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广东省梅州、揭阳两市四校2013届高三理科数学第三次联考


广东省梅州、揭阳两市四校 2013 届高三第三次联考 理科数学试卷
(2013、04) 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150,考试时间 120 分钟,答卷前,考 生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效. 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题

5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项). 1、设集合 P ? ?1, 2,3? ,集合 Q ? x ? R 2 ? x ? 3 ,那么下列结论正确的是: A. P ? Q ? P B. Q ? P ? Q C. P ? Q ? P

?

?

(

)

D. P ? Q ? Q

2、 f ( x) ? x3 ? log 2 x ? 设 ( ) A. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件
2

?

x 2 ? 1 ,则对任意实数 a, b ,a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的
B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )
开始

?

3、方程 sin x ? 2sin x ? a ? 0 一定有解,则 a 的取值范围是 ( A. [?3,1] B. (??,1] C. [1, ??)

D. 以上都不对 ).

4、如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

k=1
S ?0
k ? 50?



? 5、将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象先向左平移 ,然后将所得图象 3 6 上所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得到的
图象对应的函数解析式为( A. y ? ? cos x C. y ? sin x ). B. y ? sin 4 x D. y ? sin( x ?

?

S ? S ? 2k

输出S
结束

?
6

)

k ? k ?1

6、等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且

S n 7 n ? 45 a ? ,则使得 n 为整数的 Tn n?3 bn

正整数 n 的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7、右图是一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的( )

8 4 4 6 8 A. 6 8 B. C. 8 4 6 8 6 4 D.
(第 7 题)

4

6

??? 2 ??? 1 ???? ? ? ???? 2 ??? 1 ???? ? 8、 如图,设 P、Q 为△ ABC 内的两点,且 AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC , 5 5 3 4
则△ ABP 的面积与△ ABQ 的面积之比为( )
C

1 5 1 C. 4
A.

B.

4 5 1 D. 3
A

Q P B

第8题 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:(本大题共6小题,每小题5分,满分30分). 9、化简:

(1 ? i ) 2 ? i



10、 一物体在力 F(x)=4x+2(力的单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=5 处(单位:m),则力 F(x)所作的功___________

?x ? y ? 4 ? 11、已知点 P( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最大值等于 ? x ?1 ?
_______,最小值等于____________. 12、 从装有 n ? 1个球 (其中 n 个白球, 个黑球) 1 的口袋中取出 m 个球 ? 0 ? m ? n, m, n ? N ? , 共有 Cn ?1 种取法。 在这 Cn ?1 种取法中, 可以分成两类: 一类是取出的 m 个球全部为白球, 共有 C1 ? Cn ? C1 ? Cn
0 m 1 m ?1 m m m m ? C10 ? Cn ?1 ,即有等式: Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 成立。试根据上述思 1 m ?1 m m ? Ck2 ? Cn ?2 ? ? ? Ckk ? Cn ?k ?

m

m

想 化 简 下 列 式 子 : Cn ? Ck ? Cn
m



(1 ? k ? m ? n, k , m, n ? N ) 。
▲选做题:以下三小题请选做其中两题,若三小题都做的,只计前两小题得分。 13、如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=720,⊙O 过 A、B 两点且 与 BC 相切于点 B, 与

AC 交于点 D,连结 BD,若 BC= 5 ? 1 ,则 AC= 14、极坐标方程

。 ,

A

4 sin 2 ? ? 3 化为直角坐标方程是
_

O? D B C

它表示的图形是 _ 15、设 x,y 均为正实数,且

1 1 1 ? ? ,则 xy 的最小值为 2? x 2? y 3

第 13 题图

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)。 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

cos 4 x ? 1 2 cos( ? 2 x) 2

?

? cos2 x ? sin 2 x.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)在所给坐标系中画出函数在区间 [ (只作图不写过程).

? 4?
3 , 3

] 的图象

17、(本小题满分 14 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,问: (1)两数之和为 8 的概率; (2)两数之和是 3 的倍数的概率; (3)两数之积是 6 的倍数的概率。 (4)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 2 2 x +y =25 的内部的概率。

18、(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P ?1, ?2 ? 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 .
3 2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式;19、(本题满分 14 分)

如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, E 是 CD 的中点,以 AE 为折痕将 ?DAE 向上 折起,使 D 为 D? ,且平面 D?AE ? 平面 ABCE . (Ⅰ)求证: AD? ? EB ; (Ⅱ)求直线 AC 与平面 ABD? 所成角的正弦值.

D

E

C

D? E
C

A

B
19 题

A

B

y
20. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, , AB 边所在直线的 0) 方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 T (?11) 在 AD 边所在直线上. , (I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程;

C

T D O N A
20 题

M B

x

(III)若动圆 P 过点 N (?2, ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的方程. 0)

21、(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? log m x (m 为常数,m>0 且 m ? 1 ) 设 f (a1 ), f (a2 ),?, f (an )( n ? N ? ) 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列; (Ⅱ)若 bn=an· f (a n ) ,且数列{bn}的前 n 项和 Sn,当 m ?

2 时,求 Sn;

(Ⅲ)若 cn= an lg an ,问是否存在 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在, 求出 m 的范围;若不存在,说明理由.

(2)函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围。

广东省梅州、揭阳两市四校 2013 届高三第三次联考 数学(理科)参考答案
一:选择题 题号 答案代号 二.填空题: 13、 1.C; 2、A; 2 1 C 9.2 2 A 3 A
m

4 C 11、
2 2

5 C

6 B

7 A 12 . 60 15、 16

8 B

10、 C n ? k

10 ,

2

14、 y ? ? 3x (或 y ? 3x ) , 两条直线

P ? Q ? ?2,3? ,
显然 f ( x) ? x3 ? log 2 x ?

P ?Q ? P

?

x 2 ? 1 为奇函数,且单调递增。于是 若 a ? b ? 0 ,

?

则 a ? ?b ,有 f (a) ? f (?b) ,即 f (a) ? ? f (b) ,从而有 f (a) ? f (b) ? 0 . 反 之 , 若 f (a) ? f (b) ? 0 , 则 f ( a) ? ? f ( b) ? f (? b,)推 出

a ? ?b , 即

a ? b ? 0 。故选 A。
3、A; 4、C; 由 a ? ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? sin ? ? 1? ? 1 , 知
2 2

?3 ? a ? 1 ;

S ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 50 ?

50 ? (2 ? 100) ? 255 0 2

5、C;

横坐标变为原来的2倍 6 y ? sin(2 x ? ) ???? y ? sin 2 x ??????? y ? sin x ? ? 3

?

向左平移

?

6、B;

an (2n ? 1)an S2 n ?1 14n ? 38 7 n ? 19 33 ? ? ? ? ? 7? bn (2n ? 1)bn T2 n ?1 2n ? 4 n?2 n?2

n ? 2 ? 1或3或11或33 ,
7、A 8、B; 如下图,设 AM ?

n ? 3或5或13或35 ;

把握住 4,6,8 三个面有一个共同的顶点这一个特点

??? ???? ???? ? ? ? 2 ??? ???? 1 ???? AB , AN ? AC ,则 AP ? AM ? AN . 5 5 ???? ?ABP AN 1 ? ???? = ,同理可 由平行四边形法则,知 NP∥AB,所以 ?ABC 5 AC

???? ?

C

Q N P M B



?ABP 4 ?ABQ 1 ? ,选 B. ? .故 ?ABQ 5 ?ABC 4

A

9、2(略) 10、60; 力 F(x)所作的功为 ? (4x ? 2)dx ? 60
0 5

11、 10, 2 所以选 A

从图中看出 PO

max

? OA ? AB2 ? OB2 ? ( 2)2 ? (2 2)2 ? 10 ,

A B C O

PO min ? OC ? 2
12、C n ? k ; 根据题中的信息, 可以把左边的式子归纳为从 n ? k 个球 (n 个白球, 个黑球) k
m

中取出 m 个球,可分为:没有黑球,一个黑球,??,k 个黑球等 ? k ? 1? 类, 故有 C n ? k 种取法。 13、2; 由已知得 解得 , B D? A D B C BC 2 ? CD ? AC ? ( AC ? BC )?AC , ?
m

AC ? 2
2 2 2

2 14、 y ? ? 3x ;两条直线;由 4sin ? ? 3 ,得 4 ? sin ? ? 3?

, 4 y ? 3( x ? y ) ,
2 2 2

y 2 ? 3x 2 , y ? ? 3x ;两条直线
15、16; 由

1 1 1 ? ? 可化为 xy =8+x+y,?x,y 均为正实数 2? x 2? y 3

? xy =8+x+y ? 8 ? 2 xy (当且仅当 x=y 等号成立)即 xy-2 xy -8 ? 0
可解得

xy ? 4 ,即 xy ? 16 故 xy 的最小值为 16。

三、解答题: 16、(本小题满分 12 分) 解: f ( x) ?
1 ? 2 sin 2 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin 2 x

? 2 sin(2 x ?

?
4

).

??????3 分

(Ⅰ)函数 f (x) 的最小正周期 T ?

2? ?? , 2

??????5 分

令 2k? ?

3 ? 2k? ? ? , k ? Z , 2 ? 5 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? ? , k ? Z 4 4 ? 5 kx ? ? x ? k? ? ? , k ? Z . 8 8 2 ? 2x ? 4

?

?

∴函数 f (x) 的单调递减区间为 [k? ? (Ⅱ)

?

5 , k? ? ? ], (k ? Z ) 8 8

????7 分

---------------12 分

17、(本小题满分 14 分) 解: 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件-----------1 分 (1) 记“两数之和为 8”为事件 A,则事件 A 中含有 5 个基本事件, 所以 P(A)=

5 ; 36 5 。--------------------------------------- 4 分 36

答:两数之和为 6 的概率为

(2)记“两数之和是 3 的倍数”为事件 B,则事件 B 中含有 12 个基本事件, 所以 P(B)=

1 ; 3 1 。-------------------------------7 分 3

答:两数之和是 3 的倍数的概率为

(2) 记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 C,则事件 C 中含有其中的 15 个等可能 基本事件, 所以 P(C)=

15 5 ? , 36 12 5 。-------------------------------10 分 12

答:两数之积是 6 的倍数的概率为

(3) 基本事件总数为 36,点(x,y),在圆 x2+y2=25 的内部记为事件 D,则 D 包含 13 个事件, 所以 P(D)=

13 。 36

答:点(x,y)在圆 x2+y2=25 的内部的概率

13 。----------------------14 分 36

18、(本小题满分 13 分) 解: f
'

? x ? ? ?3x 2 ? 2ax ? b ,

-----------------2 分

因为函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,------------------------3 分
'

又 f ?1? ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 。------------------------4 分 (1)函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,-------5 分 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 ,------------------------------------------7 分 所以 f ? x ? ? ? x ? 2 x ? 4 x ? 3 .------------------------------------8 分
3 2

(2)因为函数 f ? x ? 在区间 ? ?2, 0? 上单调递增,所以导函数 f

'

? x ? ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间

? ?2, 0? 上的值恒大于或等于零,------------------------------------10 分
则?

? f ' ? ?2 ? ? ?12 ? 2b ? b ? 0, ? 得b ? 4, ? f ' ? 0 ? ? b ? 0, ?

所以实数 b 的取值范围为 ? 4, ?? ? .----------------------------------13 分 19、(本小题满分 13 分) 解 (Ⅰ) Rt ?BCE 中,BE ? 在 在 Rt ?AD?E 中, AE ?
2 2 2

BC 2 ? CE 2 ? 2 ,

D?

D?A2 ? D?E 2 ? 2 ,
2

∵ AB ? 2 ? BE ? AE ,

E

G

C

F ∴ AE ? BE .---------------------------2 分 ∵平面 AED? ? 平面 ABCE ,且交线为 AE , A ∴ BE ? 平面 AED? . 19-2 ∵ 平 面 , ∴ AD? ? AED? A ?? D .------------------------------------5 分 B E (Ⅱ)设 AC 与 BE 相交于点 F ,由(Ⅰ)知 AD? ? BE , ∵ AD? ? ED? ,∴ AD? ? 平面 EBD? , ∵ AD? ? 平面 AED? ,∴平面 ABD? ? 平面 EBD? ,且交线为 BD? ,---------7 分 如图 19-2,作 FG ? BD? ,垂足为 G ,则 FG ? 平面 ABD? , 连结 AG ,则 ?FAG 是直线 AC 与平面 ABD? 所成的角.-------------------9 分

B

由平面几何的知识可知

1 2 EF EC 1 .--------------11 分 ? ? ,∴ EF ? EB ? 3 3 FB AB 2
AE 2 ? EF 2 ? 2 ? 2 2 5 ? , 9 3

在 Rt ?AEF 中, AF ?

2 6 ?E FG 30 2 6 FG D 在 Rt ?EBD? 中, ,可求得 FG ? .∴ sin ?FAG ? . ? 9 ? ? 9 AF 2 5 15 FB D?B 3
------------------------------------------------------------------------13 分 20、(本题满分 14 分) 【解析】(I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 .又因为点 T (?11) 在直线 AD 上, , 所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) . 3x ? y ? 2 ? 0 .-----------------3 分 (II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3 x ? y ? 2 = 0

------------4 分

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, . 0) 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ? -----------------6 分

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 .----------------------9 分 (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 .------------------------11 分 故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? 2 ,半焦距 c ? 2 . 所以虚半轴长 b ?

c2 ? a2 ? 2 .

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . -----------------14 分 2 2

21、(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题意 f (a n ) ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2, ∴ an ? m
2n?2

即 log m a n ? 2n ? 2, ????????2 分

a n ?1 m 2 ( n ?1) ? 2 ? ? m2 ∴ 2n?2 an m

∵m>0 且 m ? 1 ,∴m2 为非零常数, ????4 分

∴数列{an}是以 m4 为首项,m2 为公比的等比数列 (Ⅱ)由题意 bn ? a n f (a n ) ? m 当m ?
2n?2

log m m 2 n? 2 ? (2n ? 2) ? m 2 n? 2 ,

2时,bn ? (2n ? 2) ? 2 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n ? 2
3 4 5 n?2

∴ S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ①式两端同乘以 2,得



????6 分

2S n ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? 4 ? 2 6 ? ? ? n ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3
②-①并整理,得



????7 分

S n ? ?2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? 2 6 ? ? ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3

? ?2 3 ? [2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? ? ? 2 n? 2 ] ? (n ? 1) ? 2 n?3
=?2 ?
3

2 3 [1 ? 2 n ] ? (n ? 1) ? 2 n ?3 1? 2

? ?2 3 ? 2 3 (1 ? 2 n ) ? (n ? 1) ? 2 n?3

? 2 n?3 ? n

-----------------------------------------------10 分
2n?2

(Ⅲ)由题意 cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? m 要使 c n ?1 ? c n 对一切 n ? 2 成立, 即

lg m

n lg m ? (n ? 1) ? m 2 ? lg m 对一切 n ? 2 成立, n ? (n ? 1)m 2 对n ? 2 成立;
2

①当 m>1 时,

????12 分

②当 0<m<1 时, n ? (n ? 1)m ∴n ?

m2 m2 ? 2, 对一切 n ? 2 成立,只需 1 ? m2 1? m2

解得 ?

6 6 , 考虑到 0<m<1, ?m? 3 3

∴0<m<

6 . 3

综上,当 0<m<

6 或 m>1 时,数列{cn }中每一项恒小于它后面的项. ----------14 分 3


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