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磁力小火车


磁力小火车之理论分析
在本节中,我们将会对磁力小火车的运动过程进行受力分析。 在受力分析的过程之中, 我们分电池所受动力和阻力两个方面进行讨论, 在讨论结束后, 我们还将对我们所做的理论分析和实际结果之间进行对比并且改善。下面首先考虑动力。 小火车所受的动力主要由电池两端的磁铁在磁场中的受力提供。 为了计算磁铁在磁场中 的受力情况,我们首先从磁偶极矩的势能开始推导。

r />
根据电动力学,

又,针对此式的积分,运用磁偶极子的定义[1]:

其中,

为回路电流,

是回路面积矢量。

因此,一个磁偶极子在磁场中的势能为[2]

由此,及

所以,该磁偶极矩在磁场中的受力:

因此,求磁铁在磁场中受力的问题就可以转化为求磁铁所处位置处的磁场问题了。 接下来,我们开始求磁场的变化率。 由于在短时间内,电池的内阻几乎可以视作不变,因此短时间内电流可以视作恒定。所 以我们使用毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律计算磁铁出的磁场

自由运动·磁力小火车

在此处,我们设线圈匝数密度为

由于磁力小火车的磁铁始终处于有电流的螺线管的两端, 因此为了求磁铁所处位置的磁 场变化量,我们需要找出磁铁所处位置一小段 由于对此两段 磁场的梯度变化。

磁场不同。因此,为了计算此处的磁场梯度变化,我们只需要求出最左端和最右段螺线管在 此处的磁场差即可得到 由此,我们有 。

为了化简这个式子, 我们对其进行必要的变形处理。 设远处螺线管与螺线管中心轴的张 角之差为 ,则

式子便可化简为:

因此,根据我们先前推断出的磁场力公式,可得

又,由于小火车有前后两个磁铁,此两个磁铁具有良;好的对称性。因此对小火车列整 体受力分析,可得:

由于在磁场中电池的长度不变,所以前进过程中的

至此,我们得到了磁力小火车前进过程中动力的计算式。下面通过对该式的观察,我们 得到,小火车在前进过程中受的电磁力与 成正比。

n ? ? ? ? x ? B ?
,小段的长度为 。 处磁场强度做出贡献的螺线管几乎相同, 只有最左端和最右端两处的 始终保持不变。 自由运动·磁力小火车

因此,在理想状态下,在小火车通过弹簧时,电池的内阻几乎不变,电池的长度不变所 以在前进过程中接入电路的螺线管长度始终恒定, 因此小火车在前进的过程中, 电路之中的 始终不变,因此所受电磁力始终为恒力。 但是,在实际实验过程中,我们通过对小火车前进的影响分析,可知小火车的前进并不 遵循严格的匀加速运动。细想之下,不难发现,这是由于小火车前进过程中还存在阻力导致 的。 下面,我们对小火车前进过程中所受阻力情况进行分析。 为了使得电池在前进过程之中磁铁始终保持与线圈接触, 我们特地选用具有特效聚能环 的南孚 7 号电池,并在电池两端使用吸铁石吸附上稍大于电池半径的磁铁。因此,纵使小火 车在前进的过程之中会由于线圈的原因上下颠簸, 但是小火车两端的磁铁始终不会脱离线圈, 因此所受力也不发生变化。 此外, 为了保持在摄像过程之中弹簧轨道不动, 我们使用胶带将其固定在一个贴有坐标 纸的木板之上。但是,由于胶带具有良好的绝缘性,考虑到线圈铜丝的半径,我们认为在线 圈之外使用胶带固定并不会对小火车的前进过程中受力造成影响。 因此,我们不难发现,小火车前进过程中的阻力,主要是小火车两端磁铁和线圈的前后 颠簸、接触的过程之中的碰撞所造成的。 由于小火车的速度很快,线圈密度大,因此线圈线圈之间的间隙远小于电池的长度。因 此,每次小火车磁铁和铜丝的碰撞可以认为是独立的、有周期性的事件。 考虑到实际问题的复杂性和水平的有限性, 我们接下来建模, 在能力允许的范围之内对 其进行简要的分析。 由于电池两端的磁铁大于电池的半径, 因此在磁铁的一端刚刚越过其中一个线圈铜丝的 时候,整个小火车以另一端的电池为轴,进行直线运动和圆周运动的复合运动。 经过讨论,我们罗列出可能对小火车速度造成影响的几个因素: ? 线圈密度 ? 电池的新旧程度 ? 磁铁大小 至此,我们看出,影响阻力的因素不只有一个,我们不妨换个思路。 建模的方式通过科学的手段和分析对受力的模拟, 我们为什么不直接测量小火车的受力 呢?小火车在前进的过程中一旦达到稳定状态,所受到的阻力即是恒定的。因此,我们只需 要通过平衡摩擦力的方式测量出小火车在前进过程中所受到的阻力即可。 由于电池两端的磁铁可能影响小火车前进时的摩擦力, 因此我们需要找出一个既不会改 变磁铁, 有能使小火车在前进过程中尽量少甚至不受电磁力的方案来进行测量。 经过一番讨 论之后,我们发现,只要将小火车两端的磁铁换成

状态即可。 在这种状态下, 小火车两段受力情况相反, 小火车总体不受电磁力的作用。 因此, 只需要将螺线管倾斜一定角度, 使得小火车在重力分力的作用情况下下滑。 我们只需要使用 Tracker 对其加速度进行分析,在稳定情况下的加速度和重力分量的加速度之差,即为线圈 阻力。 此时,将小火车两端的磁铁换为 、 级相对,小火车即可正常行驶。但是为了使影

响摩擦力的因素不变, 我们依旧使小火车在倾斜的状态下下滑。 下滑的小火车会在重力分量 的影响下较平放螺线管时更快,我们只需要去掉重力分量的影响即可。 因此,我们同时可以模拟计算出当前情况下的动力和阻力,对此进行相加计算,就可以 自由运动·磁力小火车

I


级相对,或者



级相对的

得出小火车在稳定状态下的加速度。 为了验证这个结论, 我们在同一倾斜角下先后测量小火 车的动力和阻力,然后拍摄慢动作视频使用 Tracker 对其进行分析。 实验结果如下:

>▽<
我们发现,实验结果与理论结果依旧不符。为了解决这个难题,我们持此结果与同学、 老师进行商讨,终于发现了问题的真相。 有同学认为,小火车在前进的过程中几乎被短路,流过电池的电流极大,因此造成电池 发热、电池迅速消耗,内阻急剧增大。因此在小火车前进的过程之中,将电池认定为理想状 况下的恒定不变会导致较大的误差。即是说,即使在开始的理论推导中,我们得出 成正比的结论虽然没有错误,但是在小火车前进过程之中却不能再认为 与

是恒定量了。因

此,电池的消耗对小火车结果的分析造成了一定误差。为了解决这个问题,我们可以使用恒 压电源接在螺线管两端。 此外,还有同学认为,小火车前进时的速度不同,可能导致小火车在前进过程中所受的 阻力也不同。在认真分析下,我们发现了这条推测的合理性。因为小火车前进速度不同,两 端磁铁跨过线圈的频率、碰撞的时间、方式、程度等等均会发生变化。因此,我们在直接倾 斜螺线管时所测量出的阻力大小并不能直接套用于下一个试验。 我们应当适当增加螺线管长 度,在同样的倾斜角下使用 Tracker 分析并得出不同速度情况下的瞬时加速度,这样就可以 得到一个阻力-速度曲线,在小火车达到稳定状态后,在相应的速度下寻找此时所对应的阻 力,即可得出结论。 [1] 曹昌祺《电动力学》人民教育出版社 1978。117—123 [2] 邱荒逸《磁偶极子与磁场的相互作用能与相互作用力》

自由运动·磁力小火车

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