1) ? S1 an ? ? 注意通项能否合并。 ? S n ? S n ?1 , (n ? 2).

S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k … 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与 它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列。 ⑵等比中项:若三数 a、 G、 b 成等比数列 。反之不一定成立。 ? G2 ? ab, ( ab 同号) ⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m ⑷前 n 项和公式: S n ? ⑸常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则
a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? an q 1? q

2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与 它的前一项的差等于同一个常数,即 a n -
a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ? ) ,

那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列 a?b ? A? 2 ⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:
Sn ? na1 ? n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

am ? an ? ap ? aq ;
② ak , ak ?m , ak ?2m ,?为等比数列, 公比为 q k (下标 成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列 ??an ? ( ? 为不等于零的常数)仍是公比 为 q 的等比数列;正项等比数列 ?an ? ;则 ?lg an ? 是公差为 lg q 的等差数列;
? ? ④若 ?an ? 是等比数列,则 ?can ?, ?an 2 ?, ? a1 ?, ? n?
-7-

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

am ? an ? a p ? aq ;
②下标为等差数列的项 ?ak , ak ?m , ak ?2m ,?? , 仍组 成等差数列;

?a ? (r ? Z ) 是等比数列,公比依次是
r n

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2)
①若 f (n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化 为等差数列求和; ② 若 f (n) 是关于 n 的指数函数, 累加后可转化 为等比数列求和; ③若 f (n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组 求和; ④若 f (n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项 求和. 类型Ⅳ 累乘法:

1 q,q 2, ,q r . q

⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列; q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数 列。 ⑦ 若 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 Sn , 则 Sk 、

?a ? 形如 an?1 ? an ? f (n) ? n ?1 ? f ( n) ? 型的递推数列 ? an ?

S2k ? Sk 、 S3k ? S 2 k … 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求

(其中 f (n) 是关于 n 的函数)可构造:
? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? ? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

该数列的通项时,一般对所给的项观察分析, 寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通 项。 类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式
, (n ? 1) ? S1 an ? ? 构造两式作差求解。 ? S n ? S n ?1 , (n ? 2) 用此公式时要注意结论有两种可能,一种 是“一分为二” ,即分段式;另一种是“合二为

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然 后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

一” ,即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n ? 1 和
n ? 2 两种情况分别进行运算,然后验证能否统 一) 。 类型Ⅲ 累加法:

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且
p ? 0 )型的递推式:

形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f (n) 是关于 n 的函数)可构造:
?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 ? ?... ? ?a2 ? a1 ? f (1) 将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得:
-8-

(1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 p ? 1 且 q ? 0 时,数列{ a n }为线性递 推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数 列来求.方法有如下两种:

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理
得 an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比 较系数(待定系数法)得

得: bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再 用类型Ⅲ(累加法)便可求出 an . ⑵当 f (n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

??

q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) p ?1 p ?1 p ?1

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通
过待定系数法确定 ? 的值,转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? , 再利用等比数列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

? an ?

? q q q ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ? a n ? ?构 p ?1 p ?1 p ? 1? ?
q 为首项,以 p 为公比的等比数列. p ?1

成以 a1 ?

? q ? 再利用等比数列的通项公式求出 ?a n ? ?的 p ? 1? ?
通项整理可得 an .

法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得:
an?1 ? pan ? f (n) ——①, an ? pan?1 ? f (n ?1) ,
两边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) —— ②, 由①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) , 即
an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an ? qan ?1

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两
an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成 an ? an ?1 以 a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出

式相减并整理得

?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便

可求出 an . ㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f (n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

an .

法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,
B 的值,转化成以 通过待定系数法确定 A 、

法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,
q 均为常数)或 an?1 ? pan ? rqn (其中 p,q, r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除 以 q n?1 ,得:
an?1 p an 1 ? ? ? ,引入辅助数列 q n?1 q q n q

a1 ? A ? B 为首项,以 p 为公比的等比数列
再利用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? ,

?an ? An ? B? 的通项整理可得 an .
法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得:
an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减
得: an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d ,令 bn ? an?1 ? an
-9-

?bn ? (其中 bn ? an n
q

) ,得: bn?1 ?

p 1 bn ? 再应 q q

用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ⑶当 f (n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 pn?1 可得



an ?1 an f (n) a ? n ? n ?1 ,令 n ? bn ,则 n ?1 p p p pn

an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数得
可解得 h 、 于是 {an?1 ? kan } h ? k ? p,?hk ? q , k,

bn ?1 ? bn ?

f ( n) ,在转化为类型Ⅲ(累加法) , p n ?1
n

是公比为 h 的等比数列,这样就化归为

求出 bn 之后得 an ? p bn .

an?1 ? pan ? q 型。

类型Ⅵ
q

对数变换法:

总之,求数列通项公式可根据数列特点采 用以上不同方法求解,对不能转化为以上方法 求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出 数列通项公式 an .
5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比 数列,则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公 比, 然后在错位相减, 进而可得到数列 ?an ? bn ? 的 前 n 项和.

形如 an?1 ? pa ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? paq 两边取对数得

lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得:

bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn 之后得 an ? 10bn .(注意:底数不一定要取 10,
可根据题意选择) 。 类型Ⅶ 倒数变换法:

形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的 递推式: 两边同除于 an?1an , 转化为
1 1 ? ?p an an ?1
an

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所 用的方法.
⑵裂项相消法 一般地,当数列的通项
an ? c 时,往 (a, b1 , b2 , c为常数) (an ? b1 )(an ? b 2 )

形式, 化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式, 再求 an ; 还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒
pan ? q

数方法转化成 1 ? m 1 ? m 形式,化归为
an?1 q an
1 an

往可将 an 变成两项的差,采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: 设 an ?

p

an?1 ? pan ? q 型求出

的表达式,再求 an .

?
an ? b1

?

?
an ? b2

,通分整理后与原
c , b2 ? b1

类型Ⅷ 式:

形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推

式相比较,根据对应项系数相等得 ? ? 从而可得

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的 形式求解。方法为:设
- 10 -

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2

③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c 常见的拆项公式有:
1 1 1 ① ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

(同向可加性)a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性)a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc



1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b



⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

m?1 m m ④ Cn ? Cn ?1 ? Cn ;

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑤ n ? n! ? (n ? 1)!? n!. ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1) ⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等 比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再 将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式② 由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? ,与首末两项等距的两项之 和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着 写的两个和式相加, 就得到了一个常数列的和, 这种求和方法称为倒序相加法。特征: 变形公式: ②(基本不等式) ⑧(倒数法则) 1 1 1 1 a ? b ? 0 ? ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b 2、几个重要不等式 ① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? , (当且仅当 a ? b 时 取 " ? " 号). 变形公式: ab ?
a 2 ? b2 . 2

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,
?

(当且仅当 a ? b 时取到等号).

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ...
⑸记住常见数列的前 n 项和: n(n ? 1) ; ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 2 ② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ?1) ? n ;
2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定 积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式)
a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3
a ? b ? c 时取到等号).

③ 12 ? 22 ? 32 ? ... ? n 2 ?

1 n( n ? 1)(2n ? 1). 6

第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c
- 11 -

④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). b a ⑥ 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:
(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 )

? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且 仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时, 等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实 数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 3、几个著名不等式 ①平均不等式:

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序
和) 当且仅当 a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时, 反 序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x) ,对于定义域 中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
?

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平 均).
变形公式:
2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

a 2 ? b2 ?

( a ? b) . 2
2

②幂平均不等式:
1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n ③二维形式的三角不等式: a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且
仅当 ad ? bc 时,等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式:
- 12 -

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综 合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构 造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: 1 3 1 ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) 2 ? ? (a ? ) 2 ; 2 4 2 ②将分子或分母放大(缩小) ,如
1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

(

2 2 k

?

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1



1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

规律:把无理不等式等价转化为有理不等式, 诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 a ? 1 时,
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大 于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次 往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

⑵当 0 ? a ? 1 时,
? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法:
“? 或 ?” ( 时同

?a (a ? 0) ⑴定义法: a ? ? . ??a (a ? 0)
⑵平方法: f ( x) ? g( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③

理) 规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求 解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴
? f ( x) ? 0 f ( x) ? a (a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a



f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0)

f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0)



? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?
- 13 -



规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式 的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、 每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法

解形如 ax2 ? bx? c ?0 且含参数的不等式 时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准 有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或 恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域, 常选原点. 法二: 根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) , 观察 B 的符号与不等式开口的符号,若同号,
Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;

若异号, 则表示直线上方的区域. 即: 同号上方, 异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所 表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为 常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共 区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则 这些最值都在该公共区域的边界角点处取得, 将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对 应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值, 最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域; 第二步, 作直线 l0 : Ax ? By ? 0 , 平移直线 l0 (据 可行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三 步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最 小值 . 第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ? 线的纵截距.
A z z x ? , 为直 B B B

?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ? ?? ? 0.
⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或
2

恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ? ?? ? 0.
⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.

15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有 点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号 相同.所以,在实际判断时,往往只需在直线某 一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) ,由

Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断出
Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面
- 14 -

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表 示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值, 使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表 示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值, 使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值. 四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真 假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 真假性没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;
y y ?b ; 或z ? x x?a
q 的充分条件, q 是 p 的必要条件;

若 p ? q, 则 p 是 q 的充分必要条件, 简称充要 条件. ⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来 区分命题的条件 p 与结论 q 之间的关系: Ⅰ、从逻辑推理关系上看:

②“斜率”型: z ?

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ? x 2 ? y 2 ;

①若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件, q 是 p 的必要 条件; ②若 p ? q ,但 q 条件; ③若 p 条件;
q ,但 q ? p ,则 p 是 q 必要而不充分
p ,则 p 是 q 充分而不必要

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可 结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而 使问题简单化. 选修数学知识点 专题一:常用逻辑用语 1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词: “或” “且” “非”这些词就叫 做逻辑联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的 命题. 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,……表 示命题. 2、四种命题及其相互关系

④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; ⑤若 p
q 且q
p ,则 p 是 q 的既不充分也不

必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看: 已知 A ? ? x x 满足条件 p? , B ? ? x x 满足条件

q? :
①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ②若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件; ③若 A ④若 B
- 15 -

B,则 p 是 q 充分而不必要条件; A,则 p 是 q 必要而不充分条件;

⑤若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A ? B 且 B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不 必要条件. 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) ;p 且
q ( p ? q) ;非 p ( ? p ).

⑵复合命题的真假判断 “ p 或q ” 形式复合命题的真假判断方法: 一真 必真; “ p 且q ” 形式复合命题的真假判断方法: 一假 必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假 专题二:圆锥曲线与方程 1.椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上

相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量 词的命题,叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“ ? ”表示.含有存 在量词的命题,叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题 p : ?x ??, p( x) ,它的否定 ? p :

?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题.
②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ? p :
?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 第一定义 第二定义 范围

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

到两定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

MF ? e (0 ? e ? 1) d

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点 轴长 对称性

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?
短轴的长 ? 2b

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0, b ?
长轴的长 ? 2a

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
- 16 -

焦点 焦距 离心率

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2 (0 ? e ? 1)
a2 c

准线方程 焦半径

x??

a2 c

y??

左焦半径: MF1 ? a ? ex0 右焦半径: MF2 ? a ? ex0
S?MF1F2 ? b 2 tan

下焦半径: MF1 ? a ? ey0 上焦半径: MF2 ? a ? ey0

M ( x0, y0 )
焦点三角形面积 通径 (焦点) 弦长公式

?
2

(? ? ?F1MF2 )

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

到两定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数 2 a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a 第一定义 ( 0 ? 2a ?| F1F2 | ) 第二定义 范围 顶点 轴长 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

MF ? e (e ? 1) d

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
实轴的长 ? 2a

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?
虚轴的长 ? 2b

-2-

对称性 图 形 焦点 焦距 离心率

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
a2 c
b x a

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1 ? a a2 a2 a2

(e ? 1)
a2 c
a x b

准线方程 渐近线方程

x??
y??

y??
y??

焦半径

? MF1 ? ex0 ? a ?左焦: M 在右支 ? MF2 ? ex0 ? a ? ?右焦: ? MF1 ? ?ex0 ? a ?左焦: M 在左支 ? MF2 ? ?ex0 ? a ? ?右焦:
S?MF1F2 ? b 2 cot

? MF1 ? ey0 ? a ?左焦: M 在上支 ? MF2 ? ey0 ? a ? ?右焦: ? MF1 ? ?ey0 ? a ?左焦: M 在下支 ? MF2 ? ?ey0 ? a ? ?右焦:

M ( x0, y0 )

焦点三角形面 积

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ? ?

b2 a

2.双曲线

3.抛物线

-3-

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

标准方程

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定 与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上) 义 顶 ? 0, 0? 点 离 e ?1 心 率 对 y轴 称 x轴 轴 范 围 焦 点 准 线 方 程 焦 半 径
x?0 x?0

y?0

y?0

? p ? F ? ,0? ?2 ?
p 2

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
p 2

x??

x?

y??

y?

MF ? x0 ?

M ( x0, y0 )
通 径 焦 点 弦 长 公 式 参 数 p 的 几 何 意 义

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p

参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

-4-

关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? , 则 ⑴ x1 x2 ?
p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

⑵ AB ?

2p ; sin 2 ?

⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切;

? ⑷ 焦点 F 对 A 、 B 在准线上射影的张角为 ; 2

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P

专题三:定积分 1、定积分的概念 如果函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,用分点



?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

【 其 中 F ( x) 叫 做 f ( x) 的 一 个 原 函 数 , 因 为

a ? x0 ? x1 ? … ? xi ?1 ? xi ? … ? xn ? b 将区间
[a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ]

? F ( x) ? C ?? ? F ?( x) ? f ( x) 】
3、常用定积分公式 ⑴ ? 0dx ? c ( c 为常数) ⑵ ? 1dx ? x ? c ⑶ ? x? dx ?
x? ?1 ? c (? ? ?1) ? ?1

上任取一点 ?i (i ? 1, 2,…, n) ,作和式
Ln ? ? f (?i )?x ? ?
i ?1 i ?1 n n

b?a f (?i ), ,当 n ?? 时, n

上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函 数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分.记作

? f(x )dx ,即 ? f ( x)dx ? lim ?
b

b

n

a

a

n ??

i ?1

b?a f (?i ) ,这 n

1 ⑷ ? dx ? ln x ? c x

⑸ ? e x dx ? e x ? c ⑹ ? a x dx ?
ax ? c (a ? 0, a ? 1) ln a

里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间
[a, b] 叫做积分区间,函数 f ( x) 叫做被积函数,

x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫做被积式.
说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、 可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分 割;②近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [a, b] 上可积,
-5-

⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c ⑻ ? cos xdx ? sin x ? c
1 ⑼ ? sin axdx ? ? cos ax ? c (a ? 0) a 1 ⑽ ? cos axdx ? sin ax ? c (a ? 0) a 4、定积分的性质

⑴ ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数) ;
a a

b

b

⑵ ? f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a a

b

b

b

⑶ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a a c
a ? c ? b) ;

b

c

b

图(1) ② 由 一 条 曲 线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 )与 直 线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的 面积: S= ? f ( x )dx =-? f ( x )dx (如图(2) ) ;
a a b b

⑷ 利 用 函 数 的 奇 偶 性 求 定 积 分 : 若 f ( x) 是
[?a, a] 上的奇函数 , 则 ? f ( x )dx ? 0 ; 若 f ( x) 是
?a a

[?a, a] 上的偶函数,则 ? f (x)dx ? 2? f (x)dx .
?a 0

a

a

5、定积分的几何意义 定积分 ? f ( x)dx 表示在区间 [a, b] 上的曲线
a b

图(2) ③由一条曲线 y ? f ( x) 【当 a ? x ? c 时, f ( x) ? 0 ? ? f ( x)dx ? 0;
a c

y ? f ( x) 与直线 x ? a 、 x ? b 以及 x 轴所围成的

平面图形(曲边梯形)的面积的代数和,即

?

b

a

f ( x)dx ? S x轴上方-S x轴下方 . (在 x 轴上方的面积

当 c ? x ? b 时, f ( x) ? 0 ? ? f ( x)dx ? 0. 】
c

b

取正号,在 x 轴下方的面积取负号) 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线 的大致图像; ⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标, 确定积分的上、下限; ⑶写出定积分表达式; ⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值 的和. 7、定积分的简单应用 ⑴定积分在几何中的应用: 几种常见的曲边梯形面积的计算方法: (1) x 型区域: ① 由 一 条 曲 线 y ? f ( x)(其中f ( x) ? 0 )与 直 线
x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边梯形的

与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 以及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积: S=? f ( x)dx ?
a c

?

b

c

f ( x )dx

=? f ( x)dx ? ? f ( x)dx.(如图(3) ) ;
a c

c

b

图(3) ④由两条曲线 y ? f ( x),y ? g ( x) ( f ( x) ? g ( x)) 与直线 x ? a, x ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面

b f ( x)dx (如图(1) 面积: S=?a ) ;

S ? ? f ( x)dx ?? g ( x)dx ? ? 积:
a a

b

b

b

a

? f ( x) ? g ( x)? dx.

(如图(4) )

-2-

图(4) (2) y 型区域: ①由一条曲线 y ? f ( x)(其中x ? 0 与直线 ) y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的 面积,可由 y ? f ( x ) 得 x ? h( y ) ,然后利用 ) ; S= h( y)dy 求出(如图(5)
a

图(7) ⑵定积分在物理中的应用: ①变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程 S ,等 于其速度函数 v ? v( t)(v(t ) ? 0)在时间区间 ? a, b? 上的定积 分,即 S ? ? v(t )dt. .
a b

?

b

②变力作功 物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动,并且 物 体 沿 着 与 F ( x) 相 同 的 方 向 从 x ? a 移 动 到
x ? b( a ? b) ,

图(5) ②由一条曲线 y ? f ( x)(其中x ? 0 与直线 ) y ? a, y ? b(a ? b) 以及 y 轴所围成的曲边梯形的 面积,可由 y ? f ( x ) 先求出 x ? h( y ) ,然后利用
S= h( y )dy =- h( y )dy 求出(如图(6) ) ;
a a

那么变力 F ( x) 所作的功 W ? ? F ( x)dx .
a

b

专题四:推理与证明
知识结构 合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 数学归纳法 演绎推理 比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法 归纳推理 类比推理

?

b

?

b

图(6) ③由两条曲线 y ? f ( x),y ? g( x) 与直线 y ? a, y ? b(a ? b) 所围成的曲边梯形的面积,可 由 y ? f ( x),y ? g( x) 先分别求出 x ? h1 ( y) ,
x ? h2 ( y) ,然后利用 S= | h1 ( y)-h2 ( y) | dy 求出
a

?

b

(如图(7) ) ;

1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊 到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一 般命题(猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类
-3-

对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的 特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗 地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下 的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出 的判断. 用集合的观点来理解: 若集合 M 中的所有元 素都具有性质 P , S 是 M 的一个子集 , 那么 S 中 所有元素也都具有性质 P.
M ·a S

要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过 正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错 误, 从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一 种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾 为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种 方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推) 假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N * ) 时 命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对 从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关 的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列 通项公式、几何中的计算问题等. 专题五:数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位 i ; ⑵复数的代数形式 z ? a ? bi (a, b ? R) ; ⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不 一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提 和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定 正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使 它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止. 框图表示:
-4-

复数 z ? a ? bi

? a, b ? R ?

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? ?

3、相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ? a 2 ? b 2 ⑷ z ? a ? bi z, z 指两复数实部相同, 虚部互为相反数 (互 为共轭复数). 4、复数运算

⑴复数加减法:

?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c? ? ?b ? d ?i ;
⑵复数的乘法:

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;
⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. ⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个 步骤有 m1 种不同的方法,做第二个步骤有 m2 种 不同的方法……做第 n 个步骤有 mn 种不同的方 法.那么完成这件事情共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法. 2、排列与组合 ⑴排列定义: 一般地, 从 n 个不同的元素中任取
m?m ? n ? 个元素,按照一定的顺序排成一列,

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法 的分母实数化) 5、常见的运算规律

叫做从 n 个不同的元素中任取 m 个元素的一个 排列. ⑵组合定义: 一般地, 从 n 个不同的元素中任取 叫做从 n 个不同的元 m?m ? n ? 个元素并成一组, 素中任取 m 个元素的一个组合. ⑶排列数: 从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个 元素的所有排列的个数, 叫做从 n 个不同的元素

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i

4 n?1

? i, i
2

4 n?2

? ?1, i

4 n?3

? ?i, i

4 n?4

? 1;
2

(7) ?1 ? i ? ? ?i;(8)

1? i 1? i ?1? i ? ? i, ? ?i , ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?

m 中任取 m 个元素的排列数,记作 An .

⑷组合数: 从 n 个不同的元素中任取 m?m ? n ? 个 元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同的元素
m 中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn .

(9 ) 设 ? ?

? 1 ? 3i 是 1 的立方虚根,则 2

1 ? ? ? ? 2 ? 0 , ? 3n?1 ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1

⑸排列数公式:
m ① An ? n?n ?1??n ? 2???n ? m ? 1?

6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中

x 轴叫做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚
轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?复平面内的点Z (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?平面向量OZ

m An ?

n! ; ?n ? m?!

n ② An ? n!,规定 0! ? 1 .

⑹组合数公式: n?n ? 1??n ? 2?? ?n ? m ? 1? m ? ① Cn 或 m!
m Cn ?

专题六:排列组合与二项式定理 1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办 法中有 m1 种不同的方法, 在第二类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同 的方法.那么完成这件事情共有
-5-

n! ; m!?n ? m ?!

0 m n ?m ② Cn ,规定 Cn ? 1. ? Cn

⑺排列与组合的区别:排列有顺序,组合无顺 序.

m m m ⑻排列与组合的联系: An ,即排列就 ? Cn ? Am

是先组合再全排列.
m Cn ?

m An n ? (n ? 1) ? ? (n ? m ? 1) n! ? ? ( m ? n) m n Am m ? (m ? 1) ? ? 2 ?1 m!? n ? m ?! ⑷ ?1 ? x ? 的展开式:

r r n ?r r 系数为 Cn ,第 r ? 1 项的系数为 Cn a b ;而 1 ( x ? ) n 的展开式中的系数等于二项式系数;二 x 项式系数一定为正,而项的系数不一定为正.

⑼排列与组合的两个性质性质
m m m?1 m m m?1 排列 An ;组合 Cn . ?1 ? An ? mA n ?1 ? Cn ? Cn

1 n?1 2 n ?2 n 0 ?1? x?n ? Cn0 xn ? Cn x ? Cn x ??? Cn x ,

若令 x ? 1 ,则有
1 2 n . ?1?1?n ? 2n ? Cn0 ? Cn ? Cn ??? Cn

⑽解排列组合问题的方法 ①特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法: 先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他 元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置 的要求,再考虑其他位置). ②间接法(对有限制条件的问题,先从总体考 虑,再把不符合条件的所有情况去掉). ③相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素 “捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普通 元素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在 这些位置上全排列). ④不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相 邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后 再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素 之间). ⑤有序问题组合法. ⑥选取问题先选后排法. ⑦至多至少问题间接法. ⑧相同元素分组可采用隔板法. ⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平 均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n!. 3、二项式定理 ⑴二项展开公式:

二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
0 2 1 3 的和.即 Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1

⑸二项式系数的性质: (1)对称性:与首末两端“等距离”的两 m n ?m 个二项式系数相等,即 Cn ; ? Cn n ?1 (2)增减性与最大值:当 r ? 时,二项 2 n ?1 式系数 C r 当r ? 时,C r n 的值逐渐增大, n 的值 2 逐渐减小,且在中间取得最大值。当 n 为偶数 n n 时, 中间一项 (第 +1 项) 的二项式系数 C n2 取 2 n ?1 得最大值.当 n 为奇数时,中间两项(第 和 2 n ?1 n ?1 n ?1 +1 项) 的二项式系数 Cn 2 ? Cn 2 相等并同 2 时取最大值. ⑹系数最大项的求法 设 第 r 项 的 系 数 Ar 最 大 , 由 不 等 式 组
? Ar ? Ar ?1 ? ? Ar ? Ar ?1 可确定 r . ⑺赋值法

?a ? b?

n

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ?

r n?r r ? Cn a b

?

n n ? Cn b ? n ? N? ? .

⑵二项展开式的通项公式:
r n ?r r Tr ?1 ? Cn a b ?0 ? r ? n, r ? N , n ? N? ? .主要用

若 (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ... ? an xn , 则设 f ( x) ? (ax ? b)n . 有: ① a0 ? f (0); ② a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? f (1); ③ a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (?1)n an ? f (?1);
-6-

途是求指定的项. ⑶项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概 念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系 数就是二项式系数.如 在 (ax ? b)n 的展开式中, 第 r ? 1 项的二项式

f (1) ? f (?1) ; 2 f (1) ? f (?1) . ⑤ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ... ? 2

④ a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ... ?

专题七:随机变量及其分布
知识结构

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑷独立重复试验 ①一般地, 在相同条件下重复做的 n 次试验 称为 n 次独立重复试验. ②独立重复试验的概率公式

如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p , 那么在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率
k P ? Cn p n (k ) k

? (p 1

? n

)?kk ? 0 ,, 1 2 n? ,.

1、基本概念 ⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C ,其中任何两个都是互 斥事件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A、B 是互斥事件时,那么事件 A ? B 发 生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率的和,即
P( A ? B )? P ( A ) ?

⑸条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知 事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做 条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.
P( AB) , P( A) ? 0. P( A)

公式: P( B A) ?

. P ( B )

2、离散型随机变量 ⑴随机变量:如果随机试验的结果可以用一 个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量
王新敞
奎屯 新疆

⑵对立事件:其中必有一个发生的两个互斥事 件.事件 A 的对立事件通常记着 A . 对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1 ? P( A) . 特别提醒:“互斥事件”与“对立事件” 都是就两个事件而言的,互斥事件是不可能同 时发生的两个事件,而对立事件是其中必有一 个发生的互斥事件,因此,对立事件必然是互 斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,也就 是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条 件. ⑶相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对 事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其 中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率 没有影响).这样的两个事件叫做相互独立事 件. 当 A、B 是相互独立事件时, 那么事件 A ? B 发生(即 A、B 同时发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率的积.即
-7-

随机变量常用字母 X , Y , ? ,? 等表示. ⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取 的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机 变量叫做离散型随机变量. ⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取 的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变 量就叫做连续型随机变量. ⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区 别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量 都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型 随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而 连续性随机变量的结果不可以一一列出. 若 X 是随机变量,Y ? aX ? b(a, b 是常数) 则 Y 也是随机变量 并且不改变其属性(离散 型、连续型). 3、离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布(分布列) 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,…, xi ,…, xn ,
王新敞
奎屯 新疆

X 的每一个值 xi ( i ? 1, 2,?, n )的概率 P( X ? xi ) ? pi ,则称表 X x 1 x 2 … x i … xn
P

? X ? k? 发生的概率为
P( X ? k ) ?
k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2, n CN

, m ) ,于是得

p1

p2



pi



pn

到随机变量 X 的概率分布如下:
X

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ? 0, i ? 1, 2,...n; ⑵两点分布 如果随机变量 X 的分布列为
X
P

② ? pi ? 1.
i ?1

n

0
0 n ?0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN



m

P

m n ?m CM CN ?M … n CN

0
1? p

1
p

其中 m ? min? M , n? , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * . 我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分 布列,且称随机变量 X 服从超几何分布. 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵超几何分布中的参数是 M , N , n. 其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量. 4、离散型随机变量的均值与方差 ⑴离散型随机变量的均值 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … xn
P

则称 X 服从两点分布, 并称 p ? P( X ? 1) 为成功 概率. ⑶二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k .

其中 k ? 0,1, 2,..., n, q ? 1 ? p ,于是得到随 机变量 X 的概率分布如下: 0 1 … k … n X
P
C pq
0 n 0 n

p1

p2



pi



pn

则称
C pq
1 n 1 n ?1

… Cn p q
k k

n?k

… Cn p q
n n

0

E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ?

? xi pi ?

? xn pn 为离散

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作
X ~ B?n, p ? ,并称 p 为成功概率.

型随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望). 它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 性质:① E(aX ? b) ? aE( X ) ? b. ②若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p. ③若 X ~ B?n, p ? ,则 E ( X ) ? np. ⑵离散型随机变量的方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … xn
P

判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有 三点: ①对立性:即一次试验中事件发生与否二者必 居其一; ②重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均 相等. 注:⑴二项分布的模型是有放回抽样; ⑵二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷超几何分布 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件
-8-

p1

p2



pi



pn

则称

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) pi 为离散型随机变量 X
2 i ?1

n

相关系数: r ?

?? x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2 n 2

的方差,并称其算术平方根 D( X ) 为随机变量

? ? xi ? x ? ? ? yi ? y ?
i ?1

X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的 稳定与波动,集中与离散的程度.
D( X ) 越小, X 的稳定性越高,波动越小,

?

? x y ? nxy
i ?1 i i n ? n 2 2 ?? 2 2? x ? nx ?? i ?? ? yi ? ny ? ? i ?1 ?? i ?1 ?

n

取值越集中; D( X ) 越大, X 的稳定性越差,波 动越大,取值越分散.
性质:① D(aX ? b) ? a2 D( X ). ②若 X 服从两点分布,则
D( X ) ? p(1 ? P).

③若 X ~ B?n, p ? ,则 D( X ) ? np(1 ? P). 5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式:

2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分 另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数 2 ? 2 列联 表为: y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”, 可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关 系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度. 具体的做法是,由表中的数据算出随机变 量 K 2 的值 K 2 ?

f ?x ? ?

1 2? ? ?

e

?

? x ? ? ?2
2? 2

, x ? R ,其中 ?,? 是参数,

n(ad ? bc)2 , 其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

且 ? ? 0,?? ? ? ? ?? .记作 N (?, ? 2 ). 如下图:

n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K2 的值越大,说明 “X 与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 2 越大,说明两个分类变量,关 系越强;反之,越弱。

K 2 ? 3.841 时,X 与 Y 无关; K 2 ? 3.841 时,

X 与 Y 有 95%可能性有关; K 2 ? 6.635 时 X 与 Y 专题八:统计案例 1、回归分析
? ? a ? bx , 回归直线方程 y

有 99%可能性有关.

? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ?b ? ? i ?1n n 2 其中 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx
n n

专题九:坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一 ?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 点,在变换 ? : ? 的作用下,点 ?y? ? ? ? y, (? ? 0). P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐 标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一个长度单
-9-

M ( ? ,? )

位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标 系。

?
?
O 图1

x

点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 注: 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同 一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表 示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? , 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示 (即一 一对应的关系) ;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点 也是唯一确定的。

? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极径为 0,而极 角任意取.若对 ? 、? 的取值范围加以限制.则 除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限 定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系 中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中, 点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是 不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ? ,? ) ,从图中可以得出:
y ? ? sin? y ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan? ? ( x ? 0). x
y

x ? ? cos? ,

N

x

M

? ?
? ? ? ? ? ? ?

y

x ? ? co ?
M ? ? si ? y a ?
?

O
? ? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2

H
M

O

x

?

(直极互化 图)

O

M y ta ? ? ( x ? 0) x x a

?
?

a

O

x

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

极坐标与直角坐标都是一对有序实数确 定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实 数 ? 、 ? 对应惟一点 P( ? , ? ),但平面内任一 个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个 坐标, 这些坐标又有规律可循的, P( ? ,? ) (极 点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,
- 10 -

4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是

? ?a; (如图 1)
②以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐 标方程是 ? ? 2acos? ; (如图 2) ③以 (a, ) (a ? 0) 为圆心,a 为半径的圆的极坐 2 标方程是 ? ? 2asin? ; (如图 4) ⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和 ? ? ? ? ? ( ? ? 0) . (如图 1) ②过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的 极坐标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标方 程为 x ? a .(如图 2) ? ③过点 A(a, ) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标 2 方程是 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为
y ? a .(如图 4)

? x ? ? cos ? ? 标 ( ? ,? , z ) 的变换关系为: ? y ? ? sin ? . ?z ? z ?

⑵球坐标系 空间点 P 直角坐标 ( x, y, z ) 与球坐标 (r ,? , ? )
? x2 ? y2 ? z 2 ? r 2 ? ? x ? r sin ? cos ? 的变换关系: ? . ? y ? r sin ? sin ? ? ? z ? r cos ? 6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点 ? x ? f (t ), 的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数 ? 并 ? y ? g (t ), 且对于 t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的 点 M ( x, y) 都在这条曲线上,那么这个方程就叫 做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关 系的方程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程

?

(1)圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的参数方程为

M(? , ?
?



M

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b ? r sin ?
M

?
0

?
?

O

x

?

(2)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos?
M(? ,?


? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b sin ?
椭圆
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2

M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

a ?? sin?

a ? ?? sin?

图5

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ; ? y ? a sin ? ?
x2 y 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a b

图6
??
a c o s? ( ? ?)

5、柱坐标系与球坐标系 ⑴柱坐标:空间点 P 的直角坐标 ( x, y, z ) 与柱坐
- 11 -

? x ? a sec ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b tan ?
双曲线
y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程 a 2 b2

意一点与原点连线的斜率的倒数. (6)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? (? ?

?
2

) 的直

? x ? x 0 ? t cos ? 线的参数方程 ? ( t 为参数). ? y ? y 0 ? t sin ?

t ?x ? b c o ? ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? ac s c
? x ? 2 pt 2 (4)抛物线 y 2 ? 2 px 参数方程 ? (t 为 ? y ? 2 pt

8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参 数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化 中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数,并 且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变 形,则一定要通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的 取值范围导出 x, y 的取值范围.

参数, t ?

1 ) ; tan ? 参数 t 的几何意义: 抛物线上除顶点外的任

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