nbhkdz.com冰点文库

吉林省长春十一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2014-2015 学年吉林省长春十一中高一 (上) 期中数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)设集合 M={﹣1,0,2,4},N={0,2,3,4},则 M∪N 等于() A.{0,2} B.{2,4} C.{0,2,4} D.{﹣1,0,2,3,4}

2. (4 分)函数 f(x)=

/>+lg(3x+1)的定义域是()

A.(﹣ ,+∞)

B.(﹣ ,1)
2 a

C.(﹣ , )

D.(﹣∞,﹣ )

3. (4 分)已知 0<a<1,则 a 、2 、log2a 的大小关系是() 2 a a 2 2 a A.a >2 >log2a B.2 >a >log2a C.log2a>a >2

D.2 >log2a>a

a

2

4. (4 分)若 A 为△ ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是() A.sinA B.cosA C.tanA D.

5. (4 分)已知 A. B.

,则 sin θ﹣cos θ 的值为() C.
2

4

4

D.

6. (4 分)已知函数 f(x)=x +(m﹣2)x+1 为偶函数,则 m 的值是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 7. (4 分)已知 A. B. C. ,则 tan(α+β)的值为() D.1

8. (4 分)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 B. C. 1

x

的值为() D.

9. (4 分) A. B. C.

=() D.

10. (4 分)已知 tanα=2,则 sin α﹣sinαcosα 的值是() A. B. C . ﹣2 D.2

2

11. (4 分)在△ ABC 中,已知 tanA?tanB>1,则△ ABC 是() A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.最小内角大于 45°的三角形 12. (4 分)设方程 10 =|lgx|的两根为 x1,x2,则() A.0<x1x2<1 B.x1x2=1 C.﹣1<x1x2<0
﹣x

D.1<x1x2<10

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)当 a>0 且 a≠1 时,函数 f(x)=a 14. (4 分)已 sinα+cosα= ,则 sin2α=.
2 x﹣2

﹣3 必过定点.

15. (4 分)已知 tanα,tanβ 是方程 3x +5x﹣2=0 的两根,则 tan(α+β)=. 16. (4 分)若方程 mx +2mx+1=0 一根大于 1,另一根小于 1,则实数 m 的取值范围为.
2

三.解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17. (10 分)已知函数 f(x ﹣3)=lg (1)求 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性及其单调性. 18. (10 分)已知 sinα= ,sin(α+β)= ,α∈(0, ) ,α+β∈( ,π) ,求 β 的值.
2



19. (12 分)已知 sinα= (1)求 tanα 的值; (2)求

,且 α∈(

,π) .

的值.

20. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣2ax+3﹣b(a>0)在[1,3]有最大值 5 和最小值 2,求 a、 b 的值. 21. (12 分)已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m,
2

2

(1)求证:函数 f(x)﹣g(x)必有零点; (2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数 m 的取 值范围.

2014-2015 学年吉林省长春十一中高一(上)期中数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)设集合 M={﹣1,0,2,4},N={0,2,3,4},则 M∪N 等于() A.{0,2} B.{2,4} C.{0,2,4} D.{﹣1,0,2,3,4} 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用并集的定义求解. 解答: 解:∵集合 M={﹣1,0,2,4},N={0,2,3,4}, ∴M∪N={﹣1,0,2,3,4}. 故选:D. 点评: 本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集性质的合理运用.

2. (4 分)函数 f(x)=

+lg(3x+1)的定义域是()

A.(﹣ ,+∞)

B.(﹣ ,1)

C.(﹣ , )

D.(﹣∞,﹣ )

考点: 对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 依题意可知要使函数有意义需要 1﹣x>0 且 3x+1>0,进而可求得 x 的范围. 解答: 解:要使函数有意义需 ,

解得﹣ <x<1. 故选 B. 点评: 本题主要考查了对数函数的定义域.属基础题. 3. (4 分)已知 0<a<1,则 a 、2 、log2a 的大小关系是() 2 a a 2 2 a A.a >2 >log2a B.2 >a >log2a C.log2a>a >2
2 a

D.2 >log2a>a

a

2

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数,幂函数,对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论. 解答: 解:∵0<a<1, 2 a ∴0<a <1,1<2 <2,log2a<0, a 2 ∴2 >a >log2a, 故选:B. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据指数函数,幂函数,对数函数的性质是解决 本题的关键,比较基础. 4. (4 分)若 A 为△ ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是() A.sinA B.cosA C.tanA D.

考点: 三角函数值的符号. 分析: 三角形内角的范围(0,π) ,依题意可以推出答案. 解答: 解:A 为△ ABC 的内角,则 A∈(0,π) ,显然 sinA>0 故选 A. 点评: 本题考查三角函数值的符号,是基础题.
4 4

5. (4 分)已知 A. B.

,则 sin θ﹣cos θ 的值为() C. D.

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出 cos θ﹣sin θ 的值, 所求式子利用 2 2 平方差公式化简, 再利用同角三角函数间的基本关系整理后将 cos θ﹣sin θ 的值代入计算即可 求出值. 解答: 解:∵cos2θ=cos θ﹣sin θ=
4 4 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2

∴sin θ﹣cos θ=(sin θ+cos θ) (sin θ﹣cos θ)=﹣(cos θ﹣sin θ)=﹣



故选 B. 点评: 本题考查二倍角的余弦函数公式,考查学生的计算能力,熟练掌握公式是解本题的 关键. 6. (4 分)已知函数 f(x)=x +(m﹣2)x+1 为偶函数,则 m 的值是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 函数奇偶性的判断. 分析: 利用偶函数的性质关于 y 轴对称,则不含一次项,因而一次项的系数为 0,即可求出 答案.
2

解答: 解:因为函数 f(x)=x +(m﹣2)x+1 为偶函数,那么可知二次函数关于 y 轴对称, 因此一次项系数 m﹣2=0,m=2. 故选 B. 点评: 掌握偶函数的性质是解题的关键.

2

7. (4 分)已知 A. B. C.

,则 tan(α+β)的值为() D.1

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 把要求的式子变为 tan[(α﹣ 解答: 解:tan(α+β)=tan[(α﹣ )+( )+ +β)],利用两角和的正切公式求出结果.



+β)]=

=

=1,

故选 D. 点评: 本题考查两角和的正切公式的应用,把要求的式子变为 tan[(α﹣ 是解题的关键.
x

)+(

+β)],

8. (4 分)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 B. C. 1

的值为() D.

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将点代入到解析式中,解出 a 的值,再根据特殊三角函数值进行解答. x a 解答: 解:将(a,9)代入到 y=3 中,得 3 =9, 解得 a=2. ∴ = .

故选 D. 点评: 对于基本初等函数的考查,历年来多数以选择填空的形式出现.在解答这些知识点 时,多数要结合着图象,利用数形结合的方式研究,一般的问题往往都可以迎刃而解.

9. (4 分)

=()

A.

B.

C.

D.

考点: 二倍角的余弦. 分析: 看清本题的结构特点符合平方差公式,化简以后就可以看出是二倍角公式的逆用, 最后结果为 cos ,用特殊角的三角函数得出结果.

解答: 解:原式= =cos = ,

故选 D 点评: 要深刻理解二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式,从形式和意义上来认识,对 公式做到正用、逆用、变形用,本题就是逆用余弦的二倍角公式. 10. (4 分)已知 tanα=2,则 sin α﹣sinαcosα 的值是() A. B. C . ﹣2 D.2
2

考点: 三角函数的化简求值. 分析: 先在 sin α﹣sinαcosα 加上分母 1,即 除以 cos α 即可得到关于 tanα 的关系式,进而得到答案. 解答: 解:因为 sin α﹣sinαcosα=
2 2 2

,然后分子分母同时

=

=

= .

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的值的求法,注意齐次式的应用,考查计算能力. 11. (4 分)在△ ABC 中,已知 tanA?tanB>1,则△ ABC 是() A.直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D.最小内角大于 45°的三角形 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 计算题;解三角形. 由条件可知 A、B 均为锐角,化切为弦可得 cosC>0,从而判断 C 也为锐角. 解:在△ ABC 中,由 tanA?tanB>1>0,知 A、B 均为锐角, ,

tanA?tanB>1 即

∴sinAsinB>cosAcosB,即 cos(A+B)<0,﹣cosC<0, ∴cosC>0,则 C 也为锐角,

故选:C. 点评: 该题考查正弦定理及其应用,考查两角和的余弦函数,属基础题. 12. (4 分)设方程 10 =|lgx|的两根为 x1,x2,则() A.0<x1x2<1 B.x1x2=1 C.﹣1<x1x2<0 考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 作函数 y=10 ,y=|lgx|的大致图象,由图象得到答案. ﹣x 解答: 解:作函数 y=10 ,y=|lgx|的大致图象如下,
﹣x ﹣x

D.1<x1x2<10

故选 A. 点评: 本题考查了学生的作图能力,属于基础题. 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)当 a>0 且 a≠1 时,函数 f(x)=a
x﹣2

﹣3 必过定点(2,﹣2) .

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 0 分析: 由式子 a =1 可以确定 x=2 时,f(2)=﹣2,即可得答案. 0 0 解答: 解:因为 a =1,故 f(2)=a ﹣3=﹣2, ﹣ x 2 所以函数 f (x)=a ﹣3 必过定点(2,﹣2) 故答案为: (2,﹣2) 0 点评: 本题考查指数型函数恒过定点问题,抓住 a =1 是解决问题的关键,属基础题. 14. (4 分)已 sinα+cosα= ,则 sin2α=﹣ .

考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系.

专题: 计算题. 分析: 已知等式两边平方后,利用同角三角函数间的基本关系化简,再利用二倍角的正弦 函数公式化简,即可求出值. 解答: 解:∵sinα+cosα= , ∴(sinα+cosα) = ,即 1+2sinαcosα= , 则 sin2α=2sinαcosα=﹣ . 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握诱 导公式是解本题的关键. 15. (4 分)已知 tanα,tanβ 是方程 3x +5x﹣2=0 的两根,则 tan(α+β)=﹣1. 考点: 专题: 分析: 解答: 两角和与差的正切函数. 三角函数的求值. 由韦达定理可得 tanα+tanβ 与 tanαtanβ 的值,代入两角和的正切公式可得. 2 解:∵tanα,tanβ 是方程 3x +5x﹣2=0 的两根,
2 2

∴tanα+tanβ=﹣ ,tanαtanβ=﹣ , ∴tan(α+β)= =﹣1

故答案为:﹣1 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.
2

16. (4 分)若方程 mx +2mx+1=0 一根大于 1,另一根小于 1,则实数 m 的取值范围为(﹣ , 0) . 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用. 2 分析: 设 f(x)=mx +2mx+1,讨论 m>0,m<0,分别讨论判别式大于 0,且 f(1)<0, 和判别式大于 0,且 f(1)>0,最后求并集即可. 解答: 解:设 f(x)=mx +2mx+1, 当 m>0 时,由一根大于 1,另一根小于 1, 2 可得判别式 4m ﹣4m>0 且 f(1)<0, 即有 m>1 或 m<0,且 m<﹣ , 解得,m∈?; 2 当 m<0 时,可得判别式 4m ﹣4m>0 且 f(1)>0, 解得,即有 m>1 或 m<0,且 m>﹣ ,
2

解得,﹣ <m<0. 综上,实数 m 的取值范围为(﹣ ,0) . 故答案为: (﹣ ,0) . 点评: 本题考查二次方程的实根的分布,考查二次函数的图象和性质,考查运算能力,属 于中档题. 三.解答题: (本大题共 5 小题,共 56 分) 17. (10 分)已知函数 f(x ﹣3)=lg (1)求 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性及其单调性. 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1) 通过将原函数变成
2 2



, 便可得到 ( f x) =lg



而由原函数求出 x ﹣3 的范围即是 f(x)的定义域: (3,+∞) ; (2)根据函数 f(x)的定义域不关于原点对称即可知道 f(x)非奇非偶,而求 f′(x) ,并判 断它的符号即可判断出 f(x)的单调性. 解答: 解: ;




2



得,x ﹣3>3;

∴f(x)的定义域为(3,+∞) ; (2)∵f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数; ∵ ;

∴f(x)在区间(3,+∞)上单调递减. 点评: 考查函数解析式的概念,以及由 f[g(x)]解析式求 f(x)解析式用到的方法,奇偶 函数定义域的特点,根据导数符号判断函数单调性的方法. ,α∈(0, ) ,α+β∈(

18. (10 分)已知 sinα=

,sin(α+β)=

,π) ,求 β 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数.

专题: 三角函数的求值. 分析: 先根据已知条件求得 cosα 和 cos (α+β) 的值, 进而根据两角和公式利用 cosβ=cos (α+β ﹣α)求得答案. 解答: 解:由已知得 由 又 ∴ . , , , , ,

点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦公式的应用.解题的关键时找到 cosβ=cos(α+β﹣ α) . 19. (12 分)已知 sinα= (1)求 tanα 的值; (2)求 的值. ,且 α∈( ,π) .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 sinα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间基本关系求出 cosα 的值,即可 确定出 tanα 的值; (2)原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简,分母利用两角和与差的正弦函数公式化简, 约分后将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵sinα= ∴cosα=﹣ 则 tanα= (2)∵sinα= =﹣ ; , =﹣ ,且 α∈( , ,π) ,

,cosα=﹣

∴原式=

=

=cosα﹣

sinα=﹣



=﹣



点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

20. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣2ax+3﹣b(a>0)在[1,3]有最大值 5 和最小值 2,求 a、 b 的值. 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用对称轴 x=1,[1,3]是 f(x)的递增区间及最大值 5 和最小值 2 可以找出关于 a、 b 的表达式,求出 a、b 的值. 解答: 解:∵f(x)=ax ﹣2ax+3﹣b(a>0)的对称轴 x=1,[1,3]是 f(x)的递增区间, ∴f(x)max=f(3)=5,即 3a﹣b+3=5 ∴f(x)min=f(1)=2,即﹣a﹣b+3=2 ∴ 得
2

2

故 a= ,b= . 点评: 本题的实质是求二次函数的最值问题,关于解析式含参数的二次函数在固定闭区间 上的最值问题,一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论,如轴在区间左边,轴 在区间右边,轴在区间中间,最后在综合归纳得出所需结论 21. (12 分)已知函数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m, (1)求证:函数 f(x)﹣g(x)必有零点; (2)设函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数 m 的取 值范围. 考点: 函数单调性的性质;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: (1)函数 f(x)﹣g(x)的零点即为,方程 f(x)﹣g(x)=0 的根,根据已知中函 数 f(x)=mx+3,g(x)=x +2x+m,构造方程 f(x)﹣g(x)=0,判断其△ 的与 0 的关系, 即可得到结论. (2)由已知中函数 G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,我们可得到函数 G(x)的解析式,分析二 次函数 G(x)的值域,进而根据对折变换确定函数 y=|G(x)|的图象及性质,进而得到满足 条件的实数 m 的取值范围. 2 解答: 解: (1)证明∵f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m 2 又∵f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m=0 时, 2 2 则△ =(m﹣2) ﹣4(m﹣3)=(m﹣4) ≥0 恒成立, 2 所以方程 f(x)﹣g(x)=﹣x +(m﹣2)x+3﹣m=0 有解 函数 f(x)﹣g(x)必有零点 2 解: (2)G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=﹣x +(m﹣2)x+2﹣m 2 ①令 G(x)=0 则△ =(m﹣2) ﹣4(m﹣2)=(m﹣2) (m﹣6) 2 当△ ≤0,2≤m≤6 时 G(x)=﹣x +(m﹣2)x+2﹣m≤0 恒成立 2 所以,|G(x)|=x +(2﹣m)x+m﹣2,在[﹣1,0]上是减函数,则 2≤m≤6 2 ②△ >0,m<2,m>6 时|G(x)|=|x +(2﹣m)x+m﹣2| 因为|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数 2 所以方程 x +(2﹣m)x+m﹣2=0 的两根均大于 0 得到 m>6
2 2

或者一根大于 0 而另一根小于 0 且

,得到 m≤0

综合①②得到 m 的取值范围是(﹣∞,0]∪[2,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,二次函数的性质,函数零点的判定定理, 其中熟练掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键.


更多相关标签