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1998年全国高中数学联赛试题及详细解析


一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 若 a > 1, b > 1, 且 lg(a + b)=lga+lgb, 则 lg(a –1)+lg(b –1) 的值(

)

(A)等于 l g2 (B)等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 2.若非空 集合 A={x|2a+1?x?3a

– 5},B={x|3?x?22},则能使 A?A∩B 成立的所有 a 的集合是( ) (A){a | 1?a?9} (B) {a | 6?a?9} (C) {a | a?9} (D) ?

6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线 的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果. 1 . 若 f (x) (x?R) 是 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 当 x?[ 0, 1 ] 时 ,f(x)=x { eq 98 101 104 \s\up6(\f(1,1000))|,则 f( |),f( |),f( |)由小到大排列是 . 19 17 15 2.设复数 z=cosθ +isinθ (0?θ ?180°),复数 z,(1+i)z,2-|在复平面上对应的 z 三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个 顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是___________. 3.从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法有________种. 4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这 样的数列至多有_______项. 2 2 2 5. 若椭圆 x +4(y-a) =4 与抛物线 x =2y 有公共点, 则实数 a 的取值范围是 . o o 6.?ABC 中, ?C = 90 , ?B = 30 , AC = 2, M 是 AB 的中点. 将?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的距离为 2 2 |,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于__________. 三、(本题满分 20 分)

已知复数 z=1-sinθ +icosθ (
[来源:21 世纪教育网]

π |<θ <π ),求 z 的共轭复数-|的辐角主值. z 2

四、(本题满分 20 分) 2 设函数 f (x) = ax +8x +3 (a<0).对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) , 使得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l(a)最大? 求出这个最大的 l(a).证明你的结论.

五、(本题满分 20 分) 2 2 已知抛物线 y = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b ? 2pa).M 是抛 物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证: M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2), 当 直线 M1M2 恒过一个定点. 并 求出这个定点的坐标.

第二试

n
2

n
2

二、(满分 50 分)设 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn∈[1,2]且 Σ |ai|= Σ |bi|, i=1 i=1

17 2 求证: Σ | |? | Σ |ai|.并问:等号成立的充要条件. bi 10 i=1 i=1 三、(满分 50 分)对于正整数 a、n,定义 Fn(a)=q+r,其中 q、r 为非负整数,a=qn+r, 且 0?r<n.求最大的正整数 A,使得存在正整数 n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整 数 a?A,都有

n ai

3

n

Fn6|(Fn5|(Fn4|(Fn3|(Fn2|(F n1|(a))))))=1.证明你的结论.

一九九八年全国高中数学联赛解答
第一试 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
[来源:21 世纪教育网]

2.若非空集合 A={x|2a+1?x?3a – 5},B={x|3?x?22},则能使 A?A∩B 成立的所有 a 的集合是( ) (A){a | 1?a?9} (B) {a | 6?a?9} (C) {a | a?9} (D) ?
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【答案】B 【解析】A?B,A≠?.? 3?2a+1?3a-5?22,?6?a?9.故选 B.

4.设命题 P:关于 x 的不等式 a1x + b1x + c1 > 0 与 a 2x + b2x + c2 > 0 的解集相同; 命题 Q: |= |= |. 则命题 Q(

2

2

2

a1 b1 c1 ) a2 b2 c2 (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件
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【答案】D 【解析】若两个不等式的解集都是 R,否定 A、C,若比值为-1,否定 A、B,选 D. 5.设 E, F, G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 C—FG—E 的大小 是( ) 6 π 3 π (A) arcsin | (B) |+arccos | (C) |-arctan 2| (D) π - 3 2 3 2 arccot 2 | 2

6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共 线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 【答案】B 【解析】8 个顶点中无 3 点共线,故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体 中心. ⑴ 体中心为中点:4 对顶点,6 对棱中点,3 对面中心;共 13 组; ⑵ 面中心为中点:4×6=24 组; ⑶ 棱中点为中点:12 个.共 49 个,选B. 二、填空题( 本题满分 54 分,每小题 9 分) 各小题只要求直接填写结果. 1 98 1.若 f (x) (x?R)是以 2 为周期的偶函数, 当 x?[ 0, 1 ]时,f(x)=x1000|,则 f( |), 19 101 104 f( |),f( |)由小到大排列是 . 17 15

2.设复数 z=cosθ +isinθ (0?θ ?180°),复数 z,(1+i)z,2-|在复平面上对应的 z 三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行 y 四边形的第四个顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是___________. 【答案】3 → → → → → → → → → 【解析】 OS |= OP |+ PQ |+ PR |= OP |+ OQ | - OP |+ OR |- OP | → → → = OQ |+ OR |- OP |
O
R Q

P

S

x

=(1+i)z+2-|-z=iz+2-| z z =(2cosθ -sinθ )+i(cosθ -2sinθ ).

π 2 ∴ |OS| =5-4sin2θ ?9.即|OS|?3,当 sin2θ =1,即 θ = |时,|OS|=3. 4

4.各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这 样的数列至多有_______项. 【答案】8 2 2 【解析】设其首项为 a,项数为 n.则得 a +(n-1)a+2n -2n-100?0. 2 2 2 △=(n-1) -4(2n -2n-100)=-7n +6n+40 1?0 .∴ n?8. 取 n=8,则-4?a?-3.即至多 8 项. n-1 2 2 n-1 2 n-1 2 2 (也可直接配方:(a+ |) +2n -2n-100-( |) ?0.解 2n -2n-100-( |) 2 2 2 ?0 仍得 n?8.)

6.?ABC 中, ?C = 90 , ?B = 30 , AC = 2, M 是 AB 的中点. 将?ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的距离为 2 2 |,此时三棱锥 A-BCM 的体积等于 . 2 2 【答案】 | 3
o o
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A 2 M

【解析】由已知,得 AB=4,AM=MB=MC=2,BC=2 3|,由△AMC 为等边三角形, 3 2 3 取 CM 中点,则 AD⊥CM,AD 交 BC 于 E,则 AD= 3|,DE= |,CE= |. 3 3 折起后,由 BC =AC +AB ,知∠BAC=90°,cos∠ECA=
2 2 2

2 B

2 D C

2 3 E

3 |. 3

8 2 2 2 2 2 2 ∴ AE =CA +CE -2CA·CEcos∠ECA= |,于是 AC =AE +CE .?∠AEC=90°. 3 ∵ AD =AE +ED ,?AE⊥平面 BCM,即 AE 是三棱锥 A-BCM 的高,AE=
2 2 2

2 6 |. 3

S△BCM= 3|,VA—BCM=

2 2 |. 3

三、(本题满分 20 分)

四、(本题满分 20 分) 2 设函数 f (x) = ax +8x+3 (a<0).对于给定的负数 a , 有一个最大的正数 l(a) ,使 得在整个 区间 [0, l(a)]上, 不等式| f (x)| ? 5 都成立. 问:a 为何值时 l(a)最大? 求出这个最大的 l(a).证明你的结论.

五、(本题满分 20 分) 2 2 已知抛物线 y = 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b ? 2pa).M 是抛 物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证: M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2.)直线 M1M2 恒过一个定点. 当 并 求出这个定点的坐标.

第二试 一、(满分 50 分)如图,O、I 分别为△ABC 的外心和内心,AD 是 BC 边上的高,I 在线段 OD 上。求证:△ABC 的外接圆半径等于 BC 边上的旁切圆半径。 注:△ABC 的 BC 边上的旁切圆是与边 AB、AC 的延长线以及边 BC 都相切的圆。 【解析】 由旁切圆半径公式,有 2S aha ra= |= |,故只须证明 b+c-a b+c-a

R a |= |即可。连 AI 并延长交⊙O 于 K,连 OK 交 BC 于 M,则 ha b+c-a K、M 分别为弧 BC 及弦 BC 的中点。且 OK⊥BC。于是 OK∥AD,又 OK=R,


R OK IK KB |= |= |= |, ha AD IA IA
故只须证 |=

KB aha |= IA b+c-a 1

BM

|.

(b+c-a) 2

1 作 IN⊥AB,交 AB 于 N,则 AN= |(b+c-a), 2 而由⊿AIN∽⊿BKM,可证 |= |成立,故证。

KB BM IA AN

n
2

n
2

二、(满分 50 分)设 a1,a2,?,an,b1,b2,?,bn∈[1,2]且 Σ |ai|= Σ |bi|, i=1 i=1

17 2 求证: Σ | |? | Σ |ai|.并问:等号成立的充要条件. bi 10 i=1 i=1

n ai

3

n

三、(满分 50 分)对于正整数 a、n,定义 Fn(a)=q+r,其中 q、r 为非负整数,a=qn+r, 且 0?r<n.求最大的正整数 A,使得存在正整数 n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整 数 a?A,都有 Fn6|(Fn5|(Fn4|(Fn3|(Fn2|(Fn1|(a))))))=1.证明你的结论. 【解析】 将满足条件 “存在正整数 n1,n2,n3,n4,n5,n6,对于任意的正整数 a?B, 都有 Fnk| (Fnk-1|(?(Fn1|(a)?)=1”的最大正整数 B 记为 xk 显然,本题所求的最大正整数 A 即为 x6。 ⑴先证 x1=2.事实上,F2(1)=F2(2)=1,所以 x1?2 ,又当 n1?3 时,Fn1|(2 ) =2,而 F2

另一方面,若取 n1= |+2,由于 2 那么

xk

xk(xk+6) xk xk xk(xk+6) |= |·n1+ |对于每个 a? |,令 a=qn1+r,
4 2 2 4

或者 q= |,r? |;或者 q? |-1,r?n1-1= |+1。 2 2 2 2 两种情况下均有 q+r?xk,因此 xk+1=

xk

xk

xk

xk

xk(xk+6)
4

|。 此外, 因为 xk 为偶数, 4|xk, 2|xk+6 若 由

可得 8|xk(xk+6), xk≡2(mod4), xk+6≡0(mod 4)也可得 8|xk(xk+6). 若 由 因此 xk+1 也是偶数。 xk(xk+6) 于是完成了归纳证明 xk+1= |. 4 由 x1=2 逐次递推出 x2=4,x3=10,x4=40,x5=460,x6=53590. 即所求最大整数 A=53590.


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