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2012年高考试题分类汇编:数列(文)

时间:2012-06-23


2012 年高考试题分类汇编:数列
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ a n } 的各项都是正数,且 a 3 a 1 1 =16,则 a 5 = (A) 1 【答案】A (B)2 (C) 4 (D)8

2.【2012 高考全国文 6】已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1

, S n ? 2 a n ? 1 ,,则 S n ? (A) 2
n ?1

(B) ( )
2

3

n ?1

(C) ( )
3

2

n ?1

(D)
2

1
n ?1

【答案】B 3.【2012 高考新课标文 12】数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【答案】D 4.【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 【答案】B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。 5.【2012 高考湖北文 7】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给 定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现有定义在 (-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x?;②f(x)=2x;③ =ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 7. 【答案】C 6.【2012 高考四川文 12】设函数 f ( x ) ? ( x ? 3) ? x ? 1 ,数列 { a n } 是公差不为 0 的等差数
3

(B) 16

(C) 20

(D)24

;④f(x)

列, f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? ? ? f ( a 7 ) ? 1 4 ,则 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 7 ? ( A、0 【答案】D. B、7 C、14
n? 2

) D、21

7.【2102 高考福建文 11】数列{an}的通项公式 a n ? cos A.1006 【答案】A. B.2012 C.503 D.0

,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于

8.【2102 高考北京文 6】已知为等比数列,下面结论种正确的是

(A)a1+a3≥2a2 (B) a 1 ? a 3 ? 2 a 2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4>a2
2 2 2

【答案】B 9.【2102 高考北京文 8】某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记 录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为

(A)5(B)7(C)9(D)11 【答案】C

二、填空题
10.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4 ? 【答案】15 11.【2012 高考新课标文 14】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ 【答案】 ? 2 12.【2012 高考江西文 13】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意 的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。

【答案】11
1 2

13.【2012 高考上海文 7】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 积分别记为 V1 , V 2 , ..., V n , ... ,则 lim (V1 ? V 2 ? ... ? V n ) ?
n? ?

为公比的等比数列,体

【答案】

8 7


1 8
8 7

【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,
1? 1
n 8 1 8 = (1 ? n ) ,∴ 1 7 8

为公比的等比数列,

∴ V 1 + V 2 +?+ V n =
1?



8

14.【2012 高考上海文 14】已知 f ( x ) ?

1 1? x

,各项均为正数的数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 ,

a n ? 2 ? f ( a n ) ,若 a 2 0 1 0 ? a 2 0 1 2 ,则 a 2 0 ? a1 1 的值是
3 ? 13 26

【答案】

5



15.【2012 高考辽宁文 14】已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 , 则数列{an}的公比 q = _____________________. 【答案】2 16.【2102 高考北京文 10】已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a 1 ? a2=______,Sn=_______。 【答案】 a 2 ? 1 , S n ?
1 4 n ?
2

1 2

,S2=a3,则

1 4

n 1 2

17.【2012 高考广东文 12】若等比数列 ? a n ? 满足 a 2 a 4 ? 【答案】
1 4

,则 a1 a 3 a 5 ?
2

.

三、解答题
2 18. 【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sn= 2 n ? n , 且

n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
【解析】

(1) 由 Sn= 2 n 2

?n

,得

当 n=1 时, a1 ? S 1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n 2 ? n ? ? 2 ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) ? ? 4 n ? 1 ,n∈N﹡. ? ? 由 an=4log2bn+3,得 b n ? 2 n ? 1 ,n∈N﹡.

(2)由(1)知 a n b n

? ( 4 n ? 1) ? 2
2

n ?1

,n∈N﹡
n ?1

所以 T n ? 3 ? 7 ? 2 ? 1 1 ? 2 ? ... ? ? 4 n ? 1 ? ? 2



2 T n ? 3 ? 2 ? 7 ? 2 ? 11 ? 2 ? ... ? ? 4 n ? 1 ? ? 2
2 3 n 2

n


)]

2 T n ? T n ? ? 4 n ? 1 ? ? 2 ? [3 ? 4 (2 ? 2 ? ... ? 2
? ( 4 n ? 5) 2 ? 5
n

n ?1

T n ? ( 4 n ? 5) 2 ? 5 ,n∈N﹡.
n

19.【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 { a n } 和 {b n } 满足:
a n ?1 ? a n ? bn a n ? bn
2 2

,n ? N * ,

(1)设 b n ? 1 ? 1 ?

bn an

?? b ?2 ? ? ? , n ? N * ,求证:数列 ? ? n ? ? 是等差数列; ?? an ? ? ? ?

(2)设 b n ? 1 ?

2 ?

bn an

, n ? N * ,且 { a n } 是等比数列,求 a 1 和 b1 的值.
bn an
a n ? bn a n ? bn
2 2

【答案】解: (1)∵ b n ? 1 ? 1 ?

,∴ a n ? 1 ?

=

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2





bn ?1 a n ?1

?

?b ? 1? ? n ? 。 ? an ?
2

2

2 2 2 ? 2 ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ∴ ? n ?1 ? ? ? n ? ? ? 1 ? ? n ? ? ? ? n ? ? 1 ? n ? N * ? ? ? ? ? a n ?1 ? ? an ? ? an ? ? ? an ? ? ?



?? b ?2 ? ? ? ∴数列 ? ? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?

(2)∵ a n > 0, b n > 0 ,∴

? an

? bn ? 2

2

? a n ? bn < ? a n ? bn ? 。
2 2 2

∴ 1 < a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

?

2 。 (﹡)

设等比数列 { a n } 的公比为 q ,由 a n > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =
a2 q < a2 ? 2 ,∴当 n > lo g q

2 a1

时, a n ? 1 ? a1 q n >

2 ,与(﹡)矛盾。

若 0 < q < 1, 则 a1 =

a2 q

> a 2 > 1 ,∴当 n > lo g q

1 a1

时, a n ?1 ? a1 q n < 1 ,与(﹡)矛盾。

∴综上所述, q =1 。∴ a n ? a1 ? n ? N * ? ,∴ 1 < a1 ?

2 。

又∵ b n ? 1 ?

2?

bn an

=

2 a1

? bn

? n ? N * ? ,∴ {b n } 是公比是

2 a1

的等比数列。

若 a1 ?

2 ,则

2 a1

> 1 ,于是 b1 < b 2 < b3 。

又由 a n ? 1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

即 a1 ?

a1 ? b n a1 ? b n
2 2

,得 b n =

a1 ? a1

2 2

2 ? a1

2

a1 ? 1



∴ b1, b 2, b3 中至少有两项相同,与 b1 < b 2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。
2 ?

∴ bn =

? ?

2

?

2

2?

?

2

?

2

2

?

2

=

2 。

?1

∴ a1 = b 2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ? 1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 b n ?1 ? 1 ?

bn an

,求出

bn ?1 a n ?1

?

?b ? 1 ? ? n ? ,从而 ? an ?

2

证明 ?

? bn ?1 ? ? bn ? ? ?? ? ? 1 而得证。 ? a n ?1 ? ? an ?

(2)根据基本不等式得到 1 < a n ? 1 ? 的公比 q =1 。 从而得到 a n ? a1 ? n ? N * ? 的结论,再由 b n ? 1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

?

2 ,用反证法证明等比数列 { a n }

2?

bn an

=

2 a1

? b n 知 { b n } 是公比是

2 a1

的等比

数列。最后用反证法求出 a1 = b 2 = 2 。 20. 【2012 高考四川文 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,常数 ? ? 0 ,且 ? a1 a n ? S 1 ? S n 对一切正整数 n 都成

立。 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 a 1 ? 0 , ? ? 1 0 0 ,当 n 为何值时,数列 { lg 【解析】
1 an } 的前 n 项和最大?

21.【2012 高考湖南文 20】 (本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投 入生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求 企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 a n ? 1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金 d 的值(用 m 表示). 【答案】 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50% ) ? d ? 3000 ? d ,
a 2 ? a 1 (1 ? 5 0 % ) ? d ? 3 2 a1 ? d , 3 2 an ? d .

a n ? 1 ? a n (1 ? 5 0 % ) ? d ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a n ?

3 2 3

a n ?1 ? d

3 2 ? ( ) an?2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an?2 ? d ) ? d 2 2 ??

3 n ?1 3 3 2 3 n?2 ? ? ? ( ) a1 ? d 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? ?. 2 2 2 2 ? ? 3 n ?1 a n ? ( ) (3 0 0 0 ? d ) ? 2 d 2 ? 3 n ?1 ? ( ) ?1 ? 2 ? ? ?

整理得

3 n ?1 ? ( ) (3 0 0 0 ? 3 d ) ? 2 d . 2 3 n ?1 由题意, a n ? 4 0 0 0,? ( ) (3 0 0 0 ? 3 d ) ? 2 d ? 4 0 0 0, 2

? 3 n ? ( ) ? 2 ? 1000 n n ?1 ? 2 ? 1 0 0 0 (3 ? 2 ) ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ?2 ( ) ?1 2
1 0 0 0 (3 ? 2
n n ?1

故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

)

3 ?2
n

n

时, 经过 m ( m ? 3) 年企业的剩余资金为

4000元. 【点评】 本题考查递推数列问题在实际问题中的应用, 考查运算能力和使用数列知识分析解 决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 a n ? 1 与 an 的关系式 a n ? 1 ? 只要把第一问中的 a n ? 1 ?
3 2 a n ? d 迭代,即可以解决. 3 2 a n ? d ,第二问,

22.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 { a n } 为等差数列,且 a1 ? a 3 ? 8, a 2 ? a 4 ? 1 2, (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 记 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , a k , S k ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值。 【解析】 (Ⅰ)设数列 { a n } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? 2 ? 2 ( n ? 1) ? 2 n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a
2 k

? 2 a1 ? 2 d ? 8 ? 2 a1 ? 4 d ? 1 2

解得 a1 ? 2, d ? 2

( a1 ? a n ) n 2
2

?

(2 ? 2n)n 2

? n (1 ? n )

因 a1 , a k , S k ? 2 成等比数列,
2

? a1 S k ? 2

从而 ( 2 k ) ? 2 ( k ? 2 )( k ? 3)

,即

k ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ? 1 (舍去) ,因此 k ? 6 。 23.【2012 高考陕西文 16】已知等比数列 ? a n ? 的公比为 q=(1)若 a 3 =
1 4 1 2

.

,求数列 ? a n ? 的前 n 项和;

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , a k , a k ? 2 , a k ? 1 成等差数列。

【答案】

24.【2012 高考湖北文 20】 (本小题满分 13 分) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前 n 项和。 20. 【答案】

【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以 及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 a n ? a1 ? ? n ? 1 ? d 求解;有时需要 利用等差数列的定义:a n ? a n ?1 ? c ( c 为常数)或等比数列的定义:
an a n ?1 ? c '( c ' 为常数,

c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数

列或等比数列, 但它含有无数项却是等差数列或等比数列, 这时求通项或求和都需要分段讨 论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012 高考天津文科 18】 (本题满分 13 分)

已知 } { 是等差数列, 其前 n 项和为 S n , { (I)求数列{ }与{ (II)记 = + }的通项公式;

} 是等比数列, = 且

=2, a 4 ? b 4 ? 27 , - =10

, (n

,n>2) 。

【答案】

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 { a n } 的前 5 项和为 105,且 a 20 (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 { a n } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 b m .求数列 {bm } 的前 m 项 和 Sm .
? 2 a5

.

【答案】 (I)由已知得: ? 解得 a1
? 7, d ? 7

? 5 a1 ? 1 0 d ? 1 0 5, ? a1 ? 9 d ? 2 ( a 1 ? 4 d ),

,
? 7 ? ( n ? 1) ? 7 ? 7 n .

所以通项公式为 a n

(II)由 a n ? 7 n ? 7 2 m ,得 n ? 7 2 m ?1 , 即 bm ? 7 2 m ?1 . ∵
bk ?1 bk ? 7 7
2 m ?1 2 m ?1

? 49



∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?
7 (1 ? 4 9 )
m

1 ? 49

?

7 48

(49

m

? 1) .

27.【2012 高考全国文 18】(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 { a n } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求 { a n } 的通项公式。 【答案】
n?2 3 an 。

28.【2012 高考安徽文 21】 (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) =
x 2

+ sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 { x n } .

(Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)设 { x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】 【解析】 (I) f ( x ) ?
f ?( x ) ? 0 ? 2 k ? ? f ?( x ) ? 0 ? 2 k ? ? x 2 2? 3 2? 3 ? sin x ? f ? ( x ) ? ? x ? 2k? ? ? x ? 2k? ? 2? 3 4? 3 1 2 (k ? Z ) , (k ? Z ) , ? co s x ? 0 ? x ? 2 k ? ? 2? 3 (k ? Z ) ,

得:当 x ? 2 k ? ? 得: x n ? 2 n ? ?

2? 3

( k ? Z ) 时, f ( x ) 取极小值,

2? 3


2? 3 2 n? 3 ? n ( n ? 1) ? ? 2 n? 3

(II)由(I)得: x n ? 2 n ? ?

。 。

S n ? x1 ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ?

当 n ? 3 k ( k ? N ) 时, sin S n ? sin ( ? 2 k ? ) ? 0 ,
* * 当 n ? 3 k ? 1( k ? N ) 时, sin S n ? sin

2? 3 4? 3

?

3 2



* 当 n ? 3 k ? 2 ( k ? N ) 时, sin S n ? sin

? ?

3 2



得: 当 n ? 3 k ( k ? N ) 时, sin S n ? 0 ,
* * 当 n ? 3 k ? 1( k ? N ) 时, sin S n ?

3 2



* 当 n ? 3 k ? 2 ( k ? N ) 时, sin S n ? ?

3 2



【2012 高考上海文 23】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小 题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于项数为 m 的有穷数列 ? a n ? ,记 b k ? m ax ? a1 , a 2 , ..., a k ? ( k ? 1, 2, ..., m ) ,即 b k 为
a1 , a 2 , ..., a k 中的最大值,并称数列 ? b n ? 是 ? a n ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列

是 1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ? a n ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ? a n ? (2)设 ? b n ? 是 ? a n ? 的控制数列,满足 a k ? b m ? k ? 1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2, ..., m ) ,求证:
b k ? a k ( k ? 1, 2, ..., m )
?1 ? 2 (3)设 m ? 100 ,常数 a ? ? ,1 ? ,若 a n ? a n ? ( ? 1) ?2 ?
n ( n ? 1) 2

n , ? b n ? 是 ? a n ? 的控制数列,

求 ( b1 ? a1 ) ? ( b 2 ? a 2 ) ? ... ? ( b1 0 0 ? a1 0 0 ) 【 答 案 】

【2012 高考广东文 19】 (本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 前 n 项和为 S n ,数列 ? S n ? 的前 n 项和为 T n ,满足 T n ? 2 S n ? n , n ? N .
2
*

(1)求 a 1 的值; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2 S 1 ? 1 。 因为 T1 ? S 1 ? a1 ,所以 a1 ? 2 a1 ? 1 ,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, S n ? T n ? T n ?1 ? 2 S n ? n ? [2 S n ?1 ? ( n ? 1) ] ? 2 S n ? 2 S n ?1 ? 2 n ? 1 ,
2 2

所以 S n ? 2 S n ? 1 ? 2 n ? 1 所以 S n ? 1 ? 2 S n ? 2 n ? 1

① ②

② ? ①得 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 , 所以 a n ? 1 ? 2 ? 2( a n ? 2) ,即
a n ?1 ? 2 an ? 2 ? 2 (n ? 2) ,

求得 a1 ? 2 ? 3 , a 2 ? 2 ? 6 ,则

a2 ? 2 a1 ? 2

? 2。

所以 ? a n ? 2 ? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 a n ? 2 ? 3 ? 2
n ?1



所以 a n ? 3 ? 2

n ?1

? 2 ,n ? N 。
*

【2102 高考福建文 17】 (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的 值相等的概率。









【2012 高考江西文 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 S n ? kc ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3
n

(1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? k ( c ? c
n n ?1

)

则 a n ? S n ? S n ?1 ? k ( c ? c
n 6 5

n ?1

)
2

a6 ? k (c ? c ) , a3 ? k (c ? c )
3

a6 a3

?

c ?c
6

5 2

c ?c
3

? c ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k ( c ? c ) ? 4 ,解得 k=2,∴ a n ? 2 (n)1)
3

2

1

n

当 n=1 时, a1 ? S 1 ? 2

综上所述 a n ? 2 ( n ? N )
n *

(2) n a n ? n 2 ,则
n

T n ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n 2 (1)
2 3 n

2Tn ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ( n ? 1) 2 ? n 2
2 3 4 n
2 3 n n ?1

n ?1

(1)-(2)得
(2)

? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n 2 T n ? 2 ? ( n ? 1)2
n ?1


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