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2015届高考调研文科6-1


高考调研

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第1课时

数 列 的 基 本 概 念

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1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、 通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.

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请注意!

关于数列的概念问题,虽然在高考中很少独立命题,但数 列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之 中,因此对本节要细心领会,认真掌握.

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1.数列的概念 按 一定次序 排成的一列数叫做数列.

2.数列的通项公式 数列{an}的 第n项an 与n之间的关系可以用一个公式an=f(n) 来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.
? ? 若已知Sn,则an=? ? ?

?n=1?, Sn-Sn-1 ?n≥2?.

S1

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3.数 列 与 函 数 数 列 可 以 看 作 是 一 个 定 义 域 为 正 整 数 集 { 2 1 , ,?,n} )的 函 数 , 当 自 变 量

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N*(或 它 的 有 限 子 集

从小到大 依 次 取 值 时 对 应 的

一 列 函 数 值 . 数 列 的 通 项 公 式 是 相 应 函 数 的 解 析 式 , 它 的 图 像 是 一群孤立的点 . 4.数 列 的 分 类 1 ( ) 根 据 数 列 的 项 数 可 分 为

有穷数列、无穷数列 .

2 ( ) 按 照 数 列 的 每 一 项 随 序 号 变 化 的 情 况 可 分 为 : ①递 增 数 列 ; ②递 减 数 列 ;
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③摆 动 数 列 ;
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④常 数 列 .
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5.递推公式 如果已知数列{an}的第1项(或前几项),任一项an与它的前 一项an-1(或前几项)间 的 关 系 可 以

用一个公式 来表示,那么这

个公式就叫做这个数列的递推公式.

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1.(课本习题改编)已知数列的通项公式an=n2-5n-14,n ∈N+,则: 1 ( ) 这个数列的第4项是__________; 2 5 ( ) 2 是这个数列的第__________项;

3 ( ) 这个数列的第__________项最小; 4 ( ) 这个数列前__________项的和最小.
答案 1 ( ) -18 2 1 ( ) 3 2 ( ) 或3 4 6 ( ) 或7

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2.已知数列{an}的前4项为1 7 3 5 1 , 通项公式an=__________.
答案 2n-1

,写出数列{an}的一个

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3.2 ( 0 1 4 ·

高考调研原创题)已知数列{an}的 首 项

a1= 2,若

?n∈N*,an· an+1=-2,则 an=________.
答案 (-1)n+1· 2
解析 由已知 a1=1, 且 对 ?n∈N*,an· an+1=-2, 当 n=1 时,由 a1· a2=-2,解得 a2=- 2, 当 n=2 时,由 a2· a3=-2,解得 a3= 2, 当 n=3 时,由 a3· a4=-2,解得 a4=- 2, ?? 归纳得 an=(-1)n+1 2.
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4.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a7+a8的 值 为 ______. 答案 解析 28 a7+a8=S8-S6=82-62=2 8 .

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5.观察下列各图,并阅读图形下面的文字.像这样,10条 直线相交,交点的个数最多是( )

A.40个 C.50个
答案 B
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B.45个 D.55个

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解析 设n条直线的交点个数为an,(n≥2),则 ? ?a3-a2=2, ?a4-a3=3, ? ??? ? ?a10-a9=9.

累加得a10-a2=2+3+?+9,

∴a10=1+2+3+?+9=45.

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例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公 式: 1 ( ) -1,7,-13,19,? 8 0 2 8 . ( , ) 8 0 3 1 ( ) , ,? 1 1 1 ,3,0,5,0,7,0,?

3 7 9 4 ( ) ,1, , ,? 2 10 17
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【解析】 1 ( ) 符号问题可通过(-1)n或(-1)n 1表示,其各 项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝 对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). 8 2 ( ) 将数列变形为 9(1-1 0 ) . 8 1 ∴an=9(1-10n). 8 8 , 9 (1-0.01), 9 (1-0 0 .1 ) ,?,

1 0 1 0 1 0 1 0 3 ( ) 把数列改写成 , , , , , , , ,?,分母依次 1 2 3 4 5 6 7 8

为1,2,3,?,而分子1,0,1,0,?周期性出现,因此数列的通项 1+?-1?n+1 可表示为an= . 2n
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3 5 7 9 4 ( ) 将数列统一为 2 , 5 , 10 , 17 ,?对于分子3,5,7,9,?, 是序号的2倍加1, 可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母5 2 , 10,17,? 联想到数列1,4,9,16,?, 即数列{n2}, 可 得 分 母 的 通 项 公 式 为 cn=n2+1,

2n+1 ∴可得它的一个通项公式为an= 2 . n +1 8 1 n 【答案】 1 ( ) an=(-1) (6n-5) 2 ( ) an= (1- n) 3 ( ) an= 9 10
1+?-1?n 2n
+1

2n+1 4 ( ) an= 2 n +1
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探究1 1 ( ) 此类问题常常将数列的各项结构形式分解成若 干个基本数列对应项的“和”、“差”、“积”,再进行分析 归纳. 2 ( ) 有些数列的通项公式可以用分段函数形式表示. 3 ( ) 应熟记一些基本数列的通项公式.

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思考题1 写出下列数列的一个通项公式: 1 9 3 5 7 , ( 3 ) ,?

8 15 24 2 ( ) -1, ,- , ,? 5 7 9

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【 解 析 】 1 ( ) 观 察 各 项 的 特 点 : 每 一 项 都 比 1, 所 以 an=2n+1 . 2 ( ) 数 列 的 符 号 规 律 为 将 第 一 项 看 作 - 9 7 5 3 , ,?, 可 归 纳 为 3 3

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2的n次 幂 多

(-1 ) n, 由 第 二 、 三 、 四 项 特 点 , 可 , 这 样 , 先 不 考 虑 符 号 , 则 分 母 为 1 8 2 3 5 , 4 , ?, 将 其 每 一

2n+1, 分 子 为 ,?, 可 归 纳 为

项 加 1后 变 成 1 9 2 4 6 , 5 项 公 式 为

(n+1 ) 2, 综 上 , 数 列 的 通

2 2 ? n + 1 ? - 1 n n n +2n an=(-1 ) · =(-1 ) . 2n+1 2n+1

2 n n n +2n 【答案】 1 ( ) an=2 +1 2 ( ) an=(-1) 2n+1
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例2 已知数列{an}的前n项和为Sn,求{an}的 通 项 公 式 . 1 ( ) Sn=2n2-3n; 2 ( ) Sn=3n+b.

【解析】 1 ( ) 当n=1时,a1=S1=-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-2 [ ( n-1)2-3(n-1 ] ) =4n-5. ∴an=4n-5.
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2 ( ) 当n≥2时, Sn-Sn-1=an=3n+b-3n 1-b=3 2 ·


n-1

.

当n=1时,a1=S1=3+b. ∴当b=-1时,a1=3-1=2适合an=3 2 · ∴an=3 2 ·
n-1 n-1

.

.
n-1

当b≠-1时,a1=3+b不适合an=3 2 ·
- ? 2 ·n 1 ?3 ∴an=? ? ?3+b

.

?n≥2?, ?n=1?.

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【答案】 1 ( ) an=4n-5 2 ( ) 当b=-1时,an=3 2 ·
- ? 2 ·n 1 ?3 b≠-1时,an=? ? ?3+b

n-1

;当

?n≥2?, ?n=1?

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探究2

an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1的条件是n≥2,求an时

切勿漏掉n=1即a1=S1的情况.一般地,当a1=S1适合an=Sn- Sn-1时,an=Sn-Sn-1;当a1=S1不 适 合 an=Sn-Sn-1时,an=
? ?S1 ? ? ?Sn-Sn-1

?n=1?, ?n≥2?.

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思考题2 1 ( ) 2 ( 0 1 3 · 2 1 a + ,则{an}的 通 项 公 式 是 3 n 3

课 标 全 国

Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=

an=________.

2 1 【解析】 由Sn= an+ ,得当n≥2时, 3 3 2 1 Sn-1= an-1+ ,∴当n≥2时,an=-2an-1,又n=1时,S1 3 3 2 1 - =a1=3a1+3,a1=1,∴an=(-2)n 1.
【答案】 (-2)n-1

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2 ( ) 已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2,n∈ 1 N ),a1= ,求an. 2
*

【思路】 由已知条件可将an=Sn-Sn-1(n≥2)代入等式, 得关于Sn与Sn-1的 一 个 等 式 , 经 变 形 推 得 数 列 的特征,进而求得Sn, 再 得 an.
? ?1? ? ? ? ? ?Sn? ?

具有等差数列

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【解析】 ∵当n≥2,n∈N*时an=Sn-Sn-1, 1 1 ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,即S - =2. Sn-1 n
? ?1? ? ? ∴数列 S ?是公差为2的等差数列. ? ? n? ?

1 1 1 又S1=a1= ,∴ =2,∴ =2+(n-2 1 · ) =2n. 2 S1 Sn 1 ∴Sn=2n.

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∴当n≥2,n∈N*时,an=-2SnSn-1= 1 1 1 -2· =- . 2n· 2?n-1? 2n?n-1? ?1 ?n=1?, ?2 ∴an=? 1 ?- ?n≥2,n∈N*?. ? 2n?n-1?
?1 ?n=1?, ?2 an=? 1 ?- ?n≥2,n∈N*? ? 2n?n-1?
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【答案】

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例3 1 ( ) 已知a1=1,a2=3,an=an-1-an-2(n≥3),则数列 {an}的前100项之和为_ _ _ _ _ _ _ .

【解析】 ∵an=an-1-an-2(n≥3),∴a4=-1,a5=-3, a6=-2,a7=1,a8=3,?,即数列{an}是 一 个 周 期 为 数列,故其前100项的和为: S0 ] ) +1+3+2+(-1) 0 1 =16×[1+3+2+(-1)+(-3)+(-2 =5.
【答案】 5
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6的周期

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1 ? ?2an,0≤an≤2, 2 ( ) 数列{an}满足an+1= ? ?2an-1,1<an<1, 2 ? 列的第0 2 1 3 项为________.

3 a1= ,则数 5

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3 1 【解析】 ∵a1=5,∴a2=2a1-1=5. 2 4 ∴a3=2a2= .∴a4=2a3= . 5 5 3 1 ∴a5=2a4-1=5,a6=2a5-1=5,?. ∴该数列周期为T=4. ∴a 3 1 02 3 =a1=5.

3 【答案】 5
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探究3 数列的周期性是数列的函数性之一,其解法往往是 依题意列出数列的前若干项,从而发现规律找到周期.
an- 3 思考题3 已知数列{an}满足a1=0,an+1= (n∈ 3an+1 N*),则a 3 1 02 等于_ _ _ _ _ _ _ .

【解析】 由已知得a1=0,a2=- 3 ,a3= 3 ,a4=0,a5 =- 3 ,?,由此可知数列{an}的项是以3为 周 期 重 复 出 现 的 , 而0 2 1 3 =3×671,因此a 3 1 02 =a3= 3.

【答案】

3

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例4 2 ( 0 1 4 ·

山东淄博一模)已知数列{an}中,an=1+

1 (n∈N*,a∈R,且a≠0). a+2?n-1? 1 ( ) 若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; 2 ( ) 若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的 取 值 范 围 .

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【解析】 1 ( ) ∵an=1+ a≠0),

1 a+2?n-1?

(n∈N*,a∈R,且

1 又∵a=-7,∴an=1+ . 2n-9 1 结合函数f(x)=1+ 的单调性, 2n-9 可知1>a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>?>an> 1 ( n∈N*). ∴数列{an}中 的 最 大 项 为
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a5=2,最小项为a4=0.
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1 2 1 2 ( ) an=1+ =1+ . a+2?n-1? 2-a n- 2 ∵对任意的n∈N*, 都 有 an≤a6成 立 , 1 2 结合函数f(x)=1+ 的单调性, 2-a x- 2 2-a ∴5< 2 <6,∴-10<a<-8.

【答案】 1 ( ) 最大项为a5=2,最小项为a4=0 2 ( ) -8)
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-10,

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探究4 利用函数(数列)的单调性求最值是新课标教材中的 一个热点. 思考题4 1 ( ) (课 本 习 题 改 编
)已知数列{an}的 通 项 an=(n+

10 n ( 1 · ) 11 ) (n∈N*),试问该数列{an}有 没 有 最 大 项 ? 若 有 , 求 出 最 大项和最大项的项数;若没有,说明理由. 【思路】 因an是n的 函 数 , 难 点 在 an 是 一 个 一 次 函 数
10 n 与一个指数函数( )的 积 . 所 以 从 一 次 函 数 或 指 数 函 数 增 减 性 11 看,一增一减积不确定.但n∈N*, 不 妨 试 从 比 较 小入手.
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(n+1)

an与an+1的大

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【思路】 因an是n的 函 数 , 难 点 在

an 是 一 个 一 次 函 数

(n+1)

10 n 与一个指数函数( )的 积 . 所 以 从 一 次 函 数 或 指 数 函 数 增 减 性 11 看,一增一减积不确定.但n∈N*, 不 妨 试 从 比 较 小入手. an与an+1的大

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【解析】 ∵an+1-an=(n+2 ( ) 10 n 9-n (11) ·11 ,

10 n+1 ( ) 11 ) -(n+1

10 n 11 ) =

∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 故a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?, 10 9 ∴数列{an}有最大项a9或a10,其 值 为 1 ( 0 · 11 ) ,其项数为9或 10. 【答案】 9或10
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n- 98 2 ( ) 已知an= (n∈N*),则在数列{an}中的前30项中, n- 99 最大项和最小项分别是第________项.

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n- 98 n- 99+ 99- 98 【解析】 an= = n- 99 n- 99 99- 98 =1+ , n- 99 99- 98 当1≤n≤9时, <0,an为递减函数. n- 99 99- 98 当n≥10时, >0,an为递减函数. n- 99 ∴最大项为a10, 最 小 项 为
【答案】 10 9
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a9.

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1.已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下 几个方面来考虑: 1 ( ) 符号用(-1)n或(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交 错. 2 ( ) 分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借 助分子、分母的关系.

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3 ( ) 对 于 比 较 复 杂 的 通 项 公 式 , 要 借 助 于 等 差 数 列 、 等 比 数 列 和 其 他 方 法 来 解 决 . 4 ( ) 此 类 问 题 虽 无 固 定 模 式 , 但 也 有 规 律 可 循 , 主 要 靠 观 察 规 律 、 类 比 已 知 数 列 、 转 化 成 特 殊 数 列 2.Sn与an之 间 两 种 转 化 途 径 , 注 意 3. 由 Sn求an时 , 注 意 否 统 一 . (等 差 、 等 比 )等 方 法 .

n=1和n≥2两 种 情 况 .

n=1和n>1两 种 情 况 , 最 后 看 二 者 是

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1 1 1 1 1.数列 , , , ,?的一个通项公式为( 3 8 15 24 1 A.an= n 2 +1 1 C.an= n?n+2?
答案 C

)

1 B.an= n+2 1 D.an= n 2 -1

1 1 解析 观察知an= = . ?n+1?2-1 n?n+2?

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2.2 ( 0 1 2 ·

全国)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn= ) 3 n -1 B.(2) D. 1 2n
-1

2an+1,则Sn=( A.2
n -1

2 n-1 C.( ) 3
答案 B

解析

当n=1时,S1=2a2,又因S1=a1=1,

1 1 3 所以a2= ,S2=1+ = .显然只有B项符合. 2 2 2
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3.2 ( 0 1 4 ·

宜昌一中)将石子摆成如图的梯形形状,称数列 项

5,9,14,20,?为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 0 1 4 与5的差即a 4 1 02 -5=( )

A.2 020×2 014 C.1 010×2 014
答案 D

B.2 020×2 013 D.1 010×2 013

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解析 结合图形可知,该数列的第n项an=2+3+4+?+ (n+2).所以a2 0 2 1 3 ×0 2 1 2 2
4 1 0

-5=4+5+?+2 0 1 6 ×0 1 0 ,故选D.

=4×2 0 1 3



=0 2 1 3

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4.已知f(x)为 偶 函 数 , 且

f(2+x)=f(2-x), 当 - 2≤x≤0 =_ _ _ _ _ _ _ .

时,f(x)=2x,若n∈N*,an=f(n),则a 4 1 02

1 答案 4

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解析 由f(x)为 偶 函 数 , 得

0≤x≤2时f(x)=2 x.


又f(2+x)=f(2-x),∴f(x)的图像关于x=2对 称 . 又f(x)的图像还关于x=0对称, ∴f(x+4)=f(x),∴an+4=an. ∴a 4 1 02 1 =a4×503+2=a2=f2 ( ) =f(-2)=2 = . 4
-2

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5.2 ( 0 1 · k=________.
答案 4

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2 n 浙江)若数列{n(n+4 ( ) ) }中 的 最 大 项 是 第 3

k项,则

解析 由题意得 2k 2 k-1 ? ?k?k+4??3? >?k-1??k-1+4??3? , ? ?k?k+4??2?k>?k+1??k+1+4??2?k+1, 3 3 ?
2 ? 1 0 ??k-1? < 化简得? 2 ? 1 0 , ?k >



又因为k∈N*,所以k=4.

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6.2 ( 0 1 3 · 安 徽) 如 图 所 示 , 互 不 相 同 的 点

新课标版 · 高三数学(文)

A1,A2,?,An,?和B1,B2,?,Bn,?分别 在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有 梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 ________. 答案 an= 3n-2

解析 记△OA1B1的 面 积 为

S,则△OA2B2的 面 积 为

4S.

从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S. 即得△OAnBn的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S. ∴a2 n=3n-2,即an= 3n-2.
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