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2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第三章第七节正弦定理和余弦定理


新课标 ·理科数学(广东专用)

第七节
自 主 落 实 ? 固 基 础

正弦定理和余弦定理

高 考 体 验 ? 明 考 情

典 例 探 究 ? 提 知 能

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新课标 ·理科

数学(广东专用)

自 主 落 实 ? 固 基 础

1.正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

高 考 体 验 ? 明 考 情

内容
典 例 探 究 ? 提 知 能

a b = = a2=________________, b2+c2-2bc· cosA sin A sin B c2+a2-2ca· cosB b2=_________________, c sin C c2=a2+b2-2ab· C. cos ________=2R
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①已知两角和任一边, 求另一角和其他两条

解决 边;
问题 ②已知两边和其中一 边的对角,求另一边

①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角, 求第三边和其他两个角.

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和其他两角.
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2.三角形常用面积公式 1 (1)S= a?ha(ha表示边a上的高); 2 1 1 1 acsinB bcsinA 2 2 (2)S= absin C=___________=___________. 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r为内切圆半径). 2

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1.在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的什么

条件?“A>B”是“cos A<cos B”的什么条件?
a b 【提示】 在△ABC中,A>B?a>b? > ?sin A 2R 2R >sin B,∴A>B是sin A>sin B的充要条件, 易知A>B是cos A<cos B的充要条件.

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2.如何利用余弦定理来判定三角形中角A为锐角、直

角、钝角?
【提示】 应判断b2+c2 -a2 与0的关系;当b2 +c2 -a2

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>0时,A为锐角;当b2+c2-a2=0时,A为直角;当b2+c2 -a2<0时,A为钝角.
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1.(人教A版教材习题改编)已知△ABC中,∠A, ∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=c= 6 + 2 ,且A= 75°,则b=( ) A.2 C.4-2 3 B.4+2 3 D. 6- 2

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【解析】

在△ABC中,易知B=30°,

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由余弦定理b2=a2+c2-2accos 30°=4,∴b=2. 【答案】
菜 单

A

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(

2.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B= ) 6 2 2 6 2 2 A. B. C.- D.- 3 3 3 3

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b· A sin 3 【解析】 由正弦定理,得sin B= = . a 3 ∵a>b,A=60°, 6 2 ∴B<60° ,cos B= 1-sin B= . 3
【答案】 A

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3.(2012· 广东高考)在△ABC中,若∠A=60°,∠B= 45°,BC=3 2,则AC=( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 3 D. 2

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AC 【解析】 在△ABC中,根据正弦定理,得 = sin B
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BC , sin A 2 BC·sin B 3 2? 2 ∴AC= = =2 3. sin A 3 2 【答案】 B
菜 单

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4.(2013·清远调研)△ABC中,B=120°,AC=7,AB

=5,则△ABC的面积为________.
【解析】 由余弦定理知AC2=AB2+BC2- 2AB· BCcos 120°, 即49=25+BC2+5BC,解得BC=3. 1 1 3 15 3 故S△ABC= AB·BCsin 120°= ?5?3? = . 2 2 2 4
【答案】 15 3 4

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(2013· 惠州模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a. b (1)求 ; a (2)若c2=b2+ 3a2,求B.

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【思路点拨】
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(1)在已知等式中,利用正弦定理消去

sin B,再化简求值;(2)由条件结构特征,联想到余弦定

理,求cos B,进而求出角B.
【尝试解答】 (1)由正弦定理,得asin B=bsin A, 又asin Asin B+bcos2A= 2a,

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b ∴bsin A+bcos A= 2a,即b= 2a,因此 = 2. a
2 2

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(2)由c2=b2+ 3a2及余弦定理,得 a2+c2-b2 (1+ 3)a cos B= = , 2ac 2c 又由(1)知,b= 2a,∴b2=2a2, 3+1 因此c =(2+ 3)a ,c= 2+ 3a= a. 2 2 代入(*)式,得cos B= , 2 π 又0<B<π,所以B= . 4
2 2

(*)

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1.运用正弦定理和余弦定理求解三角形时,要分清条

件和目标.若已知两边与夹角,则用余弦定理;若已知两角
和一边,则用正弦定理. 2.在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形

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的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解, 是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用.

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(2012· 浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,且bsin A= 3acos B. (1)求角B的大小; (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
【解】 a (1)由bsin A= 3 acos B及正弦定理 = sin A

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b , sin B 得sin B= 3cos B. π 所以tan B= 3,所以B= . 3
菜 单

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a c (2)由sin C=2sin A及 = ,得c=2a. sin A sin C 由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得9=a2+c2-ac. 由①,②联立,得a= 3,c=2 3. 所以a= 3,c=2 3.

① ②

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(2013· 合肥模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对 2 A 的边分别为a,b,c,向量m=(4,-1),n=(cos ,cos 2 7 2A),且m· n= . 2 (1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2 3,试判断△ABC的形状.

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【审题视点】 (1)利用数量积的坐标表示及二倍角公 式建立关于cos A的方程求解; (2)利用余弦定理建立关于b、c的方程,结合b+c=2 3 求解. A 【尝试解答】 (1)∵m=(4,-1),n=(cos2 ,cos 2 2A), 1+cos A 2A ∴m· n=4cos -cos 2A=4· -(2cos2A-1)=- 2 2 2cos2A+2cos A+3. 7 又∵m· n= , 2 7 1 2 ∴-2cos A+2cos A+3= ,解得cos A= . 2 2
菜 单

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π ∵0<A<π,∴A= . 3 (2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a= 3, 1 ∴( 3) =b +c -2bc·=b2+c2-bc. 2 又∵b+c=2 3,∴b=2 3-c,
2 2 2



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代入①式整理得c2-2 3 c+3=0,解得c= 3 ,∴b= 3, 于是a=b=c= 3,即△ABC为等边三角形.

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判定三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行转 化.无论使用哪种方法,不要随意约掉公因式;要移项提取 公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.

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在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求A的大小;

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(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
【解】 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc. 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴bc=-2bc cos A,cos A=- . 2 2 又0<A<π,∴A= π. 3
菜 单

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(2)由(1)知sin A=sin B+sin C+sin Bsin C, ∴sin2A=(sin B+sin C)2-sin Bsin C. 3 又sin B+sin C=1,且sin A= , 2 1 1 ∴sin Bsin C= ,因此sin B=sin C= . 4 2 π 又B、C∈(0, ),故B=C. 2 所以△ABC是等腰的钝角三角形.

2

2

2

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(2012· 课标全国卷)已知a,b,c分别为△ABC三个内角 A,B,C的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c.
【思路点拨】 (1)根据正弦定理边化角,把B用A、C

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表示,借助三角变换求A的值; (2)根据三角形面积和余弦定理列关于b、c的方程组求

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解.





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【尝试解答】 (1)由acos C+ 3asin C-b-c=0及正 弦定理得sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为B=π-A-C,则sin B=sin Acos C+cos Asin C. 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. π 1 由于sin C≠0,所以sin(A- )= . 6 2 π 又0<A<π,故A= . 3 1 (2)△ABC的面积S= bcsin A= 3,故bc=4. 2 又a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8. 由①②联立,得b=c=2.
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① ②

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1.本例(1)中,利用sin B=sin(A+C)进行转化是解题的 关键.本例(2)中选择公式建立方程是解题的突破口.

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2.选择使用余弦定理和面积公式时,一般选择角确定
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的一组.
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(2013· 佛山模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分 2 别为a,b,c.已知cos A= ,sin B= 5cos C. 3 (1)求tan C的值; (2)若a= 2,求△ABC的面积. 2 【解】 (1)因为0<A<π,cos A= , 3 5 2 得sin A= 1-cos A= . 3 又 5cos C=sin B=sin(A+C)
5 2 =sin Acos C+cos Asin C= cos C+ sin C, 3 3
菜 单

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所以tan C= 5. 5 1 (2)由tan C= 5,得sin C= ,cos C= . 6 6 5 于是sin B= 5cosC= , 6 a c 由a= 2及正弦定理 = ,得c= 3. sin A sin C 1 5 设△ABC的面积为S,则S= acsin B= . 2 2

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已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其它边或
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角.可能有一解、两解、无解.
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判定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;

(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

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从近两年的高考试题看,正弦定理、余弦定理是高考的 热点,常与三角函数,三角恒等变换等交汇命题,题型多 样,属中、低档题目.

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规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的应用
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(12分)(2012·安徽高考)设△ABC的内角A,B,C所

对边的长分别为a,b,c,且有2sin Bcos A=sin Acos C+
cos Asin C. (1)求角A的大小; (2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.

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【规范解答】 (1)由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C) =sin B.················3分 1 因为sin B≠0,所以cos A= . 2 π 由于0<A<π,故A= .········6分 3
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1 2 2 2 (2)因为a =b +c -2bccos A=4+1-2?2?1? = 2 π 2 2 2 3,所以a +c =b ,B= .···········9分 2 3 3 7 因为BD= ,AB=1,所以AD= 1+ = . 2 4 2 ·····················12分

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【解题程序】 第一步:逆用两角和的正弦公式求cos A; 第二步:根据A的范围求A; 第三步:根据余弦定理求a,b,c的关系,从而得B= π ; 2 第四步:根据勾股定理求AD.

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易错提示:(1)逆用公式意识不强,无法求得cos A. (2)应用余弦定理时,不会选择公式无法得到a,b,c之 间的关系. 防范措施:(1)熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正

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切公式及二倍角公式的正用、逆用及变形使用是解答三角函
数题的基础,平时应加强训练,增强逆用公式的意识. (2)应 用 余 弦 定 理 时 , 一 般 选 择 角 度 已 知 的 那 一 组 公 式.
菜 单

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1.(2012· 天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的 边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=( ) 7 7 7 24 A. B.- C.± D. 25 25 25 25 b c 【解析】 由 = ,且8b=5c,C=2B, sin B sin C 4 所以5csin 2B=8csin B,所以cos B= . 5 7 2 所以cos C=cos 2B=2cos B-1= . 25

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【答案】

A





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2.(2012· 北京高考)在△ABC中,若a=2,b+c=7, 1 cos B=- ,则b=________. 4
由b2=a2+c2-2accos B及b+c=7, 1 2 2 得b =4+(7-b) -2?2?(7-b)?(- ), 4 整理得15b-60=0.∴b=4. 【解析】

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【答案】

4

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课后作业(二十四)

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