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江西省新建二中2008届高三数学综合复习模拟测试卷(理)


江西省新建二中 2008 届高三数学综合复习模拟测试卷(理)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若非空数集 A = {x|2a + 1≤x≤3a-5 },B = {x|3≤x≤22 },则能使 A ? B 成立的所有 a 的 集合是( ) B.{a|6≤a≤9} ) B.{x︱x

< ? 2 } D.{x|x< ? 2 或 x>1} ) C.{a|a≤9} D. ? A.{a|1≤a≤9} 2. 不等式

| x ?1| ? 0 的解集是( x?2

A.{x︱x> ? 2 } C.{x︱ ? 2 <x<1 或 x>1}

3.已知函数 f (x)(0≤x≤1)的图象的一段圆弧(如图所示)若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A.

f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

B.

f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

y

C.

D.前三个判断都不正确
2

4.若复数 z 满足 z ? z ? 2 和 和z 2 ? z ( ) A. 1 ? i B. 2 ? i

? ?6 ,则 z 的值

O x X

1

x X



C. 1? 2i

D. 2 ? 2i )

5. 抛物线 y 2 ? 4 x 按向量 e 平移后的焦点坐标为 (3, 则平移后的抛物线顶点坐标为( 2), A.(4,2) B.(2,2) C.(-2,-2) D.(2,3)

6. 设 a、b、c∈R*,那么三个数 a ? A.都不大于 2 C.至少有一个不大于 2

1 1 1 、b ? 、c ? ( ) b c a B.都不小于 2 D.至少有一个不小于 2

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A.直线 8、函数 f ? x ? ? B.圆 C.双曲线 ) D.抛物线 )
A A1 D1 B1 P D B C C1

a2 ? x2 是奇函数的充要条件是( x?a ?a

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A. a ? 0

B. a ? 0

C. ?1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 1 ) C.
4 15 5

D. a ? ?1 或 a ? 1

9.点 P 在直径为 6 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则这三条弦长之和的最大值是( A. 6 10. B.6
2 105 5

D.

已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 在区间( ? ? ,1)上有最小值,则函数 g ( x) ? ) B.有最大值 C.是减函数

(1, ? ?) 上一定( A.有最小值 11.

f ( x) 在区间 x

D.是增函数 1 0.5 2 1 a b c

在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数 )

列,每一纵行成等比数列,则 a+b+c 的值为( A.1 C.3 B.2 D.4

12.弹子跳棋共有 60 颗大小相同的球形弹子,现在棋盘上将它叠成 正四面体形球垛,使剩下的弹子尽可能的少,那么剩余的弹子共有( A、0 颗 B、4 颗 C、5 颗 ) D、11 颗

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二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在答题卷上对应题号的 横线上. 已知 e1、 2 是两个不共线的向量, = k2e1 + ( 1 ? e a .

13.

5 k)e2 和 b = 2e1 + 3e2 是两个共线向量, 2

则实数 k =

14.若 (1 ? 2 x)100 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a100( x ? 1)100 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ? ?

a 99 ?
15.

. 出红色或霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图),每个灯泡均 种不同的变换形式(用数字作答).
2

○○○○○○○

可亮黄色.现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡,且相邻两个不同时亮, 则一共可呈现

16.已知函数 f(x)= x ? 2ax ? b ( x ? R ) ,给出下列命题: ①f(x)必是偶函数; ②当 f (0)=f(2)时 f(x)的图象必关于直线 x=1 对称;③若 a ? b ? 0 ,则 f(x)在区间[a,+ ? )
2

上是增函数;④f(x)有最大值 a ? b 。其中正确命题的序号是
2



三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本大题满分 12 分) 已知向量 a ? (1 ? cos ? , ? ) ,b ? (1 ? cos ? , ? ) ,c = (1,0),其 sin sin 中 ? ? (0 , ) , ? ? (? , ? ) .若 a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? 2 ?

?
6

,求

sin

? ??
4

的值.

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18. 设一汽车在行进途中要经过 4 个路口, 汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 止通行)的概率为

3 , 遇到红灯(禁 4

1 .假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进, ? 表示停车时已经通 4 过的路口数,求: (1) ? 的概率的分布列及期望 E ? ; (2)停车时最多已通过 3 个路口的概率.

19.(本大题满分 12 分) 如图, 在几何体 ABCDE 中, △ABC 是等腰直角三角形, ∠ABC = 90°, 和 CD 都垂直于平面 ABC, BE = AB = 2, BE 且 CD = 1,点 F 是 AE 的中点. (1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求 AB 与平面 BDF 所成角的大小. F

E

D B C

A

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20.(本大题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数且 a1 = 6,点 An (a n , a n ?1 ) 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列{bn} 中,点 Bn (n ,n ) 在过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线上. b (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)对任意正整数 n,不等式 a n ? 2 ? a n ≤ (1 ? 的取值范围.

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) 成立,求正数 a b1 b2 bn

21.已知 x ? R ,奇函数 f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 在 ?1, ?? ? 上单调。 (1)求 a、c 的值及 b 的范围; (2)设 x0 ? 1, f ? x0 ? ? 1 ,且满足 f ? f ? x0 ? ? ? x0 ,求证: f ? x0 ? ? x0

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y x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 2 a b AB, 若点 M 在 x 轴上, 且使得 MF 为△AMB 的一条内角平分线, 则称点 M 为该椭圆的 “左 特征点” . x2 (1)求椭圆 ? y 2 ? 1 的“左特征点”M 的坐标; y 5 y2 x2 A (2) 试 根 据 (1) 中 的 结 论 猜 测 : 椭 圆 2 ? 2 ? 1 a b (a ? b ? 0) 的“左特征点”M 是一个怎样的点?并证明你 x F O M 的结论. B
22.如图,过椭圆

2

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一.选择题:BCCC(C) B 二.填空题:13. k ? 三.解答题:

DDBDD

AB 14.

1 或 k ? ?2 3

5100-1 2

15.80 16. ③

17.解:| a | ? (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 cos | b | ? (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 sin |c|=1 又 a·c ? 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
?
2

2

, ,

?
2

,b·c ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2

4分

c o ?1 ? s


a?c ? b?c ? c o s , cos ? 2 ? ? sin | b |?| c | 2 | a |?| c | 2

?

6分

?
2

? (0, ) ,∴ ?1 ? 2 2

?

?

∵ ? ? (? , ? ) ,∴ 2 由 cos? 2 ? sin 由 ? 1?? 2 ? ∴ sin

?
2

?(

?
2

, ? ) ,故 0 ? ?

?
2

?
?
2

?
2
?

?
?
2

?
2
8分

?
2

? cos(

?
2

?
2

) ,得 ? 2? )?

?
6

,有

?
2

?( 6

?
2

?

?
2

?
6

,∴

? ??
2

??

?
3

10 分 12 分

? ??
4

? sin(?

?

)??

1 . 2

1 4 ? =1 表示停车时已经通过 1 个路口,即在第一个路口遇到绿灯,在第二个路口遇到红 3 1 3 灯,其概率为 ? ? 。得分布列如下: ? 0 1 2 3 4 4 4 16 1 3 9 27 81 P 16 64 4 256 256 525 则 E? ? . 8分 256
18.(1)解: ? =0 表示停车时已经通过 0 个路口,即在第一个路口遇到红灯,其概率为
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(2)解: P?? ? 3? ? 1 ? P?? ? 4? ? 1 ?

81 175 . ? 256 256 19.(1)解:取 AB 的中点 G,连 CG,FG,
则 FG∥BE,且 FG=

12 分

1 BE, 2

E

∴ FG∥CD 且 FG=CD, 2分 ∴ 四边形 FGCD 是平行四边形, ∴ DF∥CG, 又∵ CG ? 平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC 4分 (2)解:以点 B 为原点,BA、BC、BE 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,则

D F B C

A B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1) ∴ BD ? (0,2,1), DF ? (1,-2,0) 设平面 BDF 的一个法向量为 n = (2,a,b), 6分

?n ? DF ? 0 ? ∵ n⊥ DF ,n⊥ BD , ∴ ? ?n ? BD ? 0 ?

8分

a b , 0 ?(2, , ) ? (1 ? 2, ) ? 0 ?a ? 1 即? ,解得 ? , (2, , ) ? (0, ,) ? 0 a b 2 1 ? ?b ? ?2 ∴n =(2,1,-2)
又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ? ,则法线 n 与 BA 所成的角为

10 分

?
2

?? ,

∴ cos(

?
2

??) ?

BA ? n | BA | ? | n |

?

(2, , ) ? (2,, 2) 2 0 0 1 ? ? , 2?3 3
12 分

即 sin ? ?

2 2 ,故 AB 与平面 BDF 所成的角为 arcsin . 3 3

20.(1)解:将点 An (a n , a n ?1 ) 代入 y 2 ? x ? 1 中得

a n?1 ? a n ? 1 即 a n?1 ? a n ? 1 ∴ an ? n ? 5 过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线为 y ? 2 x ? 1 ∴ bn ? 2n ? 1
(2) 对任意正整数 n,不等式 a n ? 2 ? a n ≤ (1 ? 即 a≤

2分 4分

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) 成立 bn b1 b2
6分

1 2n ? 3

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) 对任意正整数 n 成立 bn b1 b2
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记 f ( n) ? 则

1 2n ? 3

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) bn b1 b2
(1 ? 1 bn ?1 )? 2n ? 3 2n ? 4 ? 2n ? 5 2n ? 3 4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15 ?1
8分 10 分 12 分

f (n ? 1) ? f ( n)

2n ? 3 2n ? 5

∴ f (n ? 1) ? f (n) ,即 f (n)递增 故 [ f (n)]min ? f (1) ?

4 5 4 5 ,∴0<a≤ . 15 15

21.解: (1)因为 x ? R , f ? x ? ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 为奇函数

? f ??x? ? ? f ? x?



?-x?

3

? a ? - x ? ? b ? - x ? ? c ? ? ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ? 恒成立
2

? a?c?0
又 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, f ′x ? ? 0 恒成立但 f ′x ? ? 3x 2 ? b ? 0 在 ?1, ?? ? 上不 则 ? ? 恒成立; 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , 则 f ′x ? ? 3x 2 ? b ? 0 恒 成 立 。 在 ?1, ?? ? 上 ?

f ′x ? ? 3x 2 ? b 最小值为 3 ? b ,故只要 3 ? b ? 0 ,即 b ? 3 ?
综上可知,? a ? c ? 0 , b ? 3 (2)假设 f ? x0 ? ? x0 若 f ? x0 ? ? x0 ? 1 ,由(1)知 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 则 f ? f ? x0 ? ? ? f ? x0 ? 且 f ? x0 ? ? x0 有 f ? f ? x0 ? ? ? x0 ,与 f ? f ? x0 ? ? ? x0 矛盾; 若 1 ? f ? x0 ? ? x0 , 同 理 有 f ? f ? x0 ? ? ? f ? x0 ? 且 f ? x0 ? ? x0 有 f ? f ? x0 ? ? ? x0 , 与

f ? f ? x0 ? ? ? x0 矛盾;
所以假设错误。 因此 f ? x0 ? ? x0 (2)另证:由(1)知 f ? x ? ? x 3 ? bx
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设 f ? x0 ? ? m ,由 f ? f ? x0 ? ? ? x0 有 f ? m ? ? x0 于是

? x03 ? bx0 ? m ? ? 3 ?m ? bm ? x0 ?
两式相减,得: ? x03 ? m3 ? ? b ? x0 ? m ? ? m ? x0 即

?x
?
?

0

? m ? ? x0 2 ? mx0 ? m2 ? 1 ? b ? ? 0

x0 ? 1, f ? x0 ? ? 1, b ? 3
x0 ? m ? 0

? x0 2 ? mx0 ? m2 ? 1 ? b ? 4 ? b ? 1 ? 0

即 f ? x0 ? ? x0

22.(1)解:设 M(m,0)为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左特征点,椭圆的左焦点为 F (?2,0) , 5 设直线 AB 的方程为 x ? ky ? 2(k ? 0)
将它代入 2分 4分

x2 ? y 2 ? 1 得: (ky ? 2) 2 ? 5 y 2 ? 5 ,即 (k 2 ? 5) y 2 ? 4ky ? 1 ? 0 5 4k 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? ? 2 k ?5 k ?5 ∵∠AMB 被 x 轴平分,∴ k AM ? k BM ? 0 y1 y2 即 ? ? 0 ,? y1 ( x2 ? m) ? y2 ( x1 ? m) ? 0 x1 ? m x 2 ? m

? y1 (ky2 ? 2) ? y 2 (ky1 ? 2) ? ( y1 ? y 2 )m ? 0
∴ 2ky1 y 2 ? ( y1 ? y 2 )(m ? 2) ? 0 , 6分 1 4k 于是 2k ? (? 2 )? 2 (m ? 2) ? 0 k ?5 k ?5 5 ∵ k ? 0 ,∴ 1 ? 2(m ? 2) ? 0 ,即 m ? ? 2 5 ∴M( ? ,0) 8分 2 x2 a2 5 (2)解:对于椭圆 ? y 2 ? 1 , a ? 5 ,b = 1,c = 2,∴ ? ? . 5 c 2 2 2 y x 于是猜想:椭圆 2 ? 2 ? 1 的“左特征点”是椭圆的左准线与 x 轴的交点. 10 分 a b 证明:设椭圆的左准线 l 与 x 轴相交于 M 点,过 A、B 分别作 l 的垂线,垂足分别为 C、D AF BF AF AC ? ? 据椭圆第二定义: ,即 AC BD BF BD
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∵ AC // FM // BD ,∴ 于是

AF BF
AC CM

?
?

CM DM
BD DM

12 分

AC BD

?

CM DM

,即

∴ tan ?AMC ? tan ?BMD ,又 ?AMC与?BMD 均为锐角, ∴ ?AMC ? ?BMD ,∴ ?AMF ? ?BMF ∴MF 为∠AMB 的平分线,故 M 为椭圆的“左特征点” .

14 分

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