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高三 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

时间:2017-02-16


排列、组合、二项式定理与概率
知识梳理

教学重、难点

作业完成情况

典题探究 例 1 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一 点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠± 3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值.

x2 y2 1 例 2 如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.不 a b 2 过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

例 3 如图,椭圆的中心为原点 O,离心率 e=

2 a2 ,且 =2 2. 2 c

(1)求该椭圆的标准方程; → → → (2)设动点 P 满足:OP=OM+2ON,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜 率 1 之积为- .问:是否存在两个定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若存在,求 F1,F2 的 2 坐标;若不存在,说明理由.

x2 y2 例 4 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= a b 圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程;

2 ,且椭 3

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不 同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由. 演练方阵
A 档(巩固专练)

1.已知点 A(2,1) ,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,若抛物线上存在一点 P ,使得 PA ? PF 最 小,则 P 点的坐标为( A. (2,1) ) C. ( ,1)

B. (1,1)

1 2

D. ( ,1)

1 4

2 .已知椭圆 ( )

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合 , 则该椭圆的离心率是 2 a 2

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

2 2

D.

6 3

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,当 ?FPM 为等边三角形时,其面积为 A. 2 3 B.4 C .6 D. 4 3

4.已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 到其准线的距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K , 点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为( A.32 B.16 C .8 ) D.4 )

5. 点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点,P 到该抛物线焦点的距离为 4 , 则点 P 的横坐标为 (

A.2

B.3

C .4
2

D.5

6.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是( )

A.

3 5 5
2

B. 2

C.

11 5

D. 3

7. 抛物线 y ? 2 x 的准线方程是______;该抛物线的焦点为 F ,点 M ( x0 , y0 ) 在此抛物线上, 且 MF ?

5 ,则 x0 ? ______. 2

8.已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 ,且过点 2 a b 2

(2, 2) .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) M , N , P , Q 是椭圆 C 上的四个不同的点 , 两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和

PQ 分别过点 F1 , F2 ,且这两条直线互相垂直,求证:

1 1 ? 为定值. | MN | | PQ |

9. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 和点 P(4,0) ,垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,连结 PB 4 3

交椭圆 C 于另一点 E . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线 AE 与 x 轴相交于定点.

10 .已知椭圆 C 的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 一个顶点为 B(0,?1) , 且其右 焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离等于 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 3 (Ⅱ)是否存在经过点 Q(0, ) ,斜率为 k 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的 2 点 M , N ,并且 BM ? BN ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

B 档(提升精练)

1.双曲线 x2 - my 2 = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于 ( A.

) D. 4

1 4

B.

1 2

C. 2

2 2.抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P (x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,则

| PF | 的 | PA |

最小值是( A.

) B.

1 2

2 2

C.

3 2

D.

2 2 3

3.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点 2 a b


相同,则双曲线的渐近线方程为(

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ? 3 x

4.已知 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 分别是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,双 a 2 b2

曲线 C1 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? c2 的一个交点为 P ,且 2?PF1F2 ? ?PF2 F1 ,那么双曲线

C1 的离心率为(
A.



5 2

B. 3

C. 2

D. 3 ? 1

5.已知 P ( x, y ) 是中心在原点,焦距为 10 的双曲线上一点,且 则该双曲线方程是( A. ) B.

y x

的取值范围为 ( ?

3 3 , ), 4 4

x2 9 x2 16

?

y2 16 y2 9

?1

y2 9 y2 16

?

x2 16 x2 9

?1

C.

?

?1

D.

?

?1

6.已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 7 9


轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为( A.4
2

B.8 )

C.16

D.32

7.方程 x ? xy ? x 的曲线是( A.一个点

B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线

x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 a b
M , N 两点, O 为坐标原点.若 OM ? ON ,则双曲线的离心率为(
A. )

?1 ? 3 2

B.

1? 3 2

C.

?1 ? 5 2
2

D.

1? 5 2

9.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和

直线 l2 的距离之和的最小值是(



A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

10.椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的 a 2 b2


点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( A. ( , )

1 2 3 3

B. ( ,1)

1 2

C. ( ,1)

2 3

D. ( , ) ? ( ,1)

1 1 3 2

1 2

C 档(跨越导练) 1.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 C.36 B.24 D.48 ).

2.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半 径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) ).

x2 3.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线 2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上 a 的任意一点,则 O P · F P 的取值范围为( A.[3-2 3,+∞) 7 - ,+∞? C.? ? 4 ?

→ →

).

B.[3+2 3,+∞) 7 ? D.? ?4,+∞?

4.定 义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则 实数 a=________. y2 → → 5.已知双曲线 x2- =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1· PF2 3 的最小值为( A.-2 ). 81 B.- 16 C.1 D.0

6.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是( 4 A. 3 7 B. 5 8 C. 5 D.3

).

7.设抛物线 C:y2=4x,F 为 C 的焦点,过 F 的直线 L 与 C 相交于 A,B 两点. (1)设 L 的斜率为 1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA· OB是一个定值.

x2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不 2 同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向量 → → → OP+OQ与AB共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理由.

9.抛物线的顶点 O 在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上,过点 M(0,-2)作直线 l 与抛物线 → → 相交于 A,B 两点,且满足OA+OB=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点 P 从点 A 运 动到点 B 时,求△ABP 面积的最大值.

10.已知动点 P ( x, y ) 与一定点 F (1,0) 的距离和它到一定直线 l : x ? 4 的距离之比为

1 . 2

(Ⅰ) 求动点 P ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知直线 l ? : x ? my ? 1 交轨迹 C 于 A 、B 两点, 过点 A 、B 分别作直线 l : x ? 4 的垂线,垂足依次为点 D 、 E .连接 AE 、 BD ,试探索当 m 变化时,直线 AE 、 BD 是否相交于一定点 N ?若交于定点 N ,请求出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明 理由.

成长足迹

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