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高中数学选修2-2导数与定积分复习资料

时间:2017-08-21


课题:导数及其定积分
【课前思考】
1.曲线的割线的斜率与切线的斜率有什么关系? 2.变速运动在某一时刻的瞬时速度的含义是什么? 3.如果一个函数的导数处处为零,这个函数是什么函数? 4.函数 5.商

y ? f (x) 的导数与在 x0 处的导数有什么区别?有什么联系?

f ?x ? ?x ? ? f ?x ? 与

x 有关吗?令 ?x ? 0 , x 是否保持不变? ?x

6.①

y ? k1u ,又 u ? k2 x ,能写出 y 与 x 的函数关系吗?能根据 yu ' 与 u x ' 写出 y x ' 吗?
y ? f (u),u ? g ( x) ,能写出 y 与 x 的函数关系吗?能根据 yu ' 与 u x ' 写出 y x ' 吗?

②设

7.什么叫曲边梯形? 8.

? 1dx 的几何意义是什么?
a

b

一、知识要点
1.导数的概念——
⑴定义:设函数 y ? f (x) 在 x0 附近有定义,当自变量 x ? x0 处有增量 ?x 时, 函数 y ? f (x) 相应地也有增量 ?y .如果 当 ?x ? 0 时,

?y 有极限,就说这个函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处可导,并把这个极限叫做函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处 ?x
'

的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y | x?x0 ,即 f ' ( x0 ) ? lim

f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? ?y . ? lim ?x ?0 ?x ?x?0 ?x

如果函数 f (x) 在点 x0 处可导,那么函数 f (x) 在 x0 处连续. ⑵如果函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内的每一点处都可导,此时对于每一个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数

f ' ( x) ,从而构成了一个新的函数 f ' ( x) ,称这个函数 f ' ( x) 为函数 y ? f (x) 在开区间 ( a, b) 内的可导函数,简称导函 数.记作 f ' ( x) 或 y ' :
f ' ( x) ? lim
?x?0

f ?x ? ?x ? ? f ?x ? . ?x

⑶几何意义:导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲线 y ? f (x) 在点 P?x0 , f ( x0 ) ? 处的切线 PT 的斜率 k ;也就是说,曲线

y ? f (x) 在点 P?x0 , f ( x0 )? 处的切线 PT 的斜率 k ? f ' ( x0 ) .相应地,切线方程是 y ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )(x ? x0 )
瞬时速度就是位移函数 s (t ) 对时间 t 的导数.

2.导数的计算——
⑴几个常见函数的导数 ① C ? 0 (其中 C 为常数);
'

1 ?1? ②? ? ? ? 2 ; x ? x?

'

? x? ? 21x ;
'

③ ( x ) ? nx
n '

n?1

(n ? Q)

④ (sin x) ' ? cos x ; (cosx) ' ? ? sin x ; ⑤ (e x ) ' ? e x ; ⑥ (a x ) ' ? a x ln a ; ⑵导数的运算法则 ① (u ? v)' ? u ' ? v' . ② (uv)' ? u 'v ? uv' . ③( ) ?
'

⑦ (log a x ) ?
'

1 1 ' ;⑧ (ln x ) ? x ln a x

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) 通过②可以得出 ?cf ( x)?' ? cf ' ( x) 2 v

④ y ? f [ g ( x)] 的导数 yx ' ? yu '?ux ' ,(其中 u ? g (x) ).

3.定积分——
⑴直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线 y ? f (x) 所围成的图形称为曲边梯形. ①求曲边梯形的面积的步骤:分割→近似→求和→取极限. ②求变速直线运动物体在某段时间运动的路程的步骤: 分割→近似代替→求和→取极限. ⑵定积分:如果函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi?1 ? xi ? ? ? xn ? b ,将区间 [ a, b] 分成 n 个 小区间,在每个小区间 [ xi?1 , xi ] 上取一点 ?i (i ? 1,2,?, n) ,作和式

?
i ?1

n

f (? i )?xi ? ?

n

和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上的定积分,记作

?

i ?1 b

b?a f (? i ) ,当 n ? ?? 时,上述 n

a

f ( x)dx ,即

b?a f (?i ) .这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 [a, b] 叫做积分区间,函数 f (x) 叫 a n??? n i ?1 做被积函数, x 叫做积分变量, f ( x)dx 叫做被积式.

?

b

f ( x)dx ? lim ?

n

⑶定积分的性质(运算法则):①

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx ,( k 为常数)
b

② [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ?
a

?

b

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ;
a b c



?

b

a

f ( x)dx ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ,(其中 a ? c ? b) 为常数)
a

c

4.微积分基本定理——
' ⑴定义:一般地,如果 f (x) 是区间 [ a, b] 上的连续函数,并且 F ( x) ? f ( x) ,那么

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) ,这个结论叫

做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.常常记作 F (b) ? F (a) ? F ( x)

b ,即有 a

?
⑵应用:

b

a

b f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a) a

①几何中的应用:当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的取值为正值,且等于曲边梯形的面积;当对应的曲边梯形 位于 x 轴下方时,定积分的取值为负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;当位于 x 轴上方的曲边梯形的面积等于位 于 x 轴下方的曲边梯形的面积时,定积分的值为 0,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴下方的曲边 梯形的面积. ②物理中的应用:做变速直线运动的物体所经过的路程 s ,等于其速度函数 v ? v(t )(v(t ) ? 0) 在时间区间 [ a, b] 上的定积 分,即 s ?

? v(t )dt ;如果物体在变力 F (x) 的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从 x ? a 移动到 x ? b(a ? b) ,则变力 F (x) 所做的功 W ? ? F ( x)dx .
a
b a

b

二、金典例题
题型一:导数的几何意义及其应用 【?例 1】⑴曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 (1,3) 处的切线方程为
⑵过原点作曲线 y ? e x 的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 . .

点评:求曲线在某一点的切线方程,首先需要判断该点是否在曲线上.若点不在切线上,需设切点坐标,然后构建方程(组)求解.

题型二:导数的运算
【?例 2】求下列函数的导数 ⑴ y ? x5 ? 2 x 4 ? 3x ; ⑵ y ? x ? sin

x x cos ; 2 2

⑶ y ? (3x 2 ? 5x ? 3)(2 x 4 ? 2) ;

ln x ? 2 x x a ⑷y? ;⑸ y ? a ? x (a ? 1且a ? N ) 2 x

点评:运用导数的求导法则与导数公式求可导函数的导数,一般先分析函数的结构特点进行化简后再选择合适的求导法则与导数公式 求导;对多项式相乘的函数求导,可先计算后求导,也可根据导数的乘法法则直接求导.

题型三:利用定积分求平面图形的面积 2 2 【?例 3】计算由 y ? x, y ? x 所围成的图形的面积.

点评:一般步骤:画图→确定图形范围,求出交点横坐标,定积分上下限→确定被积函数→写出平面图形的定积分表达式→运用微积分 基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

三、基础过关
1.已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 切于点(1,3),则 b 的值为( )A.3 B.-3 C.5 D.-5 2.一质点做直线运动,由始点经过 t s 后的路程为 s ? A.4s 末 B.8s 末 C.0s 末或 8s 末
'

1 3 t ? 6t 2 ? 32t ,则速度为 0 的时刻是( ) 3

D. 4s 末或 8s 末

3.已知函数 f ( x) ? x sin x ? cos x ,则 f ( ) 的值为( )A.

?

2

? 2

B.0

C.-1

D.1 )

4.过曲线 y ? x3 ? x ? 2 上的点 P 的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则切点 P 的坐标为( 0 0 A.(0,-1)或(1,0) B.(1,0)或(-1,-4) C. (-1,-4)或(0,-2)

D.(1,0)或(2.8)

5.如图,直线 y ? kx 分抛物线 y ? x ? x 2 与 x 轴所围成的图形未面积相等的两部分,求 k 的值.

四、课堂小结与作业
高考对本节内容的考查以选择和填空题型为主,考查形式有两种:一种是利用导数求切线方程;另一种是利用微积 分基本定理进行计算.故在复习时,要做到对导数与微积分概念的充分理解,且能灵活应用导数的几何意义与微积分基 本定理解决简单的相关问题. 【作业】 1.如图,由曲线 y ? x 和直线 x ? 0, x ? 1, y ? t , t ? (0,1) 所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( )
2 2

A.

2 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 4

2 2. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 的图象上一点 P(2, f (2)) ,点 P 处的切线方程为 y ? ?2 x ? 2 ln 2 ? 2 ,求 a, b 的值.


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