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2016版高考数学二轮:1.1《集合与常用逻辑用语》试题(含答案)

时间:2016-02-25


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第 1 讲 集合与常用逻辑用语

1.(2015·陕西)设集合 M={x|x =x},N={x|lg x≤0},则 M∪N 等于( A.[0,1] C.[0,1) B.(0,1] D.(-∞,1] )

2

)

2.(20

15·天津)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件
*

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
*

3.(2015·浙江)命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是( A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0
* * * * * * * *

)

4.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n},令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件

x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正确
的是( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

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1.集合是高考必考知识点,经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算, 近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定,考查充要条件的判断.

热点一 集合的关系及运算 1.集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A? B,A∪B=A?B? A. 2.集合运算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; (2)若已知的集合是点集,用数形结合法求解; (3)若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解. 例 1 (1)(2015·成都七中测试)已知集合 A={x|f(x)=lg(x -2x)},B={x|- 5<x< 5}, 则( ) B.A∪B=R D.A? B
2

A.A∩B=? C.B? A

(2)(2015·广雅中学一模)对于非空集合 A,B,定义运算:A ? B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B}, 已知 M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M ? N 等于( ) B.(c,a]∪[b,d) D.(c,a)∪(d,b)

A.(a,d)∪(b,c) C.(a,c]∪[d,b)

思维升华 (1)集合的关系及运算问题,要先对集合进行化简,然后可借助 Venn 图或数轴求 解. (2)对集合的新定义问题, 要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征, 将问题转化为熟 悉的知识进行求解,也可利用特殊值法进行验证. 跟踪演练 1 (1)设集合 A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足 M? (A∩B)的
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集合 M 的个数是(

)

A.0 B.1 C.2 D.3 3 1 (2)设集合 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n- ≤x≤n},且 M,N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 4 3 如果把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”, 那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. 1 2 B. 3 3 1 C. 12 D. 5 12 )

热点二 四种命题与充要条件 1.四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假. 2.若 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件. 例 2 (1)(2014·江西)下列叙述中正确的是(
2

)
2

A.若 a,b,c∈R,则“ax +bx+c≥0”的充分条件是“b -4ac≤0” B.若 a,b,c∈R,则“ab >cb ”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意 x∈R,有 x ≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x ≥0” D.l 是一条直线,α ,β 是两个不同的平面,若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β (2)(2015·嘉兴一中期中)已知 p:m-1<x<m+1,q:(x-2)(x-6)<0,且 q 是 p 的必要不充 分条件,则 m 的取值范围是( A.3<m<5 C.m>5 或 m<3 ) B.3≤m≤5 D.m≥5 或 m≤3
2 2 2 2

思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法:正、反方向推理,若 p? q,则 p 是 q 的充分条件(或 q 是 p 的必要条件);若 p ? q,且 q?p,则 p 是 q 的充分不必要条件(或 q 是 p 的必要不充分条件). (2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,若 A? B,则 A 是 B 的充分条件(B 是 A 的必要条 件);若 A=B,则 A 是 B 的充要条件. (3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题. 跟踪演练 2 (1)(2015·安徽屯溪第一中学期中)下列五个命题: ①log2x =2log2x; ②A∪B=A 的充要条件是 B? A; ③若 y=ksin x+1,x∈R,则 y 的最小值为-k+1;
??3a-1?x+4a ?x<1?, ? ④若函数 f(x)=? ? ?logax ?x≥1?
2

对任意的 x1≠x2 都有

f?x2?-f?x1? <0, x2-x1

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1 1 则实数 a 的取值范围是( , ). 7 3 其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号) (2)已知“x>k”是“ A.[2,+∞) C.(2,+∞) 热点三 逻辑联结词、量词 1.命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 3 <1”的充分不必要条件,则 k 的取值范围是( x+1 B.[1,+∞) D.(-∞,-1] )

p 为真假对立的命题.
2.命题 p∨q 的否定是(綈 p)∧(綈 q);命题 p∧q 的否定是(綈 p)∨(綈 q). 3. “? x∈M, p(x)”的否定为“? x0∈M, 綈 p(x0)”; “? x0∈M, p(x0)”的否定为“? x∈M, 綈 p(x)”. 例 3 (1)已知命题 p:在△ABC 中,“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件;命题 q: “a>b”是“ac >bc ”的充分不必要条件,则下列选项中正确的是( A.p 真 q 假 C.“p∧q”为假
2 2 2

)

B.p 假 q 真 D.“p∧q”为真
2

(2)已知命题 p:“? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“? x0∈R,x0+2ax0+2-a=0”.若 命题“(綈 p)∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.a≤-2 或 a=1 C.a>1 B.a≤2 或 1≤a≤2 D.-2≤a≤1 )

思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念: 命题的否定只否定命题的结论, 真假 与原命题相对立; (2)判断命题的真假要先明确命题的构成. 由命题的真假求某个参数的取值 范围,还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算. 跟踪演练 3 (1)已知直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0,给出命题 p:l1∥l2 3 的充要条件是 a=-3 或 a=2;命题 q:l1⊥l2 的充要条件是 a=- .对于以上两个命题,下 5 列结论中正确的是( A.“p∧q”为真 C.“p∨(綈 q)”为假
x

) B.“p∨q”为假 D.“p∧(綈 q)”为真
2

(2)已知命题 p:? x0∈R, e 0 -mx0=0,q:? x∈R,x +mx+1≥0,若 p∨(綈 q)为假命题, 则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(2,+∞) ) B.[0,2]

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C.R

D.?

1.已知集合 E={1,2,3,4,5},集合 F={x|x(4-x)<0},则 E∩(?RF)等于( A.{1,2,3} C.{1,2,3,4} B.{4,5} D.{1,4}

)

2.已知集合 A={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+

y1y2=0 成立,则称集合 M 是“Ω 集合”.给出下列 4 个集合:
1 ①M={(x,y)|y= };

x

②M={(x,y)|y=e -2}; ③M={(x,y)|y=cos x}; ④M={(x,y)|y=ln x}. 其中所有“Ω 集合”的序号是( A.②③ )

x

B.③④ C.①②④ D.①③④ )

3.设 φ ∈R,则“φ =0”是“f(x)=cos(x+φ )(x∈R)为偶函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列命题是假命题的是________.(填序号)

①命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题是“若 x -3x+2=0,则 x=1”; π 2 ②若 0<x< ,且 xsin x<1,则 xsin x<1; 2 ③对于命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0,则綈 p:? x∈R,均有 x +x+1≥0; ④“x>2”是“ 3
2 2

2

2

x+1

-1≤0”的充要条件;

⑤若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题.

提醒:完成作业 专题一 第 1 讲
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专题一 第1讲 集合与常用逻辑用语

A组
2

专题通关 )

1.已知集合 M={1,a },P={-a,-1},若 M∩P 中有一个元素,则 M∪P 等于( A.{0,1} C.{-1,0,1}
2

B.{0,-1} D.{-1,1} )

2.已知集合 A={x|x -x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B 等于( A.{-1,0,1,2} C.{0,1} B.{-2,-1,0,1} D.{-1,0}

3.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={5,6,7},C={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈B},则 C 中所 含元素的个数为( )

A.5 B.6 C.12 D.13 1-x 4. (2015·河南省名校期中)已知集合 M={x|y=lg }, N={y|y=x2+2x+3}, 则(?RM)∩N

x

等于(

) B.{x|x>1} D.{x|1<x<2} )

A.{x|0<x<1} C.{x|x≥2}

5.(2015·重庆)“x>1”是“log 1 (x+2)<0”的(
2

A.充要条件 C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

π 6.设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为 ;命题 q:函数 y=cos x 的图象关于直线 x 2 π = 对称.则下列判断正确的是( 2 A.p 为真 C.p∧q 为假 ) B.綈 q 为假 D.p∨q 为真 2x <1,命题 q:(x+a)(x-3)>0,若 p 是 x-1

7.(2015·辽宁师范大学附中期中)已知命题 p:

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q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是(
A.(-3,-1] C.(-∞,-1] 8.给出下列命题:

)

B.[-3,-1] D.(-∞,-3]

①若“p 或 q”是假命题,则“綈 p 且綈 q”是真命题; ②|x|>|y|?x >y ; ③若关于 x 的实系数二次不等式 ax +bx+c≤0 的解集为?,则必有 a>0,且 Δ ≤0; ④?
?x>2, ? ?y>2 ?
2 2 2

??

?x+y>4, ? ?xy>4. ?

其中真命题的个数是( A.1 C.3

) B.2 D.4
2

9.(2015·江苏省泰兴市期中)若集合 A={x|y=lg(2x-x )},B={y|y=2 ,x>0},则集合

x

A∩B=_____________.
10.(2015·襄阳一中考试)已知集合 A={x|-1<x≤5},B={x|m-5<x≤2m+3},且 A? B, 则实数 m 的取值范围是________. 11.由命题“? x∈R,x +2x+m≤0”是假命题,求得实数 m 的取值范围是(a,+∞),则实 数 a 的值是______________. 12.给出下列四个命题: ①命题“若 α =β ,则 cos α =cos β ”的逆否命题; ②“? x0∈R,使得 x0-x0>0”的否定是:“? x∈R,均有 x -x<0”; ③命题“x =4”是“x=-2”的充分不必要条件; ④p:a∈{a,b,c},q:{a}? {a,b,c},p 且 q 为真命题. 其中真命题的序号是________.(填写所有真命题的序号) B组 能力提高
x
2 2 2 2

13. (2015·四川省新都一中月考)已知命题 p: 对任意 x∈R, 总有 2 >0; q: “x>1”是“x>2” 的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.p∧綈 q
2

)

B.綈 p∧綈 q D.綈 p∧q
2

14.已知 p:? x∈R,mx +2≤0,q:? x∈R,x -2mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数 m 的取值范围是( )
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A.[1,+∞) C.(-∞,-2]

B.(-∞,-1] D.[-1,1]

3 3 2 2 15.已知集合 A={y|y=x - x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m ≥1}.若 A? B,则实数 m 的 2 4 取值范围是__________________. 16.设命题 p:关于 x 的不等式 a >1 的解集是{x|x<0};q:函数 y= ax -x+a的定义域为 R.若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,则实数 a 的取值范围是_________________. 17.已知集合 M 为点集,记性质 P 为“对? (x,y)∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给 出下列集合: ①{(x, y)|x ≥y}, ②{(x, y)|2x +y <1}, ③{(x, y)|x +y +x+2y=0}, ④{(x,
2 2 2 2 2

x

2

y)|x3+y3-x2y=0},其中具有性质 P 的点集序号是________.

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学生用书答案精析 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲 集合与常用逻辑用语

高考真题体验 1.A [由题意得 M={0,1},N=(0,1],故 M∪N=[0,1],故选 A.] 2.A [由|x-2|<1 得 1<x<3,所以 1<x<2? 1<x<3;但 1<x<3?1<x<2, 故选 A.] 3.D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选 D.] 4.B [因为(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,不妨令 x=2,y=3,z=4,w=1,则(y,z,

w)=(3,4,1)∈S,(x,y,w)=(2,3,1)∈S,故(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 的说法均错误,
可以排除选项 A、C、D,故选 B.] 热点分类突破 例 1 (1)B (2)C 解析 (1)∵A={x|x>2 或 x<0},

B={x|- 5<x< 5},A∪B=R,故选 B.
(2)由已知 M={x|a<x<b},∴a<b,又 ab<0,∴a<0<b, 同理可得 c<0<d, 由 ab<cd<0,c<0,b>0, ∴ > , ∴

a d c b

a-c d-b > . c b

又∵a+b=c+d,∴a-c=d-b, ∴

d-b d-b > , c b

又∵c<0,b>0,∴d-b<0, 因此,a-c<0,∴a<c<0<d<b, ∴M∩N=N, ∴M ? N={x|a<x≤c 或 d≤x<b} =(a,c]∪[d,b).

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故选 C. 跟踪演练 1 (1)C (2)C 解析 (1)由题中集合可知, 集合 A 表示直线 x+y=1 上的点, 集合 B 表示直线 x-y=3 上的 点,联立?
? ?x+y=1, ?x-y=3, ?

可得 A∩B={(2,-1)},M 为 A∩B 的子集,可知 M 可能为{(2,-1)}

或?,所以满足 M? (A∩B)的集合 M 的个数是 2.

m≥0, ? ? (2)由已知,可得? 3 ?m+4≤1, ?
3 4

? 1 1 ?n-3≥0, 即 0≤m≤ ,? 4 ?n≤1, ?
2 3

1 即 ≤n≤1,取 m 的最小值 0, 3

n 的最大值 1,可得 M=[0, ],N=[ ,1].
3 2 2 3 所以 M∩N=[0, ]∩[ ,1]=[ , ]. 4 3 3 4 3 2 1 此时集合 M∩N 的“长度”的最小值为 - = . 4 3 12 故选 C. 例 2 (1)D (2)B 解析 (1)由于“若 b -4ac≤0,则 ax +bx+c≥0”是假命题,所以“ax +bx+c≥0”的充 分条件不是“b -4ac≤0”,A 错;因为 ab >cb ,且 b >0,所以 a>c.而 a>c 时,若 b =0, 则 ab >cb 不成立,由此知“ab >cb ”是“a>c”的充分不必要条件,B 错;“对任意 x∈R, 有 x ≥0”的否定是“存在 x∈R,有 x <0”,C 错;由 l⊥α ,l⊥β ,可得 α ∥β ,理由: 垂直于同一条直线的两个平面平行,D 正确. (2)p:m-1<x<m+1,q:2<x<6;∵q 是 p 的必要不充分条件,∴(m-1,m+1)?(2,6), ∴?
?m-1≥2, ? ? ?m+1<6,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

或?

?m-1>2, ? ? ?m+1≤6,

∴3≤m≤5;

∴m 的取值范围为[3,5],故选 B. 跟踪演练 2 (1)② (2)A 解析 (1)①log2x =2log2x,左边 x∈R,右边 x>0,错误; ②A∪B=A 的充要条件是 B? A,正确; ③若 y=ksin x+1,x∈R,因为 k 的符号不定,所以 y 的最小值为-|k|+1;
??3a-1?x+4a ? ④若函数 f(x)=? ? ?logax ?x≥1?
2

?x<1?,

对任意的 x1≠x2 都有

f?x2?-f?x1? x2-x1

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3a-1<0, ? ? <0,即函数为减函数,则?0<a<1, ? ?7a-1≥0, (2)由

1 1 解得 ≤a< ,错误;故选②. 7 3

3 3 -x+2 3 <1,可得 -1= <0,所以 x<-1 或 x>2,因为“x>k”是“ <1”的充 x+1 x+1 x+1 x+1

分不必要条件,所以 k≥2. 例 3 (1)C (2)C 解析 (1)△ABC 中,C>B?c>b?2Rsin C>2Rsin B(R 为△ABC 外接圆半径),所以 C>B?sin

C>sin B.
故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件,命题 p 是假命题. 若 c=0,当 a>b 时,则 ac =0=bc ,故 a>b?ac >bc ,若 ac >bc ,则必有 c≠0,则 c >0,则 有 a>b,所以 ac >bc ? a>b,故“a>b”是“ac >bc ”的必要不充分条件,故命题 q 也是假命 题,故选 C. (2)命题 p 为真时 a≤1;“? x0∈R,x0+2ax0+2-a=0”为真,即方程 x +2ax+2-a=0 有 实根, 故 Δ =4a -4(2-a)≥0, 解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)∧q 为真命题, 即綈 p 真且 q 真, 即 a>1. 跟踪演练 3 (1)C (2)B 解析 (1)对于命题 p,因为当 a=2 时,l1 与 l2 重合,故命题 p 为假命题;当 l1⊥l2 时,2a 3 3 +3a+3=0,解得 a=- ,当 a=- 时,l1⊥l2,故命题 q 为真命题,綈 q 为假命题,故命 5 5 题 p∧q 为假命题,p∨q 为真命题,p∨(綈 q)为假命题,p∧(綈 q)为假命题. (2)若 p∨(綈 q)为假命题,则 p 假 q 真,命题 p 为假命题时,有 0≤m<e;命题 q 为真命题时, 有 Δ =m -4≤0,即-2≤m≤2.若要使 p∨(綈 q)为假命题,则 m 的取值范围是 0≤m≤2. 高考押题精练 1.C [因为集合 F={x|x(4-x)<0}, 所以 F={x|x<0 或 x>4}, 所以?RF={x|0≤x≤4}, 所以 E∩(?RF)={1,2,3,4},故选 C.] 1 1 2 2.A [对于①,若 x1x2+y1y2=0,则 x1x2+ · =0,即(x1x2) =-1,可知①错误;对于④,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x1 x2

取(1,0)∈M,且存在(x2,y2)∈M,则 x1x2+y1y2=1×x2+0×y2=x2>0,可知④错误.同理, 可证得②和③都是正确的.故选 A.] 3.A [当 φ =0 时,f(x)=cos(x+φ )=cos x 为偶函数成立;但当 f(x)=cos(x+φ )为偶
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函数时,φ =kπ ,k∈Z,φ =0 不一定成立.故选 A.] 4.④⑤ 解析 ①根据命题的四种形式,可知命题:“若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”, 故该命题正确; ②因为 0<x< π 2 2 ,所以 0<sin x<1, 则 xsin x<xsin x,所以有 xsin x<xsin x<1, 2 3

故该命题正确;③特称命题的否定是全称命题,故命题正确;④解不等式 -1 或 x≥2, 所以“

x+1

-1≤0,得 x<

3 -1≤0”的充要条件是“x<-1 或 x≥2”, 而“x>2”是其充分不必 x+1

要条件,该命题不正确;⑤p∧q 为假命题时,只要 p、q 中至少有一个为假命题即可,不一 定 p、q 均为假命题.

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二轮专题强化练答案精析 专题一 集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲 集合与常用逻辑用语
2

1.C [根据题意知,只能 1=-a 或 a =-a,解得 a=0 或 a=-1,检验知只能 a=0,此 时 M∪P={-1,0,1}.] 2.A [因为 A={x|x -x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B
2

={-1,0,1,2},故选 A.] 3. D [若 x=5∈A, y=1∈A, 则 x+y=5+1=6∈B, 即点(5,1)∈C; 同理, (5,2)∈C, (4,1)

∈C,(4,2)∈C,(4,3)∈C,(3,2)∈C,(3,3)∈C,(3,4)∈C,(2,3)∈C,(2,4)∈C,(2,5) ∈C,(1,4)∈C,(1,5)∈C.所以 C 中所含元素的个数为 13,应选 D.] 1-x 4.C [由 >0 得 0<x<1,

x

故 M={x|0<x<1},?RM={x|x≤0 或 x≥1},y=(x+1) +2≥2, 故 N={y|y≥2}, 则(?RM)∩N={x|x≥2}.] 5. B [由 x>1? x+2>3? log 1 (x+2)<0, log 1 (x+2)<0? x+2>1? x>-1, 故“x>1”
2 2

2

是“log 1 (x+2)<0”成立的充分不必要条件.因此选 B.]
2

6.C [p 是假命题,q 是假命题,因此只有 C 正确.] 7.C [由 p: 2x x+1 <1 得 <0,-1<x<1,而 p 是 q 的充分不必要条件,即 p? q,q?p,所 x-1 x-1

以-a≥1,a≤-1.选 C.] 8.B [由“p 或 q”是假命题,知 p,q 均为假命题,∴綈 p,綈 q 均为真命题,故“綈 p 且 綈 q”是真命题,①正确;②显然成立;③忽略了 a=0 时的情况;④可从反例 x=1,y=5 验证知错误.故真命题的个数为 2.] 9.(1,2) 解析

A={x|y=lg(2x-x2)}={x|2x-x2>0}=(0,2),B={y|y=2x,x>0}=(1,+∞),则

A∩B=(1,2).
10.1≤m≤4

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?m-5≤-1, ? 解析 ? ? ?2m+3≥5,

解得 1≤m≤4.故应填 1≤m≤4.

11.1 解析 根据题意可得:? x∈R,x +2x+m>0 是真命题,则 Δ <0,即 2 -4m<0,m>1,故 a= 1. 12.①④ 解析 对①,因命题“若 α =β , 则 cos α =cos β ”为真命题, 所以其逆否命题亦为真命题,①正确; 对②,命题“? x0∈R,使得 x0-x0>0”的否定应是: “? x∈R,均有 x -x≤0”,故②错; 对③,因由“x =4”得 x=±2, 所以“x =4”是“x=-2”的必要不充分条件,故③错;对④,p,q 均为真命题,由真值 表判定 p 且 q 为真命题,故④正确. 13.C [根据指数函数的图象可知 p 为真命题.由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件, 所以 q 为假命题,所以綈 q 为真命题,所以 p∧綈 q 为真命题.] 14.A [∵p∨q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题. 由 p:? x∈R,mx +2≤0 为假命题, 得綈 p:? x∈R,mx +2>0 为真命题,∴m≥0.① 由 q:? x∈R,x -2mx+1>0 为假命题, 得綈 q:? x∈R,x -2mx+1≤0 为真命题, ∴Δ =(-2m) -4≥0? m ≥1? m≤-1 或 m≥1.② 由①和②得 m≥1.故选 A.] 3 3 15.m≥ 或 m≤- 4 4 3 2 7 解析 因为 y=(x- ) + , 4 16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x∈[ ,2],所以 y∈[ ,2].又因为 A? B,所以 1-m2≤ .
3 3 解得 m≥ 或 m≤- . 4 4

3 4

7 16

7 16

? 1? 16.?0, ?∪[1,+∞) ? 2?
解析 根据指数函数的单调性, 可知命题 p 为真命题时, 实数 a 的取值集合为 P={a|0<a<1},
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对于命题 q:函数的定义域为 R 的充要条件是 ax -x+a≥0 恒成立. 当 a=0 时,不等式为-x≥0,解得 x≤0,显然不成立; 当 a≠0 时,不等式恒成立的条件是
? ?a>0, ? 2 ?Δ =?-1? -4a×a≤0, ?

2

1 解得 a≥ . 2

1 所以命题 q 为真命题时,a 的取值集合为 Q={a|a≥ }. 2 由“p∨q 是真命题,p∧q 是假命题”,可知命题 p,q 一真一假, 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是

P∩(?RQ)={a|0<a<1}∩{a|a< }
1 ={a|0<a< }; 2 1 当 p 假 q 真时,a 的取值范围是(?RP)∩Q={a|a≤0 或 a≥1}∩{a|a≥ }={a|a≥1}. 2 综上,a 的取值范围是

1 2

?0,1?∪[1,+∞). ? 2? ? ?
17.②④ 1 1 1 2 2 解析 对于①:取 k= ,点(1,1)∈{(x,y)|x ≥y},但( , )?{(x,y)|x ≥y},故①是不 2 2 2 具有性质 P 的点集. 对于②:? (x,y)∈{(x,y)|2x +y <1},则点(x,y)在椭圆 2x +y =1 内部,所以对 0<k<1, 点(kx,ky)也在椭圆 2x +y =1 的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x +y <1},故②是具有性 质 P 的点集. 1 2 5 1 1 1 1 2 对于③:(x+ ) +(y+1) = ,点( ,- )在此圆上,但点( ,- )不在此圆上,故③是不 2 4 2 2 4 4 具有性质 P 的点集. 对于④: ? (x, y)∈{(x, y)|x +y -x y=0}, 对于 k∈(0,1), 因为(kx) +(ky) -(kx) ·(ky) =0? x +y -x y=0,所以(kx,ky)∈{(x,y)|x +y -x y=0}, 故④是具有性质 P 的点集. 综上,具有性质 P 的点集是②④.
3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

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