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7.2等差数列及其通项公式


上海市真如中学教学设计
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课题 学情 分析 教学 前 端 分 析 重点 难点 目标

7.2 等差数列及其通项公式

课时

1

(预学批改+经验预判+现状与要求的差距) (根据课程标准,把握重点+

明晰能力+挖掘意义,可观察+可测量+重适切) 1、明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知道 an , a1 , d , n 中的三个,求另外一个的问题 (预学学不会的+课标突出的+高考重点渗透) 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式 教学难点:等差数列的性质

教学 方法

(六环节教学法+启发式+针对性讲授+探究讨论式等) 教学过程(一)

主要 任务 1、核心 知识

教学活动 (内驱激励+突出学生活动+关注学法+精准指导+难度恰当+防止教学过剩) (核心知识点、链+重点突出+难点突破) 1、等差数列的判定:{an}为等差数列

按需施教

?a n ?1 ? a n ? d(定义) ? ?2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ?? ?a n ? An ? B(关于n的“一次函数”) ?S ? An2 ? Bn(缺常数项的“二次函 数”) ? n
即:

任 务 设 计

{an} ? an ?1 ? an ? d (d为常数) ? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N*) 2 ? an ? kn ? b ? sn ? An ? Bn ;
2、等差数列与函数:等差数列通项公式与一次函数的关系:从函数的角度 考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的一次式; 从图像上看,表示等差数列的各点(n, an )均匀排列在一条直线上,由两 点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列 .k=d=

an ? a1 a ? am ,d= n , n?m n ?1

2、典型 问题

(核心问题+典型问题+变式问题+通法通性问题) 例 1⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项 ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项?

解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1) 由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得

? 401? ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项

王新敞
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例 2 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求 a1 , d , a20 , an 解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

?a1 ? 4d ? 10 ? ?a1 ? 11d ? 31

a ?? ?

1

? ?2

?d ? 3

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 5

a20 ? a1 ? 19d ? 55
解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3 ∴ a20 ? a12 ? 8d ? 55 an ? a12 ? (n ? 12)d ? 3n ? 5 小结:第二通项公式 an ? am ? (n ? m)d 例 3 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 un 中,设数列的第 s 项和第 t 项分别为 us 和 u t ,计算 你的结论
王新敞
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u s ? ut 的值,你能发现什么结论?并证明 s?t

解:通过计算发现

u s ? ut 的值恒等于公差 s?t

证明:设等差数列{ un }的首项为 u 1 ,末项为 un ,公差为 d,

?u s ? u1 ? ( s ? 1)d ? ?u t ? u1 ? (t ? 1)d

(1) (2)
u s ? ut ?d s ?t

⑴-⑵得 us ? ut ? (s ? t )d ?

小结:①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率 例 4 梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,

各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度

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解:设 ?an ? 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列, 由已知条件,可知: a1 =33,

a12 =110,n=12

∴ a12 ? a1 ? (12 ? 1)d ,即 10=33+11 d 解得: d ? 7 因此, a2 ? 33 ? 7 ? 40, a3 ? 40 ? 7 ? 47, a4 ? 54, a5 ? 61 ,

a6 ? 68, a7 ? 75, a8 ? 82, a9 ? 89, a10 ? 96, a11 ? 103 ,
答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm, 68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm. 例 5 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这 个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的常数
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解:当 n≥2 时,(取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 a n ?1 与 an (n≥2))

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常
数 ∴{ an }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p
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注: ①若 p=0, 则{ an }是公差为 0 的等差数列, 即为常数列 q, q, q, … ②若 p≠0, 则{ an }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均 在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q. ③数列{ an }为等差数列的充要条件是其通项 an =pn+q (p、 q 是常数) 称
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其为第 3 通项公式 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个
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3、学生 活动 4、主要 技能

(合作性活动+探究性活动+反思性活动设计+做、想、讲、听的结合)

(核心技能矩阵表示+技能活动设计+思维过程层次性)

??

课堂 小结

通过本节学习, 首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式: an - a n?1 =d , ( n ≥ 2 , n ∈ N
?

).其次,要会推导等差数列的通项公式:

并掌握其基本应用.最后, 还要注意一重要关系式: an ? a1 ? (n ? 1)d , an ?

am ? (n ? m)d 和 an =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用.

过 程 测 评

1、当堂反馈(师生问答+练习跟进+错误反思) 2、评价跟进(目标测评+目标诊断+目标补救)

跟进作业(一)
行 为 改 进

(与教学内容相匹配,测量性作业+多样性作业+分层性作业) 教学反思 (成功的反思+寻找设计与现实的差距+基于证据的改进设计)


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2.2.2等差数列概念及通项公式练习

R ,则“ 2b ? a ? c ”是“ a、b、c 成等差数列( 10.等差数列 ?3, ?7, ?11,?, 的一个通项公式为 1 ○ 4n ? 7 2 ○ ) ?4n ? 7 ...