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8.3空间点、线、面之间的位置关系

时间:2017-10-06


? 8.3 空间点、线、面之 间的位置关系

1.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的______在一个平面内,那么这条直 线在此平面内.它的作用是可用来证明点在平面内或 __________________. (2)公理 2:过____________上的三点,有且只有一个平面. 公理 2 的推论如下: ①经过一条直线和直线外一点,有且只有一个

平面; ②经过两条相交直线,有且只有一个平面; ③经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 2 及其推论的作用是可用来确定一个平面,或用来证明点、 线共面. (3) 公理 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 ____________过该点的公共直线.它的作用是可用来确定两个平面的 交线,或证明三点共线、三线共点等问题.

2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类
相交直线:同一个平面内,有且只有 ?共面直线? ? ?平行直线:同一个平面内, ? ? 异面直线:不同在任何一个平面内, . . .

(2)异面直线 ①定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 注:异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指 “不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”,也可以理解为“既 不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别在两个平面内 的两条直线”. ②异面直线的画法:画异面直线时,为了充分显示出它们既不平 行又不相交,也不共面的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加 强直观性.

③异面直线所成的角:已知两条异面直线 a,b,经过 空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成 的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 异 面直线所成角的范围是____________.若两条异面直线所 成的角是直角,则称两条异面直线__________,所以空间 两条直线垂直分为相交垂直和__________. 3.平行公理 公理 4: 平行于____________的两条直线互相平行(空 间平行线的传递性). 它给出了判断空间两条直线平行的依 据. 4.等角定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角____________.

自查自纠: 1.(1)两点 直线在平面内 (2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2.(1)一个公共点 没有公共点 没有公共点 π? ? (2)③ 0,2 互相垂直 异面垂直 ? ? 3.同一条直线 4.相等或互补

给出下列命题: ①经过三点确定一个平面; ②梯形可以确定一个平面; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
解:经过不共线的三点可以确定一个平面,①错误;两条平 行线可以确定一个平面,②正确;两两相交的三条直线可以确定 一个或三个平面, ③正确; 命题④中没有说明三个交点是否共线, 这两个平面可能相交或重合,④错误.故选 C.

(2015·广东)若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 α 内, l2 在平面 β 内,l 是平面 α 与平面 β 的交线,则下列命题正确的 是( ) A.l 与 l1,l2 都不相交 B.l 与 l1,l2 都相交 C.l 至多与 l1,l2 中的一条相交 D.l 至少与 l1,l2 中的一条相交

解:可用反证法,假设 l 与 l1,l2 都不相交,因为 l 与 l1 都在平面 α 内, 于是 l∥l1, 同理 l∥l2, 于是 l1∥l2 与已知矛盾.故选 D.

若点 P∈α,Q∈α,R∈β,α∩β=m,且 R?m,PQ ∩m=M, 过 P, Q, R 三点确定一个平面 γ, 则 β∩γ 是( ) A.直线 QR B.直线 PR C.直线 RM D.以上均不正确
解:因为 PQ∩m=M,m?β,所以 M∈β. 又 M∈平面 PQR,即 M∈γ,故 M 是 β 与 γ 的公共点. 又 R∈β,R∈平面 PQR,即 R∈γ, 所以 R 是 β 与 γ 的公共点.所以 β∩γ=MR.故选 C.

(2015·福建六校联考)设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面 给出四个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序号).

解:由公理 4 知①正确;当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故②错;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③错; a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面 内”,故④错.故填②③④.

已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CC1 的中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余 弦值为____________.
解:连接 DF,则 AE∥DF, 所以∠D1FD 即为异面直线 AE 与 D1F 所成的角. 设正方体 的棱长为 a, 5 则 D1D=a,DF=D1F= a, 2

cos∠D1FD=

? 5 ?2 ? 5 ?2 2 ? a? +? a? -a 3 ?2 ? ?2 ?
5 5 2· a· a 2 2

3 = .故填 . 5 5

类型一

基本概念与性质问题

在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1, CC1 的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直 线有________条.

解:如图示,在 EF 上任取一点 M,直线 A1D1 与 M 确 定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N,当 M 取不同的位置时就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的 交点 N,而直线 MN 与这 3 条直线都有交点.故填无数.

点拨: 本题难度不大,但比较灵活.解题关键在于构造平面,可 考虑过一条直线及另一条直线上的一点作平面, 进而找出与三 条异面直线都相交的直线.解决点、线、面位置关系问题可借 助平面、立体(长方体、正方体)模型,有利于我们看清问题.

一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( )

A.AB∥CD B.AB 与 CD 相交 C.AB⊥CD D.AB 与 CD 所成的角为 60°

解:将展开图还原,得如图所示正方体,

易知 AB 与 CD 是异面直线, 且它们所成的角为 60°. 故选 D.

类型二

点共线、线共点问题

如图,空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的 中点,G,H 分别在 BC,CD 上,且 BG∶GC=DH∶HC=1∶2.

(1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)设 EG 与 FH 交于点 P,求证:P,A,C 三点共线.

证明:(1)因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点, 所以 EF∥BD. BG DH 1 在△BCD 中,因为 = = , GC HC 2 所以 GH∥BD,所以 EF∥GH. 所以 E,F,G,H 四点共面. (2)因为 EG∩FH=P,P∈EG,EG?平面 ABC, 所以 P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. 所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点. 又平面 ABC∩平面 ADC=AC, 所以 P∈AC,即 P,A,C 三点共线.

点拨: (1)证明四点共面的基本思路: 一是直接证明, 即利 用公理或推论来直接证明;二是先由其中不共线的三点 确定一个平面, 再证第四个点也在这个平面内即可. (2) 要证明点共线问题,关键是转化为证明点在直线上,也 就是利用公理 3,即证点在两个平面的交线上,本题即 采用这种证法;或者选择其中两点确定一直线,然后证 明另一点也在直线上. (3)证明空间三线共点问题, 先证 两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问 题转化为证明点在直线上,如变式 2.

如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分 别为 AB,AA1 的中点.

求证:(1)EF∥D1C; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

证明: (1) 连接 A1B ,则 EF∥A1B , A1B∥D1C. 所以 EF∥D1C.

(2)因为面 AA1D1D∩面 ABCD=DA, 1 且 EF∥D1C,EF= D1C, 2 所以 D1F 与 CE 相交. 又 D1F?面 AA1D1D,CE?面 ABCD, 所以 D1F 与 CE 的交点必在 DA 上. 所以 CE,D1F,DA 三线共点.

类型三

共面问题

如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, 1 1 ∠BAD=∠FAB=90°,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G,H 分别 2 2 为 FA,FD 的中点.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么?

解:(1)证明:因为 GH 是△AFD 的中位线,所以 GH 1 1 綊 AD.又 BC 綊 AD,所以 GH 綊 BC,所以四边形 BCHG 2 2 为平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面. 1 理由:BE 綊 AF,又由 G 为 FA 的中点知,BE 綊 FG, 2 所以四边形 BEFG 为平行四边形, 所以 EF∥BG.由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH, 所以 EF 与 CH 共面.又 D∈FH,所以 C,D,F,E 四 点共面.

点拨: 点共面的证明方法和点共线的证明方法类似,即先由部分点或 者线确定一个平面,再证明其余的点或者在该平面内,或者由另外 一部分点确定另一个平面,再证明这两个平面是同一个平面.无论 是点共线、线共点问题,还是共面问题,我们基本上是运用公理及 其推论来进行演绎推理,其演绎推理的基本步骤是:首先由部分点 或者线确定一条直线或者一个平面,再运用公理或者推论,证明剩 余的点、线也在这条直线或者这个平面内.

下列如图所示的正方体和正四面体中,P、Q、R、S 分别是 所在棱的中点, 则四个点共面的图形是__________. (填所有满足条件图形 的序号)

解:易知①③中 PS∥QR,所以四点共面.在②中构造如图所 示的含点 P,S,R,Q 的正六边形,易知四点共面.在④中,由点 P,R,Q 确定平面 α,

由图象观察知点 S 在平面 α 外,因此四点不共面.综上知,故 填①②③.

类型四

异面直线问题

(2014·全国)已知二面角 α?l?β 为 60°,AB?α,AB ⊥l,A 为垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ) 1 2 3 1 A. B. C. D. 4 4 4 2

解:如图,

在平面 α 内过点 C 作 CE∥AB,并取 CE=1,在平面 β 内过点 C 作 CF⊥l,并取 CF=1,过点 F 作 FD∥l,则易知△CFD 为等腰 直角三角形.∠ECF=60°,所以 EF=1,CD= 2,所以∠EFD =90°,DE= 2.于是∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其 2 2 2 2 2 2 CE +CD -ED 1 +( 2) -( 2) 2 补角, 故 cos∠ECD= = = . 2CE·CD 4 2×1× 2 故选 B.

点拨: 探求常规的异面直线所成角的问题,首先要理清求角 的基本步骤为“一作,二证,三求” ,通过平行线或补形平 移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角,其中空间 选点任意但要灵活,如常选择端点、中点、等分点,通过 三角形的中位线平行于底边,长方体对面上的平行线进行 平移等.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图 形问题转化为平面图形问题.

如图所示,在三棱锥 P?ABC 中,PA⊥平面 ABC, ∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点.

(1)求证:AE 与 PB 是异面直线; (2)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值.

解:(1)证明:假设 AE 与 PB 共面,设此平面为 α. 因为 A∈α,B∈α,E∈α,所以平面 α 即为平面 ABE, 所以 P∈平面 ABE,显然这与 P?平面 ABE 矛盾, 所以 AE 与 PB 是异面直线. (2)取 BC 的中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥PB,∠AEF(或其补 角)就是异面直线 AE 和 PB 所成的角.

因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, 所以 AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2 2 2 AE +EF -AF 2+2-3 1 cos∠AEF= = = ,即异面直线 AE 和 2·AE·EF 2× 2× 2 4 1 PB 所成角的余弦值为 . 4

1.判断空间线面关系命题的真假,是一类常见的客观题.解这类题, 一要准确把握、 理解相关概念; 二要熟悉“推理论证加反例推断”的方法; 三要借助空间直观.如教室就是一个长方体,建议同学们学立体几何时充 分借助这一模型. 2.要重视三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的互译, 特别要培养准确使用符号语言的能力. 在空间图形中, 点是最基本的元素, 点与线、点与面是元素与集合的关系,直线与平面是集合与集合的关系, 防止出现符号“∈”“?”混用的错误. 3.求两条异面直线所成角的步骤是:先作图,再证明,后计算.作 图,往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线,或过空间一特 殊点分别作两条直线的平行线,即平移线段法,此法是求异面直线所成角 的常用方法,其实质是把异面问题转化为共面问题;证明,即证明作图中 所产生的某个角是异面直线所成的角;计算,一般在一个三角形中求解, 这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决,如果计算出来的角是钝角, ? π? 则需要转化为相应的锐角,因为异面直线所成角的范围是 0,2 . ? ?

4.证明“线共面”或者“点共面”问题时,可以先 由部分直线或者点确定一个平面,再证明其余的直线或者 其余的点也在这个平面内. 5.证明“点共线”问题时,可以将这些点看做是两 个平面的交线上的点,只要证明这些点是两个平面的公共 点,根据公理 3 就可以确定这些点都在同一条直线上,即 点共线.


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