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【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库:12.3 模拟方法---概率的应用


12.3 模拟方法---概率的应用
一、选择题 1.取一根长度为 4 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段都不少 于 1 m 的概率是( 1 A. 4 ). B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3

解析 把绳子 4 等分,当剪断点位于中间两部分时,两段绳子都不少于 1 m,故 2 1 所求概率为 P= = . 4 2 答案 C 2.在

长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个 正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( 1 A. 4 B. 1 3 C. 4 27 ). D. 4 15

解析 面积为 36 cm2 时,边长 AM=6, 面积为 81 cm 时,边长 AM=9 ,∴P= 答案 A 3、如图,在边长 为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形, 现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?
96 A. 625 529 C. 625 98 B. 625 68 D. 625
2

9-6 3 1 = = . 12 12 4

解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的

所以符合几何概型的条件。 设 A=“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为:25×25=625
1 两个等腰直角三角形的面积为:2× 2 ×23×2 3=529

带形区域的面积为:625-529=96
96 625

∴ P(A)= 答案 A

4.一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外,其余全部相同)上爬来爬去,它 最后随意停留在黑色地板砖上的概率是( )

1 A. 4

B.

1 3

C.

1 5

D.

1 2

解析 每个小方块的面积相等,而黑色地板砖占总体的 1 3

4 1 ? ,故蚂蚁停留在黑 12 3

色地板砖上的概率是 答案 B

5.在面积为 S 的△ABC 的边上 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 的概率是 4 ( 1 A. 4 ). B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3

S

解析 由△ABC,△PBC 有公共底边 BC,所以只需 P 位于线段 BA 靠近 B 的四分之 一分点 E 与 A 之间,这是一个几何概型,∴P= 答案 C 6.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一 点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 4 B.1- π 4 C. π 8 ). D.1- π 8

AE 3 = . AB 4

[来源:学.科.网]

解析 如图,要使图中点到 O 的距离大于 1, 2- 则该点需取在图中阴影部分,故概率为 P= 答案 B 7.分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示, 若向该正方形内 随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( ). 2 π 2

=1-

π . 4

4-π A. 2 4-π C. 4

B.

π -2 2 π -2 4

D.

解析 设正方形边长为 2,阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接 正方形的面积,即为 π -2,则阴影区域的面积为 2π -4,所以所求概率为 P= 2π -4 π -2 = . 4 2

答案 B 二、填空题 8.如图, 四边形 ABCD 为矩形,AB=
3



BC=1,以 A 为圆心,1 为半径作四分

之一个圆弧 DE,在圆弧 DE 上任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率




1 3 ,所以∠CAB=30°,当直线 ? 3 3
30? 1 ? 90? 3

解析 连接 AC 交弧 DE 于 P,则 tan∠CAB=

AP 在∠CAB 内时 AP 与 BC 相交,所以概率 P= 1 3

答案

9.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若 1 1 此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打 2 4 篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________. 解析 设 A={小波周末去看电影},

B={小波周末去打篮球},C={小波周末在家看书}, D={小波周末不在家看书},如图所示,
? 则 P(D)=1- 13 16 1 ? 2
2

π -? π

1 ? 4

2

π =

13 . 16

答案

10.已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,

x-2y≥0},若向区域 U 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为________.

解析 依题意可在平面直角坐标系中作出集合 U 与 A 所表示的平面区域(如图),

SA 2 由图可知 SU=18,SA=4,则点 P 落入区域 A 的概率为 P= = . SU 9

答案

2 9

11.在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则关于 x 的方程 x2+2ax+b2=0 有实数根 的概率为________. 解析 由题意得 Δ =4a2-4b2≥0,

∵a,b∈

?0≤a≤1, [0,1],∴a≥b.∴?0≤b≤1, ?a≥b,

画出该不

等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示).故所求

[来源:Zxxk.Com]

1 概率等于三角形面积与正方形面积之比,即所求概率为 . 2 答案 1 2

12.如图所示,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30°角的终边上,任作一条射线

OA,则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为________.

解析 如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的,则 O A 落在∠yOT 内的 60 1 概率为 = . 360 6

答案

1 6

三、解答题 13. 在 1 升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子,从中随机取出 10 毫升, 则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少? 解析 病种子在这 1 升中的分布可以看作是随机的, 取得的 10 毫升种子可视作构 成事件的区域,1 升种子可视作试验的所有结果构成的区域,可用“体积比”公 式计算其概率.取出 10 毫升种子,其中“含有病种子”这一事件记为 A,则 P(A) ?
取出的种子体积 10 ? ? 0.01 所有种子的体积 1000

所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是 0.01. 14.已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={-2,-1,1,2,3}和 Q={-2,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是增函数的概率;

?m+n-1≤0, (2)实数 m,n 满足条件?-1≤m≤1, ?-1≤n≤1,

[来源:学.科.网]

求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率. 解析 (1)抽取的全部结果的基本事件有: (-2,-2),(-2,3),(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,3),(2,-2), (2,3),(3,-2),(3,3),共 10 个基本事件,设使函 数为增函数的事件为 A,则 A 包含的基本事件有:(1,-2),(1,3),(2,-2), (2,3),(3,-2),(3,3),共 6 个基本事件,所以,P(A)= 6 3 = . 10 5

?m+n-1≤0, (2)m、n 满足条件?-1≤m≤1, ?-1≤n≤1

的区域如图所示:

要使函数的图象过一、二、三象限,则 m>0,n>0,故使函数图象过一、二、 三象限的(m,n)的区域为第一象限的阴影部分, 1 2 1 ∴所求事件的概率为 P= = . 7 7 2 15.已知|x|≤2,|y|≤2,点 P 的坐标为(x,y),求当 x,y∈R 时,P 满足(x- 2)2+(y -2)2≤4 的概率. 思路分析 由题意画出图象可求面积之比. 解析 如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内 部(含边界),满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域 为以(2,2)为圆心 , 2 为半径的圆面(含边界). 1 π ×22 4 π ∴所求的概率 P1= = . 4×4 16 【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题,分析题目,找到区 域,对照定义可求得结果,较好地体现了数形结合思想的重要性.
[来源:学科网 ZXXK]

16.已知集合 A={-2,0,2},B={-1,1},设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集 合 M 内随机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 上的概率;

?x-y+2≥0, (2)求以(x,y)为坐标的点位于区域 D:?x+y-2≤0, ?y≥-1

内(含边界)的概率.

解析 (1)记“以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 上” 为事件 A,则基本事件总数为 6.因落在圆 x2+y2=1 上

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2 1 的点有(0,-1),(0,1)2 个,即 A 包含的基本事件数为 2,所以 P(A)= = . 6 3 (2)记“以(x,y)为坐标的点位于区域内”为事件 B, 则基本事件总数为 6,由图知位于区域 D 内(含边界) 的点有:(-2,-1),(2,-1),(0,-1),(0,1), 4 2 共 4 个,即 B 包含的基本事件数为 4,故 P(B)= = . 6 3


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