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2013届高三数学寒假作业(教师版1)


2013 届高三数学寒假作业(1)
一、填空题:
2 3 2 2 1、已知集合 A ? x x ? 25? | x ? 5 x |? ax, x ? R , B ? x x ? 13 x ? 12 ? 0 ,若 A ? B ? ? .则实数 a 的

?

?

?

?

>
取值范围为



a ? 10

2、设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 的最小值是 ? x ? 2 y ?1



1 4

2 3、已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? 、 ? ? ( ?

? ?

, ) ,则 tan(? ? ? ) ? 2 2
. 90

.8 3

4、已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于

5、已知命题 p : “存在 x ? [0,1] ,使得 k ? 4x ? k ? 2x?1 ? 6 ? (k ? 5) ? 0” ,若命题 p 是假命题,则实数 k 的取值范围


. (??,5) ? (6, ??)

6、已知 a ? 1 时,集合 [a, 2 ? a] 有且只有 3 个整数,则 a 的取值范围是___________. ?1 ? a ? 0 7、已知实数 x 、 y 满足 ?

? y2 ? x ? 0 ? x? y ?2

,则 2x ?

y 的最小值为

,最大值为



作出可行域,联立

y 2 ? x ? 0 和 x ? y ? 2 解得两交点分别为 A(1,1) , B(4, ?2) ,平移直线 2 x ? y ? 0 ,当
y)max ? 6 ;当平移至与抛物线 y 2 ? x ? 0 相切时,有 (2 x ? y ) min ? ?
1 ,故最小 8

经过 B(4, ?2) 时,有 (2 x ? 值、最大值分别为 ?

1 、6 . 8

8、已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4 2

?

.

1 5 ?? ? 2 4

9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 16 , an?1 ? an ? 2n ,则

an n

的最小值为

.7

x2 y 2 10、双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F2 ,离心率为 e ,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 1 a b
B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2 ?
11、等比数列 {an } 中, a1 ? 317 、 q ? ? 12、已知函数 f ( x) ? .5? 2 2 .9

1 ,记 f (n) ? a1 ? a2…an , 则当 f ( n) 最大时, n 的值为 2

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c ( a 、 b 、 c ? R )在区间 (0,1) 内取得极大值,在区间 (1, 2) 内取得极 3 2

1

小值,则

( a ? 3) 2 ? b 2

的取值范围为

.(

2 , 2) 2


13、f ( x) ? x2 ? 2 x, g ( x) ? mx ? 2, 对 ?x1 ?[?1, 2] , x0 ?[?1, 2] , g ( x1 ) ? f ( x0 ) , m 的取值范围是 使 则 ?

1 [ ?1, ] 2
14、定义一:对于一个函数 f (x) ( x ? D ) ,若存在两条距离为 d 的直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 ,使得在 x ? D
时, kx ? m1

? f ( x) ? kx ? m2

恒成立,则称函数

f (x) 在 D 内有一个宽度为 d

的通道.

定义二:若一个函数 为 ? 的通道,则称 ④

f (x) ,对于任意给定的正数 ? ,都存在一个实数 x0 ,使得函数 f (x) 在 [ x0 , ? ?) 内有一个宽度

f (x) 在正无穷处有永恒通道.下列函数① f ( x) ? ln x ,② f ( x ) ?

sin x 2 ,③ f ( x) ? x ? 1 , x
.②③⑤

f ( x) ? x 2 ,⑤ f ( x) ? e ? x ,其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是

二、解答题: 15、 已知函数 f ( x) ?

π 3 1 , sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 1( x ? R ) 将函数 f ( x ) 向左平移 6 2 2
A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c .

个单位后得函数 g ( x ) ,

设三角形 ?ABC 三个角 (Ⅰ)若 c

? 7 , f (C ) ? 0 , sin B ? 3sin A ,求 a 、 b 的值;
?? ? ?? ? ? 0 且 m ? (cos A,cos B), n ? (1,sin A ? cos A tan B) ,求 m?n 的取值范围.
3 1 3 1 π sin 2 x ? (cos2 x ? sin 2 x ) ? 1 ? sin2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 2 2 6

(Ⅱ)若 g ( B )

(Ⅰ)

f ( x) ?

π π 11π π π ? π f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 ,所以 sin(2C ? ) ? 1 ,因为 2C ? ? (? , ) ,所以 2C ? ? , 6 6 6 6 6 6 2 π π 2 2 所以 C ? ,由余弦定理知 a ? b ? 2ab cos ? 7 ,因为 sin B ? 3sin A ,由正弦定理知:b ? 3a ,解得 a ? 1 、 3 3 b ? 3; π π π (Ⅱ)由条件知 g ( x ) ? sin(2 x ? ) ? 1 所以 g ( B ) ? sin(2 B ? ) ? 1 ? 0 ,所以 sin(2 B ? ) ? 1 , 6 6 6
因为 2 B ?

π π 13π π π π ?? 3 ? 3 ?( , ) ,所以 2 B ? ? 即 B ? , m ? (cos A, ), n ? (1,sin A ? cos A) 6 2 6 6 6 6 2 3


? 3 3 1 3 π (sin A ? cos A) ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) ,因为 B ? 6 2 2 2 2 6 ?? ? 5 π π π ? A ? (0, π) ,得 A ? ? ( , π) ,? sin( A ? ) ? (0,1] ,即 m ? n ? (0,1] . 6 6 6 6
于是 m ? n ? cos A ?

?? ?

2

16、在直径为 1 的圆 O 中,作一个关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形 ABCDEFG ,如图所示:其中 CD ? EF ? x ,

BE ? DG ? y ( y ? x ? 0) .求:
(1)试用 ? 表示十字形的面积 S ;并求 S 的最大值; (2)记该图形的“优美系数”为 美系数

p ,其中 p=

BE , AE 、 CD 、 BE 分别为线段的长,求 ? 为何值时,优 2AE ? CD

p 最大.

y ? ? ? 1 ,所以 ? ? ( , ) ,设面积为 S ,则 S ? 2xy ? x2 ,易得 x ? cos ? 、 y ? sin ? , x 4 2 ? ? 1 ? cos 2? cos 2? 1 2 ? sin 2? ? ? ? S ? 2sin ? cos ? ? cos ? , ? ? ( , ) ,而 S ? sin 2? ? 4 2 2 2 2
(1) Q

tan ? ?

?

? 5 1 1 sin(2? ? ? ) ? , tan ? ? ,当 2? ? ? ? 2 2 2 2
P? BC y sin ? ? ? 2 AC ? CD 2 ? x 2 ? cos ?
,?

即?

?

?
2

?

?
4

时,面积最大,最大面积为

5 ?1 ; 2

(2)

? ? 2cos ? ? 1 ? ( , ) ,令 P' (? ) ? ? 0 ,即 2 cos ? ? 1 ? 0 , 4 2 (2 ? cos ? ) 2

Q ? ?(

? ?

, ) ,? ? ? 4 2 3

?

,当 ?

? ( , ) 时, P' (? ) ? 0 ,当 ? ? ( , ) 时, P' (? ) ? 0 , 4 3 3 2

? ?

? ?

? P(? )max ? P( ) ?

?

3

3 . 3

答: (1) 十字形最大面积为

? 5 ?1 ;(2)当 ? ? 3 2
1 2 x ? (a ? 2) x . 2

时,优美系数最大值为

3 . 3

17、已知函数 f ( x) ? ln x ?
(1)当 a

? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 的递增区间;

(2)设 x ? m 和 x ? n 是函数 (Ⅰ) 求

f ( x) ? ln x ?

1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极值点,其中 m ? n , a ? R . 2

f (m) ? f (n) 的取值范围;

3

(Ⅱ)若 a

? e?

1 ? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值.注: e 是自然对数的底数. e
1 2 1 x 1 x

(1) a

? 2 时函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? 4x 、 f ?( x) ? x ? ? 4 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ? 4 ? 0 ,由 x ? 0 得

x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,解之得 0 ? x ? 2 ? 3 或 x ? 2 ? 3 ,故 a ? 2 时函数的单调递增区间为: (0,2 ? 3] 和 [2 ? 3, ??) ;
(2)(Ⅰ)函数

f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? x ? (a ? 2) ? .依题意,方程 x x

?(a ? 2)2 ? 4 ? 0 . x2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不等正根 m ,n(其中 m ? n ) 故 ? ? a ? 0 ,而 m ?n ?a ? 2 、mn ? 1 , ?a ? 2 ? 0
所以

1 f (m) ? f (n) ? ln mn ? (m2 ? n2 ) ? (a ? 2)(m ? n) 2 1 1 ? [(m ? n)2 ? 2mn] ? (a ? 2)(m ? n) ? ? (a ? 2)2 ? 1 ? ?3 ,故 f (m) ? f (n) 的取值范围是 (??, ?3) . 2 2
(Ⅱ)当 a

? e?
2

n 1 1 ? 2 时, (a ? 2)2 ? e ? ? 2 .若设 t ? ( t ? 1 ) m e e
( m ? n) 2 1 1 1 1 1 ? t ? ? 2 ? e ? ? 2 .于是有 t ? ? e ? ? (t ? e)(1 ? ) ? 0 ? t ? e , mn t e t e te

则 ( a ? 2)

? ( m ? n) 2 ?

f (n) ? f (m) ? ln

n 1 2 ? (n ? m2 ) ? (n ? m)(n ? m) m 2

n 1 2 n 1 n 2 ? m2 n 1 n m ? (n ? m2 ) ? ln ? ( ) ? ln ? ( ? ) m 2 m 2 mn m 2 m n 1 1 ? ln t ? (t ? ) 2 t 1 1 1 (t ? 1) 2 1 1 ?0 , 构造函数 g (t ) ? ln t ? (t ? )(其中 t ? e ) 则 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? , 所以 g (t ) 在 [e, ??) 上单调递减, t 2 t 2t 2 2 t e 1 e 1 g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? ,故 f (n) ? f (m) 的最大值是 1 ? ? . 2 2e 2 2e ? ln
* 18、设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、 b 、 p 是常数) .

(1)当 k (2)当 k

? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式;
? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,

(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当 k 设是数列的前项和, a2

? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn ? 0 ,



1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? .若存在,求数列的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由. 12 S1 S2 S3 Sn 18
4

(1)当 k

? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时, 3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ……①

用 n ? 1 去代 n 得 3(a1

? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ……②,② ? ①得 3(an?1 ? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an , an ?1 在①中令 n ? 1 得 a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴ ? 3 ,∴数列 {an } 是以首项为 1 ,公比为 3 的等比数列, an
3n ? 1 ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = ; 2 (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ……③,用 n ? 1 去代 n 得

(n ? 1)(a1 ? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ……④,④-③得 (n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ……⑤ 用 n ? 1 去代 n 得 nan?2 ? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 ……⑥,⑥-⑤得 nan?2 ? 2nan?1 ? nan ? 0 ,
即 an?2 ∵ ∴公差 d ? ? an?1 ? an?1 ? an , ∴数列 {an } 是等差数列, a3 ? 3 ,a9 ? 15 ,

a9 ? a3 ? 2 , an ? 2n ? 3 ; ∴ 9?3

,得:对任意,必存在 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) ,又是“封闭数列” 使 a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, 18 18 1 1 11 又由已知 ? ? ,故 ? a1 ? 12 ;一方面,当 ? a1 ? 12 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * , 11 11 12 S1 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 都有 ,则 ? ? ??? ? ? ;另一方面,当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) , ? ? S1 S2 S3 Sn S1 12 Sn n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 ,取 n ? 2 ,则 ? ? ??? ? 1? ? ? 1 ? ? ? ,不合题意, S1 S2 S3 Sn n ?1 S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) , ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 1 1 1 1 当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) , ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18 18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 . 又 11 19、如图,在五面体 ABCDEF 中, AF ? 平面 ABCD , AD ∥ BC ∥ EF , AB ? AD , 1 AF ? AB ? BC ? FE ? AD ? 2 . F E 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (2)求二面角 A ? CD ? E 的余弦大小; (3)求五面体 ABCDEF 的体积. (3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2

A B C

G

D

(1) ∵ BF ∥ CE ,∴ ?CED 是异面直线 BF 与 DE 所成的角(或补角) ,又 CE

? CD ? DE ? 2 2 ,∴

5

?CED ? 60? 即异面直线 BF 与 DE 所成的角为 600 ;
(2)以

AB 、 AD 、 AF

分别为 x 、

y 、 z 轴建立空间直角坐标系平面 ACD 的法向量 n1 ? (0,0,1)
z F E

设平面 CDE 的法向量 n2

? ( x, y, z) 、 C (2,2,0) , D(0,4,0) , E (0,2,2)
? 1得 y ? z ? 1,

CD ? (?2,2,0) , CE ? (?2,0,2) ? ?CD ? n2 ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?CE ? n2 ? ?2 x ? 2 z ? 0 ?
∴ n2 令x

A B x C

G

D

y

? (1,1,1) ,设二面角 A ? CD ? E 的大小为 ? ,则
n1 ? n2 n1 ? n2 ? 1 3 ? 3 ; 3
16 . 3

cos? ?

(3) V

? V ABF ?GCE ? VE ?CDG ?

20、已知方向向量为 d ? (1, 3) (即直线斜率为 3 )的直线 l 过椭圆 C :

(0,?2 3) ,直线 l 与椭圆 C 交于 (1)求椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点以及点 a2 b2 A 、 B 两点,且 A 、 B 两点与另一焦点围成的三角形周长为 4 6 .

(2)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 m 交椭圆于 M 、 N 两点,当 ?MON 的面积为 线 m 的方程; (3)过左焦点 F1 且不与 x 轴垂直的直线 m 交椭圆于 M 、 N 两点,当 OM 坐标原点) ,求直线 m 的方程. (1) l :

2 6 3

时( O 坐标原点) ,求直

? ON ?

4 6 ? 0( O 3 t an?MON

y ? 3x ? 2 3 ,直线 l 与 x 轴交点即为椭圆的右焦点 F2 (2,0) ,∴ c ? 2 ,由已知 ?F1 AB 周长为 4 6 ,

x2 y2 ? ? 1; 则 4a ? 4 6 ,即 a ? 6 ,所以 b ? 2 ,故椭圆方程为 6 2 (2)椭圆的左焦点为 F (?2,0) ,则直线 m 的方程可设为 y ? k ( x ? 2) ,代入椭圆方程得 1

(3k 2 ? 1) x 2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 ,设 M ( x1, y1 ), N ? x2 , y2 ?
x1 ? x 2 ?

,则 x1 ?

x2 ? ?

12k 2 ? 6 3k 2 ? 1

12k 2 ? 6 4 6 4 6 cos?MON 、∵ OM ? ON ? ? ?| OM | ? | ON | cos?MON ? 0 2 3 tan?MON 3 sin ?MON 3k ? 1 4 2 | 6 ,即 S ?OMN ? 6、 所以,? OM | ? | ON | sin ?MON ? 3 3 | 2k | 2 6 (1 ? k 2 ) 2 又 | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? ,原点 O 到 m 的距离 d ? ,则 2 3k ? 1 1? k 2
S ?OMN ? 1 | MN | d ? 2

3 6 (1 ? k 2 ) | 2k | 2 ? ? 6 ,解得 k ? ? 2 2 3 3 3k ? 1 1? k

,所以 m :

y??

3 ( x ? 2) . 3

6

2013 届高三数学寒假作业(2)
一、填空题: 1、若实数 x 、 y 满足

1 1 ? 2 ? 1 ,则 x2 ? 2 y 2 有最小值 2 x y



3? 2 2

2、已知等差数列 ?an ? 中, S n 是它的前 n 项和,若 S16 ? 0 , S17 ? 0 ,则当 S n 最大时 n 的值为__________. 8 3、已知集合 M ? {x |

( x ? 4)(x ? 2) ? 0} ,集合 N ? {x | 2 ax ? 3a ? x,a ? 0} ,则集合 ( x ? 7)(x ? 1)

T ? {a | M ? N ? ?} ? __________.

?3a ? x ? 0, ?3a ? x ? 0, ? M ? {x | ?2 ? x ? ?1 ,或 4 ? x ? 7} ,又 2 ax ? 3a ? x ? ?ax ? 0, 或? ?4ax ? (3a ? x) 2 ?ax ? 0, ?
? x ? 3a, ? x ? 3a, ? ? ? x ? 0, 或 ? (以上 a ? 0 ) ? 9a ? x ? 3a 或 3a ? x ? 0 ? 9a ? x ? 0 , ?9a ? x ? a ? x ? 0 ?
1 ? {a | a ? ? } . 9 1 1 2 2 4、已知不相等的实数 m 、 n 分别满足: m ? 2010m ? 2011 ? 0 和 n ? 2010n ? 2011 ? 0 ,则 ? ? m n 2010 2011
所以 N

? {x | 9a ? x ? 0} , M ? N ? ? ,所以 9a ? ?1 ,即 a ? ?

1 9

,所以 T



5、若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是

. ? ??, ?3? ? ?3, ???

6、若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆 a2 9 x2 y 2 ? ?1 . 13 9

方程为

7、已知在四边形 ABCD 中, AB ? AD ? 4 , BC ? 6 , CD ? 2 , 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 ,则 ?ABC 的外

??? ???? ?

??? ??? ? ?

接圆半径 R 为

.

2 21 3
2

8、已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0 ,等比数列 {bn } 的公比 q 为小于 1 的正有理数.若 a1 ? d 、 b1 ? d ,

2 2 a12 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于 b1 ? b2 ? b3



1 2
7

9、如图,线段 AB 长度为 2 ,点 A 、 B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴
上滑动,以线段

AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 ,
_ _ .

O 为坐标原点,则 OC ? OD 的取值范围是

[1,3]

10、已知函数

1 ? m( x ? 2) f ( x) ? log a ( a ? 0 且 a ? 1) ,对定义域内任意的 x 都有 f ? 2 ? x? ? f ? 2 ? x? ? 0 成 x ?3
;若当 x ?

第 12 题图

立,则实数 m 的值是 别为

?b, a? 时,函数 y ?

f ( x) 的值域范围恰为 (1, ??) ,则实数 a 、 b 的值分

. ?1 与 a ? 2 ? 3 、 B ? 3

11、据预测中国未来 10 年期间的年均通货膨胀率(物价平均水平的上涨幅度)为 10% ,已知某种商品,它的价格 P (单位:
元)与时间 t (单位:年)有如下函数关系: P 涨的变化率为 ( ...

?t ? ? P0 (1 ? 10%) 2 ,其中 P0 为 t ? 0 时的物价,已知 t ? 10 时,价格上
元.

t

11 5 11 ) ln (单位:元/年) P (2) ? ,则 10 10
.0

22 10

12、如图为一个算法的程序框图,则其输出结果是 13、已知函数 .?

在区间 (0,1) 内取得极大值,在区间 (1, 2) 内取得极小值,则 a 的

取值范围为

5 ? a ? ?2 2
. (2 ? 2 ,3]

14、若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 1 ? 1 ? x 2 有两个不同的公共点,则实数 b 的取值范围为 二、解答题: 15、如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ? 2 ,
E、 F 分别为 CD、PB 的中点, AE ? 3 .

P

AEF ? 平面 PAB . (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)求证:平面

F A E C


证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AD ? CD ? AB ? 2 .在 ?ADE 中,

D

AE ? 3 , DE ? 1 , B 2 2 2 CD ,∴ ∴ AD ? DE ? AE .∴ ?AED ? 90? ,即 AE ? CD .又 AB ?? AE ? AB .∵ PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,∴ PA ? AE .又
8

AE ? 平面 PAB ,而 AE ? 平面 PAE ,∴平面 PAE ? 平面 PAB ,∵ PA ? 平面 ABCD , ?A ,∴ CD ? 平面 PAE ,又 CD ? 平面 PCD ,∴平面 PCD ? 平面 PAE .∴平面 PAE 是平面 PAB 与平面 PCD 的公垂面.所以, ?APE 就是平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面 2 2 2 角的平面角.在 Rt ?PAE 中, PE ? AE ? PA ? 3 ? 4 ? 7 ,即 PE ? 7 .又 PA ? 2 ,∴ 2 2 7 2 7 cos ?APE ? ? .所以,平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为 . 7 7 7 解法二: A 为原点,AB 、AE 分别为 x 轴、y 轴的正方向, 以 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 如图所示. 因为 PA ? AB ? 2 ,
(Ⅱ)解法一:由(1)知 ∴ PA ? CD .由(Ⅰ)知 AE ? CD ,又 PA ? AE

PA ? AB ? A ,∴ AE ? 平面 PAB ,又∵ AE ? 平面 AEF ,平面 AEF ? 平面 PAB .

AE ? 3 ,所以 A(0,0,0) 、 P(0,0, 2) 、 E(0, 3,0) 、 C(1, 3,0) , ??? ? ??? ? ??? ? 则 PE ? (0, 3, ?2) , CE ? (?1,0,0) , AE ? (0, 3,0) . 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAB , ?? ? 故平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0) , ?? ? 设平面 PCD 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z) , ?? ??? ? ? ? n2 ?PE ? 0 ? 3y ? 2z ? 0 ? ? 则 ? ?? ??? ,即 ? ,令 y ? 2 , ? ? ?? x ? 0 ? n2 ?CE ? 0 ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? n1 ?n2 2 2 7 ? 则 n2 ? (0,2, 3) .∴ cos n1 , n2 ? ?? ?? ? . ? ? 7 7 n1 ?n2 x
所以,平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为

z
P

F A E B C D

y

16、定义非零向量 OM ? ? a, b ? 的“相伴函数”为 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( x ? R ) ,向量 OM ? ? a, b ? 称为函数
(其中 O 为坐标原点) .记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S . f ? x ? ? a sin x ? b cos x 的“相伴向量” (1)已知 h

???? ?

2 7 . 7

???? ?

? x? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos x ,求证: h ? x ? ? S ; ? x ? 的“相伴向量”模的取值范围;
???? ? ? 3 且 0 ? b ? 3 ,向量 OM 的“相伴函数” f ( x)
在x?

(2)求(1)中函数 h

(3)已知点 M (a, b) 满足条件: a

x0 处取得最大值.当

点 M 运动时,求 tan 2x0 的取值范围. (1)?h

? x? ? cos ? x ? ? ? ? 2cos x ? ? sin ? ? sin x ? ? 2 ? cos? ? cos x ,? 函数 h ? x ? 的相伴向量
???? ? ? OM

???? ? OM ? ? ? sin ? , 2 ? cos ? ? ,?h ? x ? ? S ;
(2)? OM

???? ?

?

? ? sin ? ? ? ? 2 ? cos ? ?
2

2

? 5 ? 4cos ?

max

? 5 ? 4? 3 ,

???? ? ? OM

min

???? ? ? 5 ? 4 ? 1 ,? OM

的取值范围为

?1,3? ;

(3) OM 的相伴函数 其中 cos ?

???? ?

f ? x ? ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? ,

?

a a ?b
2 2

,sin ? ?

b a ?b
2 2

、当 x ? ?

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 即 x0 ? 2k? ?

?
2

? ?, k ? Z



9

? a ? ? f ? x ? 取得最大值,? tan x0 ? tan ? 2k? ? ? ? ? ? cot ? ? 2 b ? ?
2 tan x0 ? tan 2 x0 ? ? 1 ? tan 2 x0 a b ? 2 2 b a ?a? ? 1? ? ? a b ?b? 2?
b a



为直线 OM 的斜率,由几何意义知

b ? 3? ? ? 0, ? a ? 3 ? ?

令m

?

b ,则 tan 2 x0 ? a

2 m? 1 m

, m ? (0,

3 3 1 2 3 ] ,当 m ? (0, ] 时, m ? ? (??, ? ] 、所以 3 3 m 3

tan 2x0 ?[? 3,0) .
17、已知函数 f ( x) ? e x ? ax ( e 为自然对数的底数,近似值为 2.718 ) .
(Ⅰ)求函数

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)不等式

? 1 ? f ( x) ? x 的解集为 P ,若 M ? ? x | ? x ? 2? 且 M ? P ? M ? 2 ?

,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)当 a 斜率与

? ?1 时,设 g ( x) ? e x ? ln x ,是否存在 x0 ? (0, ??) ,使曲线 C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x0 处的切线

f ( x) 在 R 上的最小值相等?若存在,求出符合条件的 x0 的个数;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ) 当a 当a

f / ( x) ? e x ? a ,

? 0 时, f / ( x) ? e x ? a ? 0 ,所以增区间为 (??, ??) ;

? 0 时,增区间为 (ln(?a), ??) 、减区间为 (??, ln(?a)) ;
?P ?M

(Ⅱ)由 M

得M

1 ex ? P ,从而 f ( x) ? x 在 [ , 2] 上恒成立,即 a ? 1 ? 2 x

在[

1 , 2] 上恒成立,令 2

h( x ) ? 1 ?

ex x

,则 h

/

( x) ?
e2 2

1 1 e x (1 ? x) ,易知 h( x) 在 [ ,1] 上递增,在 [1, 2] 上递减,且 h(2) ? h( ) ,所以 2 2 2 x

hmin ( x) ? h(2) ? 1 ?
(Ⅲ)

,所以 a ? 1 ?

e2 2



y ? g ( x) ? f ( x) ? ex ln x ? e x ? x 、 y / ? e x (ln x ?

1 ? 1) ? 1 ,假设存在 x0 ? (0, ??) ,使曲线 x

C : y ? g ( x) ? f ( x) 在点 x0 处的切线斜率与 f ( x) 在 R 上的最小值相等,则由(Ⅰ)知, a ? ?1 时,

10

f min ( x) ? f (0) ? 1,所以 x0 为方程 e x 0 (ln x0 ?
t / ( x) ?

1 1 , ? 1) ? 0 的解,设 t ( x) ? ln x ? ? 1 ( x ? 0 ) x x0

1 1 x ?1 ? ? 2 ,易知 t ( x) 在 (0,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上为增函数,所以 t ( x) ? t (1) ? 0 ,故方程 x x2 x

1 ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有唯一解 1 ,所以存在符合条件的 x0 且只有一个. x 18、将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (I)两数之和为 5 的概率; ln x ?

x?0 ? ? y?0 (II) 以第一次向上点数为横坐标 x , 第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ? x, y ? 在区域 ? :? 内的概率. ?x ? y ? 2 ? 0 ?
(I)将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中所有的基本事件有:

?1,1? 、 ?1, 2? 、 ?1,3? 、 ?1, 4? 、 ?1,5? 、 ?1,6? 、 ? 2,1? 、 ? 2, 2 ? 、 ? 2,3? 、 ? 2, 4 ? 、 ? 2,5? 、 ? 2, 6 ? 、 ?3,1? 、 ? 3, 2? 、 ? 3,3? 、 ? 3, 4? 、 ? 3,5? 、 ? 3,6? 、 ? 4,1? 、 ? 4, 2 ? 、 ? 4,3? 、 ? 4, 4 ? 、 ? 4,5? 、 ? 4, 6 ? 、 ?5,1? 、 ? 5, 2 ? 、 ? 5,3? 、 ? 5, 4 ? 、 ? 5,5? 、 ? 5,6? 、 ? 6,1? 、 ? 6, 2 ? 、 ? 6,3? 、 ? 6, 4 ? 、 ? 6,5? 、 ? 6, 6 ? 共 36 个等可能基本事件、记
“两数之和为 5 ”为事件

A ,则事件 A 中含有 ?1, 4 ? 、 ? 2,3? 、 ? 3, 2 ? 、 ? 4,1? 4 个基本事件,所以 P( A) ?

4 1 ? ; 36 9

x?0 ? ? y?0 (II) “点 ( x, y ) 在区域 ? :? 记 内” 为事件 B , B 包含 ? 4,1? 、? 5,1? 、? 5, 2 ? 、? 6,1? 、? 6, 2 ? 、? 6,3? 则 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
共 6 个基本事件,所以

p( B) ?

6 1 ? . 36 6

x?0 ? 1 1 ? y?0 答:两数之和为 5 的概率为 .点 ( x, y ) 在区域 ? : ? 内的概率为 . 9 6 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
19、如图, ?ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3 (百米),底 AB 的长为 4 (百米).现决定在该空地内筑
一条笔直的小路 EF (宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分 别为 S1 和 S 2 . (1) 若小路一端 E 为 (2) 求

AC

的中点,求此时小路的长度;

S1 S2

的最小值.

(1) ∵ 若F 在

E 为 AC 中点,∴ AE ? CE ?

3 3 3 ,∵ ? 3 ? ? 4 ,∴ F 2 2 2

不在 BC 上.

7 ? 4 ,在 ?ABC 中, 2 2 15 30 cos A ? , 在 ?AEF 中,EF 2 ? AE 2 ? AF 2 ? 2 AE ? AF ? cosA ? , EF ? , 所以 , 即小路一端 E 为 AC 3 2 2
AB 上,则 AE ? AF ? 3 ? AE ? 4 ? AF ? 3 ,∴ AE ? AF ? 5 ,∴ AF ?
11

的中点时小路的长度为

30 2

(百米).

(2) 若小道的端点 E 、 F 点都在两腰上,如图,设 CE

? x 、 CF ? y ,则 x ? y ? 5 ,

1 ? CA ? CB ? sin C S1 S?CAB ? S?CEF S?CAB 2 ? ? ?1 ? ?1 1 S2 S?CEF S?CEF ? CE ? CF ? sin C 2 5 9 9 11 (当 x ? y ? 时取等号) ? ?1 ? ?1 ? x? y 2 2 xy 25 ( ) 2 若小道的端点 E 、 F 分别在一腰(不妨设腰 AC )上和底上,设 AE ? x 、 AF ? y ,则 x ? y ? 5 , 5 S1 S?CAB ? S?AEF S?CAB 12 12 23 (当 x ? y ? 时取等号) ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? x? y 2 2 S2 S?AEF S?AEF xy 25 ( ) 2 11 答:最小值是 . 25
20、已知数列 ?an ? 满足

an?1 ? an ? 1 ? n(n ? N ? ) 且 a2 ? 6 . an?1 ? an ? 1

(1)设 bn

?
?

an (n ? 2) 、 b1 ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n(n ? 1)
an u (n ? N ? ) , c 为非零常数,若数列 ?un ? 是等差数列,记 cn ? n n?c 2n
, Sn

(2)设 un

? c1 ? c2 ? ? ? cn ,

求证: Sn

? 4.

(1) 由

an?1 ? an ? 1 ? n(n ? N ? ) 得 (n ?1)an?1 ? (n ? 1)an ? ?(n ? 1) ,两边同除以 (n ? 1)(n ? 1) 得 an?1 ? an ? 1

an ?1 a an ?1 an 1 1 1 1 1 ? n ?? ? ?? ? ? (n ? 2) , 即 ,所以 bn ?1 ? bn ? ? n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1)n (n ? 1)n (n ? 1)n n(n ? 1) n n ? 1
当n

? 3 时, bn ? b2 ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ?? (b3 ? b2 )

?(

1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ? ? ( ? 1) ? ? 1 , 故当 n ? 3 时, bn ? b2 ? ?1 ? ?2, n ?1 n ? 2 n?2 n?3 2 n ?1 n ?1 n ?1

?3(n ? 1) ? 该式对 n ? 2 适合,故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? ? 1 ; ? n ? 1 ? 2(n ? 2) ?
(2)当 n

? 2 时, an ? n(n ?1)bn ? 2n2 ? n ,又由 a2 ? 6 得 a1 ? 1 ,故 an ? 2n2 ? n(n ? N? ) ,所以

u1 ?

1 1? c

、 u2

?

6 15 1 n 、 u3 ? ,由 2u2 ? u1 ? u3 得 c ? ? ,所以 un ? 2n 、 cn ? n ?1 2?c 3? c 2 2
12



2 3 n? 1 n Sn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ? 1……① 2 2 2 2 3 n ?1 n 2Sn ? 2 ? 2 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ……② 2 2 2 1 1 1 n n?2 由② ? ①得 S n ? 3 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? 4 ? n ?1 ? 4 . 2 2 2 2 2

13

2013 届高三数学寒假作业(3)
一、填空题: 1、若不等式 | x ?

1 |?| a ? 2 | ?1 对于一切非零实数 x x
2 n ?1

均成立,则实数 a 的取值范围是

. (1,3) . an ?

2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ? ? 3 3、已知函数 y ? cos( x ?
直线 x

an ?

?

?

?
6

) ? sin( ? x) 具有性质:①最大值为 1 ,图象关于点 ( , 0) 对称;②最大值为 1 ,图象关于 2 3 6

?

n ,则 an ? 2

?

1 2 ? 3n ?1

对称;③最大值为

? ? 3 ,图象关于点 ( , 0) 对称;④最大值为 3 ,图象关于直线 x ? 6 6


对称.

其中正确的说法是

③、化简函数式得

y?

3 3 1 3 ? ? cos x ? sin x ? 3( cos x ? sin x) ? 3 sin( ? x) ? 3 cos( x ? ) 2 2 2 2 6 3
,则 ? 的取值范围为

4、若曲线 f ( x) ?

1 3 sin x ? cos x 的切线倾斜角为 ? 2 2

.

1 3 ? a 1 即 f / ( x) ? cos x ? sin x ? sin( x ? ) ?[?1,1] , ?1? tn ?? 2 2 6

0 , ? ?[, 又

) ?

, 所以 ?

? 3? ? [0, ] ? [ , ? ) 4 4

5、如图所示, A 、 B 、 C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆外的点 D ,
若 OC

? mOA ? nOB ,则 m ? n 的取值范围是__

___. (?1, 0)

x2 y 2 6、 F 、 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, A 是其右顶点,过 F2 作 x 轴的垂线 1 a b
与双曲线的一个交点为 P , 是 ?PF F2 的重心,且 GA ? F F2 1 1

??? ???? ? ?

? 0 ,则双曲线的离心率__

_. 3 ___.

7、如图给出的是计算
i ? 1006

1 1 1 1 的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是 ? ? ?L ? 2 4 6 2012
开 始

i=1, s=0




输出 S

s=s+

1 2i

结 束

i=i+1
14

8、已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 ,点 P ? x0 , y0 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, O 为坐标原点,过点 P 作圆的切线 PQ ,使得

?OPQ ? 30? ,则 x0 的值为

.0 或2
lg a1

9、已知等比数列 {an } 的各项都为正数,且当 n ? 3 时, a4 ? a2n?4 ? 102n ,则数列 2

,2

lg a2

,2

lg a3

,2

lg a4



? , 2lg an , ? 的前 n 项和 Sn 等于
10、若函数 f ( x ) ?| e ?
x

.2

n?1

?2
. [? , ]

a 1 | 在 x ? [ ? ,1] 上增函数,则实数 a 的取值范围是 x e 2
/ /

1 1 e e

11、如图,正方形 O A B C 的边长为 a ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的
C' B'

/

/

y'

面积是是

. 2 2a
2

2

O'

12、方程 x ? bx ? 1 ? 0 有且仅有两个不同零点,则 b 的值为
3

3 . 32 2

A'

x'

13、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ,若对任意的 x ?[t , t ? 2] 不等式 f ( x) ? 4f ( x ? t ) 恒
成立,则实数 t 的最大值是

.?

2 3

14、已知函数 f ( x) ? x( x ? 9) 2 , x ? [0,??) 存在区间 [a, b] ? [0, ??) ,使得函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的值域为

[ka, kb] ,则最小的 k
二、解答题:

值为

.9

15、已知奇函数 f ( x ) 在 (??,0) ? (0, ??) 上有意义,且在 (0, ??) 上单调递增, f (1) ? 0 .又有函数

? g (? ) ? sin 2 ? ? m cos? ? 2m , ? ? [0, ] .若集合 M ? ?m | g (? ) ? 0? , N ? ?m | f [ g (? )] ? 0? . 2
①求 ①显然奇函数 ②N

f ( x) ? 0 的解集;

②求 M

?N .

f ( x) 在 (??, 0) 上也单调递增,又 f (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 的解集为 (??, ?1) ? (0,1) ;

? ?m | f [ g (? )] ? 0? ? ?m | g (? ) ? ?1or0 ? g (? ) ? 1? ,由 M ? ?m | g (? ) ? 0? 得

M ? N ? ?m | g (? ) ? ?1? ,而
g (? ) ? ?1 ? sin 2 ? ? m cos ? ? 2m ? ?1 ? m ? 2 ? cos 2 ? 2 ? cos ? ? 2 ? ? 4 ,又 2 ? cos ? cos ? ? 2

cos ? ? 2 ?[?2, ?1] ,所以

2 ? cos 2 ? ? 4 ? 2 2 ,当 cos ? ? 2 ? 2 时取“ ? ”号, 2 ? cos ?

15

所以 M

?N ? m|m ? 4?2 2 .
1 x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? ,且经过点 A(2 , 3) . 2 2 a b

?

?

16、已知椭圆 C :

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线
2

AO ( O 是坐标原点)与椭圆 C 相交于点 B ,试证明在椭圆 C 上存在不同于 A 、 B 的点 P ,使 AP ? AB 2 ? BP 2 (不需要求出点 P 的坐标) .

x2 y 2 (1) ? ? 1; 16 12
(2)由

AP 2 ? AB 2 ? BP 2 得 ?ABP ? 90

,所以

AB ? BP ,由椭圆的对称性得 B(?2, ?3) ,由 AB ? BP 得

k BP

? x2 y2 2 ?1 ? ? 2 ? ? ,所以 BP : 2 x ? 3 y ? 13 ? 0 ,由 ? 16 12 得 43y ? 234y ? 315 ? 0 , 3 ?2 x ? 3 y ? 13 ? 0 ?

? ? 2342 ? 4 ? 43? 315 ? 0 , 所以直线 BP 与椭圆 C 有两个不同的交点, 即在椭圆 C 上存在不同于 A 、B 的点 P ,
使

AP 2 ? AB 2 ? BP 2 .

17、已知函数 f ( x) ?

1 2 ex a x ? m ln x, g ( x) ? ? x 2 a e



(1) 若函数 g ( x ) 为偶函数,求 a 的值; (3)设 1 ?

(2) 函数

y ? f ( x) 有零点,求实数 m 的取值范围;

m ? e , H ( x) ? f ( x) ? (m ? 1) x ,证明对 ?x1 、 x2 ?[1, m] 恒有 H ( x1 ) ? H ( x2 ) ? 1 .

(1)因为 g ( x ) 为偶函数,所以 g ( x) ?

g (? x) ,即

1 1 1 ex a 1 ? x ? x ? ae x 、 e x ( ? a) ? x (a ? ) ? 0 、 a e a a e ae

(e x ?

1 1 )( ? a ) ? 0 ,所以 a ? ?1 ; ex a

(2)

y ? f ( x) 定义域为 (0, ??) 、 f ' ( x) ? x ?
'

m x2 ? m ? , x x

①当 m ? 0 、f 有零点; ②当 m ? 0 时,

所以函数 y ? f ( x) ( x) ? 0 、f ( x) 单调递增,x ??? 时,f ( x) ? ?? ,x ? 0 时,f ( x) ? ?? ,

f ( x) ?

1 2 x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 没有有零点; 2

③当 m ? 0 时,令

f ' ( x) ?

x2 ? m ? 0 ,得 x ? ? ?m (舍 ? ?m ),当 x ? (0, ?m) , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递 x

减,当 x ? (

?m, ??) , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,由于 x ? 0 时, f ( x) ? ?? ,要使得函数 y ? f ( x) 有零点,

16



f ( x)min ? f ( ?m) ? 0 即 ?

m 1 1 ? m ln ? m ? 0 ,即 ?m( ? ln ?m ) ? 0 , ?m( ? ln ?m ) ? 0 , 2 2 2

1 ? ln ? m ? 0 ,即 m ? ? e 2 综上所述, m ? ? e 或 m ? 0 ; 1 2 1 2 另解: f ( x) ? x ? m ln x 的定义域为 (0, ??) ,由 f ( x) ? 0 得 x ? m ln x ? 0 有解,显然 x ? 1 不是方程的解, 2 2 1 2 故当 0 ? x ? 1 时, m ln x ? ? x ,只有 m ? 0 才有解, 2
当x

1 x2 ? 1 时, m ? ? ? 2 ln x
综上所述, m

,设 h( x) ?

x2 ln x

,h

/

( x) ?

1 x(2 ln x ? 1) ,显然 h( x) ? h(e 2 ) ? 2e ,所以 m ? ? e , (ln x) 2

? ?e 或 m ? 0 ;

(3)

H ( x) ?

1 2 x ? m ln x ? (m ? 1) x ,原问题转化为 H ( x)max ? H ( x)min ? 1 、 2

H ' ( x) ? x ?

m x 2 ? (m ? 1) x ? m ' ? (m ? 1) ? ,由于 x ? [1, m] ,所以 H ( x) ? 0 , H ( x ) 单调递减, x x m2 1 m2 1 ? H (1) ? H (m) ? ? m ln m ? ,令? (m) ? ? m ln m ? ,则 2 2 2 2
1 m ?1 ? ? 0 、 t (m) ? t (1) ? 0 ,所以 m m

H ( x)max ? H ( x)min

? ' (m) ? m ? ln m ?1 ,设 t (m) ? m ? ln m ? 1 、 t / (m) ? 1 ?

? ' (m) ? m ? ln m ? 1 ? 0 ,? (m) 单调递增,? (m)max ? ? (e) ?

e2 1 e2 ? 2e ? 1 ?e? ? ? 1 ,原命题得证. 2 2 2

18、已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 ? a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .数列 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,…,

bn ? bn?1 是首项为 1 ,公比为
(1) 求数列 {an } 的通项公式;

1 的等比数列. 3
(2) 若 cn

3 ? an ? (bn ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 2
? a7 ? a3 ? a6 ? 16 且 a3 ? a6 ? 55

(1) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 ,由 a2 得 a3

? 5, a6 ? 11, d ? 2 ,? an ? a3 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 1 ;

(2) 由(1)得 an

? 2n ? 1( n ? N

?

) b1 .

? 1 ,当 n ? 2 时, bn ? bn?1
2

?1? ?? ? ? 3?

n ?1


n ?1

1 ?1? ?1? ?bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ?? (bn ? bn?1 ) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? 3 1 3 3? 1? ? 因而 bn ? ?1 ? n ? , n ? N , cn ? an ? (bn ? ) ? (2n ? 1) ? ( ? ) ? n , 2 3 2 2? 3 ? 3 1 3 5 2n ? 1 ) ∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? 2 3 3 3 3n

3? 1? ? ?1 ? n ? 2? 3 ?

17

1 3 5 2n ? 1 ? 2 ? 3 ??? …… ① 3 3 3 3n 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? n ?1 ……② 则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 3 3 3 3 3n 3 2 1 1 1 1 2n ? 1 1 1 1 2n ? 1 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ①-②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 3 n ?1 ∴ Tn ? 1 ? . ∴ S n ? ( n ? 1) . 2 3 3n
令 Tn

?

19、某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救,救生员没有直接从 A 处游向

B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处.若救生员在岸边的行进速度是 6 米/秒,在海中的行
进速度是 2 米/秒(不考虑水流速度等因素) . (1)请分析救生员的选择是否正确;

B
(2)在

AD 上找一点 C ,使救生员从 A 到 B 的时间最短,并求出最短时间.
300 米

A

C 300 米

D

(1)从

A 处游向 B 处的时间 t1 ?

300 2 ? 150 2 ( s) ,而沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 2

B 处的时间 t 2 ?
(2)设 CD

300 300 ? ? 200 ( s ) ,而 150 2 ? 200,所以救生员的选择是正确的. 6 2
,使救生员从

? x ,则 AC ? 300 ? x , BC ? 3002 ? x 2

A 经 C 到 B 的时间
,令 t ? ? 0, x

t?

1 x 300 ? x 3002 ? x 2 ? ,0 ? x ? 300, t ? ? ? ? 6 2 90000? x 2 6 2

? 75 2 ,

又0 ?

x ? 75 2, t ? ? 0;75 2 ? x ? 300, t ? ? 0 ,知 x ? 75 2, t min ? 50 ? 100 2 (s) .
2

20、已知 a1 ? 1 ,点 (an , an?1 ? 2) 在函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 的图象上,其中 n ? 1 、 2 、 3 、…….
(1)证明:数列 {lg(an (2)设数列 {an ? 2} 的前 n 项积为 Tn ,求 Tn 及数列 {an } 的通项公式; ? 2)} 是等比数列;

(3)已知 bn 是

3 1 1 1 与 的等差中项,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: ? S n ? . 8 2 an ? 1 an ? 3
2

(1)由已知 an?1 ? 2 ? an

? 4an ? 4 ,∴ an?1 ? 2 ? (an ? 2)2 ,∵ a1 ? 1 ? an ? 2 ? 1 ,两边取对数得

lg(an?1 ? 2) ? 2lg(an ? 2) ,∴ {lg(an ? 2)} 是等比数列,公比为 2 ,首项为 lg(a1 ? 2) ? lg3 ;
18

(2)由(1)得 lg(an

? 2) ? 2n?1 lg 3 ? lg 32

n?1

,∴ an

? 32 ? 2 ,∵
n (2n ? 1) lg 3 ? lg 32 ?1 , 2 ?1

n?1

lg Tn ? lg[(a1 ? 2)(a2 ? 2) ??? (an ? 2)] ? lg(a1 ? 2) ? lg(a2 ? 2) ???? ? lg(an ? 2) ?
∴ Tn

? 32

n

?1


n?1

1 1 1 1 1 1 1 1 32 1 1 (3)∵ bn ? ( ; ? ? ? ) ? ( 2n?1 ? 2n?1 ) ? 2n ? 2n?1 ? 2n 2 an ? 1 an ? 3 2 3 ? 1 3 ? 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 an ? 1 an ?1 ? 1
(另法: bn

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ( ? ) 2 an ? 1 an ? 3 an ? 1 2 an ? 1 an ? 3

?

1 1 1 1 1 1 ) ? ? ? 2 ? ? an ? 1 (an ? 1)(an ? 3) an ? 1 an ? 4an ? 3 an ? 1 an ?1 ? 1
? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? ( 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1

∴ Sn

?

3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ,∴ ? S n ? . ,显然 bn ? 0 ,∴ S n ? S1 ? ,又 S n ? ? n ? ? ? 2n 2 8 8 2 2 3 ?1 2 a1 ? 1 an?1 ? 1 2 3 ? 1

19

2013 届高三数学寒假作业(4)
一、填空题: 1、已知甲乙两车间的月产值在 2011 年元月份相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增
加产值的百分比相同,到 2011 年 8 月份发现两车间的月产值又相同,比较甲乙两个车间 2011 年 4 月月产值的大小,则 有

.甲大于乙

2、 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1 ,若 AB ? AC ? 2 AO ,且 OA ? AC ,则向量 BA 在向量 BC 方向上的
射影的数量为



3、向量 a ? (2,0) 、 b ? ( x, y) ,若 b 与 b ? a 的夹角为

?

?

?

3 2

? ?

? 6

,则 | b | 的最大值为

?

.

由向量加减法的几何意义知, B 始终在以 OA 为弦、圆周角 ?OBA ? 圆的直径,所以

?
6

的圆弧上, | b | 等于弦 OB 的长,最大值为该

?

2 sin

?
6

? 2R ,故 2 R ? 4 .

4、已知等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 满足: a1 ? b1 ? 3 、 a2 ? b2 ? 7 、 a3 ? b3 ? 15 、 a4 ? b4 ? 35 ,
则 a5

? b5 ?

. 91

5、 ?ABC 中,AB ? 2 AC ? 2 、AB ? AC ? ?1 , AO ? x1 AB ? x2 AC( O 是 ?ABC 的外心) 则 x1 ? x2 在 若 ,
值为 .

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?



13 6


Y B

6、如右图所示,已知 A(4 , 0) 、 B (0 , 4) ,从点 P (2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反射后再
射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是

2 10
X 7、设集合 A ? {( x, y) | y ?| x ? 2 |} , B ? {( x, y) | y ? ? | x | ?b} , A ? B ? ? ,
则 b 的取值范围是

O

P

A

.b ? 2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?1 ? x ? 3) 的图像所有交点的横坐标之和等于 .4 x ?1 2n? 9、已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n sin ,则 a1 ? a2 ? ? ? a2010 的值等于 . ?335 3 3
8、函数 y ? 10、已知函数 f ( x) ? ?

?ax ? 1 ? 2a( x ? 0)
2 ? x ( x ? 0)

,若存在 x1 、 x2 ? R , x1

? x2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取

值范围是

.a ?

1 2
20

11、对数列 ?an ? ( n ? N , an ? N ? ) bk 为 a1 , a2 , ? , ak 中的最大值,称数列 ?bn ? 为 ?an ? 的峰值数列, ,令
?

例如 2 , 1 , 3 , 7 , 5 的峰值数列为 2 , 2 , 3 , 7 , 7 ,由以上定义可算出峰值数列为 1 , 3 , 3 , 9 , 9 的所有 数列

?an ? 的个数是



由以上定义可知: a1

? 1 , a2 ? 3 , a3 为 1 , 2 , 3 之一, a4 ? 9 , a5 为 1 , 2 ,? , 9 这 9 个数之一,所以所有数列

?an ? 的个数是 3 ? 9 ? 27 .
12、 F

x2 ? y 2 ? 1的右焦点,第一象限内的点 M 为椭圆 5

在椭圆上,

若 MF

? x 轴,直线 MN 与圆 x2 ? y 2 ? 1相切于第四象限内的点 N






NF

等于

21 3

13、已知周期为 4 的函数 f ( x) ? ?

?m 1 ? x 2 ( x ? (?1,1]) ? ?1 ? x ? 2 ( x ? (1,3]) ?

,其中 m ? 0 ,若关于 x 的方程 3 f ( x) ?

x 恰有 5 个实数解,

则实数 m 的取值范围是

.(

15 , 7) 3

14、设 e 为自然对数的底数,已知直线 l : y ? ?e?t ( x ? t ) ? e?t , t ? ?1,则直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形面积的
最大值等于



2 e

二、解答题: 15、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m ,如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平
方米的造价为 120 元,记该水池底面一边的长度为 xm( x (Ⅰ)写出

? 0) ,该水池的总造价为 y 元.

y 关于 x 的函数表达式 ; (Ⅱ)怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少元?

(Ⅰ)因水池底面一边的长度为 x

4800 4800 m ,根据题意得 ? 150 ? 3 3x 4800 1600 1600 ?120(2 ? 3 x ? 2 ? 3 ? ) ? 240000 ? 720( x ? ) ,? 所求的函数表达式为 y ? 240000 ? 720( x ? ); 3x x x

m ,则另一边的长度为

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 即x

y ? 240000 ? 720( x ?

1600 1600 1600 , ) ? 240000 ? 720 ? 2 x ? ? 297600 ,当且仅当 x = x x x
4800 ? 40 = m ,因此,当水池的底面是边长为 40 m 的 3x

? 40 时, y 有最小值 297600 ,此时另一边的长度为

正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元.

16、已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1( x ? R) .
(1) 试说明函数

f ? x ? 的图像是由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变换得到的;
21

(2) 若函数 g

? x? ?

1 ? 1 7? | f (x ? ) | ? | f (x ? ) | ( x ? R ) ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性,写出函数 g ( x) 2 12 2 12

的最

小正周期并说明理由; (3) 求函数 g (4) 若函数

? x ? 的单调区间和值域.
1 ? 1 ? | f ( x ? ) | ? | f ( x ? ) | ( x ? R) ,试判断函数 g ( x) 的奇偶性,并用反证法证明函数 2 12 2 3

g ? x? ?

g ( x) 的最小正周期是
(1) ∵

? . 4

2 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ?1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x , ∴ f ( x) ? 2 s i n ( x ?

?
6

)x(? R , ∴ 函 数 )

f ( x) 的图像可由 y ? sin x 的图像按如下方式变换得到:
y ? sin( x ? ) 的图像; 6 ? 1 ? ②将函数 y ? sin( x ? ) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? sin(2 x ? ) 图像; 2 6 6
①将函数

y ? sin x 的图像向右平移

? 6

个单位,得到函数

?

③将函数

y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 6

?

f ( x) ? 2sin(2 x ? )( x ? R) 的图像. 6
(说明:横坐标先放缩,再平移也可.即将函数 数

?

y ? sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的

? ? x )的图像,最后将函数 个单位,得到函数 y ? sin(2 ? 12 6 ? ? y ? sin(2x ? )的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? )( x ? R) 的 6 6
y ? sin 2 x ,再将函数 y ? sin 2x 的图像向右平移

1 2

倍(纵坐标不变),得到函

图像.) (2)由(1)知

? 1 ? 1 7? f ( x) ? 2sin(2 x ? )( x ? R) ,∴ g ( x) ? | f ( x ? ) | ? | f ( x ? ) |? 2 | sin 2 x | ( x ? R) . 6 2 12 2 12
x?R
, 有

又 对 任 意

g (? x) ? 2 | s i? x 2 ) | n( ?

2x | ? i n, ∴ |函 sg x 2

) 数( g ( x) 是 偶 函 数 . ∵ 函 数

y ? 2sin 2 x( x ? R) 的最小正周期是 ? ,∴结合图像可知,函数 g ( x) ? 2 | sin 2 x | ( x ? R) 的最小正周期是 T ?
(3)先求函数 g ( x) 在一个周期 [0, 当

?
2



?
2

] 内的单调区间和函数值的取值范围.

[ , ] ;函数的取值范围是 0 ? g ( x ) ? 2 .因此,依据周期函数的性质,可知函数 g ( x) ? 2 | sin 2x | (x ? R ) 的单调 4 2 k? k? ? , ? ]( k ? Z ) ;单调减区间是 增区间是 [ 2 2 4

? ?

x ? [0, ] 时, 0 ? 2x ? ? 2

?

,故

? g ( x) ? 2 sin 2x .易知,此时函数 g ( x) 的单调增区间是 [0, ] ,单调减区间是 4

22

[

k? ? k? ? ? , ? ](k ? Z ) ,函数 g ( x) 的值域是 [0, 2] . 2 4 2 2
(4) 由(1)知,

f ( x) ? 2sin(2 x ? )( x ? R) , 6

?

∴ g ( x)

?

1 ? 1 ? | f ( x ? ) | ? | f ( x ? ) |?| sin 2 x | ? | cos 2 x | ( x ? R) ,又对任意 x ? R , 2 12 2 3

有 g (? x) ?| sin(?2 x) | ? | cos(?2 x) |?| sin 2 x | ? | cos 2 x |? ∵ g(x ?

g ( x) ,∴函数 g ( x) 是偶函数.

?

) ?| sin 2( x ? ) | ? | cos 2( x ? ) |?| cos 2 x | ? | sin 2 x |? g ( x) ,∴ g ( x) 是周期函数,T ? 4 4 4 4
?

?

?

?

是它的

一个周期. 现用反证法证明 T 反证法:假设 T

?
4

是函数 g ( x) 的最小正周期.

?

?
4

不是函数 g ( x) 的最小正周期,设 T1 (0 ? T1

?

?
4

) 是 g ( x) 的最小正周期.则

g ( x ? T1 ) ? g ( x) ,即 | cos(2 x ? 2T1 ) | ? | sin(2 x ? 2T1 ) |?| sin 2 x | ? | cos 2 x | .令 x ? 0 ,得 sin 2T1 ? cos 2T1 ? 1,两边平方后化简,得 sin 2T1 ? cos 2T1 ? 0 ,这与 sin 2T1 ? 0且 cos 2T1 ? 0 ( 0 ? 2T1 ?
盾.因此,假设不成立.所以,函数 g ( x) 的最小正周期是 (3)(理科)先求函数 g ( x) 在一个周期 [0, 当 x ? [0,

?
2

)矛

?
4

? 4



] 内的单调区间和函数值的取值范围.
.易知,此时函数 g ( x) 的单调

?

? ? 3 ? ? ] 时, g ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) ,且 ? 2 x ? ? 4 4 4 4 4
?
? ?

增区间是 [0,

] ,单调减区间是 [ , ] ;函数的取值范围是 1 ? g (x ) ? 2 .因此,依据周期函数的性质,可知函数 8 8 4 k? k? ? , ? ]( k ? Z ) ;单调减区间是 g ( x) ?| sin 2x |? | cos 2 | ( ? R ) x x 的单调增区间是 [ 4 4 8 k? ? k? ? [ ? , ? ](k ? Z ) ;函数 g ( x) 的值域是 [1, 2] . 4 8 4 4

17、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ,且 E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 (Ⅱ)求证: B1C

AEC1 ;
B1

A1

C1

? 平面 AEC1 .

A E B

C

(I) 连接

A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO ,因为 ACC1 A 为正方形,所以 O 为 A1C 中点,又 E 为 CB 中点,所以 EO 为 1

?A1BC 的中位线,所以 EO / / A1B ,又 EO ? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 ,所以 A1B / / 平面 AEC1 ;
23

(Ⅱ)因为 AB ? AC ,又 E 为 CB 中点,所以 AE ? BC 、又因为在直三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC ,又

AE ? 底面 ABC ,

所以 AE

? BB1 , 又因为 BB1 ? BC ? B ,所以 AE ? 平面 BCC1 B1 ,又 B1C ? 平面 BCC1 B1 ,所以

AE ? B1C ,在矩形 BCC1B1 中, tan ?CB1C1 ? tan ?EC1C ?
所以 ?CB1C1 ? ?EC1B ? 90 ,即 B1C
?

2 ,所以 ?CB1C1 ? ?EC1C , 2

? EC1 ,又 AE ? EC1 ? E ,所以 B1C ? 平面 BCC1 B1

18、如图,过点 (0, a3 ) 的两直线与抛物线 y ? ?ax 2 相切于 A 、 B 两点, AD 、 BC 垂直于直线 y ? ?8 ,垂足分别 y
为 D 、 C .. (1)若 a

? 1 ,求矩形 ABCD 面积;
O x B

(2)若 a ? (0, 2) ,求矩形

ABCD 面积的最大值.

A

D
(1) a

C

? 1 时, S ? 14

(详细过程见第(2)问)
2

(2)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?ax0 ,因为 y ? ? ?2ax ,所以切线方程为 y ? y0 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) ,即

y ? ax02 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) ,因为切线过点 (0, a3 ) ,所以 a3 ? ax02 ? ?2ax0 (0 ? x0 ) ,即 a3 ? ax02 ,于是 x0 ? ? a 、
2 3 3 将 x0 ? ? a 代入 y0 ? ?ax0 得 y0 ? ?a (若设切线方程为 y ? kx ? a , 代入抛物线方程后由 ? ? 0 得到切点坐标, 亦予认可),

所以

3 4 AB ? 2a 、BC ? 8 ? a3 , 所以矩形面积为 S ? 16a ? 2a (0 ? a ? 2) ,S ? ? 16 ? 8a , 所以当 0 ? a ? 3 2 时,S ? ? 0 ;

当 3 2 ? a ? 2 时, S ? ? 0 ;故当 a ?

3

2 时, S 有最大值为 12 3 2 .

19、数列 ?an ? 中, an ? 0 , an ? 1 ,且 a n ?1 ?
(2)若 a1 ? ? an?1 ;

3a n ? (n? N ) . 2a n ? 1

(1)证明: a n

3 ,计算 a2 , a3 , a4 的值,并求出数列 ?an ? 的通项公式; 4

(3)若 a1

? p ? an ? ,使得数列 ? ? a ,求实数 p ( p ? 0 ) ? 成等比数列. ? an ?

(1)若 a n

? an?1 ,即

3a n ? a n ,得 an ? 0 或 an ? 1 与题设矛盾,? an ? an?1 2a n ?1

(2) a 2

?

9 27 81 , a3 ? , a4 ? 10 28 82

24

解法一:用数学归纳法,先猜想 a n

?

3n ,再用数学归纳法证明. 3n ? 1

解法二: ,由

1 a n ?1

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ? ( ) ? ,得 ? 1 ? ( ? 1) ,? 数列 { ? 1} 是首项为 ? 1 ? ,公比为 的等比 3 3 an 3 an?1 3 an a1 3 an

3n 1 1 n 数列,? ? 1 ? ( ) ,得 a n ? n an 3 3 ?1
? p ? an ? ? 成等比数列,公比为 q ,则 ? an ?

(3)设数列 ?

p ? a n ?1 a n ?1 (2 p ? 3)a n ? p ? ?q, p ? an 3( p ? a n ) an

? p ? ?1 ?2 p ? 3q ? 3 ? 0 ? 即 (2 p ? 3q ? 3)an ? 3 pq ? p ,由 p ? 0 ,? ?an ? 不是常数列,? ? ,? 1 , ? p(3q ? 1) ? 0 ?q ? 3 ?
此时, ?

? p ? an ? 1 ? 是公比为 的等比数列. 3 ? an ?

20、设函数 f ( x) ? e x ? a( x ? 1) .
①若 a

? 0 , f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值;

②设 g ( x ) 直线

? f ( x) ?

a ex

, A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( x1

? x2 )是曲线 y ? g ( x) 上任意两点,若对任意的 a ? ?1 ,

AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围;
n

③是否存在正整数 a ,使得 1

? 3n ? 5n ? ? ? (2n ? 1)n ?

e ? (an)n 对一切正整数 n 均成立?若存在,求 a 的最 e ?1

小值;若不存在,请说明理由. ①当 x

? ?1 时,对任意 a ? 0 , f ( x) ? 0 ;对 x ? ?1 时,由 f ( x) ? 0 得 a ?

ex ex ( x ? ?1) , ,令 h( x) ? x ?1 x ?1

则h

/

( x) ?

ex ? x ( x ? 1)2

,当 x ? (?1, 0) 时, h

/

( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) 时, h / ( x) ? 0 ,故 h( x)min ? h(0) ? 1,所以

a ? 1 ,即 a 的最大值为 1 ;
②因为

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 ,所以函数 F ( x) ? g ( x) ? mx 在 x2 ? x1

(??, ??) 上单调递增,所以 F / ( x) ? g / ( x) ? m ? 0 恒成立,即对任意的 a ? ?1 ,任意的 x ? R ,m ? g / ( x) 恒成立,

25

又g

/

( x) ? e x ? a ?

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a ? ?a ? 2 ?a ? ( ?a ? 1) 2 ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 0 、 a ? ?1 时两个 x e e

等号同时成立,故 m ? 3 ; ③存在, a 的最小值为 2 .

证明: F ( x) ? e x ? x ?1( x ? 0) ,F / ( x) ? e x ? 1 ? 0 , 设 所以 F ( x) 在 [0, ??) 上递增, 所以 F ( x) ? F (0) ? 0
i i ? ? i 2n ? i 2n 2 ? e ( i ? 1 ,3 ,5 ,……,2n ? 1 ) ? e ( i ? 1 ,3 ,5 ,……, 即 e ? x ? 1 ,故 0 ? 1 ? ,所以 2n 2n
x

2n ? 1 ) ,于是 (
? 1

2 n ?1 2 n ?3 2 n ?5 1 ? ? ? ? 1 n 3 5 2n ? 1 n ) ? ( )n ? ( )n ? ? ? ( ) ? e 2 ? e 2 ? e 2 ??? e 2 2n 2n 2n 2n

e 2 (1 ? e? n ) e 2 e e n n n n ? ? ? ,所以 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? (2n)n ,故 a ? 2 . ?1 ?1 1? e 1? e e ?1 e ?1

?

1

26

2013 届高三数学寒假作业(5)
一、填空题: 1、命题“ ?x ? (1, 2) 时,满足不等式 x ? mx ? 4 ? 0 ”是假命题,则 m 的取值范围是
2

. (??, ?5] .

2、若点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0 , C ? 120 ,则实数 ? 的值为
?



??? ??? ? ? ??? ? AB 中点 D ,则 PA ? PB ? 2 PD ,则 P 、 D 、 C 三点共线,由几何性质得 D 为 PC 中点,故 ? ? ?1
???? 1 ???? NC ,P 是 BN 3
上的一点, 若

3、 如图, ?ABC 中,AN ? 在

??? ? ??? 2 ???? ? AP ? m AB ? AC , 则实数 m 的值为 11



3 11

4、函数 f ( x) ? 2 sin x ? tan x ? m, x ? [?

? ?

, ] 有零点,则 m 的取值范围为__________. [?2 3, 2 3] 3 3
.?

5、 已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 公比为 q , Sn 、Sn?2 、Sn ?1 依次成等差数列, 若 则公比 q 的值为 6、已知函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如图所示,则函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内的极小值点


1 2

. (写出所有你认为取得极小值处的点的横坐标,若有多个用逗号隔开)

x4

y

f ?( x )

a x1

o

x2

x3

x4

x5

x6

b x

7、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,令 Tn ?

S1 ? S 2 ? ? ? S n n

,称 Tn 为数列 a1 , a2 , a3 ,…, an 的“理想数” ,

已知数列 a1 ,a2 ,a3 , …,a400 的 “理想数” 2005 , 11 ,a1 ,a2 ,a3 , 为 则 …,a400 的 “理想数” 为

.2011

8、若非零向量 a 、 b 满足 | a ? b |?| b | ,则正确的判断个数是

?

?

? ?

?

.1 个

27

?

?
②2 |

?

① 向量 a 、 b 的夹角恒为锐角;

? ? b |2 > a ? b ;

③| 2b |?| a ? 2b | ;

?

?

?

④| 2a |?| a ? 2b |

?

?

?

9、若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为

. ?1

10、已知可导函数 f (x) ( x ? R) 的导函数 f ?(x) 满足 f ?(x) > f (x) ,则不等式 ef ( x) ? f (1)e x 的解集 . (1, ??)



11、设 p : ?x ? (1, ) 使函数 g ( x) ? log2 (tx2 ? 2x ? 2) 有意义,若 ? p 为假命题,则 t 的取值范围为

5 2



t??
?p

1 2 5 2 2 ? 2 x ? 2 ? 0 有 属 于 (1, )的 解 , 即 t ? 2 ? x x 2 5 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ? x ? 时, ? ? 1 ,所以 2 ? = 2( ? ) 2 ? ∈ [? , 0) .故 t ? ? . 2 5 x x x x 2 2 2 2
p
为 真 命 题 . 不 等 式 tx
2

为假命题,则

有属于

5 (1, )的 解 . 又 2

12、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 ?B 曼德尔布罗特在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统
科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照 点的个数是 的分形规律生长成一个树形图,则第 12 行的实心圆

. 89 第1 行 第2 行 第3 行 第4 行 第5 行 第6 行

(第 13 题图)

13、已知椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点(如图) ,则这个平行四边形 4
.4
2006

面积的最大值是

14、 已知 x ? 0 , 不等式 ( x

? 1) 1 ? x 2 ? x 4 ? ? ? x 2004 ? ax2005 恒成立,求实数 a 的取围 ???? ????? ? ?
1003 项成等比数列

?

?

.

?? ?,2006?
二、解答题:

15、在 ?ABC 中, A 、 B 为锐角,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10



(1)求

A ? B 的值;

(2)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a 、 b 、 c 的值.

28

(1)∵

A 、 B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

, cos A ?

2 5 5

、∴ cos B

? 1 ? sin 2 B ?

3 10 10



cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?


2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? .∵ 0 ? A? B ? ? 5 10 5 10 2



A? B ?

?
4
?



(2)由(1)知 C

3? 4

,∴ sin C

?

2 2

,由

a b c ? ? 得 5a ? 10b ? 2c ,即 sin A sin B sin C

a ? 2b, c ? 5b ,又∵ a ? b ? 2 ? 1 ,∴ 2b ? b ? 2 ?1 ,∴ b ? 1 ,∴ a ? 2 、 c ? 5 .
16、调查某校 100 名学生的数学成绩情况,得下表:
一般 男生(人) 女生(人) 良好 优秀

x
10

18

y
z

17

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到成绩一般的男生的概率为 0.15 . (1)求 x 的值; (3)已知 (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 20 名,问应在优秀学生中抽多少名?

y ? 17, z ? 18 ,优秀学生中男生不少于女生的概率.
x ? 0.15 ,∴ x ? 15 (人). 100

(1)由题意可知,

(2)由题意可知,优秀人数为 优秀中抽 8 名; (3)由题意可知,

y ? z ? 40 (人).设应在优秀中抽取 m 人,则

m 20 ? ,∴ m ? 8 (人) ,所以应在 40 100

y ? z ? 40 ,且 y ? 17, z ? 18 ,满足条件的 y, z ) 有 (17, 23) 、 (18, 22) 、 (19, 21) 、 (

(20, 20) 、(21,19) 、(22,18) 共有 6 组.设事件 A 为“优秀学生中男生不少于女生” y ? z ,满足条件的 y, z ) 有 ,即 ( (20, 20) 、 (21,19) 、 (22,18) 共有 3 组,所以 P ? A ? ?
3 1 1 ? .即优秀学生中女生少于男生的概率为 . 6 2 2
A1 C1

17、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90? ,

AB ? AC ? AA1 ? 2 , E 是 BC 中点.
(I)求证: A1B / / 平面 (II)若棱

B1

AEC1 ;
A C E B

AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1E ,求 AM 的长; AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.

(Ⅲ)求平面

29

(I) 连接

A1C 交 AC1 于点 O ,连接 EO ,因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 A1C 中点,又 E 为 CB 中点,所以 EO
? 平面 AEC1 , A1B ? 平面 AEC1 ,所以 A1B / / 平面 AEC1 ;

为 ?A1BC 的中位线,所以 EO / / A B ,又 EO 1 (Ⅱ)以

A 为原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系,所以

A(0,0,0), A1 (0,0,2), B(2,0,0), B1 (2,0,2), C(0,2,0), C1 (0,2,2), E (1,1,0), 设 M (0,0, m)(0 ? m ? 2) ,所以

????? ???? ? ????? ???? ? B1M ? (?2,0, m ? 2), C1E ? (1, ?1, ?2) ,因为 B1M ? C1E ,所以 B1M ? C1E ? 0 ,解得 m ? 1 ,所以 AM ? 1;
??? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? AE ? n ? 0 ? (Ⅲ)因为 AE ? (1,1,0), AC1 ? (0,2,2) ,设平面 AEC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有 ? ???? ? ,得 ? AC1 ? n ? 0 ?

? ?x ? y ? 0 ,令 y ? ?1, 则 x ? 1, z ? 1 ,所以可以取 n ? (1, ?1,1) ,因为 AC ? 平面 ABB1 A1 ,取平面 ABB1 A1 的 ? ?y ? z ? 0
???? ? ???? ? ??? ? AC ? n 3 法向量为 AC ? (0,2,0) ,所以 cos ? AC , n ?? ???? ? ? ? ,平面 AEC1 与平面 ABB1 A 所成锐二面角的余弦值 1 3 | AC || n |


3 . 3

18、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右两焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,且在 x 轴上方, PF2 ? F1F2 、 a 2 b2

1 1 PF2 ? ? PF1 , ? ? [ , ] . 3 2
(1)求椭圆离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F 、 F2 、 P 的圆 Q 的截 1 (3)在(2)的条件下,过椭圆右准线 l 上任一点

y 轴的线段长为 6 ,求椭圆方程;
、 N .试探究直线 MN 是否过

A 引圆 Q 的两条切线,切点分别为 M

定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.

y

l

·

M

P
A

F1

O

·
N
N

F2

x

30

??

b2 a b2 2a ? a

,∴ 2a

2

? ? b2? ? b2 ,2a2? ? b2 ?1 ? ? ? ,

b2 2? ? 2 a 1? ?



(1)

e2 ?

c2 b2 2? 1 ? ? 1? ? ? 1? 2 ? 1? ? , e? ∴ 2 a a 1? ? 1? ? 1? ?
1 2
,∴

, 在

1 1 1 ?1 1 ? 2 ∴ ? 3 , 2 ? 上单调递减, ? ? 2 时,e 最小 3 ,? ? 3 ? ?

时, e 最小

2

1 1 3 2 ? e 2 ? ,∴ ?e? 3 2 3 2



(2) 当 e ?

2 2

时,

c 2 ? a 2

,∴ c

?b?

2 a ,∴ 2b2 ? a 2 ,∵ PF2 ? F1F2 ,∴ PF1 是圆的直径,圆心是 PF1 的 2
b2 a2 3 ? 2a ? ? a ? 6 , a ? 4c ?b ? 2 2 ∴ , a 2a 2
.

中点, ∴在

y 轴上截得的弦长就是直径, PF1 ? 6 , PF1 ? 2a ? ∴ 又

∴椭圆方程是

x2 y 2 ? ? 1; 16 8

b2 a 2 ? ? 2 ,于是圆心 Q ? 0,1? ,半径为 3 ,圆 Q 的方程是 x 2 ? ? y ? 1? ? 9 ,椭圆的右准线 (3)由(2)得到 PF2 ? a 2
方程为 x

? 4 2 ,∵直线 AM



AN 是圆 Q 的两条切线,∴切点 M

、 N 在以

AQ 为直径的圆上,设 A 点坐标为

(4 2, t ) ,∴该圆方程为 x( x ? 4 2) ? ( y ?1)( y ? t ) ? 0 ,∴直线 MN 是两圆的公共弦,两圆方程相减得
4 2x ? (t ? 1) y ? 8 ? t ? 0 ,这就是直线 MN 的方程,该直线化为:
? 9 2 ? y ? 1 ? 0, 9 2 ? , ?x ? ( y ? 1)t ? 4 2 x ? y ? 8 ? 0,? ? ,1) . ?? 8 ∴直线 MN 必过定点 ( 8 ?4 2 x ? y ? 8 ? 0 ? ? ? y ? 1.
19、已知定义在实数集上的函数 f n ( x) ? xn , n ? N * ,其导函数记为 f n / ( x) ,且满足

f / 2 [ x1 ? a( x2 ? x1 )] ?

f 2 ( x2 ) ? f 2 ( x1 ) , a 、 x1 、 x2 为常数, x1 ? x2 . x2 ? x1

(1)试求 a 的值; (2)记函数 F ( x) ? b ? (3)对于(2)中的 b ,设函数 g ( x )

f1 ( x) ? ln f3 ( x) , x ? ? 0, e? ,若 F ( x) 的最小值为 6 ,求实数 b 的值;

b ? ( ) x , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是函数 g ( x) 图像上两点,若 3

g '( x0 ) ?

y2 ? y1 ,试判断 x0 、 x1 、 x2 的大小,并加以证明. x2 ? x1

31

(1)

f2 ( x) ? x2 , f 2' ( x) ? 2 x ,依题意 2 ? [ x1 ? a( x2 ? x1 )] ?
F '( x) ? b ? 3 , x ? (0, e] , x

2 x2 ? x12 x2 ? x1

,得 a

?

1 . 2

(2) F ( x) ? bx ? 3ln x, ①若 b

?

3 3 9 , F '( x ) ? a ? ? 0 , F ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, F ( x ) 的最小值是 F (e) ,由 F (e) ? 6 得 b ? x e e

(舍去) ;

3 b 3 3 3 3 , F '( x ) ? ( x ? ) ,令 F '( x) ? 0 ,得 x ? ,当 x ? (0, ) 时, F '( x) ? 0 , F ( x ) 在 (0, ) 上单 e x b b b b 3 3 3 3 调递减;当 x ? ( , e] 时, F '( x) ? 0 , F ( x ) 在 ( , e] 上单调递增;所以 F ( x ) 的最小值是 F ( ) ,由 F ( ) ? 6 得 b b b b
②若 b

?

b ? 3e .

y2 ? y1 e x2 ? e x1 (3) g ( x) ? e ,结合图像猜测 x1 ? x0 ? x2 .只需证 e ? e ? e ,∵ g '( x0 ) ? e ? ? x2 ? x1 x2 ? x1
x
x1 x0 x2

x0

,故只

需证 e

x1

?

e x2 ? e x1 ? e x2 ,即证: ex1 ? ex1 ( x2 ? x1 ) ? ex2 ? 0 ,且 ex2 ? ex2 ( x2 ? x1 ) ? ex1 ? 0 , x2 ? x1
x

设 h( x) ? e

? ex ( x2 ? x) ? ex2 , h '( x) ? ?ex ( x ? x2 ) ,当 x ? x2 时, h '( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 ? ??, x2 ? 上是增函数,

? x1 ? x2 ,∴ h( x1 ) ? h( x2 ) ,即 ex1 ? ex1 ( x2 ? x1 ) ? ex2 ? 0 ,设 ? ( x) ? ex ? ex ( x ? x1 ) ? ex1 ,则

? '( x) ? ?ex ( x ? x1 ) ,当 x ? x1 时, ? '( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 ? x1, ??? 上是减函数,? x1 ? x2 ,∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ,
即e
x2

? ex2 ( x2 ? x1 ) ? ex1 ? 0 .
? x0 ? x2 .
*

综上所述, x1

20、已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列 {an } 满足下列条件: a1 ? a ? 0 , a2 ? a1 ,当 n ? N 时, an?1 ? f (an ) ,
且存在非零常数 k 使

f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 恒成立.
(2)求证:数列 {an } 为等比数列的充要条件是

(1)若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值;

f ( x) ? kx (k ? 1) .

(3) 已知

f ( x) ? kx (k ? 1) ,a ? 2 , bn ? ln an( n ? N * ) 数列 {bn } 的前 n 项是 Sn , 且 , 对于给定常数 m , 若

S( m ? 1 ) Smn

n

的值是一个与 n 无关的量,求 k 的值. (1)由已知 an

? f (an ?1 ) , f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得

由数列 {an } 是等差数列, an?1 ? an ? a n ? a n ?1 得 an?1 ? an ? f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) 、

32

(n ? 2,3,4,? ? ?) ,所以 an ? an?1 ? k (an ? an?1 ) , (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得 k ? 1 .
(2)充分性证明:若

f ( x) ? kx (k ? 1) ,则由已知 a1 ? a ? 0 , an?1 ? f (an ) 得 an?1 ? kan ,所以 ?an ? 是等比数列.
,由 ? aqn?1 ( n ? N ? ) f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 及

必要性证明:若 {an } 是等比数列,设公比为 q ,则有 an

an?1 ? f (an ) 得 an?2 ? an?1 ? k (an?1 ? an ) ,又 a2 ? a1 ? 0 ,所以数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 为首项,
公比为 k 的等比数列,所以 an?1 ? an

? [ f (a) ? a]k n?1 ,当 n ? 2 时,

an ? [ f (a) ? a](k 0 ? k1 ? k 2 ? ?? k n?2 ) ? a
①若 k ( ? 1 , an ? [ f (a) ? a](n ?1) ? a , n ? 2 )对 n ? 1 也成立.数列 {an } 是公差为 f (a) ? a ? 0 的等差数列,

不可能是等比数列,所以 k ②k

? 1;

? 1 , an ? [ f (a) ? a]

1 ? k n ?1 ( ? a , n ? 2 )对 n ? 1 也成立. 1? k

所以 an

f (a ) ? a f (a ) ? a n ?1 1 ? k n ?1 ?a? ?k , ? [ f (a) ? a] ?a ? 1? k 1? k 1? k

由数列 {an } 是等比数列知,

f (a ) ? a ? a ? 0 ,即 f (a) ? ka ,即 f (a) ? ka 对任意非零实数都成立. 1? k

综上可得:数列 {an } 为等比数列的充要条件是

f ( x) ? kx (k ? 1) .

(3) (Ⅱ) 由 知, 数列 {an } 是首项为 2 , 公比为 k 的等比数列, an 即 是等差数列,设公差为 d ,依题意 S n

? 2k n?1 ,bn?1 ? bn ? ln k 是一个常数,故数列 {bn }

1 1 ? nb1 ? n(n ? 1)d ? n[dn ? (2b1 ? d )] , 2 2

S( m?1) n Smn

1 (m ? 1)n[d (m ? 1)n ? (2b1 ? d )] (m ? 1)[d (m ? 1)n ? (2b1 ? d )] ?2 ? , 1 m[dmn ? (2b1 ? d )] mn[dmn ? (2b1 ? d )] 2

当且仅当 2b1 ? d

? 0或

d (m ? 1) 2b1 ? d ? dm 2b1 ? d

时,

S( m ?1) n Smn

是一个与 n 无关的常数,

d (m ? 1) 2b1 ? d ? dm 2b1 ? d

不成立,所以

2b1 ? d ? 0 ,即 2 ln 2 ? ln k , k ? 4 .

33

2013 届高三数学寒假作业(6)
一、填空题: 1、设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的取值范围是 2、 给出下列命题: ①半径为 2 , 圆心角的弧度数为
则?

. (??, loga 3)

1 2

的扇形面积为

1 2

; ②若 ? 、? 为锐角,tan(?

? ?) ?

1 1 ,tan ? ? , 2 3

? 2? ?

π π 2 3 ; ③函数 y ? cos(2 x ? ) 的一条对称轴是 x ? π ; ? ? π 是函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函 ④ 4 3 3 2
.3

数的一个充分不必要条件.其中真命题的序号是 . ②③④ 3、已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15 ,偶数项之和为 30 ,则其公差为

4、

3 tan12? ? 3 ? sin12? (4cos 2 12? ? 2)

. ?4 3

5 、 设 x ? 0 , 若 f ( x) ? x 2 ?

4 2 ? x(co s ? 1) ? (s i n ? 1) ? M 恒 成 立 , 则 实 数 M 的 取 值 范 围 是 ? ? 2 x x

.

(??,2 ? 2 2 ]
6、设实数 a1 , a2 , a3 , a4 是一个等差数列,且满足 1 ? a1 ? 3 , a3 ? 4 .若定义 bn ? 2 n ,给出下列命题:
a

(1) b1 , b2 , b3 , b4 是一个等比数列: (2) b1 其中真命题的个数为

(3) b2 ? 4 ; (4) b4 ? 32 ; (5) b2b4 ? 256 . ? b2 ;

.4

7、若 0 ? y ? x ?

?
2

,且 tan x

? 3tan y ,则 x ? y 的最大值为



? 6


8、若对任意 m ? R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不是曲线 f ( x) ?

1 3 x ? ax 的切线,则实数 a 取值范围是是 3

a ?1

?(3a ? 1) x ? 5a( x ? 1)x y ? a (a ? 0且a ? 1) ,现给出下列命题: ? log a x( x ? 1) 1 ① 当其图象是一条连续不断的曲线时, a = ; 当其图象是一条连续不断的曲线时, 则 ② 能找到一个非零实数 a 使 f ( x ) 8 1 1 在 (??, ??) 上是增函数;③ 当 a ? ( , ) 时,不等式 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ? 0 恒成立;④ 函数 y ? f (| x ? 1|) 是偶函 8 3
9、已知函数 f ( x) ? ?
数.其中正确命题的序号是

. (填上所有你认为正确的命题的序号)①③

10、将一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 的玩具)先后抛掷两次,骰子向上的点数
依次为 x 、

y .则 x ? y 的概率为



5 6
.16

11、公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 ? 1 , an ? 51,则 n ? d 的最小值等于

x2 y 2 12、 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F 、 F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?PF F2 为 1 1 a b

34

等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是

. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

? a ? b(a ? b ? 0) 1 ? ,设函数 f ( x ) ? ln x ? x ,则 f (2) ? f ( ) ? 13、任給实数 a 、 b ,定义 a ? b ? ? a 2 ? b (a ? b ? 0) ?
若 {an } 是公比大于 0 的等比数列,且 a5



? 1 , f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a8 ) ? a1 ,则 a1 ?

.0 与e .

14、已知关于 x 的实系数一元二次不等式 ax2 ? bx ? c≥0 (a ? b) 的解集为 R ,则 M ? a ? 3b ? 4c 的最小值是 b?a

5? 2 5
二、解答题: 15、 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,已知 a 、 b 、 c 成等比数列, cos B ?
(Ⅰ)求

??? ??? 3 ? ? 1 1 ? 的值; (Ⅱ)设 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值. 2 tan A tan C 3 3 7 2 2 (Ⅰ)由 cos B ? 得 sin B ? 1 ? ( ) 2 ? ,由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A ? sin C 、于是 4 4 4
sin B 1 4 1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? 7. ? ? ? ? ? 2 2 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin B sin B sin B 7
(Ⅱ)由 BA ? BC

3 . 4

??? ??? ? ?

?

3 3 3 2 得 ca ? cos B ? ,由 cos B ? 得 ac ? 2 即 b ? 2 ,由余弦定理得 4 2 2

a2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B ? 5 , (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9, a ? c ? 3 .
16、已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,左准线 l 与 x 轴的交点是圆 C 的圆心,圆 C 恰好经过坐标原点 O ,设 G 是 8 4 圆 C 上任意一点.

(1)求圆 C 的方程; (2)若直线 FG 与直线 l 交于点 T ,且 G 为线段 FT 的中点,求直线 FG 被圆 C 所截得的弦长; (3)在平面上是否存在一点 P ,使得 (1)由椭圆 E :

GF 1 ? ?若存在,求出点 P 坐标;若不存在,请说明理由. GP 2

x2 y 2 ? ? 1 得 l : x ? ?4 , C (?4, 0) , F (?2, 0) ,又圆 C 过原点,所以圆 C 的方程为 8 4

( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 .
(2)由题意得 G(?3, yG ) ,代入 ( x ? 4)
2

? y 2 ? 16 得 yG ? ? 15 ,所以 FG 的斜率为 k ? ? 15 , FG

的方程为

y ? ? 15(x ? 2) ,所以 C (?4, 0) 到 FG 的距离为 d ? 15 ,直线 FG 被圆 C 截得弦长为 2 16 ? ( 15 )2 ? 7 ,故
2
2
直线 FG 被圆 C 截得弦长为 7 .
2 ( x0 ? 2)2 ? y0 GF 1 1 ? ,得 ? ,整理得 (3)设 P( s, t ) , G( x0 , y0 ) ,则由 2 2 GP 2 2 ( x0 ? s) ? ( y0 ? t )

35

2 2 3( x0 ? y0 ) ? (16 ? 2s) x0 ? 2ty0 ?16 ? s2 ? t 2 ? 0 ……①,又 G( x0 , y0 ) 在圆 C : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 16 上,所以 2 2 x0 ? y0 ? 8x0 ? 0 ……②,②代入①得 (2s ? 8) x0 ? 2ty0 ?16 ? s2 ? t 2 ? 0 ,又由 G( x0 , y0 ) 为圆 C 上任意一点可知,

? 2 s ? 8 ? 0, ? 2t ? 0, 解得 s ? 4, t ? 0 ,所以在平面上存在一点 P ,其坐标为 (4, 0) . ? ?16 ? s 2 ? t 2 ? 0, ?
17、已知函数 f ( x) ? xk ? b (常数 k 、 b ? R )的图像过点 (4, 2) 、 (16, 4) 两点.
(1)求

f ( x) 的解析式; f ( x) 图像上, Q1 、 Q2 从左至右是 x 正半轴上的两点?

(2)问:是否存在边长为 4 正三角形 ?PQ1Q2 ,使点 P 在函数 若存在,求直线 PQ2 的方程,若不存在,说明理由; (3)若函数 g ( x ) 的图像与函数 数 a 的取值范围. (1)把

f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称,且不等式 g ? x ? ? g ? x ? 2? ? 2ax ? 2 恒成立,求实

? k ? x ? 4 ? x ? 16 ?4 ? b ? 2 k k k 和? 分 别 代 入 f ? x? ? x ? b 可 得 ? , 化 简 此 方 程 组 可 得 16 ? 4 ? 2 ? 0 即 ? k ?16 ? b ? 4 ?y ? 2 ?y ? 4 ?
1 2
,代入原方程组可得 b

? 4k ? 2 ?? 4k ? 1? ? 0 ,可得 4k ? 2 ,? k ?

? 0 ,? f ? x ? ? x 2 ? x ;

1

(2)由 ?PQ1Q2 边长为 4 可知:此三角形的高即点 P 的纵坐标为 4 ?

3 ? 2 3 ,? 点 P 的坐标为 2 2 3 ? 3 ,? 直线 PQ1 的倾斜 12 ? 10

P 12, 2 3
角为

?

? ,?点 Q 的横坐标为 x
1

Q1

? 12 ? 2 ? 10 ,即 Q ?10, 0? ,? kPQ1 ?

? ,? 这样的正三角形存在,且点 Q2 ?14,0? ,直线 PQ2 的方程为 y ?? 3 ? x ? 14 ? 即 3x ? y ? 14 3 ? 0 3
, g ? x? ? x2 ( x ? 0 ) ? g ?x ? ? x? ? 2? a2 ?x

(3)易求 ? g

? 2



x 2 ? ? x ? 2 ? ? 2ax ? 2 当 x ? 2 恒成立,
2

? 2ax ? 2 x2 ? 4 x ? 2即 a ?

2 x2 ? 4 x ? 2 2 x2 ? 4 x ? 2 当 x ? 2 恒成立, 只需求函数 在 x?? 2, ??? 上的最小值 ? 2x 2x
D E C

2 x2 ? 4 x ? 2 1 ? x ? ? 2 在 x??2, ??? 单调递增, 即可,又? 2x x

? 2 x2 ? 4 x ? 2 ? 1 1 1 ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ,? a ? 2 . 2x 2 2 ? ?min
36

A

B

D1

C1

A1

B1

18、在长方体 ABCD-A B1C1D1 中, AA=AD=2 , E 是棱 CD 上的一点. 1 1
(Ⅰ)求证:

AD1 ? 平面 A1B1D ;

(Ⅱ)求证: B1 E

? AD1 ;

(Ⅲ)若 E 是棱 CD 的中点,在棱 在,请说明理由. (Ⅰ)在长方体

AA1 上是否存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE ?若存在,求出线段 AP 的长;若不存

ABCD-A B C D中,因为 A1B1 ? 面 A1D1DA ,所以 A1 B1 ? AD .在矩形 A1D1DA 中,因为 1 1 1 1 1

AA =AD= ,所以 AD1 ? A1D .所以 AD1 ? 面 A1B1D ; 2 1
(Ⅱ)因为 E ? CD ,所以 B1 E (Ⅲ)当点 P 是棱

? 面 A1B1CD ,由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1B1CD ,所以 B1E ? AD1 .
,连接 PM,ME .因为 P 是棱

AA1 的中点时,有 DP ∥平面 B1 AE .理由如下:在 AB1 上取中点 M AB1 的中点,所以 PM


AA1 的中点, M
又 DE ∥



A1B1 ,且 PM ?
∥ DE ,且 PM

1 A1B1 . 2
? DE ,
A

D

E C

A1B1 ,且 DE ?

1 A1 B1 .所以 PM 2

所以四边形 PMED 是平行四边形,所以 DP ∥ ME .又 DP

? 面 B1 AE ,

B

ME ? 面 B1 AE ,所以 DP ∥平面 B1 AE .此时, AP ?

1 A1 A ? 1 . 2

P

D1

M C1

19、设 Tn 为数列 ?an ? 的前 n 项的积,即 Tn ? a1 ? a2 ??? an .
⑴若 Tn

A1

B1

?n

2

,求 a3a4 a5 的值;

an 2 ? n ? N* ? ,证明数列 ?log2 an ? 为等比数列,并求 ?an? 的通项公式; 4 ⑶数列 ?an ? 共有 100 项,且满足以下条件:① a1 ? a2 ??? a100 ? 2 ;
⑵若数列

?an ? 各项都是正数,且满足 Tn ?

②等式 a1 ? a2 ??? ak 为什么? (1) a3 a4 a5

? ak ?1 ? ak ? 2 ??? a100 ? 3

对1 ?

k ? 99, k ? N * 恒成立.试问符合条件的数列共有多少个?

?

T5 25 ? ; T2 4
a12 4
,所以 a1

(2)当 n

? 1 时, a1 ? T1 ?

? 4 , log2 a1 ? 2 ,当 n ? 2 时, an ?

Tn a2 ? n2 Tn?1 an?1

,又 an

? 0 ,所以
n

(1 (2 an ? an?12 , 分)则 log2 an ? 2log2 an?1 , 所以数列 ?log2 an ? 为等比数列, 分)loga an ? 2n ,所以 an ? 22 (3) a1 ? a2 ? a3 ??? a100
2



? 3 ,所以 a1 ? 1 或 2 ,Tk 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个实根,当数列前 k ? 2 ? k ? 98? 项
99

确定后,其前 k 项积 Tk 确定,由 Tk ?1 可得到两个 ak ?1 ,所以符合条件的数列共有 2

个.

37

20、设 f ( x) ?

x 1 * ,方程 f ( x) ? x 有唯一解,已知 f ( xn ) ? xn?1 (n ? N ) ,且 f ( x1 ) ? . 1005 a ( x ? 2)

(1)求数列

?xn ? 的通项公式;
(an?1 )2 ? an 2 ,且 bn ? 2an?1an
*

4 ? 4017 xn (2)若 an ? xn

(? N ) ,求和 Sn

?

? b1 ? b2 ? ? ? bn ;

(3)问:是否存在最小整数 m ,使得对任意 n ? N ,有 明理由. (1)因为方程

f ( xn ) ?

m 成立,若存在,求出 m 的值;若不存在,说 2010

f ( x) ? x 有唯一解,可求 a ?

1 2x ,从而得到 f ( x) ? 2 x?2



f ( x1 ) ?

1 2 x1 1 ,即 , ? 1005 x1 ? 2 1005


? x1 ?

2 xn 1 1 1 2 1 1 ? xn?1 , xn ? 0 ? ? ? ,数列 { } 是首项为 ,又由已知 f ( xn ) ? xn?1 ,? 2009 xn ? 2 xn?1 xn 2 xn x1
1 2
的等差数列,故

公差为

1 1 1 2 ? (n ? 1) x ,所以数列 {xn } 的通项公式为 ? ? (n ? 1) ? ? xn x1 2 2 x1

xn ?

2 x1 2 ? ; (n ? 1) x1 ? 2 n ? 2008
? 4 ? 4017 ? 2 n ? 2008 ? 2n ? 1 ,

(2)将 xn 代入 an 可求得 an

2 n ? 2008

?bn ?

2 2 an?1 ? an (2n ? 1)2 ? (2n ? 1)2 1 1 ? ? 1? ( ? ) 2an?1an 2(2n ? 1)(2n ?1) 2n ?1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? n( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? n ?1? 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 m m 2 ? ?( ) max 即可, (3)? f ( xn ) ? xn ?1 ? 对 n ? N 恒成立,? 只要 2010 2010 n ? 2009 2 1 2 m 2 ) max ? ? ? 而( ,即要 ,所以 m ? 2 ,故存在最小的正整数 m ? 3 . n ? 2009 1 ? 2009 2010 2010 2010

38


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