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12.4.3正弦定理


在我国 古代就有嫦 娥奔月的神 话故事.明 月高悬 , 我 . 们仰望夜空, 会有无限遐 想,不禁会 问,月亮离 我们地球有 多远呢?科 学家们是怎 样测出来的 呢?

月亮离我们地球有多远?

月亮离我们地球有多远?

在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算 出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个 奥秘的呢

? 古希腊人发明了视差计算法。从地球上选择 两个观察位置,把两个观测点与被观测的月亮构 成一个三角形,已知两个观测点连线(即基线)的长 度,再从这两个观测点测出同一时刻月亮到人的 两道视线所形成的夹角(即三角形的顶角) ,就可算 出月亮离我们地球有多远。

月亮离我们地球有多远?
如图1,如果从地球上A点看, 月球S刚好在地平线上(即AS和地球 半径OA垂直),而同时从地球上B点 看,S刚好在天顶处(即S在地球半径 OB的延长线上)那么∠S就叫做月球 S 的地平视差。根据一个天体的地平视差,可以算出这个天体的距 离。 ∠S可以从∠AOB算出,而∠AOB可以从地球上A、B两点的经纬 度算出。 月球S的地平视差(∠S),就是从月球S看来,垂直于视线(SA) 的地球半径(OA)所对的角。 已知地球半径R=6370千米,月球的地平视差是57ˊ,我们就可以 计算月球离我们的距离。 在Rt△OAS中,

一、 公式推导 思考一:
用“三角形面积公式”如何证明“正弦 定理”?
回顾三角形面积公式

S = bcSinA= acSinB
1 2

1 2

= abSinC
1 2

1 2

注意: (1).如果不考虑大小写,每个公式都有a,b,c,但 必须有一个是角,也就是说有一个是大写字母; (2).都是两边及其夹角

这就是说:三角形的面积,等于它的任 意两边及其夹角的正弦乘积的一半

A ∵ S ?ABC 同理

1 1 ? ac sin B ? ab sin C 2 2

c
B Da

b
C

S ?ABC

1 1 1 ∴ S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 abc a b c ? ? ? ? 2S?ABC sin A sin B sin C

1 ? bc sin A 2

思考二:用“三角函数的定义”如何证明“正
弦定理”?

1、在直角三角形中,“边”与“角” 的关系 Rt ?ABC 中 a2 ? b2 ? c2
a ? c sin A, b ? c sin B
a b ? sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

思考:对于一般三角形,上述结论是否成立

2、在锐角三角形中,
作CD ? AB于点D
CD ? sin A, 即CD ? b sin A b CD ? sin B, 即CD ? a sin B a
? b sin A ? a sin B

a b a c 即 ? 同理: ? sin A sin B sin A sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

3、在钝角三角形中,
作CD ? AB交AB的延长线于点D
CD ? sin A, 即CD ? b sin A b CD ? sin ?180 ? B ? ? sin B, 即CD ? a sin B a a b ? b sin A ? a sin B 即 ? sin A sin B

a c 同理: ? sin A sin C

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

由以上三种情况的讨论可得:
正弦定理: 在一个三角形中,各边的长和 它所对角的正弦的比相等,即
a b c ? ? sin A sin B sin C

思考三:用“向量”的方法如何证明 “正弦定理” ?

向量i是与向量AB垂直的单位向量
i ? AB ? BC ? i ? AC

?

?

?i ? BC ? i ? AC

?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? a cos ? ? B ? ? b cos ? ? A ? 或a cos ? B ? ? ? b cos ? A ? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ? ?
? a sin B ? b sin A

a b 即 ? sin A sin B

a c 同理: ? sin A sin C

a b c ? ? ? sin A sin B sin C

二、 正弦定理
1、内容 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一 边或二边一角可表示其它的边和角

剖析定理、加深理解

2、定理分析
⑴A+B+C=π ⑵大角对大边,大边对大角

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ⑶变形:

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边,求其他角和边

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
4、一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形

剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
5、正弦定理的变形形式

6、正弦定理,可以用来判断三角形的 形状,其主要功能是实现三角形边角关 系的转化

正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理
a b = ___________ sin A sin B

余弦定理

b2+c2-2bc· cos A , a2=________________ b2=________________ c2+a2-2ca· cos B , c 内容 = a2+b2- _______ sin C =2R c2=_________ (R为△ABC外 ___________ 2ab· cos C . 接圆半径)

①a=_______ 2Rsin A, b=_______ 2Rsin B, c=________ 2Rsin C ; 变 形 形 式

b2+c2-a2 cos A=_______ 2bc ; b a 2 2 2 ②sin A=___ , c + a - b 2R ,sin B=___ 2R cos B=_______ 2ca ; c 2 2 2 sin C=____ ; a + b - c 2R sin A∶sin B ③a∶b∶c=___________ cos C=_______. 2ab ________ ∶sin C ;

变形 形式

a+b+c a ④ = sin A+sin B+sin C sin A.

判断 ?ABC 解的个数:

?1? a ? 5, b ? 4, A ? 120 ,求B; ? 2? a ? 5, b ? 4, A ? 90 ,求B;
10 3 , A ? 90 ,求B; ? 3? a ? 5, b ? 3

一解

一解
一解 两解

? 4? a ? 20, b ? 28, A ? 40 ,求B;

3 5 在?ABC中,已知 sin A ? , cos B ? , 5 13 5 12 求 sin C. 解: ? cos B ? , B ? (0, ? ), sin B ? .
13 13 3 又 sin A ? ,? sin A ? sin B 5 a b 由正弦定理 ? 可知a ? b sin A sin B 4 ? A ? B,? A只能为锐角, ? cos A ? . 5 63 ? sin C ? sin( A ? B) ? . 65

4 12 变式:在?ABC中,已知 cos A ? ,sin B ? , 求 sin C. 5 13 4 3 解: ? cos A ? , A ? (0, ? ) ? sin A ? 5 5 12 又 ? sin B ? ,? sin A ? sin B,? a ? b ? A ? B 13 5 ? B可以为锐角也可以为钝 角, ? cos B ? ? . 13 5 63 (1) cos B ? 时, sin C ? sin( A ? B ) ? . 13 65 5 33 (2) cos B ? ? 时, sin C ? sin( A ? B ) ? . 13 65 63 33 ? sin C ? 或 . 65 65

1 2 2 已知?ABC的面积S ? (b ? c ),试确定?ABC的形状. 4

1 2 1 2 解:S ? (b ? c ) ? bc sin A 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 1 1 2 ? (b ? c) ? 0, bc(1 ? sin A) ? 0 4 2 ?b ? c ? ?? ? A ? 且b ? c 2 ?1 ? sin A ? 0 ? ?ABC为等腰直角三角形 .

在?ABC中,设?A, ?B, ?C所对的边分别为 a, b, c,若b ? c ? 2a cos(60 ? C ),求?A.
解:由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A(cos 60 cos C ? sin 60 sin C ) sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin C ? sin A cos C ? 3 sin A cos C ? ( 3 sin A ? cos A) sin C ? sin C 1 sin C ? 0 ? 3 sin A ? cos A ? 1即sin( A ? 30 ) ? . 2 又 30 ? A ? 30 ? 210 ? A ? 30 ? 150 ? A ? 120 .

定理的应用举例 例1
0 0

在?ABC中 , 已 知 A ? 32.0 , B ? 81.8 , a ? 42.9cm, 解 三 角 形 。

小结:知道三角形的两个内角和任何一边,利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。

例 2、

在三角形ABC中,已知a=20cm,b=28cm, A=40° ,解三角形(角度精确到1°边长 精确到1cm)

已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角

已知边a,b和角A,求其他边和角.

A为锐角
C b A a A C b a B b C a B1 A C

b

a




B2

a<bsinA 无解
C b A a

a=bsinA 一解
C b B A

bsinA<a<b 两解

a≥b 一解

A为直角或钝角
a

a>b 一解

a≤b 无解

a b c 求证: ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(2R为△ABC外接圆直径)

' 证明: 作外接圆O, 过B作直径BC ,

B
a O C

' ? ? ?BAC ? 90 ?, ?C ? ?C

连AC '

c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

c b

A

a b 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C

C/


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