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第三届中国数学奥林匹克 (1988年)


第三届中国数学奥林匹克 (1988 年)
1. 设 a1, a2, ... , an 是给定的不全为零的实数,r1, r2, ... , rn 为实数,如果不等式 r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≤√(x12+ x22+ ... + xn2) + √(a12+ a22+ ... + an2) 对任何实数 x1, x2, ... , xn

成立,求 r1, r2, ... , rn 的值. 2. 设 C1,C2 为同心圆,C2 的半径是 C1 的半径的 2 倍,四边形 A1A2A3A4 内 接于 C1,将 A1A4 延长,交圆 C2 于 B1.设 A1A2 延长线交 C2 于 B2,A2A3 延长线交圆 C2 于 B3,A3A4 延长线交圆 C2 于 B4.试证:四边形 B1B2B3B4 的周长 2(四边形 A1A2A3A4 的周长).并确定的号成立的条件. 3. 在有限的实数列 a1, a2, ... , an 中,如果一段数 ak, ak+1, ... , ak+l-1 的算术平均 值大于 1988, 那么我们把这段数叫做一条"龙", 并把 ak 叫做这条龙的"龙 头"(如果某一项 an>1988,那么单独这一项也叫龙). 假设以上的数列中至少存在一条龙,证明:这数列中全体可以作为龙弄的 项的算术平均数也必定大于 1988. 4. (1)设三个正实数 a,b,c 满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4). 求证:a,b,c 一定是某个三角形的三条边长. (2)设 n 个正实数 a1, a2, ... , an 满足 (a12+ a22+ ... + an2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + an4)其中 n≥3. 求证:这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长. 5. 给出三个四面体 AiBiCiDi(i=1, 2, 3),过点 Bi,Ci,Di 作平面 αi,βi,γi(i=1, 2, 3), 分别与棱 AiBi, iCi, iDi 垂直(i=1, 2, 3), A A 如果九个平面 αi, i, i(i=1, β γ 2, 3)相交于一点 E,而三点 A1,A2,A3 在同一直线 l 上,求三个四面体的 外接球面的放条(形状怎样?位置如何?). 6. 如 n 是不小于 3 的自然数,以 f(n)表示不是 n 的因子的最小自然数,例如 f(12)=5.如果 f(n)3,又可作 f(f(n)).类似地,如果,f( f(n) )≥3,又可作 f( f( f(n)))等等. 如果 f( f(...f(n) ...)) =2, 共有 k 个 f, 就把 k 叫做 n 的"长度". 如果 ln 表示 n 的长度,试对任意自然数 n (n≥3),求 ln.并证明你的结论.

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