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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义 第三章 三角函数、解三角形(含解析)


第三章
基础盘查一 角的有关概念 (一)循纲忆知

三角函数、解三角形

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角). (二)小题查验 1.判断正误 (1)三角形的内角必是第一、二象限角( (2)第一象限角必是锐角( ) ) ) )

(3)不相

等的角终边一定不相同(

(4)若 β =α +k?720°(k∈Z),则 α 和 β 终边相同( 答案:(1)? (2)? (3)? (4)√

2.(人教 A 版教材习题改编)3 900°是第________象限角,-1 000°是第________象限 角. 答案:四 一 3.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在第________象限. 答案:一、三 基础盘查二 弧度的定义和公式 (一)循纲忆知 了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. (二)小题查验 1.判断正误 (1)终边落在 x 轴非正半轴上的角可表示为 α =2π k+π (k∈Z)( ) )

(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位( 答案:(1)? (2)√

2.(人教 A 版教材练习改编)已知半径为 120 mm 的圆上,有一条弧的长是 144 mm,则该 弧所对的圆心角的弧度数为________. 答案:1.2 基础盘查三 任意角的三角函数 (一)循纲忆知 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)三角函数线的长度等于三角函数值( )
1

(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负(

) )

(3)点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则角 α 终边在第二象限( (4)α 为第一象限角,则 sin α +cos α >1( 答案:(1)? (2)√ (3)√ (4)√ )

2.(人教 A 版教材练习改编)已知角 θ 的终边经过点 P(-12,5),则 cos θ =________, sin θ =________,tan θ =________. 答案: 5 12 - 13 13 12 - 5

3.若角 α 终边上有一点 P(x,5),且 cos α = (x≠0),则 sin α =________. 13 答案: 5 13

x

对应学生用书P44 考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 角的概念
? ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (1)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. ?

(2)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S= {β |β =α +k?360°,k∈Z}. [题组练透] 1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第 4 3 一象限角.其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 ) B. 2 个 D. 4 个

2

3π 4π π 4π 解析:选 C - 是第三象限角,故①错误; =π + ,从而 是第三象限角,故 4 3 3 3 ②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确. 2. 设集合 M=?x?x= ?180°+45°,k∈Z? 2 ? ? ? 那么( ) B.M? N D.M∩N=?
? ?

?

k

?

, N=?x?x= ?180°+45°,k∈Z 4 ? ? ?

? ?

?

k

? ? ?, ? ?

A.M=N C.N? M

解析:选 B 法一:由于 M=?x?x= ?180°+45°,k∈Z? 2 ? ? ? 135°,225°,?},
? ? ? k N=?x?x= ?180°+45°,k∈Z ? ?

?

k

?

={?,-45°,45°,

?

4

? ? ?={?,-45°,0°,45°,90°,135°,180°, ? ?

225°,?},显然有 M? N. 法二: 由于 M 中, x= ?180°+45°=k?90°+45°=45°?(2k+1), 2k+1 是奇数; 2 而 N 中, x= ?180°+45°=k?45°+45°=(k+1)?45°, k+1 是整数, 因此必有 M? N. 4 3.在-720°~0°范围内所有与 45°终边相同的角为________. 解析:所有与 45°有相同终边的角可表示为: β =45°+k?360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k?360°<0°, 765 45 得-765°≤k?360°<-45°,解得- ≤k<- , 360 360 从而 k=-2 或 k=-1,代入得 β =-675°或 β =-315°. 答案:-675°或-315° [类题通法] (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角, 方法是先写出与这个角的终边相 同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角. (2)利用终边相同的角的集合 S={β |β =2kπ +α , k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时, 只需把这个角写成[0,2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和,然后判断角 α 的象限. 考点二 三角函数的定义(题点多变型考点——全面发掘)

k

k

[必备知识] 任意角的三角函数

3

(1)定义: 设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P(x, y),则 sin α =y,cos α =x,tan α = (x≠0). (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦. (3)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在 x 轴上, 余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0). 如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余弦线和正切线.

y x

[提醒] 三角函数线是有向线段. [一题多变] [典型母题] 设角 α 终边上一点 P(-4a,3a)(a<0),求 sin α 的值. [解] 设 P 与原点的距离为 r, ∵P(-4a,3a),a<0, ∴r= ?-4a? +?3a? =|5a|=-5a. ∴sin α = 3a 3 =- . -5a 5
2 2

[题点发散 1] 若本例中“a<0”,改为“a≠0”,求 sin α 的值. 3 解:当 a<0 时,sin α =- ; 5 3 当 a>0 时, r=5a, sin α = . 5 [题点发散 2] 若本例中条件变为:已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α , cos α , tan α 的值. 解:设 α 终边上任一点为 P(-4a,3a),

4

3 4 3 当 a>0 时,r=5a,sin α = ,cos α =- ,tan α =- ; 5 5 4 3 4 3 当 a<0 时,r=-5a,sin α =- ,cos α = ,tan α =- . 5 5 4 [题点发散 3] 若本例中条件变为: 已知角 α 的终边上一点 P(- 3, m)(m≠0), 且 sin α = 2m ,求 cos α , tan α 的值. 4

解:由题设知 x=- 3,y=m, ∴r =|OP| =(- 3) +m (O 为原点),r= 3+m .
2 2 2 2 2

∴sin α = =
2

m r

2m m = , 4 2 2

∴r= 3+m =2 2, 即 3+m =8,解得 m=± 5. 当 m= 5时,r=2 2,x=- 3,y= 5, - 3 6 15 ∴cos α = =- , tan α =- ; 4 3 2 2 当 m=- 5时,r=2 2,x=- 3,y=- 5, - 3 6 15 ∴cos α = =- , tan α = . 4 3 2 2 [类题通法] 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函数 的定义求解; (2)已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点 的距离,然后用三角函数的定义来求解. 考点三 扇形的弧长及面积公式(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式:①弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度;②弧长公式:l= 1 1 2 |α |r;③扇形面积公式:S 扇形= lr 和 |α |r . 2 2 [一题多变] [典型母题]
2

5

已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角. [解] 设圆心角是 θ ,半径是 r, 2r+rθ =10, ? ? 则?1 2 θ ?r =4 ? ?2 1 故扇形圆心角为 . 2
?r=1, ? ?? ? ?θ =8

r=4, ? ? (舍),? 1 θ = , ? 2 ?

[题点发散 1] 去掉本例条件“面积是 4”, 问当它的半径和圆心角取何值时, 才使扇形 面积最大? 解:设圆心角是 θ ,半径是 r, 则 2r+rθ =10.

S= θ ?r2= r(10-2r)=r(5-r)

1 2

1 2

? 5?2 25 25 =-?r- ? + ≤ , ? 2? 4 4
5 25 当且仅当 r= 时,Smax= ,θ =2. 2 4 5 所以当 r= ,θ =2 时,扇形面积最大. 2 [题点发散 2] 若本例中条件变为:圆弧长度等于该圆内接正方形的边长,则其圆心角 的弧度数是________. 解析:设圆半径为 r,则圆内接正方形的对角线长为 2r, ∴正方形边长为 2r, ∴圆心角的弧度数是 答案: 2 [题点发散 3] 若本例条件变为:扇形的圆心角是 α =120°,弦长 AB=12 cm,求弧长

r

2r = 2.

l.
解:设扇形的半径为 r cm,如图. 6 由 sin 60°= ,

r

得 r=4 3 cm, 2π 8 3 ∴l=|α |?r= ?4 3= π cm. 3 3 [类题通法]
6

应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时, 常转化为二次函数的最值问题, 利用配方法使问题得到 解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

对应A本课时跟踪检测?十七? 一、选择题 1.将表的分针拨快 10 分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( A. π 3 B. π 6 )

π C.- 3

π D.- 6

解析:选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角. 1 故 A、B 不正确,又因为拨快 10 分钟,故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为- ?2π =- . 6 3 2.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α ≤0,sin α >0,则实数 a 的取值 范围是( ) B.(-2,3) D.[-2,3]

A.(-2,3] C.[-2,3) 解析:选 A ∵cos α ≤0,sin α >0,

∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上.
? ?3a-9≤0, ∴? ?a+2>0, ?

∴-2<a≤3.故选 A. 2 x,则 x=( 4

3.已知 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cos α = A. 3 C.- 2 解析:选 D 依题意得 cos α = B.± 3 D.- 3

)

x 2 = x<0,由此解得 x=- 3,选 D. 2 x +5 4
)

2π 4. 点 P 从(1,0)出发, 沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点, 则 Q 点的坐标为( 3 3? ? 1 A.?- , ? 2 2 ? ? B.?-

? ?

3 1? ,- ? 2 2?
7

3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2

D.?-

? ?

3 1? , ? 2 2?

2π 1 2π 解析:选 A 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x,y)满足 x=cos =- ,y=sin = 3 2 3 3 . 2 5.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( 4 A.- 5 C. 3 5 ) 3 B.- 5 D. 4 5

解析:选 B 取终边上一点(a,2a)(a≠0),根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ = ± 5 3 2 ,故 cos 2θ =2cos θ -1=- . 5 5 π sin θ cos θ 6. 已知角 α =2kπ - (k∈Z), 若角 θ 与角 α 的终边相同, 则 y= + 5 |sin θ | |cos θ | + tan θ 的值为( |tan θ | A.1 C.3 解析:选 B 由 α =2kπ - ) B.-1 D.-3 π (k∈Z)及终边相同的概念知,角 α 的终边在第四象限, 5

又角 θ 与角 α 的终边相同,所以角 θ 是第四象限角,所以 sin θ <0,cos θ >0,tan θ <0. 所以 y=-1+1-1=-1. 二、填空题 7.在与 2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________. 67 5π 解析:2 010°= π =12π - , 6 6 5π ∴与 2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为- . 6 5π 答案:- 6 8.在直角坐标系中,O 是原点,A( 3,1),将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点,则 B 点坐标为__________. 解析:依题意知 OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,
8

设点 B 坐标为(x,y),所以 x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°= 3,即 B(-1, 3). 答案:(-1, 3) 9.已知角 θ 的终边上有一点(a,a),a∈R 且 a≠0,则 sin θ 的值是________. 解析:由已知得 r= a +a = 2|a|, 2 ? ,a>0, ? 2 a =? 2|a| 2 - ,a<0. ? ? 2 2 2 或- . 2 2
2 2

则 sin θ = =

a r

所以 sin θ 的值是 答案: 2 2 或- 2 2

α α ? α? 10.设角 α 是第三象限角,且?sin ?=-sin ,则角 是第________象限角. 2? 2 2 ? 3π π α 3π 解析: 由 α 是第三象限角, 知 2kπ +π <α <2kπ + (k∈Z), kπ + < <kπ + (k 2 2 2 4 α ? α α α α ? ∈Z),知 是第二或第四象限角,再由?sin ?=-sin 知 sin <0,所以 只能是第四象 2? 2 2 2 2 ? 限角. 答案:四 三、解答题 11.已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α , 2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 lr=3, ? ?2 解得?
? ?r=3, ?l=2 ?

或?

? ?r=1, ?l=6, ?

l 2 l ∴α = = 或 α = =6. r 3 r
(2)法一:∵2r+l=8 1 1 ∴S 扇= lr= l?2r 2 4

9

1?l+2r?2 1 ?8?2 ≤ ? ? = ?? ? =4, 4? 2 ? 4 ?2? 当且仅当 2r=l,即 α = =2 时,扇形面积取得最大值 4. ∴圆心角 α =2,弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1. 法二:∵2r+l=8, 1 1 ∴S 扇= lr= r(8-2r)=r(4-r) 2 2 =-(r-2) +4≤4, 当且仅当 r=2,即 α = =2 时,扇形面积取得最大值 4. ∴弦长 AB=2sin 1?2=4sin 1. 12.已知 sin α <0,tan α >0. (1)求 α 角的集合; α (2)求 终边所在的象限; 2 α α α (3)试判断 tan sin cos 的符号. 2 2 2 解:(1)由 sin α <0,知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上; 由 tan α >0, 知 α 在第一、三象限,故 α 角在第三象限,其集合为
? ? ?α ? ?
2

l r

l r

?2kπ +π <α <2kπ +3π ,k∈Z ? 2 ?

? ? ?. ? ?

3π (2)由 2kπ +π <α <2kπ + ,k∈Z, 2 π α 3π 得 kπ + < <kπ + ,k∈Z, 2 2 4 故 α 终边在第二、四象限. 2

α α (3)当 在第二象限时,tan <0, 2 2 sin α α >0, cos <0, 2 2

α α α 所以 tan sin cos 取正号; 2 2 2 当 α α 在第四象限时, tan <0, 2 2

α α sin <0, cos >0, 2 2
10

α α α 所以 tan sin cos 也取正号. 2 2 2 α α α 因此,tan sin cos 取正号. 2 2 2

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

对应学生用书P46 基础盘查一 同角三角函数的基本关系 (一)循纲忆知 sin α 2 2 理解同角三角函数的基本关系式:sin α +cos α =1, =tan α . cos α (二)小题查验 1.判断正误 (1)对任意角 α ,sin 3α +cos 3α =1 都成立( α sin 2 α (2)对任意角 α , =tan 都成立( α 2 cos 2
2 2 2 2

)

)

(3)对任意的角 α ,β 有 sin α +cos β =1( 答案:(1)√ (2)? (3)?

)

3 2.(人教 A 版教材例题改编)已知 sin α =- ,则 tan α =________. 5 3 3 答案: 或- 4 4 2sin α -1 3.化简: =________. 2 1-2cos α 答案:1 基础盘查二 三角函数的诱导公式 (一)循纲忆知 π 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ,π ±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 (二)小题查验 1.判断正误 (1)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角( )
2

11

π (2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的奇数倍 2 和偶数倍,变与不变指函数名称的变化( (3)角 π +α 和 α 终边关于 y 轴对称( 答案:(1)√ (2)√ (3)? 2.(人教 A 版教材习题改编) ) )

? 31π ?=________,(2)tan?-26π ?=________. (1)sin?- ? 3 ? 4 ? ? ? ? ?
答案:(1) 2 2 (2) 3

对应学生用书P46 考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ + α (k∈ Z) sin α cos α tan α -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α -cos α -tan α cos α sin α cos α -sin α π +α -α π -α π -α 2 π +α 2

[提醒] 对于角“


2

±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,

“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不 变”. “符号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时, 原函数值的符号”. [题组练透] 1.已知 sin? 2 A.- 5 C. 1 5

?5π +α ?=1,那么 cos α =( ? 5 ? 2 ?

)

1 B.- 5 D. 2 5

解析:选 C sin?

?5π +α ?=sin?π +α ?=cos α =1. ? ?2 ? 5 ? 2 ? ? ?

12

sin?kπ +α ? cos?kπ +α ? 2.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

)

sin α cos α 解析:选 C 当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α

k 为奇数时,A=

-sin α cos α - =-2. sin α cos α

3.sin 600°+tan 240°的值等于________. 解析:sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin 120° +tan 60°=- 3 2 3 3 + 3= . 2 2

答案:

3 ?π ? ?5π ? 4.已知 tan? -α ?= ,则 tan? +α ?=________. ?6 ? 3 ? 6 ? 解析:tan?

?5π +α ?=tan?π -π +α ? ? ? ? 6 ? 6 ? ? ?

? ?π ?? =tan?π -? -α ?? ? ?6 ??
3 ?π ? =-tan? -α ?=- . 3 ?6 ? 答案:- 3 3

3π ? ? tan?π -α ?cos?2π -α ?sin?-α + ? 2 ? ? 5.化简: . cos?-α -π ?sin?-π -α ? 解:原式= -tan α ?cos α ??-cos α ? cos?π +α ???-sin?π +α ??

sin α ?cos α tan α ?cos α ?cos α cos α = = -cos α ?sin α -sin α =-1. 考点二 同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin α +cos α =1(α ∈R).
2 2

13

π sin α ? α ≠kπ + ,k∈Z? (2)商数关系:tan α = ? ?. 2 cos α ? ? [一题多变] [典型母题] 1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. 2 cos α -sin α [解] (1)法一:联立方程 1 ? ?sin α +cos α = , 5 ? ? ?sin2 α +cos2 α =1, 1 由①得 cos α = -sin α , 5 将其代入②,整理得 25sin α -5sin α -12=0. ∵α 是三角形内角, 4 sin α = , ? ? 5 ∴? 3 cos α =- , ? ? 5
2

① ②

4 ∴tan α =- . 3

1 法二:∵sin α +cos α = , 5 1 ?1?2 2 ∴(sin α +cos α ) =? ? ,即 1+2sin α cos α = , 5 25 ? ? 24 ∴2sin α cos α =- , 25 24 49 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1+ = . 25 25 12 ∵sin α cos α =- <0 且 0<α <π , 25 ∴sin α >0, cos α <0, sin α -cos α >0. 7 ∴sin α -cos α = . 5
? 1 7 由?sin α +cos α = ,?sin α -cos α = , 5 5 ?



14

? 4 3 ?sin α = ,?cos α =- , 5 5 ?

4 ∴tan α =- . 3 1 sin α +cos α (2) 2 = 2 2 2 cos α -sin α cos α -sin α sin α +cos α 2 2 cos α tan α +1 = 2 = . 2 2 cos α -sin α 1-tan α 2 cos α 4 ∵tan α =- , 3
2 2 2 2

?-4?2+1 ? ? 1 tan α +1 ? 3? 25 ∴ = = =- . 2 2 2 cos α -sin α 1-tan α 4 7 ? ?2 1-?- ? ? 3?
2

1 [题点发散 1] 若本例中的条件和结论互换: 已知 α 是三角形的内角, 且 tan α =- , 3 求 sin α +cos α 的值. 1 1 解:法一:由 tan α =- ,得 sin α = - cos α , 3 3 将其代入 sin α +cos α =1, 得 10 9 2 2 cos α =1,∴cos α = ,易知 cos α <0, 9 10
2 2

3 10 10 ∴cos α =- , sin α = , 10 10 故 sin α +cos α =- 10 . 5

1 法二:∵α 是三角形的内角且 tan α =- , 3 ∴α 为第二象限角, ∴sin α = 10 3 10 , cos α =- , 10 10 10 . 5

∴sin α +cos α =-

[题点发散 2] 保持本例条件不变, sin α -4cos α 求:(1) ; 5sin α +2cos α
15

(2)sin α +2sin α cos α 的值. 解:由例题可知: 4 tan α =- . 3 sin α -4cos α tan α -4 (1) = 5sin α +2cos α 5tan α +2 4 - -4 3 8 = = . 7 ? 4? 5??- ?+2 3 ? ? sin α +2sin α cos α 2 (2)sin α +2sin α cos α = 2 2 sin α +cos α 16 8 - 2 9 3 tan α +2tan α 8 = = =- . 2 1+tan α 16 25 1+ 9 sin α +3cos α [题点发散 3] 若本例条件变为: =5, 求 tan α 的值. 3cos α -sin α sin α +3cos α tan α +3 解:由 =5, 得 =5,即 tan α =2. 3cos α -sin α 3-tan α [类题通法] sin α 2 2 1.利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α cos α 可以实现角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α - cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二. 3 .注意公式逆用及变形应用: 1 = sin α + cos α , sin α = 1 - cos α , cos α = 1 - sin α .
2 2 2 2 2 2 2 2

2

对应B本课时跟踪检测?十八? 一、选择题 1.已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ <0,cos θ >0 C.sin θ >0,cos θ >0 B.sin θ >0,cos θ <0 D.sin θ <0,cos θ <0 )

解析:选 B ∵sin(θ +π )<0,∴-sin θ <0,sin θ >0. ∵cos(θ -π )>0,∴-cos θ >0,cos θ <0.

16

3 ? π 3π ? 2 . (2015? 成 都 外 国 语 学 校 月 考 ) 已 知 tan(α - π ) = , 且 α ∈ ? , ? , 则 2 ? 4 ?2 π? ? sin?α + ?=( 2? ? A. C. 4 5 3 5 ) 4 B.- 5 3 D.- 5

3 3 解析:选 B tan(α -π )= ? tan α = . 4 4

?π 3π ? 又因为 α ∈? , ?,所以 α 为第三象限的角, 2 ? ?2
π? 4 ? 所以 sin?α + ?=cos α =- . 2 5 ? ? sin?π -α ?cos?2π -α ? ? 31π ?的值为( 3.已知 f(α )= ,则 f?- 3 ? cos?-π -α ?tan α ? ? A. 1 2 1 B.- 3 D. 1 3 )

1 C.- 2

sin α ?cos α 解析:选 C ∵f(α )= =-cos α , -cos α tan α

? 31π ?=-cos?-31π ?=-cos?10π +π ? ∴f?- ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3? ? ? ?
=-cos π 1 =- . 3 2
2

2sin α +1 4.(2015?福建泉州期末)若 tan α =2,则 的值为( sin 2α A. C. 5 3 13 5 13 B.- 4 D. 13 4

)

解析:选 D 法一:(切化弦的思想):因为 tan α =2, 1 所以 sin α =2cos α , cos α = sin α . 2 4 2 2 2 又因为 sin α +cos α =1, 所以解得 sin α = . 5

17

4 2? +1 5 2sin α +1 2sin α +1 2sin α +1 13 所以 = = = = .故选 D. 2 sin2α 2sin α cos α sin α 4 4 5
2 2 2

2sin α +1 3sin α +cos α 3tan α +1 3?2 +1 13 法二: (弦化切的思想): 因为 = = = = . sin 2α 2sin α cos α 2tan α 2?2 4 故选 D. 5.(2015?湖北黄州联考)若 A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cos B-sin A,sin

2

2

2

2

2

B-cos A)在(
A.第一象限 C.第三象限

) B.第二象限 D.第四象限

π π π 解析:选 B ∵△ABC 是锐角三角形,则 A+B> ,∴A> -B>0,B> -A>0,∴ 2 2 2 sin A>sin?

?π -B?=cos B,sin B>sin?π -A?=cos A, ? ?2 ? ?2 ? ? ?

∴cos B-sin A<0, sin B-cos A>0, ∴点 P 在第二象限,选 B. 6.已知函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),且 f(4)=3,则 f(2 015)的值为 ( ) A.-1 C.3 B. 1 D.-3

解析:选 D ∵f(4)=asin(4π +α )+bcos(4π +β ) =asin α +bcos β =3, ∴f(2 015)=asin(2 015π +α )+bcos(2 015π +β ) =asin(π +α )+bcos(π +β ) =-asin α -bcos β =-(asin α +bcos β )=-3. 即 f(2 015)=-3. 二、填空题 4 ?π ? 7.已知 α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan α =________. 5 ?2 ? 3 ?π ? 2 解析:∵α ∈? ,π ?,∴cos α =- 1-sin α =- , 5 ?2 ? ∴tan α = 4 答案:- 3
18

sin α 4 =- . cos α 3

?π ? ?π sin? +α ??cos? -α ?2 ? ?2 8.化简: cos?π +α ?
=________.

? sin?π -α ??cos?π +α ? ? ?2 ? ? ? ?
+ sin?π +α ?

cos α ?sin α sin α ?-sin α ? 解析:原式= + -cos α -sin α =-sin α +sin α =0. 答案:0 9.(2015?绍兴二模)若 f(cos x)=cos 2x, 则 f(sin 15°)=________. 解析: f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=- 答案:- 3 2 3 . 2

10.(2015?新疆阿勒泰二模)已知 α 为第二象限角, 则 cos α 1+tan α +sin α
2 2

1 1+ 2 =________. tan α
2

解析:原式=cos α + sin α +sin α

sin α +cos α +sin α 2 cos α

sin α +cos α 1 =cos α 2 sin α |cos α |

2

2

1 1 , 因为 α 是第二象限角, 所以 sin α >0, cos α <0, 所以 cos α |sin α | |cos α | 1 =-1+1=0,即原式等于 0. |sin α |

答案:0 三、解答题 11. 求值: sin(-1 200°)?cos 1 290°+cos(-1 020°)?sin(-1 050°)+tan 945°. 解:原式=-sin 1 200°?cos 1 290°+cos 1 020°?(-sin 1 050°)+tan 945° =-sin 120°?cos 210°+cos 300°?(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)?(-cos 30°)+cos 60°?sin 30°+tan 45° = 3 3 1 1 ? + ? +1=2. 2 2 2 2

12.已知 sin(3π +α )=2sin? sin α -4cos α (1) ; 5sin α +2cos α (2)sin α +sin 2α .
2

?3π +α ?,求下列各式的值: ? ? 2 ?

解:由已知得 sin α =2cos α .

19

2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 sin α +2sin α cos α (2)原式= 2 2 sin α +cos α sin α +sin α 8 = = . 1 5 2 2 sin α + sin α 4
2 2 2

第三节

三角函数的图象与性质

对应学生用书P47

基础盘查 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 (一)循纲忆知 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值,图象与 x

? π π? 轴的交点等),理解正切函数在区间?- , ?内的单调性. ? 2 2?
(二)小题查验 1.判断正误 (1)函数 y=sin x 的图象介于直线 y=1 与 y=-1 之间( π (2)将余弦曲线向右平移 个单位就得到正弦曲线( 2 3π ? ? (3)函数 y=sin?2x+ ?是奇函数( 2 ? ? ) ) ) )

π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ + (k∈Z)( 2 (5)正切函数在整个定义域内是增函数( )

答案:(1)√ (2)√ (3)? (4)? (5)? 2.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=4sin x,x∈[-π ,π ]的单调性是( A.在[-π ,0]上是增函数,在[0,π ]上是减函数 π ? ?π ? π π? ? ? B.在?- , ?上是增函数,在?-π ,- ?和? ,π ?上都是减函数 2? ?2 ? 2 2? ? ? C.在[0,π ]上是增函数,在[-π ,0]上是减函数
20

)

π? ?π ? ? ? π π? D.在? ,π ?和?-π ,- ?上是增函数,在?- , ?上是减函数 2? ?2 ? ? ? 2 2? 答案:B 3.(2015?皖南八校模拟)函数 f(x)=cos 2x+2sin x 的最大值与最小值的和是( A.-2 3 C.- 2 B. 0 1 D.- 2 )

1?2 3 ? 2 解析:选 C f(x)=1-2sin x+2sin x=-2?sin x- ? + ,所以函数 f(x)的最大值是 2? 2 ? 3 3 ,最小值是-3,所以最大值与最小值的和是- ,故选 C. 2 2

? π? 4 . ( 人 教 A 版 教 材 习 题 改 编 ) 函 数 y = - tan ?x+ ? + 2 的 定 义 域 为 6? ?
____________________.
? ? ? π 答案:?x?x≠kπ + ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? ? ? ?

对应学生用书P48 考点一 三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透) [必备知识]
? ? ? π 正弦、余弦函数的定义域为 R,正切函数的定义域为?x?x≠kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?;正弦、 ? ?

余弦函数的值域为[-1,1],正切函数的值域为 R. [题组练透] 1.函数 y= 2sin x-1的定义域为( A.? )

?π ,5π ? ? 6 ? ?6

π 5π ? ? B.?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? π 5π ? ? C.?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? π 5π ? ? D.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? 1 解析:选 B 由 2sin x-1≥0, 得 sin x≥ , 2 π 5π 所以 2kπ + ≤x≤2kπ + (k∈Z). 6 6

21

π? ? ? π? 2.函数 f(x)=3sin?2x- ?在区间?0, ?上的值域为( 6? 2? ? ?

)

? 3 3? A.?- , ? ? 2 2? ? 3 3 3 3? C.?- , ? 2 ? ? 2

? 3 ? B.?- ,3? ? 2 ? ? 3 3 ? D.?- ,3? ? 2 ?

π? ? 1 ? π ? π 5π ? ? π? ? 解析:选 B 当 x∈?0, ?时,2x- ∈?- , ?,sin?2x- ?∈?- ,1?, 2 6 6 6? ? 2 ? 6 ? ? ? ? ? π? ? 3 ? ? 故 3sin?2x- ?∈?- ,3?, 6? ? 2 ? ?

? 3 ? 即此时函数 f(x)的值域是?- ,3?. ? 2 ?
3.函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x 的定义域为________.
? ?sin 2x>0, 解析:由? 2 ?9-x ≥0, ?
2

π ? ?kπ <x<kπ + ,k∈Z, 2 得? ? ?-3≤x≤3.

π π ∴-3≤x<- 或 0<x< . 2 2 π? ? π? ? 2 ∴函数 y=lg(sin 2x)+ 9-x 的定义域为?-3, ?∪?0, ?. 2? ? 2? ? π? ? π? ? 答案:?-3, ?∪?0, ? 2? ? 2? ? π? ? 2 4.求函数 y=cos x+sin x?|x|≤ ?的最大值与最小值. 4? ? 解:令 t=sin x,∵|x|≤ π 2 2? ? ,∴t∈?- , ?. 4 2? ? 2

? 1?2 5 2 ∴y=-t +t+1=-?t- ? + , ? 2? 4
1 5 2 1- 2 ∴当 t= 时,ymax= ,当 t=- 时,ymin= . 2 4 2 2 π? 5 1- 2 ? 2 ∴函数 y=cos x+sin x?|x|≤ ?的最大值为 ,最小值为 . 4? 4 2 ? [类题通法] 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数 图象来求解. 2.三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求;
22

(2)把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ω x+φ )的形式求值域; (3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域; (4)利用 sin x±cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 考点二 三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] π ? π ? 正 弦 函 数 的 单 调 递 增 区 间 是 ?- +2kπ , +2kπ ? (k ∈ Z) , 单 调 递 减 区 间 是 2 2 ? ?

?π +2kπ ,3π +2kπ ?(k∈Z);余弦函数的单调递增区间是[-π +2kπ ,2kπ ](k∈Z),单 ?2 ? 2 ? ?
π ? π ? 调递减区间是[2kπ , 2kπ +π ](k∈Z); 正切函数的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k 2 ? 2 ? ∈Z). [典题例析] 写出下列函数的单调区间: π? ? (1)y=sin?-2x+ ?; 3? ? (2)y=|tan x|. π? π? ? ? 解:(1)y=sin?-2x+ ?=-sin?2x- ?, 3? 3? ? ? π? ? 它的递增区间是 y=sin?2x- ?的递减区间, 3? ? π? ? 它的递减区间是 y=sin?2x- ?的递增区间. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π 5π ? ? 故所给函数的递减区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z; 12 12 ? ? 5π 11π ? ? 递增区间为?kπ + ,kπ + ,k∈Z. 12 12 ? ? ? π? ? (2)观察图象(图略)可知,y=|tan x|的递增区间是?kπ ,kπ + ?,k∈Z,递减区间是 2? ?

23

?kπ -π ,kπ ?,k∈Z. ? ? 2 ? ?
[类题通法] 三角函数的单调区间的求法 (1)代换法: 所谓代换法, 就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角 u(或 t), 利用基本三 角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. (2)图象法: 函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象 下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间. [提醒] 求解三角函数的单调区间时,若 x 的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑 函数自身的定义域. [演练冲关] π ? ?π ? ? 1.已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调递减,则 ω 的取值范围是 4? ?2 ? ? ( )

?1 5? A.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? ? 2?

?1 3? B.? , ? ?2 4?
D.(0,2)

π ωπ π π π 解析:选 A 由 <x<π ,ω >0 得, + <ω x+ <ω π + ,又 y=sin x 在 2 2 4 4 4 ωπ π π π 3π ?π ,3π ?上递减,所以? ? + ≥ ,?ω π + ≤ , ?2 2 ? 2 4 2 4 2 ? ? ? 1 5 解得 ≤ω ≤ ,故选 A. 2 4 π? ? 2.函数 y=cos?2x+ ?的单调递增区间为__________________________________. 6? ? π 解析:函数 y=cos x 的单调递增区间为[2kπ -π ,2kπ ],k∈Z.由 2kπ -π ≤2x+ 6 7π π ≤2kπ ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ - ,k∈Z. 12 12 7π π? ? 答案:?kπ - ,kπ - ?(k∈Z) 12 12? ? 考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 1.正弦、正切函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
24

2.正弦、余弦函数的最小正周期为 T=2π ,函数 y=Asin(ω x+φ )+b 或 y=Acos(ω x 2π +φ )+b 的周期是 T= ;正切函数的最小正周期为 T=π ,函数 y=Atan(ω x+φ )+b |ω | π 的周期是 T= . |ω | π 3.正弦函数 y=sin x 的对称轴是 x=kπ + ,k∈Z,对称中心为(kπ ,0),k∈Z.余 2

?π ? 弦函数 y=cos x 的对称轴是 x=kπ ,k∈Z,对称中心为? +kπ ,0?,k∈Z,即弦函数的 ?2 ?
对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心是图象与 x 轴的交点,即 函数的零点;正切函数没有对称轴,其对称中心为?

?kπ ,0?,k∈Z. ? ? 2 ?

[多角探明] 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对 称图形,应把三角函数的对称性与奇偶性结合,体会二者的统一.

归纳起来常见的命题角度有: (1)三角函数的周期; (2)求三角函数的对称轴或对称中心; (3)三角函数对称性的应用. 角度一:三角函数的周期

? 2?π 1.函数 y=-2cos ? +x?+1 是( ?4 ?
A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的非奇非偶函数 2

)

?π ? 解析:选 A 因为 y=-cos? +2x?=sin 2x,所以是最小正周期为 π 的奇函数. 2 ? ?
π? ? 2.(2015?长沙一模)若函数 f(x)=2tan?kx+ ?的最小正周期 T 满足 1<T<2,则自然 3? ? 数 k 的值为________. π 解析:由题意知,1< <2,即 k<π <2k.又 k∈N,所以 k=2 或 k=3.

k

答案:2 或 3
25

角度二:求三角函数的对称轴或对称中心 3 .(2015?揭阳一模 )当 x = π 时,函数 f(x)= sin(x +φ )取得最小值,则函数 y= 4

f?

?3π -x?( ? ? 4 ?

)

?π ? A.是奇函数且图象关于点? ,0?对称 ?2 ?
B.是偶函数且图象关于点(π ,0)对称 π C.是奇函数且图象关于直线 x= 对称 2 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称 π 解析:选 C ∵当 x= 时,函数 f(x)取得最小值, 4 3π ?π ? ∴sin? +φ ?=-1,∴φ =2kπ - (k∈Z). 4 ?4 ? 3π ? ? ? 3π ? ∴f(x)=sin?x+2kπ - ?=sin?x- ?. 4 ? 4 ? ? ? ∴y=f? ∴y=f?

?3π -x?=sin(-x)=-sin x. ? ? 4 ? ?3π -x?是奇函数,且图象关于直线 x=π 对称. ? 2 ? 4 ?

角度三:三角函数对称性的应用 4.(2015? 辽 宁 五 校 联 考 ) 设 偶 函 数 f(x) = Asin(ω x + φ )(A>0,ω >0,0<φ <π )的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角

?1? 三角形,∠KML=90°,KL=1,则 f? ?的值为( ?6?
A.- 3 4

)

1 B.- 4 D. 3 4

1 C.- 2

1 1 解析:选 D 由题意知,点 M 到 x 轴的距离是 ,根据题意可设 f(x)= cos ω x,又由题 2 2 1 2π 1 3 ?1? 1 π 图知 ? =1,所以 ω =π ,所以 f(x)= cos π x,故 f? ?= cos = . 2 ω 2 6 4 ?6? 2 5.函数 y=cos(3x+φ )的图象关于原点成中心对称图形,则 φ =________. π 解析:由题意,得 y=cos(3x+φ )是奇函数,故 φ =kπ + (k∈Z). 2

26

π 答案:kπ + (k∈Z) 2 [类题通法] 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )的奇偶性、周期性和对称性 (1)若 f(x)=Asin(ω x+φ )为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大或最小值;若 f(x) =Asin(ω x+φ )为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. (2)对于函数 y=Asin(ω x+φ ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心 一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可 通过检验 f(x0)的值进行判断.

对应A本课时跟踪检测?十九?

一、选择题 1.函数 y= cos x- 3 的定义域为( 2 )

? π π? A.?- , ? ? 6 6?
π π? ? B.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 6 6? ? π π? ? C.?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 6 6? ? D.R 解析:选 C ∵cos x- 3 3 π π ≥0,得 cos x≥ ,∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 6 6 )

π? ? 2.(2015?石家庄一模)函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间是( 3? ? A.? B.?

?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) 12 ? ? 2 12 2 ? ?kπ -π ,kπ +5π ?(k∈Z) ? 12 ? ? 2 12 2

π 2π ? ? C.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π 5π ? ? D.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 12 12 ? ? π π π kπ π kπ 5π 解析:选 B 由 kπ - <2x- <kπ + (k∈Z)得, - <x< + (k∈Z), 2 3 2 2 12 2 12

27

π? ? ?kπ π kπ 5π ? 所以函数 f(x)=tan?2x- ?的单调递增区间为? - , + ?(k∈Z),故选 B. 3? 12 ? ? ? 2 12 2 π 3.给定性质:①最小正周期为 π ;②图象关于直线 x= 对称,则下列四个函数中,同 3 时具有性质①②的是( ) π? ? B.y=sin?2x- ? 6? ? D.y=sin|x|

?x π ? A.y=sin? + ? ?2 6 ?
π? ? C.y=sin?2x+ ? 6? ?

π? 2π π ? 解析:选 B 注意到函数 y=sin?2x- ?的最小正周期 T= =π ,当 x= 时,y= 6? 2 3 ?

? π π? sin?2? - ?=1,因此该函数同时具有性质①②. 3 6? ?
4.(2015?沈阳质检)已知曲线 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x 关于点(x0,0)成中心对称,若

x0∈?0, ?,则 x0=( 2

? ?

π?

?

) B. D. π 6 5π 12

A. C.

π 12 π 3

π? π ? 解析:选 C 由题意可知 f(x)=2sin?2x+ ?,其对称中心为(x0,0),故 2x0+ =kπ (k 3 3 ? ? π kπ π ? π? ∈Z),∴x0=- + (k∈Z),又 x0∈?0, ?,∴k=1,x0= ,故选 C. 2? 6 2 3 ? π? ? ?π 2π ? 5.若函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,且|φ |< ?在区间? , ?上是单调减函数, 2? 3 ? ? ?6

?π ? 且函数值从 1 减少到-1,则 f? ?=( ?4?
A. 1 2 3 2

) B. 2 2

C.

D. 1

解析:选 C 由题意得函数 f(x)的周期 T=2?

?2π -π ?=π ,所以 ω =2,此时 f(x)= 6? ? 3 ?

π? π ?π ? ?π ? ? sin(2x+φ ),将点? ,1?代入上式得 sin? +φ ?=1?|φ |< ?,所以 φ = ,所以 f(x) 2? 6 ?6 ? ?3 ? ? π? π 3 ? ?π ? ?π π ? =sin?2x+ ?,于是 f? ?=sin? + ?=cos = . 6? 6 2 ? ?4? ?2 6?

28

6.(2015?豫北六校联考)若函数 f(x)=cos(2x+φ )的图象关于点? π π ? π? 称,且- <φ < ,则函数 y=f?x+ ?为( 3? 2 2 ? )

?4π ,0?成中心对 ? ? 3 ?

? π? A.奇函数且在?0, ?上单调递增 4? ? ? π? B.偶函数且在?0, ?上单调递增 2? ? ? π? C.偶函数且在?0, ?上单调递减 2? ? ? π? D.奇函数且在?0, ?上单调递减 4? ?
解析:选 D 因为函数 f(x)=cos(2x+φ )的图象关于点?

?4π ,0?成中心对称,则8π + ? 3 ? 3 ?

π 13π π π π ? π? φ =kπ + , k∈Z.即 φ =kπ - , k∈Z, 又- <φ < , 则 φ =- , 则 y=f?x+ ? 3? 2 6 2 2 6 ? π? ? ? π? π? ? ? π? =cos?2?x+ ?- ?=cos?2x+ ?=-sin 2x,所以该函数为奇函数且在?0, ?上单调递 3? 6? 2? 4? ? ? ? ? 减,故选 D. 二、填空题 7.函数 y=cos?

?π -2x?的单调减区间为______________. ? ?4 ?

π? ?π ? ? 解析:由 y=cos? -2x?=cos?2x- ?得 4? ?4 ? ? π 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 4 π 5π 解得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 π 5π ? ? 所以函数的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ? π 5π ? ? 答案:?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 8 8 ? ? π? ? 8.函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是________ 4? ? π 解析:由 2x+ =kπ (k∈Z)得, 4

kπ π x= - (k∈Z).
2 8

29

π? ? ?kπ π ? ∴函数 y=tan?2x+ ?的图象与 x 轴交点的坐标是? - ,0?,k∈Z. 4? 8 ? ? 2 ? 答案:?

?kπ -π ,0?,k∈Z ? 8 ? 2 ?

?π ? 9.已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),对于任意 x 都有 f? +x? ?6 ? ?π ? ?π ? =f? -x?,则 f? ?的值为________. ?6 ? ?6? ?π ? ?π ? 解析:∵f? +x?=f? -x?, ?6 ? ?6 ?
π ∴x= 是函数 f(x)=2sin(ω x+φ )的一条对称轴. 6

?π ? ∴f? ?=±2. ?6?
答案:2 或-2 π? ? ? π? 10.函数 y=2sin?2x+ ?-1,x∈?0, ?的值域为________,并且取最大值时 x 的值 3? 3? ? ? 为________. π π π 解析:∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤π , 3 3 3 π? ? ∴0≤sin?2x+ ?≤1, 3? ? π? ? ∴-1≤2sin?2x+ ?-1≤1,即值域为[-1,1]; 3? ? π? π ? 且当 sin?2x+ ?=1,即 x= 时,y 取最大值. 3? 12 ? 答案:[-1,1] 三、解答题 2π ? ? 11.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?0<φ < ?的最小正周期为 π . 3 ? ? (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; 3? ?π (2)若 f(x)的图象过点? , ?,求 f(x)的单调递增区间. ?6 2 ? 2π 解:∵由 f(x)的最小正周期为 π ,则 T= =π ,∴ω =2. ω ∴f(x)=sin(2x+φ ). (1)当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x). π 12

30

∴sin(2x+φ )=sin(-2x+φ ), 展开整理得 sin 2xcos φ =0, 由已知上式对? x∈R 都成立, 2π π ∴cos φ =0,∵0<φ < ,∴φ = . 3 2 3 3? ?π ? π ? (2)f(x)的图象过点? , ?时,sin?2? +φ ?= , 6 ? ? 2 ?6 2 ? 即 sin?

?π +φ ?= 3. ? 2 ?3 ?

2π π π 又∵0<φ < ,∴ < +φ <π . 3 3 3 ∴ π 2π π +φ = ,φ = . 3 3 3

π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?. 3? ? π π π 令 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 5π π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 12 12? ? 12.设函数 f(x)=sin?

?π x-π ?-2cos2π x. 6? 6 ? 3 ?

(1)求 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 当 x∈[0,1]时, 求函数 y=g(x) 的最大值. 解: (1)由题意知 f(x)= 2π 的最小正周期 T= =6. π 3 π πx π π 由 2kπ - ≤ - ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 3 2 1 5 得 6k- ≤x≤6k+ ,k∈Z, 2 2 1 5? ? 所以 y=f(x)的单调递增区间为?6k- ,6k+ ?,k∈Z. 2 2? ? (2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 3 πx 3 πx ?π x π ? sin - cos -1= 3?sin? - ?-1, 所以 y=f(x) 3? 2 3 2 3 ? 3

31

所以当 x∈[0,1]时,y=g(x)的最大值即为 x∈[3,4]时,

y=f(x)的最大值,
π? ? 1? π π ?2π 3? ? ?π ? 当 x∈[3,4]时, x- ∈? ,π ?,sin? x- ?∈?0, ?,f(x)∈?-1, ?, 3? ? 2? 3 3 ? 3 ? ?3 ? 2? 1 即当 x∈[0,1]时,函数 y=g(x)的最大值为 . 2

第四节

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的简单应用

对应学生用书P50 基础盘查一 y=Asin(ω x+φ )的有关概念 (一)循纲忆知 了解函数 y=Asin(ω x+φ )的物理意义, 能画出函数 y=Asin(ω x+φ )的图象, 了解参 数 A,ω ,φ 对函数图象变化的影响. (二)小题查验 π? 2 ?1 (人教 A 版教材习题改编)函数 y= sin? x- ?的振幅为________,周期为________, 4? 3 ?2 初相为________. 2 答案: 4π 3 π - 4

基础盘查二 “五点法”作函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的步骤 (一)循纲忆知 熟练运用“五点法”作函数 y=Asin(ω x+φ )的图象. (二)小题查验

?1 π ? (人教 A 版教材例题改编)用“五点法”作函数 y=2sin? x- ?的图象,试写出相应的 6? ?3
五个点坐标. 答案:?

?π ,0?,(2π ,2),?7π ,0?,(5π ,-2),?13π ,0? ? ? 2 ? ? 2 ? ?2 ? ? ? ? ?

基础盘查三 y=sin x 变换到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的步骤 (一)循纲忆知 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单的实际 问题,并能进行图象变换.
32

(二)小题查验 1.判断正误 (1)将函数 y=sin ω x 的图象向右平移 φ (φ >0)个单位长度,得到函数 y=sin(ω x- φ )的图象( )

33

(2)要得到函数 y=sin ω x(ω >0)的图象,只需将函数 y=sin x 上所有点的横坐标变 为原来的 ω 倍( )

(3)将函数 y=sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的 A(A>0)倍,便得到函数 y=Asin x 的图象( )
2

(4)函数 f(x)=sin x 的最小正周期和最小值分别为 π ,0(

)

(5)函数 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 T, 那么函数图象的两个相邻对称中心之间的 距离为 ( 2

T

)

答案:(1)? (2)? (3)√ (4)√ (5)√ 2. (人教 A 版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象, 则这个简谐运动的函数表达式为 ________________.

5π 答案:y=2sin x,x∈[0,+∞) 2

对应学生用书P50

考点一 求函数y=Asin?ω x+φ ?的解析式(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.y=Asin(ω x+φ )的有关概念

y=Asin(ω x+
φ )(A>0,ω >0)

振幅

周期

频率

相位 ω x+φ

初相 φ

A

T=

2π ω

f= = T 2π

1

ω

2.求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法,即把已知点的坐标代入三角函数式 y =Asin(ω x+φ )+b,求出需要确定的系数 A,ω ,φ ,b,得到三角函数的解析式. [题组练透] π? ? 1.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的部分图象 2? ?

? π? 如图所示,则 y=f?x+ ?取得最小值时 x 的集合为( 6? ?
? ? π ? A.?x?x=kπ - ,k∈Z 6 ? ? ? ? ? ? ? ?

)

34

? ? ? π B.?x?x=kπ - ,k∈Z 3 ? ? ? ? ? π ? C.?x?x=2kπ - ,k∈Z 6 ? ? ? ? ? π D.?x|x=2kπ - ,k∈Z? 3 ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

解析:选 B 根据所给图象,周期 T=4??

?7π -π ?=π ,故 π =2π ,∴ω =2,因此 ? ω ? 12 3 ?

f(x)=sin(2x+φ ),另外图象经过?

?7π ,0?,代入有 2?7π +φ =kπ (k∈Z),再由|φ |< ? 12 ? 12 ?

π? π π π π π ? π? ? ,得 φ =- ,∴f?x+ ?=sin?2x+ ?,当 2x+ =- +2kπ (k∈Z),即 x=- + 6? 6? 2 6 6 2 3 ? ?

kπ (k∈Z)时,y=f?x+ ?取得最小值. 6

? ?

π?

?

2.(2015?东北三校联考)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的最大值为 4,最 π π 小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解 2 3 析式为( ) π? ? B.y=2sin?2x+ ?+2 3? ? π? ? D.y=2sin?4x+ ?+2 6? ?

π? ? A.y=4sin?4x+ ? 6? ? π? ? C.y=2sin?4x+ ?+2 3? ?

解析:选 D 由函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的最大值为 4,最小值为 0,可知 b=2,A= π 2π π π 2.由函数的最小正周期为 ,可知 = ,得 ω =4.由直线 x= 是其图象的一条对称轴, 2 ω 2 3 π? π π 5π ? 可知 4? +φ =kπ + , k∈Z, 从而 φ =kπ - , k∈Z, 故满足题意的是 y=2sin?4x+ ? 6? 3 2 6 ? +2. [类题通法] 确定 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,ω >0)的步骤和方法 (1)求 A,b:确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω :确定函数的周期 T,则可得 ω = ;

M-m
2

,b=

M+m
2



T

(3)求 φ :常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω ,b 已知)或代入图象与直线 y=b 的 交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). ②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下:
35

“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =0; “第二点”(即图象的“峰点”) π 时 ω x+φ = ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =π ;“第四点”(即 2 3π 图象的“谷点”)时 ω x+φ = ;“第五点”时 ω x+φ =2π . 2 考点二 函数y=Asin?ω x+φ ?的图象(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1. 五点作图法是画正弦函数、 余弦函数草图的重要方法, 正弦函数 y=sin x, x∈[0,2π ]

?π ? ?3π ? 的图象上五个关键点是(0,0),? ,1?,(π ,0),? ,-1?,(2π ,0);余弦函数 y=cos ?2 ? ? 2 ? ? ? ? x,x∈[0,2π ]的图象上五个关键点是(0,1),? ,0?,(π ,-1),?
π ?2

?

3π ,0? ?,(2π ,1). ? 2 ?

2.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的两种方法

[一题多变] [典型母题] π π? ? (2014?重庆高考)将函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?图象上每一点的横 2 2? ? π 坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图象,则 6

f? ?=________. 6
π ? π? [解析] 把函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度得到 y=sin?x+ ?的图象,再 6? 6 ?

?π ? ? ?

? π? 把函数 y=sin?x+ ?图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 f(x) 6? ?
π 2 ?1 π ? ?π ? ?1 π π ? =sin? x+ ?的图象,所以 f? ?=sin? ? + ?=sin = . 6? 4 2 ?2 ?6? ?2 6 6 ? [答案] 2 2

36

[ 题点发散 1]

将本例变为:由函数 y = sin x 的图象作怎样的变换可得到 y =

π? ? 2sin?2x- ?的图象? 3? ? π ? π? 解:把 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位,得到 y=sin?x- ?的图象,再 3? 3 ? 1 ? π? 把 y = sin ?x- ? 的 图 象 上 的 点的 横 坐 标 缩 短 到 原来 的 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) , 得到 y = 3 2 ? ? π? π? ? ? sin?2x- ?的图象,最后把 y=sin?2x- ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 3? 3? ? ? π? ? 变),即可得到 y=2sin?2x- ?的图象. 3? ? [题点发散 2] 将本例中函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小值为________.

?1 π ? 解析:把 f(x) = sin ? x+ ? 图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后,得到 y = 6? ?2
1 π π 2π ?1 1 π ? sin? x+ m+ ?的图象, 此图象关于 y 轴对称. 则 m+ =kπ + (k∈Z); m=2kπ + (k 6? 2 6 2 3 ?2 2 2π ∈Z),又 m>0,∴m 的最小值为 . 3 2π 答案: 3 π? π ? [题点发散 3] 将本例变为:若将函数 y=tan?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单 4? 6 ? π? ? 位长度后,与函数 y=tan?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为________. 6? ? π? π ? 解析:将函数 y=tan?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 y= 4? 6 ? π ωπ ? π? π ωπ ? ? tan?ω x+ - (ω >0)的图象,与函数 y=tan?ω x+ ?的图象重合,所以 - = ? 4 6 ? 6? 4 6 ? ? π 1 +kπ (k∈Z),所以 k=0 时,ω 的最小值为 . 6 2 1 答案: 2 [类题通法] 函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象的两种作法 (1)五点法: 用“五点法”作 y=Asin(ω x+φ )的简图, 主要是通过变量代换, 设 z=ω x π 3π +φ ,由 z 取 0, ,π , ,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点 2 2

37

后得出图象. (2)图象变换法:由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象,有两 种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. [提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言, 即 x 本身加减多少值, 而不是依赖于 ω x 加减多少值. 考点三 三角函数模型及其应用(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] (2014?湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满足函 π π 数关系:f(t)=10- 3cos t-sin t, t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 解: (1)f(8) = 10 - 3cos ? 3 ? 1? ??- ?- =10. ? 2? 2 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)=10-2? π? 1 π ? ? 3 π ?π cos t+ sin t?=10-2sin?12t+ 3 ?, ? ? 2 12 2 12 ? ?

?π ?8? - sin ?π ?8? = 10 - 3cos 2π - sin 2π = 10 - 3 ? ?12 ? 3 3 ?12 ? ? ?

π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π? ?π -1≤sin? t+ ?≤1. 3? ?12 当 t=2 时,sin?

?π t+π ?=1; 3? ?12 ?

π? ?π 当 t=14 时,sin? t+ ?=-1. 12 3? ? 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃. [类题通法] 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面,一是已知函数模型,利用三角函数的有 关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;二是把 实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题, 其关键是建模. [演练冲关] 某 城 市 一 年 中 12 个 月 的 平 均 气 温 与 月 份 的 关 系 可 近 似 地 用 三 角 函 数 y = a +
38

? ? Acos? ?x-6??(x=1,2,3,?,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28 ℃,
π ?6

?

12 月份的月平均气温最低,为 18 ℃,则 10 月份的平均气温值为________℃. 28+18 28-18 解析:依题意知,a= =23,A= =5, 2 2

?π ? ∴y=23+5cos? ?x-6??, ?6 ?
当 x=10 时,

? ? y=23+5cos? ?4?=20.5.
π

?6

?

答案:20.5

对应B本课时跟踪检测?二十? [A 卷——夯基保分] 一、选择题 1.函数 f(x)=sin xcos x+ A.π ,1 C.2π ,1 解析:选 A 由 f(x)=sin xcos x+ 最小正周期为 π ,振幅为 1. 2.把函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再 π 把所得函数图象向左平移 个单位,得到的函数图象的解析式是( 4 A.y=cos 2x π? ? C.y=sin?2x- ? 4? ? B.y=-sin 2x π? ? D.y=sin?2x+ ? 4? ? ) 3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 B.π ,2 D.2π ,2 π? 3 1 3 ? cos 2x= sin 2x+ cos 2x=sin?2x+ ?,得 3? 2 2 2 ? )

解析:选 A 由 y=sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变, π ? π? 所得图象的解析式为 y=sin 2x,再向左平移 个单位得 y=sin 2?x+ ?,即 y=cos 2x. 4? 4 ? π? ? 3.(2015?合肥二检)为了得到函数 y=cos?2x+ ?的图象,可将函数 y=sin 2x 的图 3? ? 象( )
39

5π A.向左平移 单位长度 6 5π C.向左平移 单位长度 12

5π B.向右平移 单位长度 6 5π D.向右平移 单位长度 12

π? π π? ? ? 解析:选 C 由题意,得 y=cos?2x+ ?=sin?2x+ + ? 3? 3 2? ? ? 5π ? 5π ? =sin 2?x+ ?,则它是由 y=sin 2x 向左平移 个单位得到的,故选 C. 12 ? 12 ?

? π? 4.将函数 y=cos?x- ?的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向 3? ?
π 左平移 个单位,所得函数图象的一条对称轴是( 6 π A.x= 4 C.x=π )

π B.x= 6 π D.x= 2

2倍 ? π ?横坐标伸长到原来的 解析:选 D y=cos?x- ? ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变 3? ? 个单位 ?1 π ?向左平移 6― y=cos? x- ? ― ― ― ― ― ― → 3? ?2 π

? ? ? ? ? ? y=cos? ?x+ 6 ?- ?,即 y=cos? x- ?. 2 4 2 3
1 π π 1 π

? ?

?

?

?

?

由余弦函数的性质知,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,又当 x=

π 时,y= 2

?1 π π ? cos? ? - ?=1.故选 D. ?2 2 4 ?
π 3π 5.设函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)在 x= 时,取最大值 A,在 x= 时,取 2 2 最小值-A,则当 x=π 时,函数 y 的值( A.仅与 ω 有关 C.等于零 ) B.仅与 φ 有关 D.与 φ ,ω 均有关

π 3π + 2 2 解析:选 C =π ,根据函数 y=Asin(ω x+φ )的图象可知,x=π 时,函数 y 2 的值为 0.正确答案为 C. π? ? 6.(2015?青岛一模)函数 f(x)=Asin (ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的部分图象 2? ?

? π π? 如图所示,若 x1,x2∈?- , ?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( ? 6 3?

)
40

A.1 C. 2 2

B. D.

1 2 3 2

解析:选 D 观察图象可知,A=1,T=π , ∴ω =2,f(x)=sin(2x+φ ).

? π ? ? π ? 将?- ,0?代入上式得 sin?- +φ ?=0, 6 ? ? ? 3 ?
π? π π ? 由|φ |< ,得 φ = ,则 f(x)=sin?2x+ ?. 3? 2 3 ? π π - + 6 3 π 函数图象的对称轴为 x= = . 2 12

? π π? 又 x1,x2∈?- , ?, ? 6 3?
且 f(x1)=f(x2),∴

x1+x2 π
2

= , 12

π 3 ? π π? ∴x1+x2= ,∴f(x1+x2)=sin?2? + ?= .故选 D. 6 3 6 2 ? ? 二、填空题 π? π ? ?π ? 7.若函数 f(x)= 3sin?ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 ,则 f? ?=________. 3 2 ? ? ?3? π? π ? ?π ? 解析:由 f(x)= 3sin?ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 ,得 ω =4.所以 f? ?= 3 3? 2 ? ?3?

? π π? sin?4? - ?=0. 3 3? ?
答案:0 π π ?π ? 8. 函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 则 f? ? 4 4 ?4? =________. π π 解析:依题意 = ,∴ω =4. ω 4 ∴f(x)=tan 4x.

?π ? ∴f? ?=tan π =0. ?4?
41

答案:0 π? ? 9.已知函数 f(x)=3sin?ω x- ?(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象完全相同,若 6? ?

x∈?0, ?,则 f(x)的值域是________. 2

? ?

π?

?

π ?? π? 2π ? ?π ? ? ? 解析:f(x)=3sin?ω x- ?=3cos? -?ω x- ??=3cos?ω x- ?,易知 ω =2,则 6 6 3 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?

f(x)=3sin?2x- ?, 6

? ?

π?

?

π π 5π ? π? ∵x∈?0, ?,∴- ≤2x- ≤ , 2? 6 6 6 ? 3 ∴- ≤f(x)≤3. 2

? 3 ? 答案:?- ,3? ? 2 ?
π 10.(2015?广东梅州二模)把函数 y=sin 2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,纵坐标 6 伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 y=f(x)的图象, 对于函数 y=f(x)有以下四个判 断: π? ? ?π ? ①该函数的解析式为 y=2sin?2x+ ?;②该函数图象关于点? ,0?对称;③该函数在 6? ? ?3 ?

?0,π ?上是增函数;④函数 y=f(x)+a 在?0,π ?上的最小值为 3,则 a=2 3. ? ? 6? 2? ? ? ? ?
其中,正确判断的序号是________. π 解析:将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位得到 y=sin 6 π? ? π? ? 2?x+ ?=sin?2x+ ? 6? 3? ? ?

π? ? ?π ? 的图象, 然后纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y=2sin?2x+ ?的图象, 所以①不正确. y=f? ? 3? ? ?3? π ? π π? ?π ? =2sin?2? + ?=2sin π =0,所以函数图象关于点? ,0?对称,所以②正确.由- + 3 3? 2 ? ?3 ? π π 5π π 2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,即函数的单调增区间 3 2 12 12 π ? 5π ? ? 5π π ? 为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z,当 k=0 时,增区间为?- , ?,所以③不正确.y= 12 ? 12 ? ? 12 12?

f(x)+a=2sin?2x+ ?+a,当 0≤x≤ 时, ≤2x+ ≤ 3

? ?

π?

?

π 2

π 3

π 3

4π π 4π ,所以当 2x+ = ,即 x 3 3 3

π 4π = 时,函数取得最小值,ymin=2sin +a=- 3+a= 3,所以 a=2 3.所以④正确.所 2 3 以正确的判断为②④.
42

答案:②④ 三、解答题 π? ? 11.已知函数 f(x)= 2sin?2x- ?+1. 4? ? (1)求它的振幅、最小正周期、初相;

? π π? (2)画出函数 y=f(x)在?- , ?上的图象. ? 2 2?
π 解:(1)振幅为 2,最小正周期 T=π ,初相为- . 4 (2)图象如图所示.

?x π ? ?x π ? 12.已知函数 f(x)=2 3sin? + ?cos? + ?-sin(x+π ). ?2 4 ? ?2 4 ?
(1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0, 6 π ]上的最大值和最小值. 1 ? 3 ? ? π? 解:(1)因为 f(x)= 3sin?x+ ?+sin x= 3cos x+sin x=2? cos x+ sin x?= 2? ? 2 2 ? ?

? π? 2sin?x+ ?, 3? ?
所以 f(x)的最小正周期为 2π . (2)∵将 f(x)的图象向右平移 π ? π? 个单位,得到函数 g(x)的图象,∴g(x)=f?x- ?= 6? 6 ?

π ? π 7π ? ?? π ? π ? ? π? 2sin??x- ?+ ?=2sin?x+ ?.∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , ?, 6? 3? 6? 6 ? 6 ?6 ? ?? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3

? π? sin?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. 6? ?

43

π 7π 1 ? π? 当 x+ = ,即 x=π 时,sin?x+ ?=- ,g(x)取得最小值-1. 6? 6 6 2 ? [B 卷——增分提能] π π ? ? 1.(2015?长春调研)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,- <φ < ,x∈R?的部 2 2 ? ? 分图象如图所示. (1)求函数 y=f(x)的解析式; π? ? (2)当 x∈?-π ,- ?时,求 f(x)的取值范围. 6? ?

T 2π π π 解:(1)由题中图象得 A=1, = - = , 4 3 6 2
所以 T=2π ,则 ω =1.

?π ? ?π ? 将点? ,1?代入得 sin? +φ ?=1, ?6 ? ?6 ?
π π π 又- <φ < ,所以 φ = , 2 2 3

? π? 因此函数 f(x)=sin?x+ ?. 3? ?
π 2π π π (2)由于-π ≤x≤- ,- ≤x+ ≤ , 6 3 3 6

? π? 1 所以-1≤sin?x+ ?≤ , 3? 2 ?
1? ? 所以 f(x)的取值范围是?-1, ?. 2? ? 1 2.已知 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的最小正周期为 2,且当 x= 时,f(x)的最 3 大值为 2. (1)求 f(x)的解析式.

?21 23? (2)在闭区间? , ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在, ?4 4?
请说明理由. 2π 解:(1)由 T=2 知 =2 得 ω =π . ω 1 又因为当 x= 时 f(x)max=2,知 A=2. 3
44



π π π +φ =2kπ + (k∈Z),故 φ =2kπ + (k∈Z). 3 2 6

π? π? ? ? ∴f(x)=2sin?π x+2kπ + ?=2sin?π x+ ?, 6 6? ? ? ? π? ? 故 f(x)=2sin?π x+ ?. 6? ? π π (2)存在.令 π x+ =kπ + (k∈Z), 6 2 1 得 x=k+ (k∈Z). 3 由 21 1 23 59 65 ≤k+ ≤ .得 ≤k≤ ,又 k∈Z,知 k=5. 4 3 4 12 12

16 ?21 23? 故在? , ?上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= . 3 ?4 4? 3.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙 的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成本, 减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来 客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物? 解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0,0<|φ |<π ),根据条件①, 可知这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函 数的振幅为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100, 所以 f(8)=500. 2π 根据上述分析可得, =12, ω
? ?-A+B=100, π 故 ω = ,且? 6 ?A+B=500, ?

解得?

? ?A=200, ?B=300. ?

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小, 当 x=8 时 f(x)最大,

? π ? ? π ? 故 sin?2? +φ ?=-1,且 sin?8? +φ ?=1. 6 6 ? ? ? ?
5π 又因为 0<|φ |<π ,故 φ =- . 6
45

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为

? f(x)=200sin? x-
π ?6

5π ? +300. 6 ? ?

5π ? ?π (2)由条件可知,200sin? x- ?+300≥400,化简,得 6 6 ? ? 5π ? 1 π π 5π 5π ?π sin? x- ?≥ ? 2kπ + ≤ x- ≤2kπ + ,k∈Z,解得 12k+6≤x≤12k+ 6 ? 2 6 6 6 6 ?6 10,k∈Z. 因为 x∈N ,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.
*

见课时跟踪检测B本

命题点一 同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式 命题指数:☆☆☆ 难度:中、低 题型:选择题

1.(2014?大纲卷)设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c C.c>b>a 解析:选 C ∵b=sin 35°,∴b>a. ∵ b - c = cos 55° - B.b>c>a D.c>a>b

)

sin 35° cos 55°cos 35°-sin 35° = = cos 35° cos 35°

sin 35°cos 35°-sin 35° sin 35°?cos 35°-1? = <0, cos 35° cos 35° ∴b<c,∴c>b>a,故选 C. 2.(2013?浙江高考)已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 B. 3 4 10 ,则 tan 2α =( 2 )

3 C.- 4

4 D.- 3
2 2

解析:选 C 法一:(直接法)两边平方,再同时除以 cos α ,得 3tan α -8tan α -3 1 2tan α 3 =0,tan α =3 或 tan α =- ,代入 tan 2α = ,得到 tan 2α =- . 2 3 1-tan α 4

46

法二:(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记 sin α =

3 10

,cos α =

1 10

,这时

sin α +2cos α =

10 符合要求,此时 tan α =3,代入二倍角公式得到答案 C. 2 1 =4,则 sin 2θ =( tan θ B. D. 1 4 1 2
2

3.(2012?江西高考)若 tan θ + A. C. 1 5 1 3

)

1 1+tan θ 解析:选 D 法一:∵tan θ + = =4, tan θ tan θ ∴4tan θ =1+tan θ , ∴sin 2θ =2sin θ cos θ = 2sin θ cos θ 2tan θ 2tan θ 1 = = = . 2 2 2 sin θ +cos θ 1+tan θ 4tan θ 2
2

1 sin θ cos θ 1 2 法二:∵tan θ + = + = = , tan θ cos θ sin θ cos θ sin θ sin 2θ 2 1 ∴4= ,故 sin 2θ = . sin 2θ 2 4.(2014?新课标全国卷Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,

P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA
的垂线, 垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x), 则 y=f(x) 在[0,π ]的图象大致为( )

? π? 解析:选 B 由题意知,f(x)=|cos x|?sin x,当 x∈?0, ?时,f(x)=cos x?sin x 2? ?
1 1 ?π ? = sin 2x;当 x∈? ,π ?时,f(x)=-cos x?sin x=- sin 2x,故选 B. 2 2 ?2 ? 命题点二 三角函数的图象与性质命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中题型:选择题、填空题、解答题

47

1.(2013?北京高考)“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选 A 由 sin φ =0 可得 φ =kπ (k∈Z),此为曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点 的充要条件,故“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的充分而不必要条件. 2.(2014?四川高考)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图 象上所有的点( )

1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度

? ? 1?? 解析:选 A 因为 y=sin(2x+1)=sin?2?x+ ??,故可由函数 y=sin 2x 的图象上所有 ? ? 2??
1 的点向左平行移动 个单位长度得到,选 A. 2 3.(2014?福建高考)将函数 y=sin x 的图象向左平移 图象,则下列说法正确的是 A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为 π π C.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 ( ) π 个单位,得到函数 y=f(x) 的 2

? π ? D.y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称 ? 2 ?
π ? π? 解析:选 D 函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位后,得到函数 f(x)=sin?x+ ?= 2? 2 ?

?π ? cos x 的图象,f(x)=cos x 为偶函数,A 错;f(x)=cos x 的周期为 2π ,B 错;因为 f? ? ?2?
π π =cos =0,所以 f(x)=cos x 不关于直线 x= 对称,C 错;函数 f(x)的对称中心是点 2 2

?kπ +π ,0?k∈Z,D 对. ? ? 2 ? ?
4.(2013?四川高考)函数 f(x)=2sin(ω x+

48

π π? ? φ )?ω >0,- <φ < ?的部分图象如图所示,则 ω ,φ 的值分别是( 2 2? ? π A.2,- 3 π C.4,- 6 π B.2,- 6 π D.4, 3

)

5π ? π ? 2π 3 5π π 解析:选 A 因为 -?- ?= ? ,所以 ω =2,又因为 2? +φ = +2kπ (k 12 ? 3 ? ω 4 12 2 π π π ∈Z),且- <φ < ,所以 φ =- ,故选 A. 2 2 3 5.(2014?新课标全国卷Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+ π ,④ 6

y=tan?2x- ?中,最小正周期为 π 的所有函数为( 4

? ?

π?

?

)

A.①②③ C.②④

B.①③④ D.①③

解析:选 A ①y=cos|2x|,最小正周期为 π ;②y=|cos x|,最小正周期为 π ;③y π? π? π ? ? =cos?2x+ ?,最小正周期为 π ;④y=tan?2x- ?,最小正周期为 ,所以最小正周期 6 4 2 ? ? ? ? 为 π 的所有函数为①②③,故选 A. π? π ? 6.(2014?辽宁高考)将函数 y=3sin?2x+ ?的图象向右平移 个单位长度,所得图象 3 2 ? ? 对应的函数( A.在区间? B.在区间? )

?π ,7π ?上单调递减 ? ?12 12 ? ?π ,7π ?上单调递增 ? ?12 12 ?

? π π? C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3? ? π π? D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3?
π? π ? 解析: 选 B 将 y=3sin?2x+ ?的图象向右平移 个单位长度 3 2 ? ? 2π ? ? ? π? π? ? 后得到 y=3sin?2?x- ?+ ?,即 y=3sin?2x- ?的图象,令 2 3 ? 3 ? ? ? ? ? π 2π π - +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z,化简可得 x∈ 2 3 2 2π ? π 7π ?π +kπ ,7π +kπ ?, ? k∈Z, 即函数 y=3sin?2x- ?的单调递增区间为 +kπ , +kπ , ?12 ? 12 3 ? 12 12 ? ? ?
49

k∈Z,令 k=0,可得 y=3sin?2x-

? ?

2π ? ? π 7π ? 在区间? , ?上单调递增,故 B 正确, 画出函数 y ? 3 ? ?12 12 ?

2π ? ? ? π π? =3sin?2x- ?的简图(如图),可知函数 f(x)在区间?- , ?上不具有单调性,故 C,D 3 ? ? ? 6 3? 错误. 7. (2014?天津高考)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0), x∈R.在曲线 y=f(x) π 与直线 y=1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为 ,则 f(x)的最小正周期为( 3 A. π 2 B. 2π 3 )

C.π

D.2π

π? ? 解析:选 C 由题意得函数 f(x)=2sin?ω x+ ?(ω >0),又曲线 y=f(x)与直线 y=1 6? ? π π π π 5π 相邻交点距离的最小值是 ,由正弦函数的图象知,ω x+ = 和 ω x+ = 对应的 x 3 6 6 6 6 π 2π π 2π 的值相差 ,即 = ,解得 ω =2,所以 f(x)的最小正周期是 T= =π . 3 3ω 3 ω π? ? 8.(2014?安徽高考)若将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位,所得图 4? ? 象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. π? π ? ? ? 解析: 法一: f(x)=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ 个单位得函数 y=sin?2x+ -2φ ? 4? 4 ? ? ? π π ? ? 的图象,由函数 y = sin ?2x+ -2φ ? 的图象关于 y 轴对称可知 sin - 2φ =±1,即 4 4 ? ? π? π π kπ 3π ? sin?2φ - ?=±1,故 2φ - =kπ + ,k∈Z,即 φ = + ,k∈Z,又 φ >0,所以 4? 4 2 2 8 ? φ
min

3π = . 8 π? π? ? ? 法二:由 f(x)=sin?2x+ ?=cos?2x- ?的图象向右平移 φ 个单位所得图象关于 y 4? 4? ? ?

π kπ π 轴对称可知 2φ + =kπ ,k∈Z,故 φ = - ,又 φ >0,故 φ 4 2 8 3π 答案: 8

min

3π = . 8

9.(2014?北京高考)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若

?π π ? ?π ? ?2π ? ?π ? f(x)在区间? , ?上具有单调性,且 f? ?=f? ?=-f? ?,则 f(x)的最小正周期为 6 2 2 3 6 ? ? ? ? ? ? ? ?
________.

50

解析:∵f(x)在区间?

?π ,π ?上具有单调性,且 f?π ?=f?2π ?,∴x=π 和 x=2π 均不 ? ?2? ? 3 ? 2 3 ?6 2? ? ? ? ?

π 2π + 2 3 7π π ?π ? ?π ? 是 f(x)的极值点,其极值应该在 x= = 处取得,∵f? ?=-f? ?,∴x= 也不 2 12 6 ?2? ?6? π ? 7π π ? π ?π π ? 是函数 f(x)的极值点,又 f(x)在区间? , ?上具有单调性,∴x= -? - ?= 为 6 ? 12 2 ? 12 ?6 2?

f(x)的另一个相邻的极值点,故函数 f(x)的最小正周期 T=2??
答案:π

?7π -π ?=π . ? ? 12 12?

π? ? 10.(2014?北京高考)函数 f(x)=3sin?2x+ ? 的部分图象如图所示. 6? ? (1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; π? ? π (2)求 f(x)在区间?- ,- ? 上的最大值和最小值. 12? ? 2

解:(1)f(x)的最小正周期为

2π 2π 7π = =π ,x0= ,y0=3. ω 2 6

π? π ? 5π ? π ? (2)因为 x∈?- ,- ?,所以 2x+ ∈?- ,0?. 2 12 6 6 ? ? ? ? π π 于是,当 2x+ =0,即 x=- 时,f(x)取得最大值 0; 6 12 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-3. 6 2 3 π? ? 11.(2012?陕西高考)函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图象 6? ? π 相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

? π ? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?
解:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2
51

∴最小正周期 T=π ,∴ω =2, π? ? 故函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x- ?+1. 6? ? π? ?α ? ? (2)∵f? ?=2sin ?α - ?+1=2, 2 6? ? ? ? π? 1 ? 即 sin?α - ?= , 6? 2 ? π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < , 2 6 6 3 π π π ∴α - = ,故 α = . 6 6 3 12.(2014?福建高考)已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x) . (1)求 f?

?5π ? 的值; ? ? 4 ? ?5π ?=2cos5π ?sin5π +cos5π ? ? ? ? 4 4 ? 4 ? ? 4 ?

(2)求函数 f(x) 的最小正周期及单调递增区间. 解:法一:(1)f?

π π? π? =-2cos ?-sin -cos ? 4 4? 4? =2. (2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos x =sin 2x+cos 2x+1 π? ? = 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以 T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 法二:f(x)=2sin xcos x+2cos x =sin 2x+cos 2x+1 π? ? = 2sin?2x+ ?+1. 4? ? (1)f?
2 2

?5π ?= 2sin11π +1 ? 4 ? 4 ?
52

π = 2sin +1=2. 4 2π (2)T= =π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ?

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

对应学生用书P52

基础盘查一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (一)循纲忆知 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联 系. (二)小题查验 1.判断正误 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α ,β 是任意的( ) )

(2)存在实数 α ,β ,使等式 sin(α +β )=sin α +sin β 成立( (3)在锐角△ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( )

tan α +tan β (4)公式 tan(α +β )= 可以变形为 tan α +tan β =tan(α +β )(1 1-tan α tan β -tan α tan β ),且对任意角 α ,β 都成立( 答案:(1)√ (2)√ (3)? (4)? π? 3 ? 2.(人教 A 版教材例题改编)已知 sin α =- ,α 是第四象限角,则 cos?α + ?= 4? 5 ? ________. 7 2 答案: 10 )

53

3.计算 cos 42° cos 18°-cos 48° cos 72°的值为________. 1 答案: 2 π? 1 π? 2 ? ? 4.(北师大版教材例题改编)若 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,则 tan?α + ?的值 4 4? 5 ? ? 4 ? 为________. 答案: 3 22

基础盘查二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (一)循纲忆知 能利用两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. (二)小题查验 1.判断正误 (1)cos θ =2cos
2

θ 2θ -1=1-2sin ( 2 2

) )

(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( (3)存在角 α ,使得 sin 2α =2sin α 成立( 答案:(1)√ (2)? (3)√ )

3 2.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α -π )= ,则 cos 2α =________. 5 答案: 7 25

tan 7.5° 3.计算: =________. 2 1-tan 7.5° 2- 3 答案: 2

对应学生用书P53

考点一 三角函数公式的基本应用(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β ; cos(α ?β )=cos α cos β ±sin α sin β ;

54

tan α ±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin α cos α ; cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α [题组练透] 3 ?π ? 1.已知 sin α = ,α ∈? ,π ?,则 5 ?2 ? cos 2α
2 2 2 2 2

cos 2α

π? ? 2sin?α + ? 4? ?
2

=________.

解析:

π? ? 2sin?α + ? 4? ?



cos α -sin α 2? 2 ? 2 ? sin α + cos α ? 2 ?2 ?

=cos α -sin α , 3 4 ?π ? ∵sin α = ,α ∈? ,π ?,∴cos α =- . 5 5 ?2 ? 7 ∴原式=- . 5 7 答案:- 5

?π ? 2.设 sin 2α =-sin α ,α ∈? ,π ?,则 tan 2α 的值是________. ?2 ?
1 解析:∵sin 2α =2sin α cos α =-sin α ,∴cos α =- , 2 3 ?π ? 又 α ∈? ,π ?,∴sin α = ,tan α =- 3, 2 2 ? ? 2tan α -2 3 ∴tan 2α = = = 3. 2 1-tan α 1-?- 3?2 答案: 3 5 ?π ? 3.(2014?江苏高考)已知 α ∈? ,π ?,sin α = . 5 ?2 ?

?π ? (1)求 sin? +α ?的值; ?4 ?
(2)求 cos?

?5π -2α ?的值. ? ? 6 ?

5 ?π ? 解:(1)因为 α ∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ?

55

2 5 2 所以 cos α =- 1-sin α =- . 5 故 sin? =

?π +α ?4

?=sin π cos α +cos π sin α ? 4 4 ?

2 ? 2 5? 2 5 ??- ?+ ? 5 2 ? 5 ? 2 10 . 10 5 ? 2 5? 4 ??- =- , ? 5 ? 5 5 ?

=-

(2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2? cos 2α =1-2sin α =1-2??
2

? 5? 2 3 ?= , ?5? 5

所以 cos? =?-

?5π -2α ? 6

?=cos5π cos 2α +sin5π sin 2α ? 6 6 ?

? ?

3? 3 1 ? 4? ?? + ??- ? 2 ? 5 2 ? 5?

4+3 3 =- . 10 [类题通法] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α 、 β 的三角函数表示 α ±β 的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系, 完成统一角和角与角转换的目的. 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.公式的常用变形 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan α tan β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 (3)1±sin 2α =(sin α ±cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? [典题例析] 1 ? 2?π 1.(2015?东北三校第二次联考)已知 sin α +cos α = ,则 sin ? -α ?=( 3 ?4 ? A. 1 18 17 B. 18 )
2

56

C.

8 9

D.

2 9

1 1 2 解析:选 B ∵sin α +cos α = ,∴(sin α + cos α ) =1+2sin α cos α = , 3 9

?π 1-cos? -2α 8 ?2 ? 2?π ∴sin 2α =- ,∴sin ? -α ?= 9 2 ?4 ?
sin 110°sin 20° 2.计算 2 的值为( 2 cos 155°-sin 155° 1 A.- 2 C. 3 2 ) B. 1 2

? ? ? 1-sin 2α
= 2

17 = . 18

D.-

3 2

解析:选 B

sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° = 2 2 cos 155°-sin 155° cos 310°

1 sin 40° cos 20°sin 20° 2 1 = = = . cos 50° sin 40° 2 [类题通法] 运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α +tan β =tan(α +β )?(1-tan α tan β )和二倍角的余弦公式的多种变形等. [演练冲关] π? π? 4 3 ? ? 1.(2015?赣州模拟)已知 sin?α + ?+cos α = ,则 sin?α + ?的值为( 6? 3? 5 ? ? A. C. 4 5 3 2 B. D. 3 5 3 5 )

解析:选 A 由条件得

3 3 4 3 sin α + cos α = , 2 2 5

π? 4 1 3 4 ? 即 sin α + cos α = .∴sin?α + ?= . 3? 5 2 2 5 ? 2.在△ABC 中,若 tan Atan B= tan A+tan B+1, 则 cos C 的值为( A.- C. 1 2 2 2 B. 2 2 )

1 D.- 2

57

tan A+tan B 解析:选 B 由 tan Atan B=tan A+tan B+1,可得 =-1,即 tan(A+ 1-tan Atan B

B)=-1,
3π π 2 所以 A+B= ,则 C= ,cos C= . 4 4 2 考点三 角的变换(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 角的变换技巧 α =(α +β )-β ; α =β -(β -α ); 1 α = [(α +β )+(α -β )]; 2 1 β = [(α +β )-(α -β )]; 2 π π ?π +α = -? -α 4 2 ?4

?. ? ?
[一题多变]

[典型母题] 3 1 (2015?常州一模)已知 α ,β 均为锐角,且 sin α = ,tan(α -β )=- . 5 3 (1)求 sin(α -β )的值; (2)求 cos β 的值. π π ? π? [解] (1)∵α ,β ∈?0, ?,从而- <α -β < . 2? 2 2 ? 1 π 又∵tan(α -β )=- <0,∴- <α -β <0. 3 2 ∴sin(α -β )=- 10 . 10

3 10 (2)由(1)可得,cos(α -β )= . 10 3 4 ∵α 为锐角,且 sin α = ,∴cos α = . 5 5 ∴cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β ) 4 3 10 3 ? 10? = ? + ??- ? 5 10 5 ? 10 ?

58



9 10 . 50

[题点发散 1] 在本例条件下,求 sin(α -2β )的值. 解:∵sin(α -β )=- 10 3 10 ,cos(α -β )= , 10 10

9 10 13 10 cos β = ,sin β = . 50 50 ∴sin(α -2β )=sin[(α -β )-β ]=sin(α -β )cos β - 24 cos(α -β )sin β =- . 25 3 3 [题点发散 2] 若本例中“sin α = ”变为“tan α = ,”其他条件不变,求 tan(2α 5 5 -β )的值. 3 1 解:∵tan α = ,tan(α -β )=- , 5 3 3 1 - 5 3 tan α +tan?α -β ? 2 ∴tan(2α -β )=tan[α +?α -β ?]= = = . 1-tan α tan?α -β ? 3 1 9 1+ ? 5 3 β ? 1 π ? ?α ? 2 [题点发散 3] 若本例条件变为:已知 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,且 <α 2? 9 2 ? ?2 ? 3 π <π ,0<β < ,求 cos(α +β )的值. 2 β ? π π 1 ? 解:∵ <α <π ,0<β < ,cos?α - ?=- , 2? 2 2 9 ?

?α ? 2 sin? -β ?= , ?2 ? 3
∴ π β α π <α - <π ,0< -β < , 2 2 2 2

β ? 4 5 5 ? ?α ? ∴sin?α - ?= ,cos? -β ?= , 2? 9 ? ?2 ? 3 β ? ?α α +β ?? ?? ∴cos =cos??α - ?-? -β ??= 2? ?2 2 ?? ??

59

β ? ?α ? cos?α - ?cos? -β 2? ?2 ? 则 cos(α +β )=2cos
2

?+sin?α -β ?sin?α -β ? ? ? 2? ? ? ? ?2
α +β 239 -1=- . 2 729 [类题通法]

?=?-1?? 5+4 5?2=7 5. ? ? 9? 3 9 3 27 ? ? ?

1.当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然 后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”; 3.注意角的变换技巧.

对应A本课时跟踪检测?二十一?

一、选择题 1.化简 cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°的值为( A. 1 2 B. 3 2 3 2 )

1 C.- 2

D.-

解析:选 A cos 15°cos 45°-cos 75°sin 45°=cos 15°cos 45°-sin 15°sin 1 45°=cos(15°+45°)=cos 60°= . 2 π? π ?π ? 1 ? 2.(2015?山西四校联考)已知 sin? +α ?= ,- <α <0,则 cos?α - ?的值是 3? 2 ?2 ? 2 ? ( ) A. 1 2 B. 2 3

1 C.- 2

D. 1

π? 1 1 3 3 ? 解析:选 C 由已知得 cos α = ,sin α =- ,cos?α - ?= cos α + sin α 3? 2 2 2 2 ? 1 =- . 2

?π ? 3.(2015?四川成都五校联考)已知锐角 α 满足 cos 2α =cos? -α ?,则 sin 2α 等 ?4 ?
于( A. ) 1 2 1 B.- 2
60

C.

2 2

D.-

2 2

解析:选 A ∵cos 2α =cos?

?π -α ?4

?, ? ?

π π 2 2 ∴cos α -sin α =cos cos α +sin sin α . 4 4 ∵α 为锐角, ∴cos α -sin α = 2 1 , ∴sin 2α = . 2 2

?π ? tan? +α ?cos 2α ?4 ? 4.化简 的值为( π ? 2? 2cos ? -α ? ?4 ?
A.-2 C.-1

)

B. 2 D. 1

?π ? tan? +α ?cos 2α ?4 ? 解析:选 D 法一: = ? 2?π 2cos ? -α ? ?4 ? ?π cos? -α ?4 ?π sin? -α ?4 ? ? ? ?π ? ?π ?2sin? -α ?cos? -α ?4 ? ?4 ? ? ? ? 2?π 2cos ? -α ? ?4 ?
=1. 1 2? 2 1

? ? ?
=1.

法二:令 α =0,则原式=

5.(2015?兰州检测)在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos B?cos C,且 tan B?tan C =1- 2,则角 A 的值为( A. C. π 4 π 2 ) B. D. π 3 3π 4

解析:选 A

由题意知,sin A=- 2cos B?cos C=sin(B+C)=sin B?cos C+cos

B?sin C,在等式- 2cos B?cos C=sin B?cos C+cos B?sin C 两边同除以 cos B?cos C 得 tan B+tan C=- 2,又 tan(B+C)=
tan B+tan C =-1=-tan A,即 tan A=1, 1-tan Btan C

61

π 所以 A= . 4 1 1 ? π? 6.(2015?广东中山一模)已知 cos α = ,cos(α +β )=- ,且 α ,β ∈?0, ?, 2? 3 3 ? 则 cos(α -β )的值等于( 1 A.- 2 1 C.- 3 ) B. 1 2

23 D. 27

? π? 解析:选 D ∵α ∈?0, ?,∴2α ∈(0,π ). 2? ?
1 7 2 ∵cos α = ,∴cos 2α =2cos α -1=- , 3 9 ∴sin 2α = 1-cos 2α =
2

4 2 , 9

? π? 而 α ,β ∈?0, ?,∴α +β ∈(0,π ), 2? ?
∴sin(α +β )= 1-cos ?α +β ?= ∴cos(α -β )=cos[2α -(α +β )] =cos 2α cos(α +β )+sin 2α sin(α +β ) 1 4 2 2 2 23 ? 7? =?- ??(- )+ ? = . 3 9 3 27 ? 9? 二、填空题 1 1 7.已知 cos(α +β )= ,cos(α -β )= ,则 tan α tan β 的值为________. 6 3 1 解析:因为 cos(α +β )= , 6 1 所以 cos α cos β -sin α sin β = .① 6 1 因为 cos(α -β )= , 3 1 所以 cos α cos β +sin α sin β = .② 3 1 ①+②得 cos α cos β = . 4 1 ②-①得 sin α sin β = . 12
2

2 2 , 3

62

sin α sin β 1 所以 tan α tan β = = . cos α cos β 3 1 答案: 3 sin 50° 8.计算 =________. 1+sin 10° sin 50° 1-cos 100° 解析: = = 1+sin 10° 2?1+sin 10°? 1-cos?90°+10°? 1+sin 10° 1 = = . 2?1+sin 10°? 2?1+sin 10°? 2 1 答案: 2 π? 4 π? ? ? 9.设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?的值为________. 6? 5 12? ? ? π? 4 ? 解析:因为 α 为锐角,cos?α + ?= , 6? 5 ? π? 3 π ? 24 ? ? 所以 sin?α + ?= ,sin 2?α + ?= , 6? 5 6 ? 25 ? ? π? 7 ? cos 2?α + ?= , 6 ? 25 ? π? π? π? ? ? ? 所以 sin?2α + ?=sin?2?α + ?- ? 6? 4? 12? ? ? ? = 24 2 7 2 17 2 ? - ? = . 25 2 25 2 50
2 2

17 2 答案: 50 π? π? 2? 2? 2 10.化简 sin ?α - ?+sin ?α + ?-sin α 的结果是________. 6? 6? ? ? π? π? ? ? 1-cos?2α - ? 1-cos?2α + ? 3? 3? ? ? 2 解析:法一:原式= + -sin α 2 2 π? π ?? 1? ? π ? 2 2 = 1 - ?cos?2α - ?+cos?2α + ?? - sin α = 1 - cos 2α ?cos - sin α = 1 - 3? 3 ?? 2? ? 3 ? cos 2α 1-cos 2α 1 - = . 2 2 2 1 1 1 法二:令 α =0,则原式= + = . 4 4 2 1 答案: 2

63

三、解答题 π? 1 ? π? ? 11.已知 α ∈?0, ?,tan α = ,求 tan 2α 和 sin?2α + ?的值. 2? 3? 2 ? ? 1 2? 2 4 1 2tan α 解:∵tan α = ,∴tan 2α = = = , 2 2 1-tan α 1 3 1- 4 且 sin α 1 = ,即 cos α =2sin α , cos α 2

? π? 2 2 2 又 sin α +cos α =1,∴5sin α =1,而 α ∈?0, ?, 2? ?
∴sin α = 5 2 5 ,cos α = . 5 5 5 2 5 4 ? = , 5 5 5

∴sin 2α =2sin α cos α =2?

4 1 3 2 2 cos 2α =cos α -sin α = - = , 5 5 5 π? π π 4 1 3 3 4+3 3 ? ∴sin?2α + ?=sin 2α cos +cos 2α sin = ? + ? = . 3? 3 3 5 2 5 2 10 ?

x ?π x? 12.已知函数 f(x)=sin sin? + ?. 2 ? 2 2?
(1)求函数 f(x)在[-π ,0]上的单调区间.

? π? ?π ? (2)已知角 α 满足 α ∈?0, ?,2f(2α )+4f? -2α ?=1,求 f(α )的值. 2? ? ?2 ?
x ?π x? 解:f(x)=sin sin? + ? 2 ? 2 2? x x 1 =sin cos = sin x. 2 2 2
π? ? ? π ? (1)函数 f(x)的单调递减区间为?-π ,- ?,单调递增区间为?- ,0?. 2? ? ? 2 ? (2)2f(2α )+4f?

?π -2α ?=1? sin 2α +2sin?π -2α ?=1 ? ?2 ? ?2 ? ? ?
2 2 2

? 2sin α cos α +2(cos α -sin α )=1 ? cos α +2sin α cos α -3sin α =0 ? (cos α +3sin α )(cos α -sin α )=0.
2

? π? ∵α ∈?0, ?, 2? ?
π ∴cos α -sin α =0? tan α =1 得 α = , 4
64

1 π 2 ∴f(α )= sin = . 2 4 4

第六节

简单的三角恒等变换

对应学生用书P54

基础盘查 三角变换公式 (一)循纲忆知 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简 单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). (二)小题查验 1.判断正误 α (1)当 α 是第一象限角时,sin = 2 (2)对任意角 α ,tan
2

1-cos α ( 2 )

)

α 1-cos α = 都成立( 2 1+cos α

(3)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的(
2 2

) )

(4)公式 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ )中 φ 的取值与 a,b 的值无关( 答案:(1)? (2)? (3)√ (4)? 7 α 2.(北师大版教材例题改编)已知 cos α = ,则 tan =________. 25 2 3 答案:± 4 3.(2015?保定模拟)已知 2sin θ +3cos θ =0,则 tan 2θ =( A. C. 5 9 9 5 B. D. 12 5 5 12 )

3 解析:选 B ∵2sin θ +3cos θ =0,∴tan θ =- , 2 2tan θ ∴tan 2θ = = 2 1-tan θ

? 3? 2??- ? ? 2? 12 = . 9 5 1- 4

65

对应学生用书P55

考点一 三角函数式的化简(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] sin 2α -2cos α 1.化简: =________. π? ? sin?α - ? 4? ? 2sin α cos α -2cos α 解析:原式= =2 2cos α . 2 ?sin α -cos α ? 2 答案:2 2cos α 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 2.化简: . π ? ? ? 2?π 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? 1 2 2 -2sin xcos x+ 2 解:原式= ?π ? 2?π ? 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? ?π ? cos? -x? ?4 ? 1 1 2 2 ?1-sin 2x? cos 2x 2 2 1 = = = cos 2x. π π π ? ? ? ? ? ? 2 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ?
2 2

? 1 -tanα ? α 2 ??? 1+tan α ?tan ? 3.化简:? α . ? 2? ?tan ? ? ? 2 ? ?
解:?

? 1 -tanα ? α α 2 ??? 1+tan α ?tan ? ? 2? ?tan ? ? ? 2 ? ?

?cosα2 sinα2 ? ? sin α sinα2 ? - ? =? ? 1+ α α ? ? cos α α ? sin cos cos 2? ? 2? ? 2
α α α 2α -sin cos α cos +sin α sin 2 2 2 2 = ? α α α sin cos cos α cos 2 2 2 cos
2

66



2cos α 2 ? = . sin α α sin α cos α cos 2 [类题通法]

α cos 2

三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”, 这是最重要的一环, 通过看角之间的差别与联系, 把角进行合理的拆分, 从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化 弦”; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要 通分”等.

考点二 三角函数式的求值(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 研究三角函数式的求值,解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系,依据函 数名称的变换特点,选择合适的公式求解. 归纳起来常见的命题角度有: (1)给值求值; (2)给角求值; (3)给值求角.

角度一:给值求值

? π? ?5π ? 3 1.(2014?广东高考)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= . 4 ? ? ? 12 ? 2
(1)求 A 的值; 3 ? π? ? 3π ? (2)若 f(θ )+f(-θ )= ,θ ∈?0, ?,求 f? -θ ?. 2 2 ? ? ? 4 ? 解:(1)由 f?

?5π ?=3,得 Asin2π =3, ? 3 2 ? 12 ? 2

2π 3 又 sin = ,∴A= 3. 3 2

? π? (2)由(1)得 f(x)= 3sin?x+ ?, 4? ?
3 由 f(θ )+f(-θ )= , 2

67

π? π? 3 ? ? 得 3sin?θ + ?+ 3sin?-θ + ?= , 4? 4? 2 ? ? 化简得 cos θ = 6 , 4

? π? ∵θ ∈?0, ?, 2? ?
∴sin θ = 1-cos θ = 故 f?
2

1-?

10 ? 6?2 ?= 4 , 4 ? ?

?3π -θ ?= 3sin?3π -θ +π ?= 3sin θ ? ? 4 4? ? 4 ? ? ?
10 30 = . 4 4

= 3?

角度二:给角求值 3 1 2.(2015?衡水中学二调) - =( cos 10° sin 170° A.4 C.-2 解析:选 D B. 2 D.-4 3 1 3 1 - = - = cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° )

3sin 10°-cos 10° 2sin?10°-30°? -2sin 20° = = =-4. sin 10°cos 10° 1 1 sin 20° sin 20° 2 2 3.化简:sin 50°(1+ 3tan 10°)=________. 解析:sin 50°(1+ 3tan 10°)

? =sin 50°?1+ 3? ?

sin 10°? cos 10°? ?

cos 10°+ 3sin 10° =sin 50°? cos 10° 3 ?1 ? 2? cos 10°+ sin 10°? 2 2 ? ? =sin 50°? cos 10° = 2sin 50°?cos 50° sin 100° cos 10° = = =1. cos 10° cos 10° cos 10°

答案:1 角度三:给值求角 1 1 4.已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- ,求 2α -β 的值. 2 7

68

tan?α -β ?+tan β 解:∵tan α =tan[(α -β )+β ]= 1-tan?α -β ?tan β 1 1 - 2 7 1 π = = >0,∴0<α < . 1 1 3 2 1+ ? 2 7 1 2? 3 2tan α 3 π 又∵tan 2α = = = >0,∴0<2α < , 2 1-tan α 1 4 2 ? ?2 1-? ? ?3? 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β ∴tan(2α -β )= = =1. 1+tan 2α tan β 3 1 1- ? 4 7 1 π ∵tan β =- <0,∴ <β <π ,-π <2α -β <0, 7 2 3π ∴2α -β =- . 4 [类题通法] 三角函数求值有三类 (1)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角 并且消除非特殊角的三角函数而得解. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角. 考点三 三角恒等变换的综合应用(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] 3 ? π? 2 (2014?天津高考)已知函数 f(x)=cos x?sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3? 4 ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
解:(1)由已知,有

f(x)=cos x?? sin x+

?1 ?2

3 3 ? 2 cos x?- 3cos x+ 4 2 ?

69

1 3 3 2 = sin x?cos x- cos x+ 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x 4 4 π? 1 ? = sin?2x- ?. 3? 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π ? 5π π ? ? π π? (2)由 x∈?- , ?得 2x- ∈?- , ?, 6 6? 3 ? ? 4 4? π? ? 1? ? 则 sin?2x- ?∈?-1, ?, 3? ? 2? ? π ? ? 1 1? 1 ? 即函数 f(x)= sin?2x- ?∈?- , ?. 3 ? ? 2 4? 2 ? 1 ? π π? 所以函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 , 4 4 4 ? ? 1 最小值为- . 2 [类题通法] 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数 化为 y=Asin(ω x+φ )的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利 用整体思想解决相关问题. [演练冲关] 1 2 已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)当 α ∈?

?π ,π ?时,若 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?

1 2 解:(1)因为 f(x)=(2cos x-1)sin 2x+ cos 4x 2 1 1 =cos 2xsin 2x+ cos 4x= (sin 4x+cos 4x) 2 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 所以 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2
70

(2)因为 f(α )=

π? 2 ? ,所以 sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

π ?9π 17π ?π ? 因为 α ∈? ,π ?,所以 4α + ∈? , 4 4 ? 4 ?2 ? π 5π 9π 所以 4α + = .故 α = . 4 2 16

?. ? ?

对应B本课时跟踪检测?二十二?

[A 卷——夯基保分] 一、选择题 π? 1 2? 1.(2015?洛阳统考)已知 sin 2α = ,则 cos ?α - ?=( 4? 3 ? 1 A.- 3 C. 1 3 2 B.- 3 D. 2 3 )

π? ? 1+cos?2α - ? 2 ? 1+sin 2α π π? 2 ? ? 2? 2? 解析:选 D ∵cos ?α - ?= = ,∴cos ?α - ?= . 4? 4? 3 2 2 ? ? π? 1 π? ? ? 2.(2015?青岛二模)设 tan?α - ?= ,则 tan?α + ?=( 4? 4 4? ? ? A.-2 C.-4 解析:选 C B. 2 D. 4 π ? tan α -1 1 π? 5 ? ? 因为 tan?α - ?= = ,所以 tan α = ,故 tan?α + ?= 4 ? 1+tan α 4 4? 3 ? ? )

tan α +1 =-4.故选 C. 1-tan α 3. 已知角 α 的顶点与原点 O 重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 若它的终边经过点 P(2,3), π? ? 则 tan?2α + ?=( 4? ? 12 A.- 5 C. 17 7 ) B. 5 12 7 17

D.-

解析:选 D 依题意,角 α 的终边经过点 P(2,3), 3 2tan α 12 则 tan α = ,tan 2α = =- , 2 2 1-tan α 5
71

π ? 1+tan 2α 7 ? 于是 tan?2α + ?= =- . 4 ? 1-tan 2α 17 ? 4.若 α ∈? A. C. 1 18 17 18

?π ,π ?,且 3cos 2α =sin?π -α ?,则 sin 2α 的值为( ? ?4 ? ?2 ? ? ?
B.- 1 18

)

17 D.- 18

?π ? ? ?π ?? 解析:选 D cos 2α =sin? -2α ?=sin?2? -α ?? ?2 ? ? ?4 ??
=2sin?

?π -α ?cos?π -α ? ? ?4 ? ?4 ? ? ?

代入原式,得

?π ? ?π ? ?π ? 6sin? -α ?cos? -α ?=sin? -α ?, 4 4 ? ? ? ? ?4 ?
∵α ∈?

?π ,π ?,∴cos?π -α ?=1, ? ?4 ? 6 ?2 ? ? ? ?π -2α ? ? ?2 ?

∴sin 2α =cos?

17 ? 2?π =2cos ? -α ?-1=- . 18 ?4 ? π 2π ? 23π ?=( 5.cos ?cos ?cos?- 9 ? 9 9 ? ? 1 A.- 8 C. 1 16 ) B.- D. 1 8 1 16

π 2π ? 23π ? 解析:选 A cos ?cos ?cos?- ? 9 ? 9 9 ? =cos 20°?cos 40°?cos 100° =-cos 20°?cos 40°?cos 80° sin 20°?cos 20°?cos 40°?cos 80° =- sin 20° 1 sin 40°?cos 40°?cos 80° 2 =- sin 20° 1 sin 80°?cos 80° 4 =- sin 20°

72

1 1 sin 160° sin 20° 8 8 1 =- =- =- . sin 20° sin 20° 8 6.定义运算? 则 β 等于( A. C. π 12 π 4 ) B. D. π 6 π 3 1 ?sin α ?a b? ?=ad-bc.若 cos α =7,? ?c d? ?cos α sin β ? 3 3 π ?= 14 ,0<β <α < 2 , cos β ?

解析:选 D 依题意有 3 3 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )= , 14 π π 又 0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 13 2 故 cos(α -β )= 1-sin ?α -β ?= , 14 1 4 3 而 cos α = ,∴sin α = , 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = 4 3 13 1 3 3 3 ? - ? = . 7 14 7 14 2

π 故β = . 3 二、填空题 7.(2014?山东高考)函数 y= 解析:y= 答案:π 8.若锐角 α 、β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =________. 解析:由(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4, tan α +tan β 可得 = 3,即 tan(α +β )= 3. 1-tan α tan β π 又 α +β ∈(0,π ),所以 α +β = . 3 3 2 sin 2x+cos x 的最小正周期为________. 2

π? 1 3 1 1 2π ? sin 2x+ cos 2x+ =sin?2x+ ?+ ,所以其最小正周期为 =π . 6? 2 2 2 2 2 ?

73

π 答案: 3

?π ? tan? +α ??cos 2α 4 ? ? 9. 的值为________. π ? 2? 2cos ? -α ? ?4 ? ?π sin? +α ?4 解析:原式= 2?π 2sin ? +α ?4


??cos 2α ? ? ?cos?π +α ? ? ?4 ? ? ? ?

cos 2α π ? ? ?π ? 2sin? +α ?cos? +α ? ?4 ? ?4 ? cos 2α ?π sin 2? +α ?4 cos 2α = ? sin?π +2α ? ?2 ? ? cos 2α =1. ? cos 2α =



? ?

答案:1 3tan 12°-3 10. =________. 2 ?4cos 12°-2?sin 12° sin 12° -3 cos 12° 解析:原式= 2 2?2cos 12°-1?sin 12° 3? 3 ?1 ? 2 3? sin 12°- cos 12°? 2 ?2 ? cos 12° 2 3sin ?-48°? = = 2cos 24°sin 12° 2cos 24°sin 12°cos 12° -2 3sin 48° -2 3sin 48° = = =-4 3. sin 24°cos 24° 1 sin 48° 2 答案:-4 3 三、解答题 11.已知函数 f(x)=cos x+sin xcos x,x∈R.
2

?π ? (1)求 f? ?的值; ?6?
3 ?π ? ?α π ? (2)若 sin α = ,且 α ∈? ,π ?,求 f? + ?. 5 ?2 ? ? 2 24? π π ? 3?2 1 3 3+ 3 ?π ? 2π 解:(1)f? ?=cos +sin cos =? ? + ? = . 6 6 6 ? 2? 2 2 4 ?6? 1+cos 2x 1 2 (2)因为 f(x)=cos x+sin xcos x= + sin 2x 2 2
74

π? 1 1 1 2 ? = + (sin 2x+cos 2x) = + sin?2x+ ?, 4? 2 2 2 2 ? 所以 f?

?α +π ?=1+ 2sin ?α +π +π ? ? ? 12 4 ? ? 2 24? 2 2 ? ?

π? 1 1 2 2 3 ?1 ? ? = + sin ?α + ?= + sin ? sin α + cos α ?. 3 2 2 2 2 ? ? 2 ?2 ? 3 ?π ? 又因为 sin α = ,且 α ∈? ,π ?, 5 ?2 ? 4 所以 cos α =- , 5 所以 f? = 3 4? ?α +π ?=1+ 2?1 3 ? 2 2? ? - ? ? 2 24 ? ? ?2 5 2 5?

10+3 2-4 6 . 20

π? 1 π 4 ? 12.已知,0<α < <β <π ,cos?β - ?= ,sin(α +β )= . 4? 3 2 5 ? (1)求 sin 2β 的值; π? ? (2)求 cos?α + ?的值. 4? ? π? π π ? 解:(1)法一:∵cos?β - ?=cos cos β +sin sin β 4 4 4 ? ? = 2 2 1 cos β + sin β = , 2 2 3 2 2 7 ,∴1+sin 2β = ,∴sin 2β =- . 3 9 9

∴cos β +sin β =

法二:sin 2β =cos?

?π -2β ?=2cos2?β -π ?-1=-7. ? ? 4? 9 ?2 ? ? ?

π (2)∵0<α < <β <π , 2 ∴ π π 3 π 3π <β - < π , <α +β < , 4 4 4 2 2

π? ? ∴sin?β - ?>0,cos(α +β )<0. 4? ? π? 1 4 ? ∵cos?β - ?= ,sin(α +β )= , 4? 3 5 ? π? 2 2 3 ? ∴sin?β - ?= ,cos(α +β )=- . 4? 3 5 ? π? π ?? ? ? ? ∴cos?α + ?=cos??α +β ?-?β - ?? 4? 4 ?? ? ? ?
75

π? π? ? ? =cos(α +β )?cos?β - ?+sin(α +β )sin?β - ? 4? 4? ? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- ? + ? = . 5 3 5 3 15 [B 卷——增分提能] π α 1 2 1.已知 0<α < <β <π ,tan = ,cos(β -α )= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. α 1 解:(1)∵tan = , 2 2 α 1 2tan 2? 2 2 4 ∴tan α = = = , 2α ?1?2 3 1-tan 1-? ? 2 ?2? sin α 4 ? ? = , 由?cos α 3 ? ?sin2α +cos2α =1, 4 4? ? 解得 sin α = ?sin α =- 舍去?. 5 5? ?

(2)由(1)知 cos α = 1-sin α =

2

?4?2 3 1-? ? = , ?5? 5

π 又 0<α < <β <π ,∴β -α ∈(0,π ), 2 而 cos(β -α )= 2 , 10
2

∴sin(β -α )= 1-cos ?β -α ?= 于是 sin β =sin[α +(β -α )] =sin α cos(β -α )+cos α sin(β -α ) 4 2 3 7 2 2 = ? + ? = . 5 10 5 10 2 3π ?π ? 又 β ∈? ,π ?,∴β = . 2 4 ? ?

1-?

? 2? 2 7 2 , ?= ? 10 ? 10

2 . 已 知 向 量 a = (sin ω x , cos ω x) , b = (cos φ , sin φ ) , 函 数 f(x) =

? ? a?b?ω >0, <φ <π ?的最小正周期为 2π ,其图象经过点 M? , 3
π

?

?

?π ?6

3? ?. 2?

(1)求函数 f(x)的解析式; 3 12 ? π? (2)已知 α ,β ∈?0, ?,且 f(α )= ,f(β )= ,求 f(2α -β )的值. 2? 5 13 ?
76

解:(1)依题意有 f(x)=a?b=sin ω xcos φ +cos ω xsin φ =sin(ω x+φ ). ∵函数 f(x)的最小正周期为 2π , 2π ∴2π =T= ,解得 ω =1. ω 将点 M? 得 sin? ∵ ∴ 3? ?π , ?代入函数 f(x)的解析式, ?6 2 ?

?π +φ ?= 3. ? 2 ?6 ?

π π π 7π <φ <π ,∴ < +φ < , 3 2 6 6 π 2π π +φ = ,∴φ = . 6 3 2

? π? 故 f(x)=sin?x+ ?=cos x. 2? ?
3 12 ? π? (2)依题意有 cos α = ,cos β = ,而 α ,β ∈?0, ?, 2? 5 13 ? ∴sin α =

?3?2 4 1-? ? = ,sin β = 5 ?5?

?12?2 5 1-? ? = , ?13? 13

24 ∴sin 2α =2sin α cos α = , 25 9 16 7 2 2 cos 2α =cos α -sin α = - =- , 25 25 25 ∴f(2α -β )=cos(2α -β ) =cos 2α cos β +sin 2α sin β

? 7 ? 12 24 5 36 =?- ?? + ? = . ? 25? 13 25 13 325
3.已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α -tan α 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α ,求函数 g(x)= 3f?

?π -2x?- ? ?2 ?

? 2π ? 2 2f (x)在区间?0, ?上的取值范围. 3 ? ?
解:(1)∵角 α 的终边经过点 P(-3, 3), 1 3 3 ∴sin α = ,cos α =- ,tan α =- . 2 2 3 ∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- 3 3 3 + =- . 2 3 6

(2)∵f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α =cos x,x∈R,
77

π? ?π ? ? 2 ∴g(x)= 3cos? -2x?-2cos x= 3sin 2x-1-cos 2x=2sin?2x- ?-1, 6? ?2 ? ? 2π π π 7π ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 3 6 6 6 π? π? 1 ? ? ∴- ≤sin?2x- ?≤1,∴-2≤2sin?2x- ?-1≤1, 6? 6? 2 ? ?

?π ? ? 2π ? 2 故函数 g(x)= 3f? -2x?-2f (x)在区间?0, ?上的取值范围是[-2,1]. 3 ? ?2 ? ?

第七节

正弦定理和余弦定理

对应学生用书P56

基础盘查一 正弦定理与余弦定理 (一)循纲忆知 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (二)小题查验 1.判断正误 (1)在△ABC 中,若 A>B,则 sin A>sin B(
2 2 2

) )

(2)在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 一定为钝角三角形( (3)在△ABC 中,已知两边和其夹角时,△ABC 不唯一( )

(4)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素( 答案:(1)√ (2)√ (3)? (4)?

)

2. (人教 A 版教材练习改编)在△ABC 中, 已知 A=60°, B=45°, c=20, 则 a=________. 答案:10(3 2- 6) 3.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B 的值为________. 答案: 6 3

基础盘查二 三角形中常用的面积公式 (一)循纲忆知

? 1 ? 会利用三角形的面积公式解决几何计算问题?S= absin C?. 2 ? ?
(二)小题查验 1.判断正误
78

1 (1)公式 S= absin C 适合求任意三角形的面积( 2 (2)三角形中已知三边无法求其面积( )

)

(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( 答案:(1)√ (2)? (3)√

)

3 2.已知△ABC 中,a=2,b=3,cos C= ,则此三角形的面积 S 的值为________. 5 12 答案: 5

对应学生用书P57

考点一 利用正弦、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.正弦定理 = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形: sin A sin B sin C (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 2.余弦定理

a

b

c

a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.变形:cos A= b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab
[典题例析] (2014?辽宁高考)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a>c .已知 BA ? BC 1 =2,cos B= ,b=3,求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 解:(1)由 BA ? BC =2 得 c?acos B=2, 1 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a +c =b +2accos B. 又 b=3,所以 a +c =9+2?2=13. 解?
?ac=6, ? ? ?a +c =13,
2 2 2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

得?

?a=2, ? ? ?c=3

或?

?a=3, ? ? ?c=2. 79

因为 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中, sin B= 1-cos B=
2

?1?2 2 2, 1-? ? = 3 ?3?

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= ? = . b 3 3 9
因 a=b>c,所以 C 是锐角, 因此 cos C= 1-sin C=
2

1-?

?4 2?2 7 ?= . ? 9 ? 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= ? + ? = . 3 9 3 9 27 [类题通法] 正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式, 在运用此定理时, 只要知道其比值或等量关系就可以通过 约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. [演练冲关] 在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足 3a-2bsin A= 0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=5,且 a>c,b= 7,求 AB ? AC 的值. 解:(1)因为 3a-2bsin A=0, 所以 3sin A-2sin Bsin A=0. 因为 sin A≠0,所以 sin B= π 又 B 为锐角,则 B= . 3 π (2)由(1)知 B= ,因为 b= 7, 3 π 2 2 根据余弦定理得 7=a +c -2accos , 3 整理,得(a+c) -3ac=7. 由已知 a+c=5,则 ac=6. 又 a>c,可得 a=3,c=2.
2

??? ?

??? ?

3 . 2

80

于是 cos A=

b2+c2-a2 7+4-9 7 = = , 2bc 14 4 7

所以 AB ? AC =| AB |?| AC |cos A =cbcos A=2? 7? 7 =1. 14

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 三角形中常见的结论 (1)A+B+C=π . (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)三角形内的诱导公式: sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; tan(A+B)=-tan C;sin cos

A+B

=cos ; 2 2

C

A+B
2

=sin . 2

C

(5)在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A?tan B?tan C. (6)在△ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B=60° . (7)△ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列. [一题多变] [典型母题] (2013?陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos

B=asin A,则△ABC 的形状为(
A.锐角三角形 C.锐角三角形

) B.直角三角形 D.不确定

[解析] 依据题设条件的特点,由正弦定理, 得 sin Bcos C+cos Bsin C=sin A,有 sin(B+C)=sin A, 从而 sin(B+C)=sin A=sin A,解得 sin A=1, π ∴A= ,故选 B. 2 [答案] B
2 2 2

[题点发散 1] 本例的条件变为:若 2sin A cos B=sin C,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 B.等腰三角形

)

81

C.等腰直角三角形

D.正三角形

解:选 B 法一:由已知得 2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 即 sin(A-B)=0,因为-π <A-B<π ,所以 A=B,选 B. 法二:由正弦定理得 2acos B=c,再由余弦定理得 2a?

a2+c2-b2 2 2 =c? a =b ? a=b. 2ac
)

[题点发散 2] 本例的条件变为:若 acos A=bcos B,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 解析:选 D 由正弦定理, 得 sin Acos A=sin Bcos B? sin 2A=sin 2B, 因为 2A,2B∈(0,π ),所以 2A=2B 或 2A=π -2B, π 即 A=B 或 A+B= .选 D. 2 B.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

[题点发散 3] 本例的条件变为:若 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.且 sin B +sin C=1,试判断△ABC 的形状. 解:由已知,根据正弦定理得 2a =(2b+c)b+(2c+b)c, 1 3 2 2 2 即 a =b +c +bc,cos A=- ,sin A= , 2 2 则 sin A=sin B+sin C+sin Bsin C. 1 又 sin B+sin C=1,所以 sin B sin C= , 4 1 所以 sin B=sin C= . 2 π π π 因为 0<B< ,0<C< ,故 B=C= , 2 2 6 所以△ABC 是等腰钝角三角形. [类题通法] 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理, 化边为角, 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行 判断. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行 判断. [提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在 变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. 考点三 与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研)
82
2 2 2 2

[必备知识] 三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2 [典题例析] (2014?山东高考)△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知 a=3, cos A= 6 , 3

B=A+ .
(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)在△ABC 中, 由题意知 sin A= 1-cos A= π 又因为 B=A+ , 2 6 ? π? 所以 sin B=sin?A+ ?=cos A= . 2? 3 ? 由正弦定理可得
2

π 2

3 , 3

asin B b= = sin A

3?

6 3 =3 2. 3 3

π 3 ? π? (2)由 B=A+ 得 cos B=cos?A+ ?=-sin A=- . 2? 2 3 ? 由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B). 所以 sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = 3 ? 6 6 3? ??- ?+ ? 3 ? 3? 3 3

1 = . 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absin C= ?3?3 2? = . 2 2 3 2
83

[类题通法] 三角形面积公式的应用原则 1 1 1 (1)对于面积公式 S= absin C= acsin B= bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一 2 2 2 个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [演练冲关] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 解:(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得, sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π -A-C, 所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.

? π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin?A- ?= . 6? 2 ?
π 又 0<A<π ,故 A= . 3 1 (2)△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 而 a =b +c -2bccos A,故 b +c =8. 解得 b=c=2.
2 2 2 2 2

对应A本课时跟踪检测?二十三?

[A 卷——夯基保分] 一、选择题 π 1.(2015?昆明调研)已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A= , 3

b=2acos B,c=1,则△ABC 的面积等于(
A. 3 2

) B. 3 4

84

C.

3 6

D.

3 8

π 解析:选 B 由正弦定理得 sin B=2sin Acos B,故 tan B=2sin A=2sin = 3,又 3

B∈(0,π ),所以 B= ,又 A=B= ,则△ABC 是正三角形,所以 S△ABC= bcsin A=
?1?1? 3 3 = . 2 4

π 3

π 3

1 2

1 2

2.(2015?贵州安顺二模)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则△ABC( )

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 解析:选 C 由正弦定理 = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件 sin A sin B sin C

a

b

c

sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 可设 a=5x,b=11x,c=13x(x>0). ?5x? +?11x? -?13x? -23x 则 cos C= = 2 <0, 2?5x?11x 110x ∴C 为钝角.∴△ABC 为钝角三角形. 3.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( A.有一解 C.无解 解析:选 C 由正弦定理得 B.有两解 D.有解但解的个数不确定 = , sin B sin C )
2 2 2 2

b

c

3 40? 2 bsin C ∴sin B= = = 3>1. c 20 ∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在. 4.(2014?江西高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-
2

b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是(
A.3 C. 3 3 2

π 3

) B. 9 3 2

D. 3 3

85

解析:选 C 由 c =(a-b) +6,可得 a +b -c =2ab-6.① π 2 2 2 由余弦定理及 C= ,可得 a +b -c =ab.② 3 所以由①②得 2ab-6=ab,即 ab=6. 1 π 1 3 3 3 所以 S△ABC= absin = ?6? = . 2 3 2 2 2 5.(2015?辽宁五校联考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c =2a,3sin A=5sin B,则角 C=( A. C. 2π 3 3π 4 ) B. D. π 3 5π 6

2

2

2

2

2

解析:选 A 因为 3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得 3a=5b.因为 b+c=2a,所以

c=2a- a= a.令 a=5,b=3,c=7,则由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 49=25+9
1 2π -2?3?5cos C,解得 cos C=- ,所以 C= . 2 3 6.(2015?东北三校联考)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin A ,则 B=( sin C+sin B A. C. π 6 π 3 ) B. D. π 4 3π 4

3 5

7 5

c-b = c-a

a b c c-b sin A a 解析: 选 C 根据正弦定理: = = =2R, 得 = = , sin A sin B sin C c-a sin C+sin B c+b
即 a +c -b =ac,得 cos B= 二、填空题 π 7.(2014?湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a 6 =1,b= 3,则 B = ________. 解析:由正弦定理 = ,得 sin B= sin A sin B π 2π 所以 B= 或 . 3 3
2 2 2

a2+c2-b2 1 π = ,故 B= ,故选 C. 2ac 2 3

a

b

bsin A 3 ? π 5π ? = ,又 B∈? , ?,且 b>a, 6 ? a 2 ?6

86

π 2π 答案: 或 3 3 8.(2015?苏北四市联考)在△ABC 中,已知 AB=3,A=120°,且△ABC 的面积为 则 BC 边的长为________. 15 3 1 15 3 2 2 2 解析:由 S△ABC= 得 ?3?ACsin 120°= ,所以 AC=5,因此 BC =AB +AC - 4 2 4 1 2AB?AC?cos 120°=9+25+2?3?5? =49,解得 BC=7. 2 答案:7 9.(2015?云南第一次检测)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,若 cos 15 3 , 4

B= ,a=10,△ABC 的面积为 42,则 b+

4 5

的值等于________. sin A

a

3 1 2 2 解析:依题可得 sin B= ,又 S△ABC= acsin B=42,则 c=14.故 b= a +c -2accos B 5 2 =6 2,所以 b+ 答案:16 2 10.(2015?广东重点中学联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A-3cos C 3c-a sin C = ,则 的值为________. cos B b sin A 解析:由正弦定理 = = sin A sin B sin C 得 = cos A-3cos C 3c-a = cos B b 3sin C-sin A , sin B =b+ =16 2. sin A sin B

a

b

a

b

c

即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)?cos B, 化简可得,sin(A+B)=3sin(B+C), 又知 A+B+C=π ,所以 sin C=3sin A, sin C 因此 =3. sin A 答案:3 三、解答题 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知(b-2a)cos C+ccos B=0. (1)求 C; (2)若 c= 7,b=3a,求△ABC 的面积.
87

解:(1)由已知及正弦定理得:(sin B-2sin A)cos C+sin Ccos B=0,sin Bcos C+ cos Bsin C=2sin Acos C, sin(B+C)=2sin Acos C,∴sin A=2sin Acos C. 1 又 sin A≠0,得 cos C= . 2 π 又 C∈(0,π ),∴C= . 3 (2)由余弦定理得:c =a +b -2abcos C,
? ?a +b -ab=7, ∴? ?b=3a, ?
2 2 2 2 2

解得 a=1,b=3. 1 1 3 3 3 故△ABC 的面积 S= absin C= ?1?3? = . 2 2 2 4 3 12.(2015?江西七校联考)已知在△ABC 中,C=2A,cos A= ,且 2BA― →?CB― →= 4 -27. (1)求 cos B 的值; (2)求 AC 的长度. 1 2 解:(1)∵C=2A,∴cos C=cos 2A=2cos A-1= , 8 3 7 7 ∴sin C= ,sin A= . 8 4 9 ∴cos B=-cos(A+C)=sin A?sin C-cos A?cos C= . 16

AB BC 3 (2)∵ = ,∴AB= BC. sin C sin A 2

? ??? ? ??? 9 ∵2 BA ? CB =-27,cos B= , 16
∴| BA || CB |=24, ∴BC=4,AB=6, ∴AC= BC +AB -2BC?AB?cos B = 9 16+36-2?4?6? =5. 16 [B 卷——增分提能] 1.(2014?陕西高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);
2 2

??? ?

??? ?

88

(2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 解:(1)证明:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac. 由余弦定理得 cos B=
2

a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2

当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cos B 的最小值为 . 2 2.(2015?洛阳统考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,cos 2C+2 2cos

C+2=0.
(1)求角 C 的大小; (2)若 b= 2a,△ABC 的面积为 2 sin Asin B,求 sin A 及 c 的值. 2

解:(1)∵cos 2C+2 2cos C+2=0, ∴2cos C+2 2cos C+1=0, 即( 2cos C+1) =0,∴cos C=- 3π 又 C∈(0,π ),∴C= . 4 (2)∵c =a +b -2abcos C=3a +2a =5a , ∴c= 5a,即 sin C= 5sin A,∴sin A= 1 5 sin C= 10 . 10
2 2 2 2 2 2 2 2

2 . 2

1 2 ∵S△ABC= absin C,且 S△ABC= sin Asin B, 2 2 1 2 ∴ absin C= sin Asin B, 2 2 ∴

ab ? c sin C= 2,由正弦定理得:? sin Asin B ?sin

C? ?

?2sin C= 2,

解得 c=1. 3.(2015?湖北部分重点中学联考)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对边的 π 边长,且 C= ,a+b=λ c(其中 λ >1). 3
89

(1)若 λ = 3时,证明:△ABC 为直角三角形;

??? ? ??? ? 9 2 (2)若 AC ? BC = λ ,且 c=3,求 λ 的值. 8
解:(1)证明:∵λ = 3,∴a+b= 3c, 由正弦定理得 sin A+sin B= 3sin C, π ? 2π ? 3 ∵C= ,∴sin B+sin? -B?= , 3 ? 3 ? 2 sin B+ 3 1 3 cos B+ sin B= , 2 2 2

3 3 3 ∴ sin B+ cos B= , 2 2 2 3 ? π? 则 sin?B+ ?= , 6? 2 ? π π π 2π π π 从而 B+ = 或 B+ = ,B= 或 B= . 6 3 6 3 6 2 π π 若 B= ,则 A= ,△ABC 为直角三角形; 6 2 π 若 B= ,△ABC 亦为直角三角形. 2

??? ? ??? ? 9 2 1 9 2 9 2 (2)若 AC ? BC = λ ,则 a?b= λ ,∴ab= λ . 8 2 8 4
又 a+b=3λ ,由余弦定理知 a +b -c =2abcos C, 即 a +b -ab=c =9,即(a+b) -3ab=9, 27 2 9 2 2 2 故 9λ - λ =9, λ =9,λ =4,即 λ =2. 4 4
2 2 2 2 2 2 2

第八节

正弦定理和余弦定理的应用

对应学生用书P58

基础盘查 实际应用中的常用术语(仰角与俯角、方位角、方向角) (一)循纲忆知 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. (二)小题查验
90

1.判断正误

? π? (1)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为?0, ?( 2? ?

) )

(2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系( (3)方位角大小的范围是[0,2π ),方向角大小的范围一般是

?0,π ?( ? 2? ? ?

)

答案:(1)? (2)√ (3)√ 2.(北师大版教材习题改编)海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB=10 n mile,从 A 望 C 和

B 成 60°视角,从 B 望 C 和 A 成 75°视角,则 BC=(
A.10 3 n mile C.5 2 n mile 答案:D B.

)

10 6 n mile 3

D.5 6 n mile

3. (2015?北京朝阳区模拟)如图, 在水平地面上有两座直立的 相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1.已知从塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰角 是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角的 2 倍, 从两塔底部连线中心

C 分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部
的仰角的正切值为________;塔 BB1 的高为________ m. 解析:设从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角为 α , 则 AA1=60tan α ,BB1=60tan 2α , ∵从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角, ∴△A1AC∽△CBB1, ∴

AA1
30



30

BB1



∴AA1?BB1=900, ∴3 600tan α tan 2α =900, 1 3 ∴tan α = ,tan 2α = ,BB1=60tan 2α =45. 3 4 1 答案: 45 3

对应学生用书P59

91

考点一 测量高度问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在 水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如 图). [典题例析] (2014?新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测 点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C 点 测得∠MCA=60°,已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m.

解析:在 Rt△ABC 中,AC=100 2 m,在△MAC 中,由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° 解得 MA=100 3 m,在 Rt△MNA 中,MN=MA?sin 60°=150 m. 即山高 MN 为 150 m. 答案:150 [类题通法] 求解高度问题应注意 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与 水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的 运用. [演练冲关] 要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角 是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,求电视塔的高度. 解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°得

MA

AC

BC=x.
在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°, 则 BD= 3x.

92

在△BDC 中,由余弦定理得,

BD2=BC2+CD2-2BC?CD?cos 120°,
即( 3x) =x +40 -2?x?40?cos 120°, 解得 x=40,所以电视塔高为 40 米. 考点二 测量距离问题(常考常新型考点——多角探明) [多角探明] 研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问 题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解. 归纳起来常见的命题角度有: (1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达. 角度一:两点都不可到达 1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB 的距离,测量者可以在河岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α ,∠ACD=β ,∠CDB=γ ,∠BDA=δ .在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 若测得 CD= 间的距离. 解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°, ∴∠DAC=60°, ∴AC=DC= 3 km. 2 3 km,∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求 A,B 两点 2
2 2 2

在△BCD 中,∠DBC=45°, 由正弦定理,得 BC= ?sin∠BDC= sin∠DBC 3 2 6 ?sin 30°= . sin 45° 4 在△ABC 中,由余弦定理,得

DC

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcos 45°
3 3 3 6 2 3 = + -2? ? ? = . 4 8 2 4 2 8

93

∴AB=

6 (km). 4 6 km. 4

∴A,B 两点间的距离为

角度二:两点不相通的距离 2.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选 定适当的位置 C,用经纬仪测出角 α ,再分别测出 AC,BC 的长 b,a, 则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a +b -2abcos α . 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算 AB 的长. 解:在△ABC 中,由余弦定理得
2 2

AB2=AC2+BC2-2AC?BCcos ∠ACB,
∴AB =400 +600 -2?400?600cos 60°=280 000. ∴AB=200 7 m. 7 m.
2 2 2

即 A,B 两点间的距离为 200

角度三:两点间可视但有一点不可到达 3.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且

B 点不可到达, 要测出 AB 的距离, 其方法在 A 所在的岸边选定一点 C,
可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α ,∠CAB=β ,在 △ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A,B 两点间的距离为________m. 解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°, 所以由正弦定理得, ∴AB= = , sin C sin B

AB

AC

AC?sin C 60?sin 45° = =20 6(m). sin B sin 60°

即 A,B 两点间的距离为 20 6 m. 答案:20 6 [类题通法] 求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有 未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.

94

考点三 测量角度问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的 方位角为 α (如图).

2.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)??度. [典题例析]

在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45°方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75°方向前进,若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45°+α 方向拦截蓝方的小艇.若要 在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦 值. 解:如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x) =12 +(10x) -240xcos 120°, 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. 根据正弦定理得 = , sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得 sin α = = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 [类题通法]
2 2 2

BC

AC

95

解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一 步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用. [演练冲关]

如图, 位于 A 处的信息中心获悉: 在其正东方向相距 40 海里的

B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知
在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值. 解:在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定 理得,BC =AB +AC -2AB?AC?cos 120°=2 800? BC=20 7.
2 2 2

AB BC AB 21 由正弦定理,得 = ? sin∠ACB= ?sin∠BAC= . sin∠ACB sin∠BAC BC 7
2 7 由∠BAC =120°,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= . 7 由 θ =∠ACB+30°, 得 cos θ =cos(∠ACB+30°)=cos ∠ACB cos 30°-sin∠ACBsin 30°= 21 . 14

对应B本课时跟踪检测?二十四?

一、选择题 1.如图,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观 察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) A.北偏东 10° C.南偏东 80° B.北偏西 10° D.南偏西 80°

解析:选 D 由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°, 所以∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处

96

观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里

)

解析:选 A 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB =30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 解得 BC=10 2(海里). 3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船 从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min,则 客船在静水中的速度为( A.8 km/h C.2 34 km/h ) B.6 2 km/h D.10 km/h

BC

AB

解析:选 B 设 AB 与河岸线所成的角为 θ ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知, 0.6 3 4 1 4 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2 sin θ = = , 从而 cos θ = , 所以由余弦定理得? v? =? ?2? +1 -2? ?2?1? , 1 5 5 10 5 ?10 ? ?10 ? 解得 v=6 2.选 B. 4. (2014?四川高考)如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°, 30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m

B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m tan 60°-tan 45° =2- 3,∴BC= 1+tan 60°tan 45°

解析:选 C ∵tan 15°=tan(60°-45°)=

60tan 60°-60tan 15°=120( 3-1)(m),故选 C. 5.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°, 沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达 点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB=
97

100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h) =h +100 -2?h?100?cos 60°,即 h +50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 6.(2015?厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其 中 a 为最大边,如果 sin (B+C)<sin B+sin C,则角 A 的取值范围为(
2 2 2

2

2

2

2

)

? π? A.?0, ? 2? ?
C.?

?π π ? B.? , ? ?4 2? ?π π ? D.? , ? ?3 2?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

?π ,π ? ? ?6 3?

解析:选 D 由题意得 sin A<sin B+sin C, 再由正弦定理得 a <b +c ,即 b +c -a >0.

b2+c2-a2 则 cos A= >0, 2bc
π ∵0<A<π ,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3 因此得角 A 的取值范围是? 二、填空题 7.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 ________m. 解析:如图,OM=AOtan 45°=30(m),

?π ,π ?. ? ?3 2?

ON=AOtan 30°=

3 ?30=10 3(m), 3

在△MON 中,由余弦定理得,

MN=

900+300-2?30?10 3?

3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 8.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在 点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点

B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75°方向上, 则点 B 与电视塔
的距离是________km. 15 解析:如题图,由题意知 AB=24? =6,在△ABS 中,∠BAS 60
98

=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°,由正弦定理知

= sin 30°

BS

AB AB?sin 30° ,∴BS= =3 2. sin 45° sin 45°
答案:3 2 9.如图,一栋建筑物的高为(30-10 3)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在 它们之间的地面点 M(B,M,D 三点共线)处测得楼顶 A,塔顶 C 的仰角分别为 15°和 60°, 在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°,则通信塔 CD 的高为________ m.

解 析 : 如 图 , 在 Rt △ ABM 中 , AM = 30-10 3 30-10 3 = =20 6 m. sin?45°-30°? 6- 2 4

AB
sin∠AMB



30-10 3 = sin 15°

又易知∠MAN=∠AMB=15°, 所以∠MAC=30°+15°=45°, 又∠AMC=180°-15°- 60°=105°,从而∠ACM=30°.在△AMC 中,由正弦定理得

MC 20 6 = ,解得 MC sin 45° sin 30°

=40 3.在 Rt△CMD 中,CD=40 3?sin 60°=60 m,故通信塔 CD 的高为 60 m. 答案:60 10.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°,经过 420 s 后看山顶的俯角为 45°,则山顶的海拔高度为________m.(取 2=1.4, 3=1.7)

解析: 如图, 作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D, 由题意知∠A=15°, ∠DBC=45°,∴∠ACB=30°,AB=50?420=21 000(m). 又在△ABC 中, = , sin A sin∠ACB

BC

AB

99

21 000 ∴BC= ?sin 15°=10 500( 6- 2). 1 2 ∵CD⊥AD,∴CD=BC?sin∠DBC=10 500( 6- 2)? 故山顶的海拔高度 h=10 000-7 350=2 650(m). 答案:2 650 三、解答题 11.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该 渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向, 以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰 艇的航向和靠近渔轮所需的时间. 解析:如图所示,根据题意可知 AC=10,∠ACB=120°,设舰艇 靠近渔轮所需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC = 9t ,在△ ABC 中,根据余弦定理得 AB = AC + BC - 2AC?BC?cos 1 2 2 2 2 2 120°,所以 21 t =10 +81t +2?10?9t? ,即 360t -90t-100 2 2 5 2 =0,解得 t= 或 t=- (舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h. 3 12 3 此时 AB=14,BC=6. 在△ABC 中,根据正弦定理,得 = , sin∠CAB sin 120° 3 6? 2 3 3 所以 sin∠CAB= = , 14 14 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去), 即舰艇航行的方位角为 45°+21.8°=66.8°. 2 所以舰艇以 66.8°的方位角航行,需 h 才能靠近渔轮. 3 12.(2013?江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山 至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿 索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步 行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量, 12 3 cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长;
100
2 2 2

2 =10 500( 3-1)=7 350. 2

BC

AB

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围 内? 12 3 解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,所以 13 5 5 4 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 =sin Acos C+cos Asin C= ? + ? = . 13 5 13 5 65 由正弦定理 = , sin C sin B

AB

AC

AC 1 260 4 得 AB= ?sin C= ? =1 040(m). sin B 63 5 65
所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距 离 A 处 130t m,所以由余弦定理得

d2=(100+50t)2+(130t)2-2?130t?(100+50t)?
=200(37t -70t+50), 1 040 因 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 (3)由正弦定理 = , sin A sin B
2

12 13

BC

AC

AC 1 260 5 得 BC= ?sin A= ? =500(m). sin B 63 13 65
乙从 B 出发时,甲已走了 50?(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min, 500 710 1 250 625 由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min ,乙步行的速度应控制在

?1 250,625?(单位:m/min)范围内. ? 43 14 ? ? ?

101

见课时跟踪检测B本

命题点一 简单的三角恒等变换命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中、低题型:选择题、填空题、解答题

1.(2013?重庆高考)4cos 50°-tan 40°=( A. 2 C. 3 B.

)

2+ 3 2

D.2 2-1

sin 40° 解析:选 C 4cos 50°-tan 40°=4cos 50°- cos 40° = 4sin 40°?cos 40° sin 40° 2sin 80°-sin 40° - = cos 40° cos 40° cos 40°

3 3 cos 10°- sin 10° 2 2 2cos 10°-sin?30°+10°? = = cos 40° cos 40° = 3?cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°? 3cos 40° = = 3. cos 40° cos 40°

1+sin β ? π? ? π? 2.(2014?新课标全国卷Ⅰ)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则 2? 2? cos β ? ? ( ) π A.3α -β = 2 π C.3α +β = 2 解析: 选B π B.2α -β = 2 π D.2α +β = 2

sin α 1+sin β 由条件得 = , 即 sin α cos β =cos α (1+sin β ), sin(α cos α cos β

-β )=cos α =sin?

?π -α ?,因为-π <α -β <π ,0<π -α <π ,所以 α -β =π -α , ? 2 2 2 2 2 ?2 ?

π 所以 2α -β = ,故选 B. 2 π? 1 ? 3. (2013?新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角, 若 tan?θ + ?= , 则 sin θ +cos θ 4? 2 ? =________. π? 1 π? 5 ? ? 解析:法一:由 θ 在第二象限,且 tan?θ + ?= ,因而 sin?θ + ?=- ,因而 4 4 5 ? ? 2 ? ?

102

π? 10 ? sin θ +cos θ = 2sin?θ + ?=- . 4? 5 ? π? 1 tan θ +1 1 ? 法二: 如果将 tan?θ + ?= 利用两角和的正切公式展开, 则 = , 求得 tan θ 4? 2 1-tan θ 2 ? 1 1 3 =- .又因为 θ 在第二象限,则 sin θ = ,cos θ =- ,从而 sin θ +cos θ = 3 10 10 - 2 10 =- . 5 10 答案:- 10 5

4.(2014?江西高考)已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ ),其中 a∈R,θ ∈

?-π ,π ?. ? 2 2? ? ?
π (1)当 a= 2,θ = 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4

?π ? (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2?
π 2 ? π? ? π? 解:(1)当 a= 2,θ = 时,f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ?= (sin x+cos x) 4? 2? 2 4 ? ? - 2sin x= 2 2 cos x- sin x=sin 2 2

?π -x?, ?4 ? ? ?

π ? 3π π ? 因为 x∈[0,π ],从而 -x∈?- , ?, 4? 4 ? 4 故 f(x)在[0,π ]上的最大值为 π? ? ?f? ? 2 ?=0, (2)由? ? ? ? ?f?π ?=1 2 ,最小值为-1. 2

?cos θ ?1-2asin θ ?=0, ? 得? 2 ? ?2asin θ -sin θ -a=1.

? π π? 又 θ ∈?- , ?知 cos θ ≠0, ? 2 2?
a=-1, ? ? 解得? π θ =- . ? 6 ?
命题点二 解三角形 难度:高、中、低 命题指数:☆☆☆☆☆ 题型:选择题、填空题、解答题

103

π 1.(2013?天津高考)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC=( 4 A. C. 10 10 3 10 10
2

)

B. D.

10 5 5 5 2 =5, 所以 AC= 5.再由正弦定 2

解析: 选 C 由余弦定理可得 AC =9+2-2?3? 2?

2 3? 2 AC BC BC?sin B 3 10 理得 = ,所以 sin A= = = . sin B sin A AC 10 5 2.(2014?江西高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b, 则 2sin B-sin A 的值为( 2 sin A 1 A.- 9 C.1 解析:选 D 由正弦定理可得
2 2

) B. D. 1 3 7 2

2 2 2sin B-sin A ?sin =2? 2 sin A ?sin

B?2 ?b?2 -1=2? ? -1,因为 3a=2b,所 ? A? ?a?

2 2 b 3 2sin B-sin A 7 ?3?2 以 = ,所以 =2?? ? -1= . 2 a 2 sin A 2 ?2?

3.(2014?广东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C +ccos B=2b,则 =________. 解析:由已知及余弦定理得 b? 答案:2 1 4.(2014?天津高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= 4

a b

a2+b2-c2 a2+c2-b2 a +c? =2b,化简得 a=2b,则 =2. 2ab 2ac b

a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为________.
解析:由已知及正弦定理,得 2b=3c, 1 因为 b-c= a,不妨设 b=3,c=2,所以 a=4, 4 所以 cos A= 1 答案:- 4

b2+c2-a2 1 =- . 2bc 4

104

5.(2014?江苏高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c =1,A=2B. (1)求 a 的值;

? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?
解:(1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得 a=2b?
2

a2+c2-b2 . 2ac

因为 b=3,c=1,所以 a =12,a=2 3. (2)由余弦定理得

b2+c2-a2 9+1-12 1 cos A= = =- . 2bc 6 3
由于 0<A<π , 所以 sin A= 1-cos A=
2

1 2 2 1- = . 9 3

π π ? π? 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin 4 4 4 ? ? = 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 ? +? - ? ? = . 3 2 ? 3? 2 6
2

6. (2014?浙江高考)在△ABC 中, 内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin +4sin Asin B=2+ 2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 解:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2, 化简得-2cos Acos B+2sin Asin B= 2, 故 cos(A+B)=- 2 . 2

A-B
2

3π π 所以 A+B= ,从而 C= . 4 4 1 (2)因为 S△ABC= absin C, 2 π 由 S△ABC=6,b=4,C= ,得 a=3 2. 4 由余弦定理 c =a +b -2abcos C,得 c= 10.
2 2 2

105

7.(2014?北京高考)如图,在△ABC 中,∠B= 1 在 BC 边上,且 CD=2,cos∠ADC= . 7 (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 解:(1)在△ADC 中,因为 1 4 3 cos∠ADC= ,所以 sin∠ADC= . 7 7 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B = 4 3 1 1 3 3 3 ? - ? = . 7 2 7 2 14

π ,AB=8,点 D 3

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 3 3 8? 14 AB?sin∠BAD BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC 中,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos∠B
1 2 2 =8 +5 -2?8?5? =49. 2 所以 AC=7. 命题点三 三角函数与解三角形的综合问题 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:高、中 题型:解答题

1.(2013?四川高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos

2

A-B
2

cos

B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- .
(1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 解:(1)由 2cos
2

3 5

??? ?

??? ?

A-B

3 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- , 2 5

3 得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-B)sin B-cos B=- , 5

106

3 即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- . 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 3 4 (2)由 cos A=- ,0<A<π ,得 sin A= , 5 5 由正弦定理,有 = ,所以 sin B= sin A sin B π 由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 4

a

b

bsin A 2 = . a 2

? 3? 2 2 2 根据余弦定理,有(4 2) =5 +c -2?5c??- ?, ? 5?
解得 c=1 或 c=-7(舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cos B=

??? ?

??? ?

??? ?

2 . 2

2.(2014?天津高考)在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a-c = 6 b.sin B= 6sin C. 6 (1)求 cos A 的值; π? ? (2)求 cos?2A- ?的值. 6? ? 解:(1)在△ABC 中,由 = ,及 sin B= 6sin C,可得 b= 6c.又由 a-c= sin B sin C 6 b,有 a=2c. 6 所以 cos A=

b

c

b2+c2-a2 6c2+c2-4c2 6 = = . 2 2bc 4 2 6c
6 10 ,可得 sin A= . 4 4

(2)在△ABC 中,由 cos A=

1 2 于是,cos 2A=2cos A-1=- , 4 sin 2A=2sin A?cos A= 15 . 4

π? π π 15- 3 ? 所以 cos?2A- ?=cos 2A?cos +sin 2A?sin = . 6 6 6 8 ? ?

“三角函数、解三角形”类题目的审题技巧与解题
107

规范 [对应学生用书 P61]

[技法概述] 数学问题中的条件和结论,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题 的数式结构中,往往都隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构进行深 入分析,加工转化,可以寻找到突破问题的方案.

[适用题型] 高考中有以下几类解答题常用到此种审题方法: 1.三角形一些量的求解及三角形形状的判定; 2.函数与导数中的不等式问题常利用变换数式问题形式; 3.数列中的求值或一些性质应用.

[典例] (2013?新课标全国卷Ⅱ)(本题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c,已知 a=bcos C+csin B.
(1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

[解题流程]
第一步 根据正弦定理 把边化为角

[失分警示]

? 解:?1?由已知及正弦定理得 ??sin A=sin Bcos C+sin Csin B. ①??2分? ?又A=π -?B+C?,
?
易忽略说明 B , C 的范围,导致扣分. 108

第二步 三角恒等变换

故sin A=sin?B+C?=sin Bcos C+cos Bsin C. ②??4分? ? ? ?由①②和C∈?0,π ?得sin B=cos B.
第三步 求角

??

? ?

π 又B∈?0,π ?,所以B= .??6分? 4

第四步 利用余弦定理 列等式

2 ? ?2?△ABC的面积S=1 acsin B= ac.??7分? 2 4 ? ? ?由已知及余弦定理得4=a +c -2accosπ . ? 4
2 2

第五步 均值不等式求 最值

4 2 2 ? 又a +c ≥2ac,故ac≤ ,当且 2- 2 ?? ? ?仅当a=c时,等号成立.??11分?

利用基本不等式求出 a,c 的范围,而不说 明取等号的条件.

第六步 写出结论

?[

因此△ABC面积的最大值为 2+1.??12分?

? π? 1.(2015?开封一摸)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+ ?-1. 6? ?
(1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最值. ? 6 4? ? π? 解:(1)f(x)=4cos xsin?x+ ?-1 6? ?
=4cos x? 1 ? 3 ? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ?

109

= 3sin 2x+2cos x-1 π? ? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+ ?, 6? ? 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π (2)∵- ≤x≤ , 6 4 π π 2π ∴- ≤2x+ ≤ , 6 6 3 π π π ?π ? 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)max=f? ?=2, 6 2 6 ?6? π π π ? π? 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)min=f?- ?=-1. 6 6 6 ? 6? 2 5 1 2.(2015?新乡调研)在△ABC 中,cos A= ,tan B= . 5 3 (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆半径为 1,求△ABC 的面积. 2 5 5 解:(1)∵cos A= ,0<A<π ,∴sin A= , 5 5 1 π ∵tan B= ,∴0<B< , 3 2 由 sin B 1 2 2 = 且 sin B+cos B=1, cos B 3

2

3 10 10 ∴cos B= ,sin B= . 10 10 cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B) =sin Asin B-cos Acos B = 5 10 2 5 3 10 ? - ? 5 10 5 10 50 2 =- . 10 2

=- ∵

π 3π <C<π ,∴C= . 2 4

(2)根据正弦定理 = =2R(R 为外接圆半径), sin A sin B 2 5 10 得 a=2Rsin A= ,b=2Rsin B= . 5 5 由面积公式得
110

a

b

S△ABC= absin C= ?

1 2

1 2 5 10 2 1 ? ? = . 2 5 5 2 5 3 1 2 sin 2x-cos x- . 2 2

3.(2015?大庆二检)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的单调递增区间;

(2)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 c= 3,f(C)=0,若 sin B=2sin

A,求 a,b 的值.
解:(1)f(x)= = 3 1 2 sin 2x-cos x- 2 2

3 1+cos 2x 1 sin 2x- - 2 2 2 3 1 sin 2x- cos 2x-1 2 2



π? ? =sin?2x- ?-1. 6? ? π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 6 3 π ? π ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?(k∈Z). 3 ? 6 ? π? ? (2)由 f(C)=0,得 sin?2C- ?=1, 6? ? π π 11π ∵0<C<π ,∴- <2C- < , 6 6 6 π π π ∴2C- = ,C= , 6 2 3 又 sin B=2sin A,由正弦定理,得 =2.① π 2 2 2 由余弦定理,得 c =a +b -2abcos , 3 即 a +b -ab=3,② 由①②解得 a=1,b=2.
2 2

b a

111


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