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线面,面面 垂直平行练习题 okok


高中空间点线面之间位置关系知识点总结
1 平面含义:平面是无限延展的 3 三个公理: 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个

公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点:

a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 β

一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的( (A)一条直线不相交 (C)无数条直线不相交 (B)两条直线不相交 (D)任意一条直线都不相交 ) )

2、已知 a ?b? ,则必有( || , ?

()| Ab a | (C)a,b 相交

() b B 异面 a , ( D)a,b 平行或异面


3、若直线 a,b 都与平面?平行,则 a 和 b 的位置关系是( (A)平行 (B)相交 (C)异面

(D)平行或相交或是异面直线 @4、下列四个命题中,正确命题的个数是( (1)过直线外一点,只能作一条直线与这条直线平行; (2)过平面外一点,只能作一条直线与这个平面平行; (3)过直线外一点,只能作一个平面与这条直线平行; (4)过两条异面直线中的一条直线,只能作一个平面与另一条直线平行。 )个

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4 )

5、下列命题中,错误的命题是(

(A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个 平面相交; (B)一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行; (C)经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行; (D)空间四边形相邻两边的中点的连线,平行于经过另外两边的平面。 6.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线( A.异面 B.相交 C.平行 D.不确定 )

7.已知平面@、 和直线 m, β 给出条件: m∥@; m⊥@; m?@; @⊥β ; @∥β .为使 m∥β , ① ② ③ ④ ⑤ 应选择下面四个选项中的 ( A.①④ B.①⑤ ) C.②⑤ D.③⑤

8.下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行,则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行,则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行,则平面内有无数直线与已知直线平行,它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行,则平面内任意直线都与已知直线异面 9.若直线 l 与平面α 的一条平行线平行,则 l 和α 的位置关系是 ( ) A

l ??

B l // ?

C l ? ?或l // ?

D l和?相交

10.若直线 a 在平面α 内,直线 a,b 是异面直线,则直线 b 和α 平面的位置关系是 ( ) A.相交 B。平行 C。相交或平行 D。相交且垂直 11.下列各命题: (1) 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线; (2) 若一条直线平行于两相交平面,则这条直线和交线平行; (3) 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 12. 若一个平面内的两条直线分别平行于零一个平面内的两条直线, 则这两个平面的位置关系是 ( ) A.一定平行 B.一定相交 C.平行或相交 D.以上判断都不对 @13、已知 m、n 表示两条直线, ? , ? , ? 表示三个平面,下列命题中正确的个数是( ①若 ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, 且m // n, 则? // ? )

②若 m,n 相交且都在 ?、 ?外,m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则? // ? ③若 ? ? ? ? l , m // ? , m // ? , n // ? , n // ? , 则m // n ④若 m// ? ,n// ? ,则m // n A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

14. a 是平面 ? 外一条直线,过 a 作平面 ? ,使 ? ∥ ? ,这样的 ? (

A.只能作一个 B.至少可以做一个 C.不存在 D.至多可以作一个 15.有以下三个命题: ① 两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行; ②经过平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面; ③平面 ? ∥平面 ? ,直线 a ? ? , 直线b ? ? , 那么直线 a,b 的位置关系可能是平行或异面.其中 正确命题的个数为( ) A. B.1 C.2 D.3 @16. 以下命题(其中 a,b 表示直线,? 表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 17.判断下列命题是否正确,若正确,请简述理由,若不正确,请给出反例. (1) 如果 a、b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面;( ) (2) 如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥α , b∥α ,那么 a∥b ;( ) (3) 如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥b, a∥α ,b ? α , 那么 b∥α ;( ) (4) 过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( ) 一、选择题 @1、以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确命题的个数是 ( ) (A)0 个(B)1 个 (C)2 个(D)3 个 2、已知 a∥?,b∥?,则直线 a,b 的位置关系①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交; ⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 @3、如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a,则直线 AB 和平面?的位置关系一定 是( ) (A)平行(B)相交(C)平行或相交 (D)AB?? 4、已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l( ) (A)与 m,n 都相交 (B)与 m,n 中至少一条相交

(C)与 m,n 都不相交 (D)与 m,n 中一条相交 @5、已知直线 m、n 与平面α 、β ,给出下列三个命题: ①若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n;②若 m∥α ,n⊥α ,则 n⊥m;③若 m⊥α ,m∥β ,则α ⊥β .其中真 命题的个数是? ? A.0 B.1 C..2 D.3

6、若 a 、 b 为空间两条不同的直线, ? 、 ? 为空间两个不同的平面,则 a ? ? 的一个充分条件 是 A. a // ? 且 ? ? ? B. a ? ? 且 ? ? ? C. a ? b 且 b // ? D. a ? ? 且 ? // ?

@7、设直线 m、n 和平面 ? 、 ? ,则下列命题中正确的是 .. A.若 m // n,m ? ?,n ? ?, ? // ? 则 B.若 m // n,m ? ?,n ? ?, ? ? ? 则 C.若 m ? ?,m ? n,n ? ?, ? // ? 则 D.若 m // n,m ? ?,n ? ?, ? ? ? 则 @8、对于平面 ? 和共面的直线 m 、 n, 下列命题中真命题是 A.若 m ? ? , m ? n, 则 n∥ ? C.若 m ? ? , n∥? ,则 m∥n B.若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n D.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n ( )

9、若直线 a 与平面α 不垂直,那么在平面α 内与直线 a 垂直的直线 A.只有一条 B.有无数条 C.所有直线 D.不存在

10、经过平面α 外一点和平面α 内一点与平面α 垂直的平面有 A.0 个 B.1 个 C.无数个 )

( D.1 个或无数个



@11、已知直线 a,b 和平面 ? ,下列命题中正确的是( A.若 a // ? , b ? ? , 则a // b B.若 a // ? , b // ? , 则a // b C.若 a // b, b ? ? , 则a // ? D.若 a // b, a // ? , 则b ? ?或b // ?

@12、已知直线 m⊥平面α ,直线 n ? 平面β ,下列说法正确的有 ①若 ? // ? , 则m ? n ③若 m//n,则 ? ? ? A.1 个 B.2 个 ②若 ? ? ? ,则 m//n ④若 m ? n,则? // ? C.3 个 D.4 个





13、已知平面α 内有无数条直线都与平面β 平行,那么 A.α ∥β B.α 与β 相交 C.α 与β 重合 14、经过平面外两点与这个平面平行的平面





D.α ∥β 或α 与β 相交 ( )

A.只有一个

B.至少有一个

C.可能没有

D.有无数个 )

@15、已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m ? , m ? , 则?‖ ? ‖ ‖ B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

16、设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? 。下列四个命题中,正确的是 A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 17、设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是 A a ? ? ,b // ? , ? ? ? C B D

a ? ? , b ? ? , ? // ? a ? ? ,b // ? , ? ? ?

a ? ? , b ? ? , ? // ?

@20、对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面α ,使得 A. a ? ? , b ? ? C. a ? ? , b ? ? B. a ? ? , b ∥α D. a ? ? , b ? ?

1.长方体 ABCDA′B′C′D′中,E、F 分别是平面 ABCD、平面 A′B′C′D′的中 心,长方体的 6 个面中与 EF 平行的有( D ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2.b 是平面 α 外的一条直线,下列条件中可得出 b∥α 的是( D ) (A)b 与 α 内一条直线不相交 (B)b 与 α 内两条直线不相交 (C)b 与 α 内无数条直线不相交 (D)b 与 α 内所有直线不相交 3.如图,△ABC 的边 BC 在平面 α 内,EF 是△ABC 的中位线,则( A ) (A)EF 与平面 α 平行 (B)EF 与平面 α 不平行 (C)EF 与平面 α 可能平行,也可能相交 (D)EF 与平面 α 可能相交 4.设 b 是一条直线,α 是一个平面,则由下列条件不能得出 b∥α 的是( )

(A)b 与 α 内一条直线平行 (B)b 与 α 内所有直线都没有公共点 (C)b 与 α 无公共点 (D)b 不在 α 内,且与 α 内的一条直线平行 5.正方体 AD′中,与平面 AC 平行的平面是( A ) (A)平面 A′C′ (B)平面 AD′ (C)平面 AB′ (D)平面 BC′ 6.已知平面 α∥平面 β,平面 β∥平面 γ,则平面 α 与平面 γ 的位置关系是( A ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交 7.下列命题中正确的是( ) ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行. (A)①③ (B)②④ (C)②③④ (D)③④ 8.若 a∥α,α∥β,则 a 与 β 的位置关系是( D ) (A)a∥β (B)a 与 β 相交 (C)a∥β 或 a 与 β 相交 (D)a∥β 或 a?β

9.经过直线外一点有______个平面与已知直线平行;经过直线外一点有______条直线与已知直 线平行. 10.一个平面内有两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面的位置关系是________. [当堂检测]

1.下列命题,其中真命题的个数为 . ①直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l∥ ? ; ②若直线 a 在平面 ? 外,则 a∥ ? ; ③若直线 a∥b,直线 b ? ? ,则 a∥ ? ; ④若直线 a∥b,b ? ? ,那么直线 a 就平行于平面 ? 内的无数条直线. 2. 对于不重合的两个平面 ? 与 ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? , ? 都垂直于 ? ; ②存在平面 ? ,使得 ? , ? 都平行于 ? ; ③存在直线 l ? ? ,直线 m ? ? ,使得 l∥m; ④存在异面直线 l、m,使得 l∥ ? ,l∥ ? ,m∥ ? ,m∥ ? . 其中,可以判定 ? 与 ? 平行的条件有 (写出符合题意的序号).

3. 已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ∩ ? =l,点 A∈ ? ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥
?

,m∥ ? ,则下列四种位置关系中,一定成立的是

.

①AB∥m ③AB∥ ?

②AC⊥m ④AC⊥ ?

12.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分别是 AB、CD、A1B1、C1D1 的中点. 求证:平面 A1EFD1∥平面 BCF1E1.

1、正方体 A B C D - A1 B1 C1 D1 中,E 为 DD1 的中点。 求证: BD1 ∥平面 ACE。

@2、已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别为 A1 D1 和 CC1 的中点. 求证:EF∥平面 ACD1 ;

3、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 BC、 C1 D1 的中 点。 求证:EF∥平面 BB1 D1 D 。

0@4、在正方形 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P、Q 分别为 AD1 、BD 的中点。 证明:PQ∥平面 DCC1D1 ;

@5、正方体中 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M,N, E,F 分别是棱 A1B1 , A1 D1 , B1C1 , C1 D1 的 中点。 求证:平面 AMN∥平面 EFDB。

@6、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D 为线段 A1C1 中点。 求证: BC1 ∥平面 AB1 D

7、四棱锥 P-ABCD 中, E、

F 分别在 PA、

BD 上, 且有 PE:EA=BF:FD,证明:EF//平面 PBC。 @@@

[典型例析] 例 1 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1,BC1 上分别有两点 E,F,
且 B1E=C1F. 求证:EF∥平面 ABCD.

例 3 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、
C1D1、A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H.

11.如图, 在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中, 是 PC 的中点. E 求证: PA∥平面 BDE.

二、解答题 1、在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 BC、CD、CC1 的中点. (1)求证:B1D1//面 EFG; (2)求证:面 EFG⊥AA1C1C.

D1 A1 B1

C1

G

D A

F E B

C

2、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点.

D1
求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1

C1 B1

A1 D O A

C B

3、如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中 点. (Ⅰ)求证: PA // 平面 BDF ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDF .
P

F A D

B

C

1、S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.

S

A

C

B 2、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD V

D A

C

B

3、如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将

?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD 求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

(第16题图)

2.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E 是 B1D1 的中点,F 是 BC1 的中点,求证: EF // ABB1 A 1

D1 E A1 B1

C1

F D C A B

3.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD 为正三角形,且与底面 ABCD 垂直,已知 底面 ABCD 菱形,?ADC ? 60? , M 为 PB 的中点,求 P 证: (1) PA ? CD ; M (2)面 CDM ? 面 PAB 。
C B

D

A

4. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,

PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明 CD ? AE ; (Ⅱ)证明 PD ? 平面 ABE ;

P
P

E A
C
B

D

5、如图,P 为 ?ABC 所在平面外一点,PA┴面 BAC, < ?ABC ? 90? , AE┴PB 于 E,AF┴PC 于 F, 求证: (1)BC┴面 PAB, (2)AE┴面 PBC, (3)PC┴面 AEF。
P

F

E A C

B

1、 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.

2、如图,棱柱

ABC ? A1B1C1 的侧面
1 1

BCC1B1 是菱形, B C ? A B
证明:平面 AB1C ? 平面 A BC1 ; 1

(1)求证:CD⊥AE; (2)求证:PD⊥面 ABE.

3、如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形。 ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD ,证明: PA ? BD

4、如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点

(Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

1. 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,CC1 ? 平面 ABC ,?ABC 是边长为 2 的等边三角形,

C1 A1

B1

D 为 AB 边中点,且 CC1 ? 2 AB . ⑴ 求证:平面 C1CD ? 平面 ABC ;⑵ 求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; ⑶ 求三棱锥 D ? CBB1 的体积.
C

B D A

6. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD ,PD // MA ,E 、G 、F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2 MA . (I)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; (II)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积 之比.

2. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1) 求证:AC⊥平面 B1D1DB; (2) 求证:BD1⊥平面 ACB1 (3) 求三棱锥 B-ACB1 体积. A

D B

C

D1 C1 A1 B1

3.如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 求证: (1)PA∥平面 BDE ; (2)BD ? 平面 PAC

例 2.如图, 已知矩形 ABCD 中, AB=10, BC=6, 将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起, A 移到 A1 使 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (Ⅰ )求证: BC ? A1D ; (Ⅱ )求证:平面 A BC ? 平面 A BD ; 1 1 (Ⅲ )求三棱锥 A ? BCD 的体积(答案: VA1 ? BCD ? 48 ) 1