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数列[1].版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版

时间:2011-02-01


等比数列的通项公式与求和

典例分析
【例1】 在等比数列 {an } 中, a2 = 2 , a5 = 128 ,则它的公比 q = _______,前 n 项和
Sn = _______.

【例2】 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 = 5 ,则 a4 =



【例3】 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 A. 2 B.
7 3

S6 S = 3 ,则 9 = ( S6 S3


D. 3

C.

8 3

令 L 若数列 {bn } 有 【例4】 设 {an } 是公比为 q 的等比数列, q > 1 , bn = an + 1(n = 1,2 , ) , 连续四项在集合 {?53 ,? 23 , , , } 中,则 6q = 19 37 82 .

【例5】 等比数列 {an } 的首项 a1 = ?1 ,前 n 项和为 Sn ,公比 q ≠ 1 ,若

S10 a 31 = ,则 10 等 S5 32 a5





1 【例6】 等比数列 {an } 中, 1 = 512 , a 公比 q = ? , ∏ n 表示它前 n 项的积: n = a1a2 ...an , 用 ∏ 2 则 ∏1 , ∏ 2 ,…, ∏ n 中最大的是_______.

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1

1 【例7】 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn = (an ? 1)(n ∈ N? ) . 3 ⑴求 a1 , a2 , a3 的值;

⑵求 an 的通项公式及 S10 .

【例8】 在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 = 27 , a2 + a4 = 30 试求:⑴ a1 和公比 q ;⑵前 6 项的和 S6 .

【例9】 在 等 比 数 列 {an } 中 , 已 知 对 任 意 正 整 数 n , 有 Sn = 2n ? 1 , 则
2 2 a12 + a2 + L + an = ________.

【例10】 求和: (a ? 1) + (a 2 ? 2) + L + ( a n ? n), (a ≠ 0) .

【例11】 在 等 比 数 列 {an } 中 , a4 =
bn = log 3

2 20 , a3 + a5 = . 若 数 列 {an } 的 公 比 大 于 1 , 且 3 9

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2

【例12】 在 各项 均为 正数 的等 比数 列 {bn } 中 ,若 b7 ? b8 = 3 , 则 log 3 b1 + log 3 b2 + … …
+ log3 b14 等于(


C. 7 D. 8

A. 5

B. 6

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2

【例13】 等比数列 {an } 中,已知对任意自然数 n , a1 + a2 + a3 + … + an = 2n ? 1 ,
2 2 则 a12 + a2 + ? ? ? + an = (

A. ( 2n ? 1)

2

) 1 B. ( 2n ? 1) 3

C. 4n ? 1

D.

1 n ( 4 ? 1) 3

【例14】 若 lg x + lg x 2 + … + lg x10 = 110 ,求 lg x + lg 2 x + … + lg10 x 的值.

【例15】 在 等 比 数 列 {an } 中 , a4 =
bn = log 3

2 20 , a3 + a5 = . 若 数 列 {an } 的 公 比 大 于 1 , 且 3 9

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 2

【例16】 在等比数列 {an } 的前 n 项中, a1 最小,且 a1 + an = 66, a2 an ?1 = 128 ,前 n 项和
Sn = 126 ,求 n 和公比 q .

【例17】 设等比数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,若 S3 + S6 = 2S9 ,求数列的公比 q .

1 【例18】 {an } 的相邻两项 an ,an +1 是方程 x 2 ? cn x + ( ) n = 0 的两根,且 a1 = 2 ,求数列 {cn } 3

的前 n 项和 Sn .

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3

1 1 1 【例19】 已知数列 {an } : 1 , 2(? ) , 3(? ) 2 ,…, n( ? ) n ?1 ,求它的前 n 项和. 2 2 2

n 【例20】 已知:数列 {an } 满足 a1 + 3a2 + 32 a3 + L + 3n ?1 an = , a ∈ N + . 3 ⑴求数列 {an } 的通项; n ⑵设 bn = , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn an

【例21】 已知数列 {an } 的通项公式为 an = n ? 5n ,求其前 n 项和公式.

【例22】 求数列 a , 2a 2 , 3a 3 ,…, na n ,…, a 为常数)的前 n 项的和. (

【例23】 已知等差数列 {an } ,公差为 d ,求 Sn = a1 x + a2 x3 + a3 x5 + L an x 2 n ?1 ( x ≠ 1且x ≠ 0)

【例24】 设 {an } 为等比数列, Tn = na1 + ( n ? 1)a2 + ? ? ?2an ?1 + an ,已知 T1 = 1 , T2 = 4 . ⑵求数列 {Tn } 的通项公式. ⑴求数列 {an } 的首项和公比;

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【例25】 已 知 a ≠ 1 , 数 列 {an } 是 首 项 为 a , 公 比 为 a 的 等 比 数 列 , 令
bn = an lg a n (a > 0, n ∈ N ? ) ,

⑴当 a = 2 时,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; ⑵若数列 {bn } 中的每一项总小于它后面的项时,求 a 的取值范围.

【例26】 已知函数 f ( x ) 是一次函数,且 f (8 ) = 15 , f ( 2 ) , f ( 5 ) , f (14 ) 成等比数列,

设 an = f ( n ) , ( n ∈ N * ) .
⑴ 求 Tn ; ⑵ 设 bn = 2n ,求数列 {anbn } 的前 n 项和 Sn .

【例27】 设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和 Sn > 0 ( n ∈ N + ) . ⑴求 q 的取值范围; 3 ⑵设 bn = an + 2 ? an +1 ,记 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Sn 与 Tn 的大小. 2

【例28】 设

{an }

是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , Sn 是 前 n 项 和 , 证 明

log 0.5 Sn + log 0.5 Sn + 2 > log 0.5 Sn +1 2

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【例29】 设 {an } 是由正数组成的等比数列, Sn 是前 n 项和.
lg Sn + lg S n + 2 < lg S n +1 ; 2 lg ( S n ? C ) + lg ( Sn+ 2 ? C ) ⑵是否存在常数 C > 0 使得 = lg ( S n+1 ? C ) 成立?并证明 2 你的结论.

⑴证明:

【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 1150 元,购买当天先付 150 元,以

后每月这一天都交付 50 元,并加付欠款的利息,月利率为 1 %,若交付 150 元 后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多 少钱?全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱?

【例31】 从盛满 a 升 (a > 1) 纯酒精的溶液里倒出 1 升,然后填满水,再倒出 1 升混合溶液

后又用水填满.如此继续下去,那么第 n 次操作后溶液的浓度是多少?

【例32】 某企业年初有资金 1000 万元, 如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长

率为 50 %,但每年年底都要扣除消费基金 x 万元,余下基金投入再生产,为 实现经过 5 年资金达到 2000 万元(扣除消费基金后) ,那么每年应扣除消费基 金多少万元(精确到万元)?

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【例33】 小芳同学若将每月省下的零花钱 5 元在月末存入银行,月利按复利计算,月利

率为 0.2 %, 每够一年就将一年的本利和改存,年利按复利计算,年利率为 6 %,问三年后取出 本利共多少元(保留到个位)?

【例34】 用 n 个不同的实数 a1 , a2 ,L , an 可得到 n ! 个不同的排列,每个排列为一行写成一

个 n ! 行的数阵。对第 i 行 ai1 , ai 2 ,L , ain ,记 bi = ? ai1 + 2ai 2 ? 3ai 3 + .... + (?1) n nain ,
i = 1, 2,3,L , n ! 。

例如:用 1 , 2, 3 、可得数阵如图,由于此数阵中每一列各数之和都是 12 ,所以,
b1 + b2 + L + b6 = ?12 + 2 × 12 ? 3 × 12 = ?24 ,那么,

在用 1, 2, 3, 4, 5 形成的数阵中, b1 + b2 + L + b120 =________。
1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1

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【例35】 我们在下面的表格内填写数值:先将第 1 行的所有空格填上 1 ;再把一个首项为
1 ,公比为 q 的数列 {an } 依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数

是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格. 第1 列 第2列 第3列 … 第n列 第1 行 … 1 1 1 1 q 第2行 q2 第3行 … … q n ?1 第n行
⑴ 设第 2 行的数依次为 B1 ,B2 , ,Bn ,试用 n ,q 表示 B1 + B2 + L + Bn 的值; L ⑵ 设 第 3 行 的 数 依 次 为 c1 ,c2 ,c3 , ,cn , 求 证 : 对 于 任 意 非 零 实 数 L
q ,c1 + c3 > 2c2 ; ⑶ 请在以下两个问题中选择一个进行研究(只能选择一个问题, 如果都选, 被认为 选择了第一问). L ① 能 否 找 到 q 的 值 , 使 得 ⑵ 中 的 数 列 c1 ,c2 ,c3 , ,cn 的 前 m 项 c1 ,c2 , ,cm ( m ≥ 3) 成为等比数列?若能找到, m 值有多少个?若不能找 L

到,说明理由. ②能否找到 q 的值,使得填表格后,除第 1 列外,还有不同的两列数的前三项 各自依次成等比数列?并说明理由.

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【例36】 已知数列 a0 ,a1 ,a2 , ,an , 满足关系式 ( 3 ? an +1 )( 6 + an ) = 18 ,且 a0 = 3 ,则 L L

∑a
i=0

n

1
i

的值是

.

【例37】 在 n 行 n 列矩阵
n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 ? 3 4 5 ??? 1 2 ? n ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ? 2 ??? n 中,记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i, j = 1, , , ) .

当 n = 9 时, a11 + a22 + a33 + ??? + a99 =



【例38】 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n = n ? 5a n ?85 , n ∈ N*
⑴ 证明: {an ? 1} 是等比数列; ⑵ 求数列 {S n } 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并说明理由.

【例39】 已知数列 {an } 的首项 a1 ≠ 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn +1 = 2S n + a1 ,则 lim A.0 B.
1 2

n →∞

an = Sn

C. 1

D.2

?1? 【例40】 已知 {an } 是首项为 1 的等比数列, n 是 {an } 的前 n 项和, 9s3 = s6 , s 且 则数列 ? ? ? an ?

的前 5 项和为
A.
15 或5 8

B.

31 或5 16

C.

31 16

C.

15 8

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【例41】 设 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 + a5 = 0 ,则 A.11 B.5 C. ?8

S5 = S2

D. ?11

【例42】 在数列 {an } 中, a1 = 1 , an+1 = can + c n +1 ( 2n + 1) ( n ∈ N* ) ,其中实数 c ≠ 0 . ⑴求 {an } 的通项公式; ⑵若对一切 k ∈ N 有 a2 k > azk ?1 ,求 c 的取值范围.
*

【例43】 设 {an } 是由正数组成的等比数列, n 为其前 n 项和. 已知 a2 a4 = 1 , 3 = 7 , S5 = 则 S S
15 A. 2 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2

【例44】 设等比数列 {an } 的公比为 q =

S 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 4 = a4 2



【例45】 设 {an } 是等比数列,若 a1 = 1, a4 = 8 ,则 q =
S6 =

,数列 {an } 的前 6 项的和



【例46】 在数列 {an } 中, a1 = 3 , an = 2an ?1 + n ? 2 (n ≥ 2 且 n ∈ N* ) .
⑴求 a2 , a3 的值; ⑵证明:数列 {an + n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

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【例47】 在数列 {an } 中, a1 = 3 , an = ? an ?1 ? 2n + 1 (n ≥ 2 且 n ∈ N* ) .
⑴求 a2 , a3 的值; ⑵证明:数列 {an + n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式; ⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

【例48】 设数列 {an } 为等比数列, 数列 {bn } 满足 bn = na1 + (n ? 1)a2 + L + 2an ?1 + an , ∈ N? , n
3m ,其中 m ≠ 0 . 2 ⑴求数列 {an } 的首项和公比;

已知 b1 = m , b2 =

⑵当 m = 1 时,求 bn ; ⑶设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, 若对于任意的正整数 n , 都有 Sn ∈ [1, 3] , 求实数 m
的取值范围.

【例49】 若 a, 4, 3a 为等差数列的连续三项,则 a 0 + a1 + a 2 + ? ? ? + a9 的值为( A.1023 B.1025 C.1062 D.2047



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