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2013-2014学年高一数学人教A必修1单元目标检测:第二章 基本初等函数Ⅰ(含解析)]

时间:2015-04-17


数学人教 A 必修 1 第二章
参考完成时间:120 分钟

基本初等函数(Ⅰ)单元检测
总分:150 分 得分:

实际完成时间:____分钟 _____ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M={-1,1}, N ? ? x A.{-1,1} B.{-1} C.{0} D.{-1,0} 2. 2
1 1? log 2 5 2

? 1 ? ? 2x?1 ? 4, x ? Z? ,则 M∩N=( ? 2 ?

)

等于(

) B. 2 5 D.1+

A.2+ 5 C.2+

5 2

5 2 ? ? 1? ? ,则 2? ?1? f ? ? 的值为( ?4?
)

3.幂函数 y=f(x)的图象经过点 ? 4, A.1 C.3 B.2 D.4

4.函数 f(x)=

4? x +log4(x+1)的定义域是( x ?1

)

A.(-1,+∞) B.[-1,1) (1,4] C.(-1,4) D.(-1,1) (1,4] 5.已知 f(x3)=lg x,则 f(2)等于( A.lg 2 B.lg 8 C. lg

)

1 8

D. lg 2

1 3

6.函数 y ? lg ? A.x 轴 C.原点

? 2 ? ? 1? 的图象关于( ? 1? x ?
B.y 轴 D.y=x

)对称.

7.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x 1;④ y ? x 2 ; 则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是(


1

)

A.②①③④ C.④①③② 8.设 f(x)= ?

B.②③①④ D.④③①② )

?2e x ?1 , x ? 2, ? 则 f(f(2))等于( x log (2 ? 1), x ? 2, ? 3 ?

A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知 f(x)=loga(x+1)(a>0,且 a≠1),若 x ? (-1,0)时,f(x)<0,则 f(x)是( A.增函数 B.减函数 C.常数函数 D.不单调的函数 10.若 0<m<n<1,则( ) A.3n<3m B.logm3<logn3 C.log4m<log4n

)

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?4? ?4?

m

n

? a x , x ? 1, ? 11. 若 f(x)= ?? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围为( a? ?? 4 ? 2 ? x ? 2, x ? 1 ? ??

)

A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 12.设函数 f(x)=loga|x|(a>0 且 a≠1)在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2)的大小 关系为( ) A.f(a+1)=f(2) B.f(a+1)>f(2) C.f(a+1)<f(2) D.不确定 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13. 与函数 f(x)=2x 的图象关于直线 y=x 对称的曲线 C 对应的函数为 g(x), 则g? ?= __________. 14.(log43+log83)(log32+log98)=__________. 15. 已知函数 f(x)=a-log2x 的图象经过点 A(1,1), 则不等式 f(x)>1 的解集为__________. 16. 1<x<d, a=(logdx)2, b=logdx2, c=logd(logdx), 则 a, b, c 的大小关系是__________.

?1? ?2?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知 a=(2+ 3 ) 1,b=(2- 3 ) 1,求(a+1) 2+(b+1)
- - - -2

的值.

1? x 的定义域为(-1,1), 1? x 1 ? ? 1 ? ? (1)求 f ? ?? f ?? ?; ? 2013 ? ? 2013 ?
18.(12 分)已知 f(x)= lg (2)探究函数 f(x)的单调性,并证明.
1

19.(12 分)已知幂函数 y=f(x)= x (m ? N*). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
m2 ? m

(2)若该函数还经过点(2, 2 ),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 20.(12 分)已知函数 f(x)=3x,f(a+2)=18,g(x)=m· 3ax-4x 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数,求实数 m 的取值范围. 21.(12 分)要使函数 y=1+2x+4xa 在 x ? (-∞,1]上恒大于零,求 a 的取值范围. 22.(12 分)已知函数 f(x)= x ?

1? ? 1 ? ?, x ? 2 ?1 2 ?

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求证:当 x≠0 时,f(x)>0.

参考答案
1.B 点拨: 又∵x ? Z,∴N={-1,0}.∴M 2.B 点拨: 2
1 1? log 2 5 2

1 + - + <2x 1<4 ? 2 1<2x 1<22 ? -1<x+1<2 ? -2<x<1. 2
N={-1}.
1 52

? 2 ? 2log2 5 ? 2 5 . 1 ? 1? 3.B 点拨:设幂函数为 f(x)=xa,将 ? 4, ? 代入得 a ? ? . 2 ? 2?

? 2 ? 2log2

?1? ?1? 从而 f(x)= x ,则 f ? ? ? ? ? ?4? ?4?
?

1 2

?

1 2

?2

? 1? ?2?? ? ? ? 2?

=21=2.

? 4 ? x ? 0, ? 4.D 点拨:要使函数有意义,需 ? x ? 1 ? 0, 解得-1<x≤4 且 x≠1,即函数的定义 ? x ? 1 ? 0, ?
域为(-1,1) (1,4].
3

5.D 点拨:令 x3=2,则 x ? 于是 f(2)= lg 3 2 ?

2,

1 lg2 . 3 1? x 1? x 1? x ? 2 ? ? ?lg 6.C 点拨:因 y ? lg ? ,f(-x)= lg =-f(x),函 ? 1? ? lg 1? x 1? x 1? x ? 1? x ?
数为奇函数,故其图象关于原点对称. 7.D 点拨:根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选 D. 8.C 点拨:∵f(2)=log3(22-1)=1, - ∴f(f(2))=f(1)=2e1 1=2. 9.A 点拨:∵x ? (-1,0)时,x+1 ? (0,1),此时,f(x)<0, ∴a>1. ∴f(x)在定义域(-1,+∞)上是增函数. 10.C 点拨:对于 A,因为函数 f(x)=3x 为增函数,所以 3n>3m,故 A 不正确;对于 B,通过观察函数的图象,可知 logm3>logn3,故 B 不正确;对于 C,因为函数 f(x)=log4x

?1? 为增函数,所以 log4m<log4n,故 C 正确;对于 D,因为函数 f(x)= ? ? 为减函数,所以 ?4?

x

?1? ?1? ? ? ? ? ? ,故 D 不正确. ?4? ?4? ? ?a ? 1, ? ? a 11.B 点拨:由题意知 ? 4 ? ? 0, ? 2 ?? a? ?? 4 ? 2 ? ? 2 ? a, ? ??
解得 4≤a<8.故选 B. 12.B 点拨:易知 f(x)为偶函数,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减.所以 0<a<1.则 1<a+1<2.所以 f(a+1)>f(2). 13.-1 点拨:由题意,得 g(x)=log2x,

m

n

1 ?1? ? ? log 2 =-1. 2 ?2? 25 14. 点拨:利用换底公式,化为常用对数进行化简. 12
因此 g ? 15.(0,1) 点拨:由已知得 a=1,不等式 f(x)>1,即 1-log2x>1,即 log2x<0,解得 0<x<1. 16. c<a<b 点拨: 此题主要利用函数的单调性比较大小, 因为 1<x<d, 所以 0<logdx <logdd=1.所以 b=logdx2=2logdx>logdx· logdx=a>0>logd(logdx)=c.所以 b>a>c.

? 1 ? 1 - 17. 解: 由 a=(2+ 3 ) = =2- 3 , 得 a+1=3- 3 , (a+1) 2= ? ? . 2? 3 ? 3? 3 ?
-1

2

? 1 ? 同理,(b+1) = ? ? . ? 3? 3 ?
-2

2

24 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 3? 3 ? ? 3? 3 ? 故(a+1) +(b+1) = ? ?? ? ? . ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 3 ? ? 6 ? ? 6 ? 36 3 1? x 1? x ? ?lg 18. 解: (1)∵函数的定义域为(-1,1), 关于坐标原点对称, 又 f(-x)= lg 1? x 1? x
-2 -2

2

2

2

2

=-f(x),∴f(x)为奇函数. ∴f?

? 1 ? ?? ? 2013 ?

1 ? ? ? 1 ? f ?? ?? f ? ?? ? 2013 ? ? 2013 ?

? 1 ? f? ? =0. ? 2013 ?

(2)先探究函数 f(x)在区间(0,1)上的单调性. 设 x1,x2 ? (0,1),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=

lg

? 1 ? x1 1 ? x2 ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x2 ? x1 . ? lg ? lg ? ? ? ? lg 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? x1 1 ? x2 ?
∵0<x1<x2<1, ∴1-x1x2+x2-x1>1-x1x2-(x2-x1)>0. ∴

1 ? x1 x2 ? x2 ? x1 >1. 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) 1 ? x1 x2 ? x2 ? x1 ∴ lg >0,即 f(x1)-f(x2)>0. 1 ? x1 x2 ? ( x2 ? x1 )
∴f(x)为区间(0,1)上的减函数. 又 f(x)为奇函数,∴f(x)在区间(-1,1)上是减函数. 19.解:(1)∵m2+m=m(m+1),m ? N*, ∴m 与 m+1 中必定有一个为偶数. ∴m2+m 为偶数.
1

∴函数 f(x)= x (m ? N*)的定义域为[0,+∞), 并且函数 y=f(x)在其定义域上为增函数.
m2 ? m

(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2 ),
1 m2 ? m

∴ 2 ?2 ,即 2 ? 2 . ∴m2+m=2,即 m2+m-2=0.∴m=1 或 m=-2. 又∵m ? N*,∴m=1.
m2 ? m

1 2

1

∴f(x)= x 在[0,+∞)上是增函数.

1 2

? 2 ? a ? 0, 3 ? 由 f(2-a)>f(a-1),得 ? a ? 1 ? 0, 解得 1≤a< . 2 ? 2 ? a ? a ? 1, ?
故 m 的值为 1,满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围为 ?1, ? . 20.解:(1)∵由已知可得 3a 2=18, ∴3a=2.∴a=log32. (2)由(1)知 g(x)=m· 3xlog32-4x=m· 3log32x-4x=m· 2x-4x, 设 0≤x1<x2≤1,则 2x1<2x2,即 2x1-2x2<0, ∵函数 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, ∴g(x1)-g(x2)=(2x1-2x2)(m-2x1-2x2)>0 恒成立,即 m-2x1-2x2<0,m<2x1+2x2 恒成立. ∵2x1+2x2>20+20=2, ∴实数 m 的取值范围是 m≤2.


? 3? ? 2?

21. 解:由题意, 得 1+2x+4xa>0 在 x ? (-∞,1]上恒成立, 即 a> 1]上恒成立.

1 ? 2x 在 x ? (-∞, 4x

1 ? 2x ?1? ?1? ∵? ? ?? ? ? ? ? x 4 ?2? ?2?
?? 1 ? x 1 ? 1 = ?? ? ? ? ? , ?? 2 ? 2 ? ? 4 ? 又∵x ? (-∞,1],
∴?
2

2x

x

? ? 1 ? ?1 ? ? ? 2 , ?? ? . ? ?2? ?

x

令t ? ?

?1? ? , ?2?
2

x

?1 ? ? 1? 1 则 f(t)= ? ? t ? ? ? ,t ? ? , ?? ? . ?2 ? ? 2? 4 ?1 ? ∵f(t)在 ? , ?? ? 上为减函数, ?2 ?
∴f(t)≤ f ? ? ? ? ?

?1? ?2?

3 ?1 1? 1 ? ? ? ?? , 4 ? 2 2? 4

2

即 f(t) ? ? ??, ? ? . 4

? ?

3? ?

∵a>f(t), ∴a ? ? ?

? 3 ? , ?? ? . ? 4 ?

22.解:(1)x 的取值需满足 2x-1≠0,即 x≠0, 则函数 f(x)的定义域为{x|x ? R,且 x≠0}. (2)∵f(-x)-f(x) = ?x ?

1? ? 1 1? ? 1 ? ? ? x? x ? ? ?x ? 2 ?1 2 ? ? 2 ?1 2 ?

? 2x 1? ? 1 1? ? ? ? x? x ? ? x ? 1 ? 2 2 ? ? 2 ?1 2 ? ? x ? 2x x x x ? ? x ? = x 1? 2 2 2 ?1 2 x x (2 ? 1) = -x=x-x=0, 2x ?1
= ?x ? ∴f(-x)=f(x). ∴函数 f(x)是偶函数. (3)证明:∵当 x>0 时,2x>1,

1 >0. 2 ?1 1? ? 1 ∴ x? x ? ? >0. ? 2 ?1 2 ?

x

此时 f(x)>0. 当 x<0 时,-x>0, 则 f(x)=f(-x)>0, 即对于 x≠0,均有 f(x)>0.

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